РОЗДІЛ II
ПОБУДОВА РОЗРИВНИХ РОЗВґЯЗКІВ РІВНЯНЬ ДИНАМІЧНОЇ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ДЛЯ ДЕФЕКТІВ
РІЗНОЇ ГЕОМЕТРІЇ. ВИКОРИСТАННЯ МАТРИЧНОЇ ФУНКЦІЇ ГРІНА ДЛЯ РОЗВґЯЗАННЯ
ВЕКТОРНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ
У розділі наведено теоретичні основи дисертаційної роботи. Отримано розривні
розв’язки рівнянь динамічної теорії пружності для дефектів сферичної, конічної
та циліндричної форми. Запропоновано побудову розривного розв’язку рівнянь руху
для міжфазного сферичного дефекта. Викладено побудову матричної функції Гріна
векторної крайової задачі на основі застосування методу матричних інтегральних
перетворень та побудови фундаментальної матриці.
Матеріали розділу опубліковані в працях [48, 50, 67,210, 211, 52].
2.1 Побудова розривного розв’язку рівнянь динамічної теорії пружності для
циліндричного дефекту
Поняття розривного розвґязку рівнянь теорії пружності було запропоновано Г.Я.
Поповим [205]. Їм був даний метод побудови подібних розв’язків і побудовані
розривні розвґязки рівнянь рівноваги для сферичного і конічного дефектів [206
],[213 ].
Метод розривних розвґязків являє собою своєрідну часткову реалізацію методу
потенціалів, пристосовану до ефективного використання інтегральних перетворень
і прив’язуєму щораз до відповідної ортогональної системи координат. Якщо в
загальній схемі методу потенціалів розривний розвґязок будується у вигляді
лінійної комбінації потенціалів простого і подвійного шару ( причому механічним
сенсом шуканих густин зазначених потенціалів іноді не цікавляться), то в методі
розривних розвґязків роль густин виконують стрибки шуканих величин, частина з
яких задаються, точніше, вважаються тимчасово відомими. При цьому частина
стрибків, дійсно, є відомими з постановки задачі. А інша частина віднаходиться
з задоволення умов на дефекті.
Нехай дефектом є півнескінченна тріщина, поверхня якої описується
співвідношеннями
(2.1)
( - циліндрична система координат). Тріщина розташована в необмеженому пружному
середовищі ( ) з модулем зсуву G і коефіцієнтом Пуассона m. Під розривним
розвґязком рівнянь динамічної теорії пружності будемо вважати розвґязок, що
задовольняє цим рівнянням усюди за винятком точок дефекту, при переході через
який переміщення і напруження терплять розриви першого роду з заданими
стрибками. Як показано в [205], у загальному випадку побудову розривного
розвґязку доцільно починати з побудови розривного розвґязку хвильового
рівняння
, (2.2)
де - оператор Лапласа, - швидкість хвиль, - потенціал, що задовольняє нульові
початкові умови
. (2.3)
На поверхні (2.1) шукана функція і її нормальна похідна зазнають розриви
першого роду зі стрибками
,
. (2.4)
Тут штрих позначає похідну за змінною . До рівняння (2.2) послідовно
застосовується інтегральне перетворення Лапласа за часом
(2.5)
з формулою обернення
і скінченне перетворення Фур'є за змінною
(2.6)
з формулою обернення
Також, за класичною схемою застосовуємо інтегральне перетворення Фур'є за
змінною
(2.7)
з формулою обернення
Рівняння (2.2) після застосування інтегральних перетворень (2.5)-(2.7) набуває
у просторі трансформант вигляд
, (2.8)
де .
Потім за узагальненою схемою інтегральних перетворень [205] застосуємо
інтегральне перетворення Ганкеля за радіальною координатою
(2.9)
з формулою обернення
.
У просторі трансформант Ганкеля одержимо:
. (2.10)
До співвідношення (2.10) застосуємо обернене перетворення Ганкеля
, (2.11)
де
. (2.12)
Інтеграл, що входить у вираз (2.12), є табличним [93]
. (2.13)
Застосуємо обернене перетворення Фур'є за змінною , з огляду на те, що
Шуканий розривний розвґязок набуває вигляд
. (2.14)
До виразу (2.14) застосуємо обернене перетворення Фур'є за змінною , з огляду
на те, що
Одержимо співвідношення
. (2.15)
Для спрощення виразу (2.15) використовуємо теорему додавання для циліндричних
функцій [30]
, де
, - функція Макдональда.
Таким чином, розривний розвґязок рівняння (2.2) у просторі трансформант Лапласа
прийме вигляд
. (2.16)
Застосування оберненого перетворення Лапласа до виразу (2.16) закінчить
побудову розривного розвґязка рівняння (2.2).
Нестаціонарні переміщення пружного середовища визначаються рівняннями руху
, (2.17)
де вектор переміщень . Потрібно побудувати розвґязок рівняння (2.17), що
забезпечить на поверхні (2.1) наявність у переміщень і напружень розривів зі
стрибками , , , , , . Початкові умови будемо вважати нульовими
У випадку ненульових початкових умов, у наступному з'являться додаткові
доданки, що принципово не змінює схему розв’язання.
Відомі формули, що зв'язують компоненти вектора переміщень і тензора напружень
з потенціалами швидкостей поздовжніх і поперечних хвиль [103]. У просторі
трансформант Лапласа ці формули мають вигляд
, , (2.18)
, (2.19)
(2.20)
. (2.21)
Надалі , , , , і задовольняють рівняння
, , , (2.22)
де
, .
Застосуємо до (2.18) інтегральне перетворення Лапласа за часом (2.5) і
перетворення Фур'є (2.6), (2.7)
, (2.23)
,
. (2.24)
У співвідношеннях (2.23), (2.24) перейдемо до стрибків, а потім виразимо
стрибки хвильових функцій і їхніх похідних через стрибки переміщень і
напружень. Переходячи до стрибків, одержимо систему рівнянь
, (2.25)
(2.26)
. (2.27)
Зі співвідношення (2.25) виразимо стрибки