СОДЕРЖАНИЕ
Введение 4
Глава 1. Основные соотношения теории больших упругопластических деформаций.......................................................... ^
1.1. Обратимые и необратимые деформации и уравнения их
19
переноса ................................................
1.2. Зависимость напряжений от деформаций в процессах уп-
1.3. Законы пластического течения............................. 33
1.4. Конкретизация модели..................................... 36
Глава 2. Продавливание упруговязкоиластичсского материала между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями.................................................................. 44
2.1. Постановка задачи. Начальное упругое равновесие.......... 44
2.2. Деформирование при одностороннем пластическом
48
течении.................................................
2.3. Расчет процесса нродавливания............................ 54
2.4. Течение при постоянном перепаде давления................. 60
2.5. Разгрузка среды.......................................... 65
Глава 3. Вязкопластическое течение: развитие, торможение, остановка и полная разгрузка.................................................. ^
3.1. Прямолинейное осесимметричное вязкопластическое течение упруговязкопластического материала между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями................... 72
3.2. Прямолинейное осесимметричное вязкопластическое течение упруговязкоиластического материала, ослабленного слоем более податливого материала............................. 85
2
Заключение Список литературы
Введение
При моделировании вязкопластических течений материалов используется, главным образом, представление Шведова - Бингама [4, 29, 42, 99, 109, 119]. Считается, что течение в точках тела возникает лишь в случае, когда напряженное состояние в них достигает поверхности нагружения, а до этого их окрестность не деформируется. Таким способом все тело в условиях нагружения разбивается на области, где либо материал не деформируется и покоится (застойные зоны), либо не деформируется, но движется (жесткие ядра), либо интенсивно деформируется (течет). При этом границы этих областей продвигаются по материалу деформируемого тела, вовлекая в движение новые частицы среды при развитии, или, останавливая их при торможении течения. Построенная на основе подхода Шведова - Бингама теория оказывается существенно нелинейной, а подвижность границ областей течения еще более усложняет необходимый для решения задач данного класса математический аппарат. Тем не менее, современная механика располагает достаточно разработанным для этой цели математическим аппаратом. В этой связи, прежде всего, следует отметить вариационный подход, разработанный П.Г1. Мосоловым и В.Г1. Мясниковым [100, 101]. Интересен и перспективен эвристический метод расчета вязкопластических течений, предложенный A.B. Резу-новым и А.Д. Чернышевым [125]. Такие методы, приспособленные для решения задач вязкопластического течения, в настоящее время можно отнести к первым из ныне широко представленных в научной литературе методов вариационных неравенств. Отметим некоторые точные решения [4, 6, 30, 100, 110, 127, 128], полученные в теории вязкопластических материалов. Такие точные решения можно получить только при существенных ограничениях на геометрию течения, поэтому это, в основном, прямолинейные и вискозимст-рическис течения вязкопластических материалов.
Вязкопластические течения часто связывают с течениями неныотонов-ских жидкостей [4]. Но в рамках данной модели могут рассматриваться и
твердые деформируемые тела, в которых на стадии их пластического течения существенно проявление вязких свойств [38, 43, 56, 60, 61, 72, 74, 75 , 76, 90, 156, 187, 206], могут также рассчитываться на прочность конструкционные элементы [29, 40, 41, 46, 104-107, 110, 154, 155, 196, 207, 209]. Следовательно, модель является достаточно универсальной. Очевидно, что в областях вязкопластического течения деформации необратимы и не могут считаться малыми. Последнее не вызывает дополнительных математических трудностей, так как задача решается в скоростях, что является обычным для жест-копластичсского анализа. По иному складывается ситуация, если предположить, что в областях застойных зон и жестких ядер материал деформируется, но только обратимо (упруго). В этом случае в зоне течения задача решается снова в скоростях, но гам где необратимые деформации отсутствуют или не накапливаются, соответствующую краевую задачу приходится ставить в перемещениях (как в теории упругости). Тогда на упругопластической границе обязаны быть равными не только напряжения и скорости, но и перемещения. Вычисление же перемещений в областях пластического течения может оказаться самостоятельной и не простой задачей [44, 45, 49]. Более того, уровень напряжений и их распределение по областям течений из-за учета упругих свойств материала обязан зависеть от распределения и уровня обратимых деформаций в этих же областях. В случае жесткоиластических тел такие деформации отсутствуют, ио как только учитываются упругие свойства, то и напряженное состояние в материале, главным образом, будет задаваться упругими (обратимыми) деформациями. Все это с неизбежностью приводит к модели больших упругопластических деформаций, в которой при течении среды учитываются ее вязкие свойства. Заметим, что до настоящего времени такой общепризнанной теорией современная механика деформирования не располагает. Отчего сложилась такая ситуация и каков выход из этой ситуации?
