Введение
Исследования поведения упругих систем под действием динамических на1рузок, а также при ударе и задача о развитии трещин представляют большой интерес. Наряду с использованием при этом численных методов и экспериментальными исследованиями, важным является разработка и апробация новых аналитических методов, основанных на использовании уравнений Лагранжа с множителями.
Проблема соударения упругих тел, как с точки зрения квазиста-тической теории удара, так и с точки зрения динамической теории, достаточно широко рассматривается в литературе. Подробный обзор аналитических методов, применяемых в теории удара, а также обширный спектр решенных задач, содержится в монографии С.А. Зегжды «Соударение упругих тел». [21]. Определить по квазистатической теории то, как протекает соударение шаров во времени, г.е. найти силу соударения как функцию времени, удалось Г. Герцу[10,17,4]. Теория Герца относится не только к случаю соударения шаров, но и к случаю прямого, центрального удара двух тел, ограниченных в окрестности точки контакта поверхностями второго порядка, при этом квази стати чески учитываются только местные деформации. При решении задачи о соударении одномерных или двумерных упругих тел используется не только квазистатическая теория Герца, но и динамическая теория, учитывающая общие деформации тел. Сочетание ква-зистатического подхода к местным деформациям и динамического к общим, позволило получить новые результаты, а также оценить границы применимости обоих методов. Идея одновременного учета местных деформаций и упругих колебаний в соударяющихся телах, предложенная Дж.Сирсом [6], получила широкое распространение. В
2
дальнейшем она была разработана С.П. Тимошенко [35] применительно к поперечному удару шара по балке. В.Л. Бидерман [11] обобщил теорию С.П. Тимошенко на случай удара шара по одномерной или двумерной упругой системе.
При решении задачи об ударе по упругой системе, состоящей из элементов необходимо сначала найти собственные частоты и формы этой системы. Метод их определения, предложенный С.А. Зегждой и М.П. Юшковым, заключается в представлении движения системы в виде рядов но собственным формам элементов системы. Уравнения, выражающие связь между элементами системы рассматриваются как голономные связи. В такой постановке задачи оказывается возможным применение уравнений Лагранжа II рода с множителями. При этом уравнение для определения собственных частот получается из уравнений связей. Метод разработай на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета СПбГУ и опубликован в работах [5,8,24].
Литература, посвященная распространению трещин в упругохрупких материалах, ограничивается анализом условий страгивания трещин или их стационарного распространения. Задача о нестационарном росте трещин изучена значительно хуже, т.к. даже при наиболее простой постановке, когда заданы скорость и направление движения трещины, определение сопутствующего напряженного состояния связано с серьезными математическими трудностями[7,2,25,29,3,1]. Поэтому при исследовании динамических задач механики трещин широко используются упрощенные модели, в частности, так называемая модель «балочного приближения», которая применяется как для изучения условий старта трещин [15] , так и для анализа задач о её распространении [27,28,32]. При этом система с бесконечным числом
степеней свободы моделируется, как правило, системой с одной сте-
3
пеныо свободы. Наиболее последовательный анализ динамических задач механики трещин на основе «балочной» модели был осуществлен в [27,28].
Следует отметить, что задача о динамическом развитии трещины является крайне сложной, т.к. исследуемый объект имеет изменяющийся во времени размер из-за роста трещины. В системах с изменяющимся размером затруднено применение классических методов из-за переменности области интегрирования, которая сама входит в задачу как одно из неизвестных. Методика рассмотрения длины трещины как обобщенной Лагранжевой координаты, а условий отсутствия прогиба и угла поворота в вершине трещины в виде двух голо-номных связей, и запись прогиба берега трещины в виде ряда по балочным функциям свободной балки, позволяет применить уравнения Лагранжа с множителями к анализу динамики такой системы. В предлагаемой методике динамически учитывается заданное число степеней свободы и квазистатически прогиб по высшим формам. При этом введение квазистатического прогиба позволяет исключить неизвестные реакции связей из полученных уравнений Лагранжа, что является принципиальным при решении подобных задач.
