РАЗДЕЛ 2
ДОСТОВЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ
РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ (СИНТЕЗ И АНАЛИЗ)
Показана возможность использования метода Монте-Карло для повышения
достоверности оценивания погрешности и неопределенности измерений при
ограниченном объеме экспериментальных данных и произвольных заданных законах
распределения составляющих неопределенности с учетом корреляции между входными
величинами. Получены зависимости коэффициента Стьюдента и достоверной оценки
результата измерения, обеспечивающей минимальное значение доверительных границ
случайной погрешности, от эксцесса распределения. Получены композиции законов
распределения Стьюдента для коррелированных и некоррелированных результатов
наблюдений. Найдены достоверные оценки числа степеней свободы этой композиции и
коэффициента охвата при нахождении расширенной неопределенности.
2.1. Численный метод получения достоверных интервальных оценок неопределенности
типа А при ограниченном числе наблюдений
Методы оценивания неопределенности по типу А [24], как и методы оценивания
параметров случайной погрешности результатов многократных измерений [3],
опираются на оценки и критерии, полученные в предположении о нормальном законе
распределения генеральной совокупности результатов отдельных наблюдений.
Однако, как показали исследования [4], закон распределения наблюдаемой
изменчивости результатов повторных измерений часто отличается от нормального. В
этих случаях применение классических оценок и критериев из-за их
недостоверности и неэффективности приводит к возникновению смещения и
увеличению дисперсии получаемых результатов.
Исследования показали, что универсальным методом для получения достоверных и
эффективных статистических оценок и критериев в процессе обработки результатов
измерений с многократными наблюдениями, подчиняющихся произвольному закону
распределения, является метод Монте-Карло [101-103]. Для построения зависимости
получаемых характеристик от вида закона распределения (с целью создания
алгоритмов достоверной и эффективной статистической обработки результатов
измерительного эксперимента) последний целесообразно характеризовать числовым
параметром, в качестве которого был выбран эксцесс распределения.
Основой для получения интервальных статистических оценок точности результатов
измерений является известное выражение для параметра [104]:
, (2.1)
статистика которого для нормального закона распределения результатов наблюдений
описывается распределением Стьюдента.
Численный метод, позволяющий оценить доверительные границы случайной
погрешности среднего арифметического при статистической обработке результатов
наблюдений, распределенных по произвольному закону, заключается в выполнении
следующих операций [106].
1. Генерирование случайных чисел , распределенных по заданному закону с
параметрами и .
2. Вычисление значения среднего арифметического , оценки его СКО по известным
формулам (см., например, табл. 1.4) и расчет значения первой реализации
параметра .
3. Последовательное вычисление “генеральной совокупности” () реализаций
параметра .
4. Определение оценки искомого коэффициента для заданного числа степеней
свободы и уровня доверия как интерквантильного интервала параметра по
упорядоченной генеральной совокупности его реализаций по формуле
. (2.2)
Так, для и квантили параметра оцениваются для 97500 и 2500 члена упорядоченного
ряда.
5. Повторение перечисленных операций (50-100 раз) для уточнения оценки искомого
коэффициента в виде среднего арифметического и оценивания стандартного
отклонения полученной оценки .
Результаты расчета значений коэффициента для приведены на рис. 2.1 и в таблицах
А.1 и А.2 приложения А [106]. Для 50 повторений относительная неопределенность
среднего арифметического не превысила 0,45 % для объема выборки 6·105.
Рис. 2.1. Зависимость коэффициента для от эксцесса распределения Е
Методом наименьших квадратов была проведена аппроксимация полученной
зависимости выражением
, (2.3)
где , а зависимость (рис. 2.2) аппроксимируется выражением
(2.4)
в диапазоне эксцессов от -1,5 до +3. Погрешность аппроксимации не превышает - 6
% для закона арксинус, - 1,5 % для равномерного закона, 0,45 % для треугольного
закона, 0,13 % для нормального закона и 0,5 % для двойного экспоненциального
(закона Лапласа) для =6 и существенно уменьшается с увеличением . Из рис. 2.1
видно, что различия между значениями коэффициентов наиболее сильно сказываются
при малом . При для оценивания границ случайной погрешности можно пользоваться
коэффициентами Стьюдента для всех распределений с погрешностью, не превышающей
10 %.
Рис. 2.2. Зависимость
Применение вместо рассчитанных коэффициентов коэффициентов из распределения
Стьюдента может привести к погрешности оценивания доверительных границ
случайной погрешности (при =2) до -59 % для закона распределения арксинус, -27
% для равномерного закона, -8 % для треугольного закона и 16 % для двойного
экспоненциального.
Более точная аппроксимация зависимости в диапазоне получена для конкретного
значения эксцесса распределения генеральной совокупности:
- для закона арксинуса
- для равномерного закона
- для треугольного закона
- для закона Лапласа
Погрешность аппроксимации не превышает 3 % для закона арксинуса и при =4 и
убывает для остальных законов и с ростом .
2.2. Метод получения достоверной оценки результата измерения с учетом закона
распределения результатов наблюдений
При выполнении многократных измерений за результат измерения обычно принимают
их среднее арифметическое . Однако такая оценка эффективна только для
нормального закона распределения
- Київ+380960830922