2
СОДЕРЖАНИЕ
стр
ВВЕДШИЕ............................................. <>
ГЛАВА 1. ОБЗОР ИЗВЕСТНЫХ ФАКТОВ, ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ПОДХОДОВ, РЕЗУЛЬТАТОВ И ПРЕДСТАВЛЕНИЙ. ВЫТЕКАЮЩИЕ ПОСТАНОВКИ НОВЫХ ЗАДАЧ ..................... ,3
I 1. Деформационное разупрочнение: реальное свойство
материалов или фикция?......................... М
1.2. Континуальная концепция зарождения макроразрушения
в изначально сплошной среде................... 23
1.3. Вопросы устойчивости тел с частично свободной границей.......................................... 29
ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. МОДЕЛИ И КРИТЕРИИ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ......................... 34
2.1. Основные кинематические и силовые величины механики сплошных сред..................................... 34
2.2. Определяющие соотношения материала........... 38
2.3. Определение устойчивости и неустойчивости по Друккеру и эквивалентны й математический критерий устойчивости/неустойчивости....................... 41
2.4. Упрочнение и разупрочнение материалов (но Друккеру).
Одно из возможных обобщений, учитывающих геометрическую нелинейность................... 57
2.5. Выводы к Гл.2................................ 60
ГЛАВА 3. МОДИФИКАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ
АД/ЧМАРА И ВАН ХОФА, СФОРМУЛИРОВАННЫЕ И ДОКАЗАННЫЕ В РАБОТЕ............................ 62
з
3.1. Теорема Лдамара и ее обобщение для случая упругопластического тела (в том числе так называемого "существенно нелинейного")............................... 62
3.2. Теорема Ван Хофа, ее обобщение и три модификации 70
3 .3 Механическая трактовка теорем Адамара и Ван Хофа 81
3 4 Выводы к Гл.3.......................................... 91
ГЛАВА 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАКРИТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ В НЕКОТОРЫХ ИДЕАЛИЗИРОВАННЫХ ИСПЫТАТЕЛЬ! 1ЫХ УСТРОЙСТВАХ..................................................... 93
4.1. Степень разупрочнения, допускаемая ЯЕ - неравенством... 94
4.2. Устойчивость однородного закрити ческою деформирования образцов в жесткой трехосной
испытательной машине............................... 109
4 3 Устойчивость однородного закритического
деформирования образцов в нежесткой трехосной испытательной машине................................ 118
4.4 Устойчивость однородного закритического
деформирования в сдвиговых ящиках.................. 129
4.5 Устойчивость однородного закритического
деформирования в пластинчатых сдвиговых камерах произвольной формы.................................. 142
4.6 Устойчивость однородного закритического
деформирования в жесткой трех фан но-призмати чес кой машине.............................................. 151
4.7 Выводы к Гл.4...................................... 156
ГЛАВА 5. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ДЕФОРМАЦИЙ КАК АТРИБУТ
НЕУСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ ПРИ СТЕСНЕНИИ....................................... 158
4
5.1. Локализационный объем и его свойства................... 160
5.2. Предельное равенство для первичных форм потери устойчивости в однородном теле при жестком закреплении границы, а также при некоторых других видах кинематического стеснения.................................. 167
5.3. Локализационность первичной неустойчивости при стеснении конечной жесткости..................... 180
5.4 I (екоторые примеры локализаинонной неустойчивости
различного характера................................. 185
5.5. Локализаиионная неустойчивость при наличии ребра на поверхности текучести...................................... 204
5.6. Выводы к Гл.5.................. •.*.................... 211
ГЛАВА 6. НИКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
БЛОКООБРАЗНЫХ ТЕЛ С ЧАСТИЧНО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ............................................... 214
6.1 Опенка снизу для функционала II на основе неравенства
Корна................................................ 215
6 2 Формулировка математической задачи о неравенстве
Корна при определенных граничных условиях. Некоторые предварительные построения............................. 226
6.3. Сведение задачи о константе Корна к набору одномерных задач. Дальнейшее расщепление одномерных задач 232
6 4. Окончательное расщепление одномерных задач
и *0) *(*) 239
Нахождение величин Лт , кт ..........................
6.5. Определение константы Корна для некоторых конкретных
краевых задач.......................................... 250
6.6 Два примера строгих оценок докритичсских нагрузок для
плит произвольной толщины.............................. 259
5
6.7. Первичная поверхностно локализованная неустойчивость в туковом теле с частично свободной границей ..... 269
6.8. Выводы к Гл.6.............................. 272
ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................... 275
ЛИТЕРАТУРА........................................... 282
6
ВВЕДЕН ИЕ
Тема диссертации связана с основными понятиями и концепциями континуальной механики разрушения - сравнительно нового раздела механики деформируемого твердого тела, изучающего процессы подготовки и зарождения разрушения в изначально сплошной среде на тех стадиях этих процессов, когда среда макроскопически еще остается сплошной (заметим, что подобные вопросы принципиально выходят за рамки классической механики разрушения, изучающей поведение уже имеющихся нарушений сплошности - макроскопических трещин). Континуальная механика разрушения основывается на подходе и методах механики сплошных сред, трактуя вышеупомянутые процессы феноменологически, в терминах свойств и характеристик материала, составляющего сплошную среду, а также способов деформирования последней.
