Содержание
Введение 2
1 Современное состояние исследований.................................... 3
2 Общая характеристика работы........................................... 4
3 Определения и обозначения ............................................ б
4 Основное содержание работы............................................ О
I Глобальная разрешимость задачи Коши для системы, описывающей одномерное течение плазмы 18
1 Постановка задачи ................................................... 18
2 Построение регуляризации............................................. 19
3 Разрешимость в целом регуляризованной задачи......................... 20
4 О существовании функционального решения исходной задачи.......... 34
II Глобальная разрешимость одномерной задачи Коши для системы магнитной газодинамики с общими начальными условиями 41
1 Постановка задачи ................................................... 41
2 Построение регуляризации............................................. 42
3 Разрешимость в целом регуляризованной задачи......................... 43
4 О существовании функционального решения исходной задачи.......... 55
III Глобальная разрешимость задачи Коши для системы магнитной газодинамики в случае локально адиабатического течения 60
1 Постановка задачи ................................................... 60
2 Регуляризованная задача Коши......................................... 61
3 Разрешимость регуляризованной задачи................................. 63
4 О существовании функционального решения исходной задачи.......... 70
Заключение 76
Используемая литература 77
1
Введение
Необходимость исследования проблем движения электропроводящей жидкости, в частности ионизированных газов — плазмы,— возникает при рассмотрении широкого круга задач — от электрического разряда в разреженном газе и распространения электромагнитных волн в ионизированных средах до разнообразных астрофизических проблем [1, 2]. Любой газ, нагретый до температуры порядка 104' К, будет ионизирован. Его свойства при этом будут существенно отличаться от свойств нейтрального газа, поскольку в плазме главную роль играют электромагнитные силы. Взаимодействие электромагнитных и газодинамических сил обуславливает возникновение многих новых явлений (1). Остановимся вкратце на некоторых вопросах построения математических моделей динамики плазмы, которые исследуются в настоящей работе.
Рассматриваемые модели представляют собой задачи для систем дифференциальных уравнений, записанных исходя из макроскопической точки зрения. Динамика плазмы, очевидно, включает в себя как частные случаи обычную газодинамику и обычную электродинамику, поэтому естественно ожидать, что соответствующие уравнения будут очень похожи на уравнения обычной газовой динамики, но будут содержать еще члены взаимодействия, обусловленные электромагнитными силами, а также включать в себя уравнения для электромагнитного поля — уравнения Максвелла — либо их следствия. Действительно, в то время как уравнение неразрывности остается таким же. как з газовой динамике, в уравнении движения необходимо учесть электромагнитные силы, а в уравнении энергии, записанном либо для удельной энергии [1, 2], либо для энтропии (уравнения Лундквиста) [1, 3), нужно учесть джоулево тепло. Остальные уравнения являются следствиями уравнений Максвелла. Система замыкается с добавлением уравнений состояния, отражающих зависимость: давления от энтропии и плотности (удельного объема) в случае уравнений Лундквиста, либо давления и внутренней энергии от температуры и плотности (удельного объема).
В общем случае, чтобы иметь возможность изучать задачи о течениях высокотемпературной плазмы, нельзя пренебрегать полем излучения. Полное решение задач динамики плазмы должно состоять в одновременном исследовании газодинамического поля, электромагнитного поля и поля излучения. Обычно [1, 4] предполагается, что излучение определяется газодинамическими и электромагнитными параметрами. т.е. рассматривается как дополнительный фактор на фоне взаимодействия этих полей. Как результат, учет излучения затрагивает лишь уравнения состояния 1, 4], не меняя структуру дифференциальных уравнений. Тем не менее, исследование задач динамики плазмы с такими общими уравнениями состояния в контексте методологии, используемой в настоящей работе, представляется довольно непростой проблемой, в силу чего мы ограничиваемся уравнениями состояния для идеального газа.