Цель работы заключается в демонстрации эффективности использования уравнений Лагранжа при решении динамических задачи о соударении упругих тел, а также в разработке методики применения уравнений к динамике систем переменного состава, в частности, к динамике развития трещины.
Основные результаты, выносимые на защиту:
• Рассмотрено применение уравнений Лагранжа с множителями для нахождения собственных частот и собственных форм систем, состоящих из произвольного количества одномерных и двумерных тел.
4
• Решена задача об определении собственных частот и собственных форм кольца с массой. Исследован процесс соударения кольца с массой об упругое полупространство. Учтены повторные удары.
• Определены условия, при которых уравнения Лагранжа могут быть применены к системам переменного состава.
• Построена балочная динамическая модель развития трещины внутри бруса.
• Показано, что квазистатический учет высших собственных форм, позволяет голономную связь заменить упругой связью.
• Решена задача о развитии трещины при ударном внедрении клина в тонкий брус.
• Исследован процесс расклинивания тонкого бруса под действием импульса давления приложенного к берегам трещины.
В работе использованы и уточнены современные аналитические методы, разработанные на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета СГ16ГУ. Для всех задач получены системы дифференциальных или ингшральных уравнений, с последующим решением их на ЭВМ. Компьютер использовался также для особо сложных аналитических вычислений.
В первой главе приводится методика расчета собственных форм и собственных частот путем разложения в ряд по собственным формам исходных элементов. Дается сравнительный анализ данного метода с классическим методом математической физики на примере кольца с массой. Обсуждается методика совместного учета локальных деформаций по теории Герца и общих деформаций по теории Кирх-гофа-Лява. Решается задача о соударении кольца с массой по упругому полупространству. Рассматриваются особенности численного ре-
5
шения уравнений с неудерживающими связями. Показан механизм возникновения повторных ударов. Приведены результаты расчета силы соударения и коэффициента восстановления с учетом повторных ударов.
Во второй главе обосновывается возможность применения уравнений Лагранжа II рода к механическим системам переменного состава. Длина трещины рассматривается как обобщенная Лагранжева координата. Приведено решение задачи о развитии внутренней трещины в балочной модели. Решена задача о развитии трещины при ударном внедрении клина. Применена методика квазистатического учета высших форм и замены голономной связи между клином и трещиной упругой связью. Выполнены численные расчеты для указанных задач.
В третьей главе приводится решение задачи о расклинивании трещины иод действием импульса давления приложенного к берегам трещины. Обсуждается необходимость рассмотрения берега трещины как свободной балки с двумя наложенными связями. Применен квази-статический учет высших форм. Получено соотношение между прогибом по высшим формам и реакциями связей, что позволило исключить реакции связей и ввести потенциальную энергию, учитывающую деформацию по высшим формам. Полущено динамическое условие начала расклинивания и показана его корреляция со статическим условием. Выполнены численные расчеты, найдено критическое значение величины максимального давления.
6
Глава 1 - Соударение упругих тел состоящих из элементов.
§1. Применение уравнений Лагранжа с множителями при расчете собственных частот и форм упругих тел состоящих из элементов.
01. Определение собственных частот и форм систем состоящих из упругих тел.
При расчете собственных частот и форм упругих тел, состоящих из элементов, применялась методика расчета путем разложения в ряд по собственным формам исходных элементов. Суть метода заключается в представлении собственных колебаний системы в целом в виде рядов по собственным формам исходных тел. Уравнения, выражающие связь между элементами системы рассматриваются как го-лономные связи. Применение уравнений Лагранжа второго рода с множителями позволяет из уравнений связей получить частотное уравнение. Этот метод можно использовать для исследования упругих систем с произвольным числом тех элементов, для которых известны собственные частоты и формы колебаний элементов. Отметим, что метод применим к системам составленным из одномерных и двумерных тел, таких как балки, кольца, пластины, т.е. тел, перемещение которых в точках приложения сосредоточенных сил имеет конечную величину. В работах С.А. Зепкды и М.П. Юшкова [07, 24] принципиальные аспекты данного метода показаны на примерах решения конкретных задач. Здесь этот метод излагается в общем виде.
Представим колебания п-ого тела в виде ряда по его собственным формам Хпр:
со
(1.1)
7
- Київ+380960830922