Содержание
Содержание..............................................................2
Введение................................................................4
Раздел 1. Обзор результатов и методов решения задач механики............7
1.1. Сравнение метода граничных состояний с другими методами механики................................................................7
1.2. Обзор решений задач для анизотропных тел................10
Раздел 2. Обоснование метода 1раничных состояний для анизотропной среды..................................................................15
2.1. Пространство внутренних состояний.............................15
2.2. Пространство граничных состояний..............................17
2.3. Изоморфизм пространств состояний..............................18
Раздел 3. Плоские задачи анизотропной упругости........................19
3.1. Обоснование решения...........................................19
3.1.1. Общее решение............................................19
3.1.2. Формирование базиса пространств..........................21
3.1.3. Скалярные произведения в пространствах состояний.........22
3.1.4. Ортогонализация базисов пространств......................23
3.2. Метод решения основных задач..................................23
3.2.1. Первая основная задача...................................24
3.2.2. Вторая основная задача...................................25
3.2.3. Основная смешанная задача................................25
3.3. Решение задач для односвязной плоской области.................25
3.3.1. Решение первой основной задачи...........................26
3.3.2. Решение второй основной задачи...........................34
3.4. Решение задач для двусвязной плоской области..................37
3.5. Изгиб анизотропных пластинок..................................43
3.5.1. Решение первой основной задачи...........................46
3
3.5.2. Решение второй основной задачи..........................50
3.6. Выводы по разделу............................................51
Раздел 4. Обобщенная задача Сен-Венана................................52
4.1. Постановка задачи............................................52
4.1.1. Общее решение...........................................54
4.1.2. Формирование базисов пространств........................57
4.1.3. Ортогонапизация базисов пространств.....................57
4.2. Метод решения основных задач.................................58
4.3. Решение задач для односвязной трехмерной области.............58
4.4. Выводы по разделу............................................68
Раздел 5. Особенность решения задач для тел с сингулярностями.........69
Заключение............................................................73
Библиографический список..............................................74
Приложение 1..........................................................82
Приложение 2..........................................................95
4
Введение
В современных конструкциях часто используются анизотропные материалы, у которых наблюдается различие в упругих свойствах для разных направлений. Примером таких материалов может служить натуральная древесина и синтетические материалы, применяемые в самолетостроении: дельтадревесина, текстолит, армированные стеклопластики и др. В последние десятилетия большое внимание уделяется созданию новых перспективных композитов, как то радиально-армированных материалов на базе эпоксоидаль-ных связующих и стеклянной арматуры. Анизотропией упругих свойств обладают кристаллы и некоторые горные породы.
Расширение сферы применения и усложнение структуры композитных материалов требуют создания надежных общих методов отыскания напряженно-деформированного состояния анизотропных материалов или развития существующих.
Все разработанные к настоящему времени методы решения задач механики деформируемого твердого тела имеют свои достоинства и недостатки. Метод граничных состояний (МТС) является новым, эффективным, компьютерно-ориентированным методом решения краевых задач уравнений математической физики.
К настоящему времени его применение в механике касалось узкого круга задач: кручение призматических стержней (A.A. Харитоненко), гидродинамика идеальных жидкостей (A.A. Харитоненко), статические задачи теории упругости изотропных тел, как при отсутствии массовых сил (В.В. Пеньков), так и при их наличии (Д.В. Викторов), линейная несвязанная термоупругость (Л.В. Саталкина), задачи линейной теории упругости для неоднородных тел (Л.В. Саталкина). Появились первые результаты в области динамических задач: МТС применен для исследования вынужденных колебаний упругих тел (И.В. Стебенев).
Естественным развитием сферы применения МТС является усложнение свойств среды, в частности, - рассмотрение сред с анизотропными свойствами.
5
Целью настоящей диссертации является развитие метода граничных состояний на класс задач МДТТ для анизотропной упругой среды и построение решений конкретных задач.
Для достижения поставленных целей необходимо:
- сформулировать понятия пространств внутренних и граничных состояний для анизотропного тела;
- обеспечить свойства гильбертова изоморфизма обоих пространств; -сформировать счетные базисы пространств состояний для анизотропной среды на основе общего решения определяющих уравнений;
-провести ортогонализацию базиса внутренних состояний; -сформулировать краевые задачи теории упругости в терминах
МГС;
- разработать вычислительные алгоритмы;
- провести решение конкретных задач.
