Содержание
Введение ......................................................... 4
Глава Т Устойчивость вращательного движения....................... 15
§1.1 Система координат и уравнения движения................... 23
§1.2 Статистический анализ мультипликаторов .................. 25
§ 1.3 Положение центра синхронного резонанса
на плоскости сечения фазового пространства............... 28
§ 1.4 Применение метода статистического
анализа мультипликаторов к исследованию
устойчивости синхронного вращения спутников ............. 32
§1.5 Вычисление и анализ максимальных
показателей Ляпунова..................................... 40
§1.0 Исследование устойчивости относительно наклона оси вращения независимо от типа
траектории............................................... 41
§1.7 Выводы................................................... 53
Глава II Бифуркационные режимы синхронного вращения 55
§2.1 Постановка задачи........................................ 56
§2.2 Амплитуда бифуркационных колебаний
спутника................................................. 62
2.2.1 Метод В. В. Белецкого.............................. 62
2.2.2 Метод Г. М. Заславского и др....................... 64
2
2.2.3 Метод Б. В. Чирикова.............................. 66
2.2.4 Сравнение различных методов....................... 66
§2.3 Возможность наблюдения
бифуркационных режимов синхронного
резонанса у естественных спутников планет............... ОТ
§ 2.4 Последовательность бифуркаций удвоения
периода................................................. 76
§2.5 Выводы................................................. ВО
Глава III Моделирование кривых блеска.......................... 82
§3.1 Система координат и уравнения движения................. 91
§3.2 Алгоритм расчета кривых блеска......................... 94
§3.3 Модельные кривые блеска Гипериона...................... 95
§3.4 Выводы.................................................104
Заключение .....................................................106
Литература.....................................................109
3
Введение
По современным данным, у всех планет, кроме Меркурия и Венеры, есть спутники. Спутники планет, по их физическим размерам, можно разделить на дне группы — большие (например, Луна, галилеевы спутники Юпитера) и малые (например, спутники Марса — Фобос и Деймос). Планеты-гиганты имеют множество (по современным данным до трех десятков у Сатурна) малых спутников. Наблюдаемая доля малых спутников (средний радиус менее 300 км) составляет порядка 80%. Большие спутники планет имеют правильную близкую к сферической геометрическую форму. Малые спутники, напротив, имеют ярко выраженную асимметрию формы.
Малые спутники со значительными эксцентриситетами и большими наклонениями орбит называются нерегулярными [51). По современным данным, нерегулярные спутники составляю!1 около 40% малых спутников планет. Недавно были открыты 12 новых нерегулярных спутников Сатурна [38] и 2 нерегулярных спутника Урана [37].
Теоретические исследования Уиздома и др. [56] и Уиздома [57] показали, что спутник несферической формы на эллиптической орбите может вращаться хаотическим, непредсказуемым образом. Этот вывод значительно повысил интерес к изучению вращательной динамики малых спутников планет. Наиболее вероятным кандидатом на хаотическое вращение из-за своей несферической формы и значительного эксцентриситета орбиты является седьмой спутник Сатурна Гиперион [56, 57].
Из теории следует (см., например, [8. 40, 51]), что наиболее вероятной
4
конечной стадией долговременной динамической эволюции спутника является плоское (в плоскости орбиты) вращение в синхронном резонансе с орбитальным движением. При этом ось вращения спутника совпадает с главной центральной осыо инерции спутника, соответствующей максимальному моменту инерции, и ортогональна плоскости орбиты. Действительно, наблюдательные данные указывают на то, что все большие спутники планет вращаются синхронно. Малые спутники планет, вращательное состояние которых установлено, также в большинстве вращаются синхронно. Исключение составляют девятый спутник Сатурна Феба [47), два спутника Юпитера — Гималия, Элара и два новых спутника Урана [50), находящиеся в быстром несинхронном вращении.
В ходе долговременной динамической эволюции спутник проходит через различные резонансные состояния, пока не будет захвачен в одно из них [40]. Возможность нахождения спутника в каком-либо резонансном состоянии напрямую связана с устойчивостью этого резонансного вращения спутника относительно наклона оси вращения [57]. Чтобы спутник в ходе вращательной эволюции мог быть захвачен в плоское резонансное вращение, это вращение должно быть устойчивым. Следовательно, актуальной задачей является исследование устойчивости плоских резонансных вращений и в первую очередь синхронного вращения.
При плоском синхронном вращении на эллиптической орбите ориентация спутника относительно центра масс испытывает вынужденные «экс-центриситетные» колебания [2]. Если значение параметра, характеризующего динамическую асимметрию формы спутника, принадлежит области параметрического резонанса, то вращательное движение спутника испытывает бифуркацию удвоения периода. Возникают «бифуркационные» колебания ориентации спутника с периодом в два раза большим периода обращения спутника по орбите. Эти колебания могут иметь значительную амплитуду, и, следовательно, могут быть относительно легко наблюдаемыми. Представляют интерес теоретические оценки, позволя-
5
ющие определять амплитуду бифуркационных колебаний спутника. Выявление бифуркационного вращательного режима у конкретных спутников позволило бы наложить ограничения на их возможные динамические характеристики. Это указывает на актуальность исследования бифуркационных режимов вращения малых спутников.
