РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ інтерполяціЇ ТА
СПЛАЙН-АПРОКСИМАЦІЇ ЧАСОВИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ
Однією з основних вимог, що пред’являються до систем УПР, є забезпечення
високого рівня безпеки і регулярності польотів. В процесі УПР часто потрібно
вирішувати задачу ідентифікації доплерівських радіолокаційних сигналів,
відбитих від цілі (повітряного чи морського судна) та прогнозування траєкторії
руху об’єкта з метою знаходження їх місця положення в наступні після відліків
моменту часу шляхом екстраполяції. З застосуванням АС УПР ця задача вирішується
за допомогою ЕОМ. Для прогнозування параметрів широко використовуються лінійні
функції, хоча опис прийнятих сигналів, як і траєкторії руху судна, описуються в
основному більш складними функціями, при цьому можна лише умовно приймати її з
кінцевою, притому невеликою, гладкістю. Розповсюдження лінійного прогнозу
пояснюється простотою математичних перетворень і не зовсім відповідає вимогам
адекватності реальним процесам. Тому актуальною задачею є розробка більш
інформативного нелінійного прогнозу з найвищим ступенем адекватності реальному
процесу, хоча математичний апарат цього процесу розроблений недостатньо. Пошук
видів зв’язку між двома або декількома змінними виконується за допомогою
математичних методів обробки результатів спостережень [4, 5, 70, 86, 96, 187].
Вимірювання величин дає набір значень , що представляють собою об’єднання
істинних значень вимірюваних величин і похибок вимірювань, які не можна точно
визначити на початку спостережень унаслідок присутності великої кількості
факторів що впливають.
Навіть ретельно підготовлений експеримент не дозволяє виділити досліджуваний
фактор у чистому вигляді. Отже, кожне спостереження дає лише результат
імовірнісно-стохастичної взаємодії основного досліджуваного фактора з
численними сторонніми.
За результатами спостережень визначаються параметри функції, обраної як модель
для опису досліджуваних функціональних зв'язків між досліджуваними змінними і,
при необхідності, для вирішення задачі прогнозу.
2.1. Теоретичні основи інтерполяції
В інженерній практиці доволі часто трапляються ситуації, коли по ліченій
кількості числових даних (експериментальних чи розрахованих) потрібно визначити
характер функціональної залежності, яку вони представляють і обчислювати
значення цієї залежності при довільному аргументові [112, 116]. Подібну
ситуацію маємо і тоді, коли аналітична залежність є складного характеру і
обчислювальні затрати не дозволяють оперативно визначати значення функції при
довільному аргументові. В цьому випадку виникає необхідність в заміні складної
залежності більш простою, яка б однак передавала характер складної з прийнятною
для практичних цілей точністю.
Отже потрібна аналітична функція, яка співпадала б з експериментальними
даними. Можна вибрати довільну гладку функцію, поведінка якої лінійно залежить
від обмеженої множини параметрів і знайти такі значення параметрів при котрих
функція пройде через задані нами точки. Очевидно кількість таких параметрів
повинна дорівнювати числу точок. В цьому випадку отримаємо однозначне
розв'язання системи лінійних рівнянь при визначенні параметрів.
Звичайно, можна запропонувати і більш складні способи визначення аналітичних
функцій, що проходять через задані точки (наприклад з нелінійною залежністю від
параметрів). Однак навіть у лінійному випадку (що відрізняється простотою
знаходження значень параметрів) залишається відкритим цілий ряд питань:
- яку вибрати функцію з практично нескінченої множини;
- як буде поводитись вибрана функція між заданими точками;
- як точно вибрана функція відповідає залежності, що представлена точками;
- скільки потрібно мати точок і як вони повинні розміщуватись щоб для вибраної
функції досягти заданої точності наближення.
Для вияснення цих питань звернемось до математичної теорії. Розглянуті задачі
та питання відносяться до теорії наближень [86, 112, 113, 115].
2.1.1. Наближення поліномом Тейлора
Вираз для алгебраїчного полінома, що визначається через значення похідних при
аргументі рівному .
, (2.1)
або інакше
. (2.2)
Отриманий поліном називають поліномом Тейлора. Він наближає довільну функцію ,
яка n-раз диференційована в точці . Функція, яку наближають може бути не
алгебраїчним поліномом i співпадатиме з поліномом Тейлора тільки в точці .
Розглянемо як різнитимуться ці функції в навколо точки .
Запишемо
, (2.3)
де залишковий член.
Вираз (2.3) називають формулою Тейлора для функції з центром в точці і
залишковим членом .
Оскільки , то .
Послідовно інтегруючи останній по отримаємо вираз:
, (2.4)
який називають залишковим членом в формі Лагранжа.
Оскільки похідна неперервна в довколі точки , то вона обмежена. Отже
, (2.5)
де .
Останній вираз характеризує похибку наближення функції поліномом Тейлора, яка є
. Більш строго вираз (2.5) отримують використовуючи теореми Коші та Лагранжа.
Відповідно цьому нев’язки при мають один знак, а при знак змінюється внаслідок
зміни степені при .
В обох випадках зростання порядку інтерполяції зменшує нев’язку наближення.
Однак наближення поліномом Тейлора є дуже нерівномірним (нев’язка різко зростає
з віддаленням від точки ). Це обмежує практичне застосування навіть у випадках,
коли похідні відомі, чи легко визначаються. Тому для інтерполяції зручніше
користуватися поліномами Лагранжа та Ньютона.
2.1.2. Інтерполяційний поліном Лагранжа
Поліном -ї степені, що відповідає умові , де точки - вузли інтерполяції, -
інтерполяційний поліном Лагранжа:
, (2.6)
де
(2.7)
- лагранжеві коефіц
- Київ+380960830922