2
Для многих практических задач уравнения динамики плазмы можно упростить таким образом, что задача, по существу, сводится к взаимодействию газодинамических величин и магнитного поля. Строго говоря, такое магнитогазодинамическое приближение будет выполняться при бесконечной электропроводности 1], поскольку тогда в газомагнитной системе не будут образовываться ни объемные заряды, ни сколько-нибудь значительные потенциальные электрические ноля [2]. Таким образом, в основных уравнениях динамики плазмы можно пренебречь током смещения и избыточным электрическим зарядом (1, 2, 3]. Это приближение будет использоваться в некоторых моделях, исследуемых в данной работе.
Изучение пространственных течений представляет большие трудности даже в обычной газодинамике. В динамике плазмы эти трудности еще более усугубляются. Поэтому наряду с пространственными широко исследуются и одномерные течения. Помимо возможного практического применения, одномерные задачи позволяют сравнительно просто изучать некоторые особенности нестационарных течений. При переходе к одномерной динамике плазмы предполагается, что течение плазмы параллельно оси единственной пространственной переменной, и вектор скорости, напряженности магнитного поля и напряженности электрического ноля (если рассматриваемая модель предполагает его учет) взаимно перпендикулярны [5;. Здесь следует упомянуть еще одну особенность, касающуюся изучения одномерных задач электромагнитной газодинамики. Как и в обычной газодинамике, оказывается удобным осуществить переход от эйлеровых координат к лагранжевым (3). Поэтому соответствующие системы уравнений будут записаны в лагранжевых массовых координатах [2, 5').
Завершая этот краткий обзор некоторых аспектов моделирования задач динамики плазмы, отметим, что мы будем иметь дело лишь с невязкой нетеплопроводной плазмой. В результате все системы дифференциальных уравнений, исследуемые в настоящей работе, не содержат диссипативных членов и либо имеют форму систем законов сохранения, либо легко к ней приводятся. Все сказанное делает возможным с одной стороны широко использовать аналогии с обычной газодинамикой и, как следствие. наработки в этой области, а с другой — современные теории исследования систем законов сохранения.
§1 Современное состояние исследований
Круг математических моделей, представляющих собой системы законов сохранения, разумеется, не ограничивается лишь обычной и (электро)магнитной газодинамикой. В силу того, что законы сохранения отражают фундаментальные соотношения баланса массы, импульса, энергии и пр., большая часть как моделей механики сплошных сред, так и моделей физической кинетики имеют форму систем законов сохранения, дополненных некоторыми условиями.
Значительную часть исследований подобных задач составляют вопросы корректности. Однако при обосновании разрешимости в целом нередко возникают проблемы, поскольку решение эволюционных задач за конечное время может покидать область определения. С целью преодолеть эти трудности в свое время класс решений был расширен до обобщенных в смысле С.Л.Соболева, а затем до мернозначньгх реше-
3
ний и решений в среднем. Однако и эти классы оказались стеснительными уже для некоторых задач газовой динамики, а также и для задач физической кинетики, допускающих разрывные в естественных пространствах операторы потока и источника [6].
Помимо корректности, особое место в исследованиях систем законов сохранения занимают вопросы обоснования предельного перехода по малым параметрам приближенных методов. Заметный прогресс в этом направлении был обеспечен с появлением работ В.Л.Галкина по теории функциональных решений [6, 7. 8], давшей возможность не только эффективно обосновывать сходимость приближенных методов, но и развить общие подходы к обоснованию разрешимости в целом задачи Коши для систем законов сохранения.
Из приложений к задачам физической кинетики можно указать, например, работы [9] по моделированию процесса коагуляции и [10], в которой изучаются модели роста кристаллов. В последней работе помимо кинетических уравнений рассмотрена и макроскопическая модель.