Заметим прежде, что поставленная задача учета упругих свойств материала застойных зон и жестких ядер подразумевает изначально использова-
5
нис теории пластического течения, а не деформационной теории пластичности. Уже математическая модель жесткопластического тела является моделью пластического течения. Деформационную теорию пластичности иногда называют теорией упругопластических процессов. Основополагающая заслуга в формулировке основных подходов в построении такой теории принадлежит замечательному русскому механику Алексею Антоновичу Ильюшину [51 - 54] и его ученикам [34, 55, 91, 92, 113]. Эта теория зарекомендовала себя положительно применительно ко многим прикладным расчетным проблемам. Иногда ее называют теорией малых упругопластических процессов, но, несмотря на это, имеются удачные попытки обобщения се на случай конечных необратимых деформаций [34, 97, 98, 113-115, 132, 134, 202, 203]. Особо следует отмстить монографию A.A. Поздесва, II.В. Трусова и Ю.И. Ыяшина [114], которая является итогом объемного цикла исследований, посвященных теории больших необратимых деформаций при малых обратимых. В своей теоретической части в данной монографии обобщается теория упругопласти-ческих процессов A.A. Ильюшина на случай, когда пластические деформации нельзя считать малыми. В рамках такого подхода даются постановки краевых задач тсрмоупругопластичности, обсуждаются методы их решения, представлены расчеты в ряде технологических задач. В основу расчетной методики положен метод 1 алёркина и соответствующие разрешающие конеч-ноэл еменп 1ЫС СООТНОШУ [ИЯ.
Основополагающие принципы построения теории пластического течения содержатся в [8 - 10, 13, 32, 33, 47, 50, 56, 58, 62, 116 - 123, 131, 133, 135-138]. Здесь остановимся, главным образом, на случае, когда деформации, как необратимые, так и обратимые является большими.
Принято считать, что первой публикацией, в которой обсуждается проблема больших упругоиластичсских деформаций является монография Л.И. Седова [129]. Разделение деформаций на необратимую и обратимую составляющие связывалось с представлением вектора перемещений частицы среды в виде суммы обратимого (упругого) и вектора необратимого (пластическо-
го) перемещения. Отсюда суммой упругих и пластических деформаций представлялись полные деформации в теле. Легко показать, что такие представления геометрически несостоятельны. Ыа это было обращено внимание сразу после публикации монографии. Оказалось, что обобщение классических подходов теории идеальных упругопластических сред (тело Прандтля - Рейса) на случай больших деформаций встречает принципиальные трудности. Причем эти трудности возникают уже в кинематике упругопластической среды. Первой и основной из них оказывается само определение упругих и пластических деформаций. Построение математической модели теории течения уп-ругопластичсских материалов требует разделения полных деформаций в каждой точке не составляющие: обратимую или упругую и необратимую, иначе пластическую. Но если полные деформации поддаются опытному измерению, то упругие и пластические деформации экспериментально неизмеримы. Введение их в рассмотрение диктуется только нуждами в построении теории и любое определение для них связано с произволом конструктора модели. Следствием этого является наблюдаемое многообразие в моделях больших упругопластических деформаций и отсутствие общепринятых подходов в моделировании столь сложного механического процесса, каким является процесс интенсивного формоизменения материала при изготовлении изделий из него.
