РАЗДЕЛ 2
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЛЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ЭЛЕКТРОПРОВОДНЫХ СОПРЯЖЕННЫХ ПОДВИЖНЫХ И НЕПОДВИЖНЫХ ТЕЛ
2.1. К вопросу построения математических моделей электротермо-механических процессов
Уравнения нелинейной механики деформируемых тел составляют основу расчетно-теоретических исследований при проектировании современных технико-технологических систем и процессов [52, 485, 92, 209, 216, 263, 297, 298, 366, 124, 300-302, 189, 180, 175, 166, 268, 3, 205, 182], где наряду с качественным и количественным анализом требуется получение конкретных рекомендаций по достижению рациональных конструктивно-технологических параметров. В этой связи возникает необходимость раасматривать большое число взаимообусловленных явлений различной физической природы, учитывать изменяющуюся геометрию, корректно описывать свойства изучаемых сред и т.д., что существенно усложняет математическую модель и затрудняет ее анализ. Особое значение здесь приобретает разработка эффективных численных методов, алгоритмов и программных реализаций, которые обеспечили бы получение необходимых результатов на основе вычислительных экспериментов.
Уравнения механики сплошных сред можно разделить на три основные группы: 1) кинематические, 2) динамические (законы сохранения), 3) опреде-ляющие (уравнения состояния).
2.2.Описание движения сплошной деформируемой среды
Рассмотрим движущуюся сплошную деформируемую неоднородную среду тела, которая в произвольный момент времени занимает в пространстве произвольную область с известной текущей конфигурацией .
Введем понятия "точка" и "частица", означающие соответственно материальную точку и небольшую часть материального континуума области тела с конфигурацией . Считаем, что вектор линейных и угловых скоростей движения частиц сплошной деформируемой неоднородной среды области в каждый момент времени известен.
Для описания кинематических характеристик движения частиц сплошной среды тела, сопровождающихся их деформацией, будем использовать различные координатные системы (рис.2.1):
а) неподвижную систему декартовых координат , относительно которой движение точек сплошной среды характеризуется большими величинами перемещений и скоростей;
б) подвижную систему декартовых координат с базисными векторами , пространственное положение которой связано с движущимся телом и изменяется во времени относительно неподвижной системы ;
в) конвективную систему координат с базисными векторами , которая "вморожена" в тело, деформируется вместе с ним и определяет материальные координаты частиц тела, не изменяющиеся в процессе движения;
г) сопутствующую недеформируемую систему декартовых координат с базисными векторами , жестко связанную с конкретными частицами тела.
Полагаем, что в начальный момент времени движения частиц среды пространственное положение полюсов подвижной, конвективной и сопутствующей координатных систем совпадают с базисом .
Каждой материальной частице сплошной среды с конфигурацией поставим в соответствие непрерывную и требуемое число раз дифференцируемую вектор-функцию
, (2.1)
где -компоненты вектора в базисе ; -материальные координаты произвольной частицы М.
Движение частиц среды относительно конфигурации в системе координат может быть определено множеством радиусов-векторов
Рис.2.1.Неподвижное пространство, определяемое в системе координат начальную конфигурацию частиц тела и подвижные пространства, определяемые в связанной системе координат отсчетную конфигурацию и соответственно в координатном базисе текущую конфигурацию
(2.2)
характеризующих их положение в любой момент времени . Данный подход соответствует лагранжеву способу описания движения среды [363, 379]. Здесь каждой точке среды до деформации соответствует одна и только одна точка после деформации. Внутри любой замкнутой поверхности текущей конфигурации двищущейся среды, трансформирующейся вместе со средой, содержатся все время одни и те же материальные частицы с неизменными координатами. Так как положение частиц меняется, то и конвективная система координат меняет пространственное положение во времени, как бы сопровождая движение среды.
Требование однозначности отображений (2.1) и (2.2) предполагает разрешимость системы уравнений
(2.3)
относительно . Необходимым и достаточным условием для этого является необращение в нуль якобианов
, (2.4)
в области определения . По известному свойству якобианов их отношение равно
(2.5)
т.е. определяется отношением элементарного объема в текущей конфигурации к соответствующему объему в отсчетной конфигурации .
Вследствие однозначной разрешимости системы уравнений (2.3) движение точек тела может быть описано соотношением
, (2.6)
что соответствует эйлерову подходу [121]. Пространственные декартовые координаты в (2.6) характеризуют точку пространства, через которую в момент времени проходят материальные частицы.
Будем считать, что в начальный момент времени частицы сплошной недеформированной среды тела неподвижны, а их отсчетная конфигурация совпадает с начальной , т.е.
. (2.7)
Для произвольного момента времени движение частиц деформируемой среды относительно неподвижной системы декартовых координат характеризуется большими величинами перемещений и скоростей. С целью упрощения анализа относительного движения частиц деформируемой среды введем ряд гипотез.
Полагаем, что на отрезке времени предшествующему осуществляется движение частиц недеформированной среды. Линейные и угловые скорости частиц определены векторами
, (2.8)
. (2.9)
За текущий малый период времени в интервале значений от до движения частиц среды представим суперпозицией конечных смещений движущейся недеформируемой среды, а также ее перемещений, обусловленных деформацией.
Описание движения частиц среды осуществляем с применением различных координатных систем описанных в