Приложения теории функциональных решений к задачам механики сплошных сред были развиты в работах В.А.Тупчиева [11]—[20]. А именно, в [11, 12] обосновывается сходимость приближенных методов, включая разностные схемы, к функциональному решению задачи Коши для одномерной изэнтропической системы газовой динамики. В работах [13, 14] рассмотрен вопрос о глобальной разрешимости задач для одномерной системы газовой динамики общего вида. Аналогичная проблема в пространственном случае рассмотрена в [15], а для системы нелинейной упругости — в [16]. Выделим особо результат, иллюстрирующий необходимость расширения классов обобщенных решений до функциональных на примере задачи о распаде разрыва для одномерной изэнтропической системы газовой динамики '17' , а также работу [18], в которой теория функциональных решений была впервые применена к задаче динамики ионизированного газа. Основные положения и теоретические аспекты методов, используемых в указанных выше работах, взаимосвязь функциональных решений и других классов обобщенных решений детально изложены в [19, 20].
Теория функциональных решений является гибким инструментом исследования систем законов сохранения, но до настоящего времени в ее рамках остаются нерешенными вопросы .'эффективного построения классов корректности и обоснования теорем единственности. Определенные трудности возникают также при решении проблем перехода от функциональных решений к более узким классам решений, что требует обоснования теорем типа “вложения”. Вероятно, некоторые из указанных проблем удастся решить, развивая математический аппарат в конкретных приложениях теории функциональных решений.
§2 Общая характеристика работы
Цель диссертационной работы. Основная цель состоит в исследовании ряда задач динамики плазмы с точки зрения аспектов корректности, что может служить теоретической базой для строгого обоснования вычислительных методов и, естественным образом определяя ограничения на входные данные, задавать область применения таких методов.
В этом контексте в диссертации изучаются вопросы обоснования глобальной раз-
4
решимости задачи Коши для некоторых систем (электро)магнитной газодинамики в классе функциональных решений, а также дальнейшего сужения функционального пространства решений, если это удается. При этом используются как существующие наработки »области исследования задач обычной и магнитной газовой динамики, так и современные подходы к изучению общих систем законов сохранения.
Научные результаты и новизна работы. В данной диссертационной работе в целях развития математической теории механики плазмы получены следующие новые результаты.
• Построены и обоснованы приближенные методы решения начальных задач для одномерных систем магнитной и электромагнитной газодинамики и пространственной задачи для системы .уравнений Лундквиста.
• Установлены теоремы существования в целом функционального решения указанных задач в широком классе начальных данных, для построенных приближенных методов проведено обоснование сходимости.
• Доказано, что функциональное решение задачи Коши для системы уравнений Лундквиста является функцией из пространства Орлича, вложенного в
Практическая значимость работы. В диссертации на основе работ, в которых исследовались приложения теории функциональных решений к задачам газовой динамики, развиты подходы к изучению задач электромагнитной газодинамики. Полученные результаты позволяют выделить некоторые общие особенности исследования задач для систем законов сохранения, включающих функции источника, а также одномерных задач с начальными условиями, допускающими постановку задачи о распаде разрыва.
Необходимость практического изучения течений ионизированного газа привела к созданию численных алгоритмов, обосновываемых лишь эмпирически, в то время как соответствующие теоремы существования небыли установлены. Результаты диссертационной работы устраняют этот пробел и обеспечивают теоретическую базу для таких алгоритмов.
Для обоснования разрешимости в целом использован метод исчезающей вязкости, при этом система с вязкостью имеет вид первого дифференциального приближения, являющегося инструментом исследования разностных схем. Если имеет место сходимость вязкого решения по соответствующему параметру, то, как правило, сходится но шагам сетки и разностное решение. Этот подход требует- дополнительных исследований, но в силу того, что вопрос обоснования сходимости в слабой топологии разностных схем для задач электромагнитной газодинамики является самостоятельной и емкой проблемой, может оказаться полезен.
Апробация работы, публикации. Результаты предлагаемой работы обсуждались на конференции ’’Проблемные задачи энергетики, техники и кибернетики”, посвященной 100-летию со дня рождения В.Н.Глазанова, Обнинск, 1998 [21]. на международной конференции ’’Математическая физика, моделирование и приближенные методы”, посвященной академику А.Н.Тихонову, Обнинск, 2000 [22], на семинарах
- Київ+380960830922