По таким же следствием оказалось то, что до конца 1969 г. не существовало математической модели больших упругопластических деформаций, построенной в рамках теории течения. Однако, конец прошлого века отмстился тем, что редкий выпуск любого из основных журналов по механике обходился без представлений новых подходов в моделировании больших упру-гопластичсских деформаций. Отчего 1969 год является годом начала развития теории? Это оттого, что именно в 1969 году была опубликована статья Е. Ли [177], в которой впервые была построена непротиворечивая кинематика упругопластических материалов. Предложение Е. Ли заключалось в том, чтобы представить градиент полной деформации в виде произведения:
7
Г = = .р
дг0 др дг0 е р Здесь г$, г - радиус-векторы начального и текущего положения точки интенсивно (как обратимо, так и необратимо) деформируемой среды, р -радиус-вектор этой же точки в состоянии полной разгрузки. Гипотеза существования такого состояния, не зависящего от того, результатом какого процесса активного деформирования было достигнуто актуальное (текущее) состояние и, главное, от условий реализации процесса разгрузки, является основополагающей. Приведенное выше соотношение иллюстрирует взаимно однозначное соответствие между точками сплошной среды в ее актуальном состоянии и состоянии, объявляемым в качестве разгрузочного. При этом последнее не уточняется, ведь после снятия внешнего воздействия на интенсивно и необратимо продеформированное тело, в нем остаются как необратимые, так и обратимые деформации, следствием которых являются остаточные напряжения. Только в сравнительно поздней работе Л.Д. Чернышова [140} находим, что в качестве такого разгрузочного состояния следует принять состояние, лишенное внутренних связей при предельном изменении тела. Вопрос о зависимости данного предельного сос тояния от пути разгрузки в пространстве напряжений не обсуждается. Несмотря на имеющиеся противоречия, подход Е. Ли оказал значимое влияние на развитие теории, что было связано с прозрачностью основных допущений, их относительной простотой и соответствием представлениям классической теории, когда деформации остаются малыми. Данный подход использовался в абсолютном большинстве последующих публикаций, посвященных теории пластического течения при больших деформациях [39, 75, 84, 85, 112, 139, 140, 149 — 153, 157, 162, 163, 174, 184 - 193, 200]. Так же как и у Е. Ли, в большинстве таких работ постулируемое разгрузочное состояние определяется с точностью до жёсткого вращения, на котором возможно нарушение принципа индифферентности. Часто не обсуждается, а иногда и нарушается принцип термодинамической
8
допустимости. Оказалось, что непосредственный перенос представлений Е. Ли на случай анизотропии механических свойств деформируемой среды невозможен.
Недостатки в подходе Е. Ли и последователей по разделению полных деформаций на обратимую и необратимую составляющие описал Р. Клифтон [157]. Им было показано, что постулированное разгрузочное состояние необходимо зависит от пути разгрузки в пространстве напряжений, а напряжения в областях, где необратимые деформации накоплены или изменяются, необходимо зависят от уровня таких деформаций и скоростей их изменения. В качестве способа разделения деформаций на составляющие в [157] предложено разложение, отличающееся от разложения Е. Ли порядком сомножителей
;г = _Ё1 = = p .р
*• дг{) дг0др р с'
К недостатку данного разложения следует отнести показанную Р. На-хди [190] невозможность образовать в таком случае тензор необратимых деформаций так, чтобы он не менялся в процессе разірузки. Но данное обстоятельство характерно и для кинематики Е. Ли [170].
Попытку исправить недостатки кинематики, основанной по гипотезе существования единственно возможного разгрузочного состояния, предприняли А. Грин и Р. Нахди [163, 164]. Позднее Р. Нахди [190] было указано, что в кинематике [163], призванной исправить недостатки кинсматки Е. Ли [177 - 179], вводимые тензоры деформаций не определяются однозначно через метрический тензор, что заставляет сомневаться в продуктивности теории, построенной на основе заведомо сомнительного положения. Вводимое же в [190] по примеру Л.И. Седова разделение перемещений на обратимую и необратимую составляющие привело к тому, что следующие при таком разделении тензоры деформаций оказались не инвариантными при жестких вращениях. Таким образом, исправление Р. Нахди привело к другим, не менее нежелательным свойствам модели.
Еще одним недостатком моделей, построенных на основе кинематики Е. Ли, является зависимость напряжений в пластически деформируемых телах от уровня и распределения необратимых деформаций. Конкретизировать посредством опытов такую зависимость не представляется возможным, поэтому практическое использование модели для расчетов интенсивного деформирования проблематично. Заметим здесь, что классическая модель упругопластической среды (тело Прандтля - Рейса) не содержит в себе других постоянных, кроме упругих модулей и предела текучести, и поэтому удобна для практического использования.