Практическая ценность заключается в возможности использования нового метода для решения задач анизотропной упругости.
Научная новизна раскрывается следующими положениями:
1) МГС, который является новым «энергетическим» методом механики, применен для решения задач для анизотропных тел;
2) построен новый способ выделения базиса пространства состояний для анизотропной среды, использующий общее решения;
3) решены оригинальные задачи для тел различных очертаний.
Достоверность полученных результатов обеспечена:
1) строгим математическим обоснованием МГС;
2) тестированием результатов в отношении точности;
3) тестированием метода на известных решениях.
В первом разделе дано сравнение МГС с другими методами решения задач теории упругости; также приведен обзор по имеющимся результатам и методов решения задач для анизотропных тел.
Во втором разделе проводится обоснование метода граничных состояний для анизотропной среды. В первом и втором параграфах вводятся поня-
6
тия внутреннего и граничного состояний среды, формируются гильбертовы пространства внутренних и граничных состояний с теоремой взаимности для среды как основой скалярного произведения в пространствах; показывается изоморфизм сформированных пространств.
Третий раздел посвящен решению плоских задач. В первом пара1рафе выписано общее решение плоской задачи для анизотропной среды; приведена методика формирования базиса пространства внутренних состояний (на основании формул комплексного представления Лехницкого [25]); приведены выражения для скалярных произведений в пространствах внутренних и граничных состояний. Во втором параграфе показана методика формирования решения первой и второй основных задач механики методом граничных состояний. В третьем параграфе решены конкретные задачи для односвязной плоской области. В четвертом пара1рафе приведена методика формирования базиса пространства внутренних состояний для двусвязной области и, как итог, решены конкретные задачи. В пятом параграфе решены конкретные задачи изгиба и кручения анизотропных пластинок. В шестом параграфе пред-ставены основные выводы.
В четвертом разделе проведено решение обобщенной задачи Сен-венана. В первом параграфе выписано общее решение задачи о равновесии цилиндра из материала обладающего прямолинейной анизотропией общего вида. Также здесь строится базис пространства состояний. Во втором параграфе приведены особенности решения данной задачи. В третьем параграфе проведено решение конкретных задач для тел прямоугольной, круглой, овальной форм.
В пятом разделе проведен анализ точности построенных решений для тел сложной конфигурации и обсуждены способы преодоления этих трудностей.
Заключительная часть работы содержит основные результаты и общие выводы, сформулированные на основе проведенных исследований.
В приложениях приведены сопутствующие материалы. по решению конкретных задач - эпюры, изолинии.
Раздел 1. Обзор результатов и методов решения задач механики
1.1. Сравнение метода граничных состояний с другими методами
механики
Метод граничных состояний относится к классу «энергетических» методов механики. Все энергетические методы механики, использующие аппарат теории гильбертовых пространств, исходят из необходимости разрешения того или иного операторного уравнения относительно некоторой неизвестной функции или их наборов.
Метод Купрадзе [22] основан на интегральных представлениях перемещений посредством матриц Грина и приводит к системе граничных интегральных уравнений относительно перемещений либо поверхностных усилий. Общее с методом граничных состояний можно обнаружить в том, что для решения системы граничных интегральных уравнений применялся базис функций, строимых на основе фундаментальных решений для среды. Однако скалярное произведение выбиралось не как в МГС, а в соответствии с таковым в пространстве функций с суммируемым квадратом и ортогонализация проводилась соответствующим образом. В результате проблема сводилась к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, для которой удавалось (не всегда) выписать рекуррентное решение. На основе метода Купрадзе разработаны методы решения задач с разнообразными смешанными граничными условиями.
С.Г. Михлин [32] рассматривал «пространство тензоров упругих напряжений». Для этого пространства было указано скалярное произведение, основанное на энергии внутренней деформации. «Пространство тензоров упругих напряжений» с успехом использовалось для обоснования разрешимости «энер1етических» методов, как, в частности, метода М.М. Филоненко-Бородича. «Пространство тензоров упругих напряжений» эквивалентно пространству внутренних состояний МГС; кроме того, эквивалентны скалярные
- Київ+380960830922