Введение.
В современной технике наряду с гладкими оболочками широко используются подкрепленные (ребристые) оболочки. В связи с этим актуальными являются разработка новых и совершенствование уже существующих методов расчета тонкостенных конструкций такого типа, подвергающихся воздействию статических и динамических нагрузок. Об этом свидетельствует появление в последнее время монографий, полностью посвященных задачам теории подкрепленных оболочек [7], [3], [28], [52].
Необходимым элементом исследования динамики конструкций является определение частот и форм малых колебаний. При действии на оболочку статических нагрузок ее работоспособность зависит от
, ». А • ‘ -* 1 '
значений максимальных напряжений-и от величин критических нагрузок, при которых происходит потеря устойчивости. Для тонких оболочек во многих случаях определяющим является расчет на устойчивость.
Как задачи определения частот и форм колебаний, так и линейные задачи устойчивости сводятся к краевым задачам на собственные значения для систем дифференциальных уравнений в частных производных.
Точные решения краевых задач теории колебаний и устойчивости подкрепленных оболочек в виде бесконечных тригонометрических рядов удалось получить лишь в немногих исключительных случаях [6] с использованием упрощающих предположений. При решении этих задач применяются приближенные методы расчета: численные вариационные, асимптотические.
Уравнения теории тонких оболочек содержат малый параметр -
безразмерную толщину оболочки. В виду этого обстоятельства асим-
2
птотические методы интегрирования систем дифференциальных уравнений [13], [14], [40], [55] систематически используются для решения разнообразных задач теории тонких оболочек [8], [17], [18], [45].
Малый параметр входит в уравнения теории оболочек в виде множителя при старшей производной. При обращении в нуль малого параметра получается порождающая (укороченная) система уравнений, которая имеет меньший порядок, чем исходная. Системы дифференциальных уравнений такого типа называются сингулярно возмущенными.
При решении краевых задач для сингулярно возмущенных систем уравнений теории оболочек в случае регулярного вырождения [14] удается разделить напряженно - деформированное состояние оболочки на основное и простой краевой эффект. В задачах статики основное состояние обычно является безмоментным. При осесимметричных колебаниях оболочек основное состояние тоже оказывается безмоментным, в остальных рассмотренных в диссертации задачах — полубезмоментным. Функции краевого эффекта вносят существенный вклад в решение только вблизи краев оболочек и линий их сопряжения или подкрепления.
Основное состояние определяется путем решения вырожденной системы уравнений, которая имеет меньший порядок, чем исходная. Вследствие этого основное состояние вообще говоря не удовлетворяет всем граничным условиям. Метод разделения напряженно - деформированного состояния на главное и краевой эффект можно использовать только в том случае, когда удается разделить граничные условия на главные и дополнительные. С помощью главных условий определяется основное состояние, а с помощью дополнительных находится простой краевой эффект. В некоторых случаях для получения главных
3
и дополнительных условий необходимо составлять линейные комбинации исходных граничных условий.
Разделение простых граничных условий заделки, шарнирного края и др. на главные и дополнительные в задачах теории колебаний и устойчивости проведено в [1], [18], [49]. Для гладких оболочек в этих работах получены краевые задачи нулевого приближения. Для сопряженных и подкрепленных оболочек использование метода разделения напряженно - деформированного состояния на главное и краевой эффект осложняется в виду необходимости разделения на главные и дополнительные громоздких граничных условий на линиях сопряжения и подкрепления оболочек.
При обращении в нуль малого параметра получается вырожденная система уравнений, которая имеет меньший порядок, чем исходная. В работе рассматриваются только такие краевые задачи, в которых вырождение является регулярным в смысле Вишека-Люстерника [14]. Регулярное вырождение имеет место, как правило, для нижней части спектра собственных значений, определение которой представляет наибольший интерес для приложений.
В настоящей работе рассматриваются, в основном, подкрепленные шпангоутами оболочки. Теории подкрепленных оболочек посвящено большое число публикаций. Обзоры работ по динамике и устойчивости подкрепленных оболочек содержатся в [6-8], [28]. В отличие от других разделов теории оболочек, численные методы (методы конечных разностей и конечных элементов) применяются в этой области достаточно редко. Наибольшее распространение получили аналитические и вариационные методы [2], [6], [18], [20], [38], [48], [50], [51], [52]. Асимптотические разложения использовались в основном при исследованиижонструктивно-ортотропных оболочек [8], [22], [45].
4
Напряженно - деформированное состояние подкрепленной оболочки можно описать либо с помощью одной системы дифференциальных уравнений, в которой сосредоточенные усилия, действующие на оболочку со стороны подкрепляющих элементов, представляются в виде дельта - функций и их производных [6], [9], либо с помощью нескольких систем уравнений с гладкими коэффициентами и условий сопряжения оболочек и подкреплений [2], [26].
Выбор той или иной постановки задачи связан с выбором метода ее решения. В диссертации, используется задание условий сопряжения.
В задачах динамики и устойчивости подкрепленных оболочек используются два подхода, отличающиеся способом учета ребер. Первый из них основан на замене ребристой оболочки эквивалентной ей гладкой ортотропной (конструктивно-ортотропной) оболочкой [8], [16], [25]. Конструктивно - ортотропная теория позволяет с достаточно высокой точностью находить низшие частоты колебаний и значения критических нагрузок. При другом, более строгом, подходе принимается во внимание дискретное расположение ребер, что особенно важно для правильного определения форм колебаний и форм потери устойчивости [2], [3], [28]. В ряде работ (см., например, [6], [1], [29]) проводится сравнение результатов, полученных с помощью указанных двух подходов.
Определенные трудности при использовании конструктивно -ортотропной теории связаны с определением приведенных параметров конструктивно - ортотропных оболочек. Наиболее естественным, но отнюдь не простым теоретическим методом определения приведенных параметров является вывод уравнений конструктивно - ортотропной теории из уравнений, учитывающих дискретное расположение подкреплений. Ранее такие попытки предпринимались лишь при
5
решении некоторых конкретных задач [48]. Общий подход, связанный с использованием метода осреднения [12], позволяет определить приведенные параметры эквивалентной конструктивно - ортотропной оболочки и найти поправки к решению конструктивно - ортотропной задачи, обусловленные дискретным расположением ребер [1]. Последнее обстоятельство с в и детел ьствует в пользу постановки задач теории ребристых оболочек с учетом дискретного размещения подкрепляющих стержней.
В диссертации исследуются низкочастотные колебания и устойчивость тонких упругих конических и цилиндрических оболочек средней длины, подкрепленных по параллелям тонкими круговыми стержнями (шпангоутами). Оболочки, подкрепленные только продольными ребрами (стрингерами) и перекрестной системой ребер не рассматриваются. Известно, что при ограничении на минимальные частоты, оптимальной по весу является оболочка, усиленная только кольцевыми ребрами [21].
Используется классическая система уравнений теории оболочек [44], основанная на гипотезах Кирхгофа - Лява, точность которой оказывается достаточной для вывода всех полученных в работе приближенных формул. При исследовании подкрепленных оболочек стержни рассматриваются в рамках теории Кирхгофа - Клебша.
Работа состоит из четырех глав. Первая глава является вводной. В ней приводится постановка задач, исследуемых в работе и кратко описывается содержание последующих глав. Во второй главе рассмотрена задача о нахождении наименьшей частоты колебаний и исследована устойчивость гладкой и подкрепленной шпангоутом конических оболочек, близких к цилиндрическим. В третьей главе рассмотрена подкрепленная оболочка вращения с криволинейной образующей, близкая к цилиндрической. Исследованы ее низкочастотные
6
- Київ+380960830922