Очевидно, что закономерности зарождения разрушения представляют большой интерес для ряда прикладных дисциплин, связанных с вопросами разрушения и прочности материалов самой различной природы - от металлов и композитов до грунтов и горных пород. Однако, упомянутые закономерности представляют значит ельный интерес и с точки зрения теории, тем более, что они оказываются тесно связанными с основаниями механики деформируемого твердого тела: пределами применимости континуального описания, дополнительными неравенствами теории упругости, вопросами устойчивости и единственности, распространением волн, собственными колебаниями и др.
Для самой континуальной механики разрушения основополагающими являются следующие два понятия (1) разупрочнение материала (называемое также его "внутренней неустойчивостью") н (2) локализационная неустойчивость, которую считают' специфической формой проявления
внутренней неустойчивости (т.с. разупрочнения) материала и трактуют как механизм зарождения макроскопических дефектов в изначально сплошной среде.
Несмотря на то, что упомянутые основополагающие понятия континуальной механики разрушения введены в научный обиход не один десяток лет назад (в работах Д.Друккера, Р.Хилла, школы Дж Райса и др.), до сих пор существуют и остаются открытыми связанные с этими понятиями вопросы, носящие принципиальный характер (в особенности для упомянутой области механики).
Во-первых, это вопрос о том, от ражает ли понятие разупрочнения какое-либо реально существующее свойство материала (иначе говоря, существует ли реально такой отклик материала на инкрементальное деформирование, который характеризуется наличием хотя бы одного отрицательного модуля). Другим аспектом этого же вопроса является выяснение принципиальной возможности (или невозможности) экспериментального воспроизведения и идентификации такого свойства (те. ..ыпелнемия определенных измерений) в случае его существования. ......
Во-вторых, это вопрос о том, обязательно ли (хотя бы в некотором ограниченном классе задач) возникновение именно локализа пион кого типа неустойчивости в тех случаях (известных 5(3 основополагающих работ Р.Хилла и др.). когда этот тип неустойчивости является возможным. Поскольку именно локализацконный тип неустойчивости связывается с зарождением макроскопических дефектов в среде (концепция Дж Райса и его научной школы), то сформулированный вопрос по существу является вопросом о логической состоятельности упомянутой общепризнанной концепции. Действительно, если бы возникновение локализационного типа неустойчивости обязательным не было (т.е при тех же условиях было бы равновозможно возникновение неустойчивости распределенного типа), то столь же необязательно при таких условиях было бы и зарождение
разрушения. Таким образом, основное утверждение концепции теряло бы свою определенность, а вместе с ней в значительной мерс и смысл.
Из всего этого вытекает
Цель диссертации принципиальное решение двух сформулированных выше главных вопросов, связанных с понятиями разупрочнения и локализационной неустойчивости, а также решение некоторых смежных вопросов устойчивости разупрочпяющихся сред.
Метод исследований, носящих сугубо теоретический характер, заключается в постановке и строгом аналитическом решении задач об устойчивости и неустойчивости рззупрочияющихся упругопластических тел Постановки задач моделируют условия как некоторых реальных, так и реализуемых принципе умозрительных испытаний материалов; поведение последних, по предположению,- характеризуется произвольными упругопластическими соотношениями в рамках некоторого весьма широкого класса.
Достоверность результатов подтверждается физической обоснованностью постановок задач и строгим аналитическим характером их рассмотрения с применением современною математического аппарата механики деформируемого твердого тела, а также собственных математических результатов автора.
Научная новизна диссертации определяется следующими полученными в ней основными результатами, которые и выдвигаются в качестве защищаемых положений:
1. Сформулировано и доказано обобщение Теоремы Адамара об устойчивости на случай упругопластических тел (в том числе и так называемых "инкрементально существенно нелинейных").
2. Сформулированы и доказаны три модификации Теоремы Ван Хофа для тензоров четвертого ранга с зеркальной симметрией и для граничных условий
9
тангснцнальности или нормальности на плоских участках границы, параллельных плоскостям симметрии.
3. Основанный на определении Друиксра математический критерий устойчивости / неустойчивое !л >цру1о:*листического тела модифицирован для случая произвольных идеальных кинематических связен на границе тела.
