Термомеханіка пружно-пластичних термочутливих феромагнітних електропровідних тіл обертання за дії квазіусталених електромагнітних полів

РОЗДІЛ 2
Математична модель
У даному розділі сформульовано орієнтований на використання числових ме­тодів
варіант математичної моделі кількісного опису термомеханічних процесів в
термочутливих пружно-пластичних твердих деформівних тілах з різними
електро­провідністю й здатністю до намагнічування та поляризації за дії
зовнішнього щодо тіла квазіусталеного електро­магнітного поля. Приведено
вихідні співвідношення для дослідження процесів електропровідності,
теплопровідності та деформування у їх взаємозв’язку. ЕМП окреслює система
рівнянь Максвела, які сформульовані для області тіла й зовнішнього середовища,
температурне поле – рівняння тепло­провідності, а напружений стан тіла –
співвідношення неізотермічного термо­пружно-пластичного течіння з
ізотропно-кінематичним зміцненням. При цьому величини параметрів
електромагнітної дії, переміщення і деформації, а також їх швидкості в тілі
приймаються такими, що виконуються лінійні залежності між деформаціями та
переміщеннями, і впливом рухомості середовища на характерис­тики ЕМП можна
знехтувати. За при­пущення, що частота зовнішнього ЕМП перебуває поза околом
резонансної, процес деформування розглядаємо у квазі­статичному наближенні.
Електромеханічні, термоелектричні, магнітострикційні ефекти вважаємо
несуттєвими. Вплив зовнішнього ЕМП на процеси теплопереносу і деформування
враховуємо через тепловиділення і об’ємні (пондеромоторні) сили. Залежність
індукцій магнітного й електричного полів від відповідних напруженос­тей
приймаємо нелінійною, а самі вектори напруженостей та індукцій – паралель­ними.
Усі електро-, теплофізичні і механічні характеристики матеріалу є залежними від
температури.
У такому наближенні задачу про визначення напружено-деформованого стану
електропровідного тіла за умов дії зовнішнього квазіусталеного ЕМП формулюємо
за два етапи. На першому, зі зв’язаних рівнянь Максвела і теплопровідності
знахо­димо параметри, які описують електромагнітне й температурне поля, а також
пон­деромоторні сили як чинники силової дії ЕМП на тіло. На другому етапі
визначаємо напружено-деформований стан тіла з рівнянь неізотермічної
термопружно-пластич­ності, для яких визначені на першому етапі температура і
пондеромоторні сили є вхідними.
Дана математична модель є розвитком відомих з літератури моделей визначення
термопружного стану електропровідних тіл за усталених і квазіусталених
електромагнітних навантажень [65, 237, 381].
Розглянуто тверде електропровідне тіло з неперервною за Ліпшицем поверхнею , в
області якого відсутні сторонні електричні заряди й струми. Тіло перебуває за
умов дії ЕМП, яке збуджує система розподілених у скінченій підоблас­ті
зовнішнього середовища () струмів і зарядів .
Сформулюємо задачу про визначення зумовлених цими впливами електро­магнітного,
температурного й механічного (переміщень, деформацій і напружень) полів у тілі
при конкретних заданих теплових і механічних початкових і крайових умовах.
2.1. Вихідні співвідношення для визначення електромагнітного і температурного
полів
Температурне та електромагнітне поля в системі „електропровідне тіло – зовнішнє
середовище” за зроблених вище припущень описує зв’язана система рівнянь
теплопровідності
(2.1)
і Максвела [117, 237, 263, 281, 473] для області тіла
, (2.2)
, (2.3)
, (2.4)
та зовнішнього середовища
, (2.5)
, (2.6)
, , , (2.7)
де – температура;
– об’ємна теплоємність;
– коефіцієнт теплопровідності;
– потужність наявних джерел тепла, зумовлена протіканням у тілі індукційних
струмів, намагнічуванням і поляризацією;
– вектори напруженостей магнітного та електричного полів;
– магнітна та електрична індукції;
– густина струмів;
– об’ємна густина електричних зарядів;
і – задані функції координат і часу;
– оператор Гамільтона;
– радіус-вектор точки;
(), () означають відповідно операції ротора та дивергенції.
Приведені співвідношення є взаємозв’язаними внаслідок залежності
електрофізичних характеристик матеріалу від температури і наявності джерел у
рівнянні теплопровідності, пов’язаних з протіканням індукційних струмів та
здатністю тіла намагнічуватись та поляризуватись (залежності джерел тепла від
параметрів, які характеризують ЕМП приведені в п. 2.2). Внаслідок цього
параметри, що окреслюють електромагнітне й температурне поля необхідно
визначати сумісно на основі рівнянь (2.1) – (2.7).
Рівняння та , які звичайно записують у системах (2.2) - (2.7), не є незалежними
- їх легко отримати як наслідок приведених співвідношень (2.2) – (2.7) [147,
299]. З приведених рівнянь Максвела випливає також відомий під назвою закону
збереження заряду [65] зв’язок між об’ємною густиною електричного заряду й
густиною струму
. (2.8)
Отже, зовнішні струми і заряди, які є джерелами ЕМП у системі тіло – зовні­шнє
середовище, пов’язані співвідношенням (2.8) і не можуть бути довільними.
За­значимо, що це співвідношення за необхідності можна використати як третє
незале­жне рівняння в системі рівнянь Максвела замість .
Сформулюємо початкові й граничні умови для параметрів, які характеризують ЕМП,
та температури.
Приймемо, що у початковий момент часу ЕМП у тілі й середовищі від­сутнє, а
температура у тілі задана й дорівнює . Тоді початковими умовами бу­дуть:
; (2.9)
, , , ; (2.10)
, , . (2.11)
Будемо вважати, що тіло перебуває за умов конвективного теплообміну із
зов­нішнім середовищем, температура якого . У цьому разі теплова гранична умова
на поверхні тіла має вигляд
, , (2.12)
де – вектор одиничної зовнішньої (щодо ) нормалі до поверхні тіла;
– коефіцієнт тепловіддачі.
При встановленні