Построения теории пластического течения чаще всего использует связь тензора скоростей пластических деформаций с пластическим потенциалом, в качестве которого выступает условие пластичности. Теперь, определив (разделив) обратимые и необратимые деформации, следует указать тензор скоростей изменения необратимых. В классической теории при малых деформациях такой проблемы не возникает. С этой целыо достаточно вычислить полную производную по времени от тензора необратимых деформаций. Когда же деформации большие, то для этой цели следует использовать объективную производную. Но объективная производная по времени не является единственной, их бесконечно много. Наиболее часто используются производные Яумана, Олдройда, Коттера — Ривлина, Трусделла. Таким образом, выбор производной не однозначен и диктуется, по существу, вкусом автора создаваемой теории. 'Гак В. Прагер считал [116 — 118], что для теории пластичности предпочтение следует отдать производной Яумана. Целый ряд авторов [77, 103] отдают предпочтение производной Коттера - Ривлина из-за того, что данное дифференцирование связывает тензор деформаций Альман-си с тензором скоростей деформаций Эйлера. В [4, 78. 124] предлагается использовать иные производные, но, главное, неоднозначность подобного выбора всегда присутствует. Великий Р. Хилл полагал [167, 168], что такой выбор не существенен, то есть может быть произвольным. В более поздних работах [148, 158, 159, 161 и др.] предлагается осуществлять данный выбор,
10
следуя данным специально для этого проведенных опытов. Очевидно, что в таком случае будет отсутствовать полная уверенность, что «наилучшая» производная была использована и что выбранная в результате обработки экспериментов производная не приведет к противоречию с экспериментами для иных видов деформаций.
В работе [75] Кондауров В.И. и в работе [68] Кондауров В.И. и Кукуд-жанов В.Н. обобщают кинематику Е. Ли на случай учета вязких свойств материалов в условиях их пластического течения. Им удается конкретизировать модельные зависимости, изучить закономерности распространения волн напряжений в рамках модели и предложить методы расчетов в нестационарных задачах механики деформирования [76, 81].
Обобщение кинематики Е. Ли на термоупруго пластические среды проводилось в [139, 182 - 183], а в работе [195] на такие же материалы обобщается кинематика А. Грина и Р. Нахди. Несомненно, что имеющиеся в данных подходах отмеченные недостатки не могут быть устранены добавлением еще и температурных и реологических эффектов.
Результаты исследования Киевской школы механиков [84 - 89, 104 — 108] суммированы в монографии В.И. Левитаса [89]. Построенная в отмеченных работах кинематика больших упругопластических деформаций свободна от неточностей предшественников, однако основополагающей гипотезой построений, по существу, остается предложение Е. Ли о существовании разгрузочного состояния. Для выполнения условия независимости обратимых деформаций от необратимых в процессах разгрузки оказались необходимыми дополнительные ограничения. Существенное внимание в [89] уделяется проблеме «выбора» объективной производной по времени от тензоров деформаций. Один из параграфов [89] так и называется: «Постановка и решение задачи выбора объективной производной». Из-за того, что также как и у Е. Ли разделение полных деформаций на обратимую и необратимую составляющие производится алгебраически с использованием предположения о существовании единственного, соответствующего данному актуальному состоянию
П
разгрузочного состояния, проблема «выбора» объективной производной с целью определения тензора скоростей необратимых деформаций возникает с необходимостью. Теория пластического течения строи тся таким образом, что напряжения в среде связываются как раз со скоростями пластических деформаций. Попытка обойти неоднозначность в таком выборе связана в [89] с введением в рассмотрение новой объективной производной, названной В.И. Левитосом R-производной. При помощи данной производной решается задача обобщения определяющих соотношений при исключенных конечных поворотах на общий случай. Таким способом предлагается строить теорию, исключая вращения при деформировании, и затем обобщать ее строго на случай конечных поворотов. В таком случае проблема неоднозначного выбора объективной производной из общетеоретических проблем переносится в задачу конкретизации определяющих соотношений модели на уровне простых нагружений. Известно, что последние задачи являются неполными и, следовательно, предложение В.И. Левигаса позволяет только «спрятать» проблему, а не дать се полное разрешение.
В работах A.A. Рогового с учениками [80, 109, 126] в качестве разгрузочного состояния принимается то же, что и в [140]. Отмечается, что так же, как и в разложении Е. Ли [177 - 179] и многочисленных последователей Е. Ли [75, 140, 189 - 193, 209] разгрузочное состояние может не быть единственным, подчеркивается необоснованность принимаемого условия зануления неупругих конечных поворотов. Для целей уточнения кинематики больших упругопластических деформаций A.A. Роговой предлагает рассматривать процесс накопления деформаций в качестве последовательного наложения малых упругопластических деформаций на конечные. Это позволяет перенести все сложности, связанные с разделением полных деформаций на обратимую и необратимую составляющие, на уровень приращений деформаций. Для последних появляется возможность считать их малыми и в своей сумме составляющими приращение полных деформаций. При этом считается, что упругие деформации не влияют на процесс накопления необратимых дефор-
12
- Київ+380960830922