Информацию о реальных режимах вращения спутников планет дает сопоставление их наблюдаемых кривых блеска с модельными, то есть рассчитываемыми теоретически при заданных предположениях. Такое сопоставление позволяет определить из наблюдений как характер вращательной динамики спутника и уточнить его инерционные параметры, так и получить информацию об отражательных свойствах его поверхности. Следовательно, важное значение имеет разработка методов моделирования вращательной динамики спутников планет.
Моделирование кривых блеска Гипериона, выполненное Клаветте-ром (46| на основе полученных им наблюдательных данных (45), позволило ему сделать вывод, что вращение Гипериона является, скорее всего, хаотическим. Моделирование, проведенное Блэком и др. [32] на основе данных наблюдений с межпланетной космической станции «Вояджер-2» [54], показало, что скорость вращения Гипериона в четыре раза выше скорости его обращения по орбите. При такой высокой скорости вращение могло бы быть регулярным. Однако Блэк и др. [32] на основании результатов моделирования более склонны считать вращение Гипериона хаотическим. Гиперион является наиболее вероятным кандидатом на хаотическое вращение среди малых спутников с известными динамическими параметрами [56, 57]. Поэтому задача об определении его вращательного состояния путем моделирования кривых блеска является актуальной.
В целом, изучение резонансной вращательной динамики малых спутников планет, особенно в свете недавних открытий большого числа новых спутников [37, 38], является актуальной задачей современной небесной
G
механики.
Цели работы. Ставятся и решаются следующие задачи:
1. Получить данные об устойчивости/неустойчивости плоского вращения малых естественных спутников несферической формы относительно наклона оси вращения в различных резонансных спин-орби-тальных состояниях.
2. Исследовать бифуркационные режимы синхронного вращения. Получить соотношения для оценки амплитуды бифуркационных колебаний ориентации спутника относительно его центра масс. Изучить возможность нахождения реальных малых спутников планет в бифуркационных режимах синхронного вращательного движения.
3. На основе наблюдательных данных, полученных в ГАО РАН, провести детальное моделирование вращательной динамики Гипериоиа — наиболее вероятного кандидата среди спутников планет на хаотическое вращение. Определить вращательное состояние Гипериона (хаотическое либо регулярное) и параметры его фазовой функции.
Научная и практическая значимость работы.
1. Результаты теоретического исследования устойчивости/неустойчивости синхронного и других резонансных состояний относительно наклона оси вращения позволяют наложить ограничения на возможные значения инерционных параметров реальных спутников планет, а также определить резонансные вращательные состояния, в которых спутники могут находиться в ходе долговременной динамической эволюции.
2. Выведенные соотношения для оценки амплитуды бифуркационных колебаний ориентации спутника позволяют прогнозировать возможность наблюдения бифуркационного режима плоского синхронного
7
вращательного движения малых спутников планет. Выявление этого режима у реальных спутников даст возможность наложить ограничения на значения их инерционных параметров.
3. Разработанный алгоритм и программное обеспечение для построения теоретических кривых блеска спутников планет позволяет моделировать наблюдаемые кривые блеска реальных спутников. Посредством моделирования кривых блеска можно изучать вращательную динамику и динамические параметры спутников и отражательные свойства их поверхности.
В настоящем исследовании являются новыми и выносятся на. защиту следующие результаты:
1. Исследована устойчивость вращательного движения несферического спутника в синхронном спин-орбитальном резонансе на эллиптической орбите. Путем вычисления мультипликаторов линеаризованных гамильтоновых уравнений движения, на плоскости инерционных параметров определены границы областей устойчивости и неустойчивости относительно наклона оси вращения. Найдены ограничения на возможные значения инерционных параметров Гипериона. Сделан вывод о неустойчивости вращательного движения Амальтеи относительно наклона оси вращения в одном из двух возможных синхронных резонансов.
2. Путем вычисления максимальных характеристических показателей Ляпунова для случаев Гипериона, Фобоса, Деймоса и Амальтеи проведена классификация траекторий плоского вращательного движения на устойчивые и неустойчивые относительно наклона оси вращения. Найдены основные устойчивые спин-орбитальные состояния.
3. Исследована зависимость амплитуды бифуркационных колебаний спутника в перицентре орбиты от значений эксцентриситета орбиты
и параметра динамической асимметрии. Получены новые теоретические соотношения для вычисления амплитуды бифуркационных колебаний. Сделан вывод о возможности существования бифуркационного режима движения у Фобоса, Деймоса, Эпиметея, Елены и Пандоры, при этом наиболее вероятным кандидатом на нахождение в бифуркационном режиме синхронного вращения является Фобос.
4. Для случая среднего значения эксцентриситета орбиты седьмого спутника Сатурна Гипериона построено бифуркационное дерево и изучены его характеристики. Сделан вывод, что современные данные об инерционных параметрах Гипериона не исключают возможности присутствия бифуркационных мод в истории эволюции его вращательной динамики.
5. Проведено моделирование кривой блеска Гипериона по современным наблюдательным данным. Сделан вывод о хаотическом вращательном состоянии Гипериона, определены значения параметров, характеризующих его геометрическую форму и отражательные свойства его поверхности.
Содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы.
Введение содержит научный обзор по тематике диссертационной работы. Обосновывается актуальность и научная новизна темы диссертации. Приводится краткое содержание диссертационной работы и результаты, выносимые на защиту.
В Главе I «Устойчивость вращательного движения» рассматривается задача об устойчивости/неустойчивости плоского (в плоскости орбиты) вращательного движения малых спутников планет относительно наклона оси вращения.
9
- Київ+380960830922