4. Выведено соотношение, связывающее условия разупрочнения и сильной эллиптичности с учетом наличия ненулевых начальных напряжений, а также упрошенное достаточное условие сильной эллиптичности. Для некоторых употребительных инкрементальных упругопластических соотношений получена явно степень разупрочнения, совместимая с сильной эллиптичностью.
5. Доказана устойчивость однородного деформирования ортотропиого упругопластического образца а идеализированной жесткой трехосной испытательной машине вплоть до угрйть; - материалом образца свойства сильной эллиптичности (в пластическом режиме). Доказана устойчивость в тех же пределах однородного деформирования орготропного образна в идеализированной трехосной испытательной машине конечной жесткости. Достаточное значение жесткости ?.:а:д:п1ы получено явно Доказано, что в случае, когда машина является жестко:: по двум осям и нежесткой по третьей, однородное деформирование устойчиво » тех же пределах даже при нулевой жесткости по третьей оси.
6 Доказана устойчивость в тех же пределах однородною деформирования трансверсально изотропного образца в. жесткой трехграпно-призматнческой машине (умозрительное устройство). . .
7 Доказана устойчивость в тех же.пределах однородного деформирования среды с одной материальной плоскостью зеркальной симметрии как в сдвиговом ящике перекосного гипОу так и в умозрительном пластинчатом сдвиговом устройстве с полостью прс.здол&ной формы
10
8 Предложена и изучена объемная мера локализации, характеризующая произвольное ск&чярное. векторное иди тензорное поле. Доказано, что эта мера, названная "локализационным объемом", служит оценкой объема той части области определения, где поле принимает относительно большие (по амплитуде)значения.
9. Доказано, что для однородного упругопластического тела с защемленной границей все первичные формы потери устойчивости являются локализационными в смысле предельной малости пластического локализаций иного объема. Этот же результат получен и для ряда случаев менее ограничительного стесненья
10 /(ля умозрительного упругопластического материала с чисто объемной пластичностью в условиях жесткой трехосной машины показано, что область локализации, характеризующаяся инфнтггезимллы:ь;м объемом, может иметь совершенно произвольную форму. Таким образом, в наиболее общей постановке задачи о формах проявления неустойчивости разупрочняющихся упругопластнческих тел при стеснении локализационный объем является единственно возможной характеристикой локализации (хотя для частных классов материалов локалнзационная неустойчивость может характеризоваться, помимо объема, и другими геометрическими параметрами).
!1. Разработан метод нахождения точных значений константы Кориа для параллелепипеда со свободной парой граней или одной свободной гранью при граничных условиях тангенциальное л» иди нормальности векторного поля па остальных гранях. Метод дает значения константы Корна в виде простых формул в элементарных функциях в зависимости ог соотношения габаритов параллелепипеда и комбинации граничных условий на гранях. Найдены точные значения константы Корна для ряда характерных случаев Для некоторых других граничных услбчил найденные точные значения служат оценками сверху.
Il
12 С помощью варианта метода Дж Холдена и найденных точных значений или оценок сверху для константы Корна получены строгие оценки докритичсских ("безопасных") нагрузок для блокообразных тел. характеризующихся произвольным соотношением габаритов, при подходящих граничных условиях, а также для плит произвольной толщины и произвольной формы в плане, защемленных по боковой поверхности В асимптотике малой толщины полученные строгие оценки согласуются с известными "инженерными" оценками.
Практическая ценность работы заключается в том. что:
1 Получено принципиальное обоснование ряда экспериментальных методик исследования как свойств • разупрочияюцщхся материалов, так и локализационных явлений, связанных с разупрочнением.
2 Предложен (на уровне идеи) и теоретически изучен наряду с другими новый тип пластинчатого сдвигового устройства, в котором полость для испытуемой среды может иметь произвольную форму. Устройство предназначено для исследования Геометрии зон локализации деформаций в геоматериалах в зависимости от формы массива.
3. Разработан и применен метод получения значений "безопасных" нагрузок для толстых плит и других тел с частично свободной границей, что имеет приложения в вопросах прочности различных элементов конструкций и сооружений (например, прочности барьерных целиков и стенок выработок в горнопроходческих сооружениях).
Апробация работы. По результатах» работы на разных стадиях се выполнения в период с 1985г. по настоящее время был сделан ряд докладов па семинарах и конференциях как в России, так и за рубежом Среди них:
VI и VII Всесоюзные съезды но теоретической и прикладной механике (ТаШкент, 1986г.; Москва, 1991 г,); . .
VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь. 2001г.);
12
II, III и IV Международные конференции по локализационным и бифуркационным явлениями в гранулированных средах (Гданьск, Польша, 1989; Осуа, Франция, 1993г.; Гифу, Япония, 1997г);
Сьезд Общества инженерных наук (Новый Орлеан, США, 1995г.);
Съезд Международного общества по взаимодействий механики и математики (Варшава, Польша, 1996г.);
Международная конференция по кекл-ссичесхим задачам теории упругости и механики разрушения (Москва, 1995г.);
32-ая Польская конференция по механике деформируемого твердого тела (Закоиане, Польша, 1998г.);
Симпозиум по аналитической и вычислительной механике разрушения неоднородных материалов (Кардифф, Великобритания, 2001 г.);
Семинары кафедр теории пластичности (неоднократно), теории упругости, волновой и газовой динамики Механико-математического факультета МГУ; Семинар "Актуальные проблемы механики сплошных сред", ИПМ РАН (1990г.);
Семинар отдела механики МИАНа им.Стеклова (дважды, 2001 г.).
Одна из статей автора в журнале МТТ удостоена медали АН СССР для молодых ученых (1985г.); статья в журнале ПММ признана одной из трех лучших статей 1997г.; цикл из 10 сгатей автора удостоен премии имени академика Л.С.Лсйбснзона (1998г.).' ■
Публикации По теме днссерт;;ц.н: автором опубликованы 23 печатные работы (без учета тезисов докладов). Основное содержание работы изложено в 13 статьях, опубликованных » ведущих российских и международных журналах по механике (из них 12 - без соавторов).
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения; в гскстс a.v.ccica 12 рисунков. Список цитируемой литературы состоит из 124 наименований.
Общий обьем диссертации составляет 296 стр.
{ • « .1-
ІЗ
ГЛАВА I
ОБЗОР ИЗВЕСТНЫХ ФАКТОВ, ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ПОДХОДОВ, РЕЗУЛЬТАТОВ II ПРЕДСТАВЛЕНИЙ. ВЫТЕКАЮЩИЕ ПОСТАНОВКИ НОВЫХ ЗАДАЧ
Теоретическое изучение механическою поведения деформируемых твердых тел в течение дательного времени основывалось исключительно на моделях упругих материалов. Однако в дальнейшем оказалось, что эти простейшие, наиболее разработанные и удобные для анализа модели непригодны для описания многих реальных свойств среды и порождаемых этими свойствами явлений, что привело к необходимости расширения класса моделей и рассмотрения различных моделей неупругих материалов Одним из типов неупругих моделей являются модели упруго пластические, обычно называемые просто упругопластическими материалами Они плодотворно используются для описания определенных аспектов поведения невероятно широкого класса реальных материалов, как естественных, так и искусственных, причем границы этого класса простираются от грунтов и горных пород до металлов, полимеров и композитов.
Первоначально под пластичностью понималась только так называемая идеальная пластичность, с современной точки зрения представляющая собой вырожденную и довольно бедную по своему содержанию модель упругопластического поведения; однако даже идеальная пластичность позволила осмыслить и до некоторой степени количественно описать ряд явлений и технологических процессов, например прокатку и штамповку металлов и т.п. В дальнейшем понятие упругопластнчности усложнялось и обогащалось новым содержанием (ем. напр. (14, 25, 28, 64, 67, 70, 71, 80, 82-
14
85. 94]); при этом расширялся и круг явлений, при теоретическом осмыслении и воспроизведении которых упруго пластические модели оказывались подходящим и полезным инструментом анализа. 13 настоящее время в этот круг входят и явления, так или иначе связанные со специфическим поведением материала - деформационным разупрочнением (называемым также "внутренней неустойчивостью" и "неустойчивостью" материала) Теоретическому изучению таких явлений и посвящена данная диссертация.
1.1. Деформационное разупрочнение: реальное свойство
материалов или фикция?
Начиная с работ Д.Друккера (70, 71] и, возможно, некоторых других авторов, в научный обиход вошли и получили точные определения понятия деформационного упрочнения н разупрочнения упругопластическнх материалов. С введением понятия разупрочняющегося упругопластического материала произошло очередное, и при этом очень значительное, расширение круга явлений, суть которых наилучшим образом отражается и описывается с помощью упругопластическнх моделей. Здесь имеются в виду явления, связанные с начальными стадиями разрушения материалов Деформационное разупрочнение (которое в дальнейшем для удобства будем называть просто "разупрочнением") может рассматриваться как феноменологическое и макроскопическое выражение таких особенностей поведения материала, которые являются следствиями его начального рассеянного микроразрушения в тех пределах, когда среда еще может рассматриваться как сплошная Таким образом, упругопластические определяющие соотношения с разупрочнением в принципе позволяют описывать начальные стадии разрушения материала (которые можно назвать его "предразрушением") в рамках подхода и с помощью методов механики ■ сплошных . сред. Этим и определяется
привлекательность таких соотношений и нсугасающнй интерес к ним как к методологическому средству континуальной механики разрушения.
Помимо того, что к рассмотрению разупрочняющихся материалов пришла теория пластичности в ее традиционном понимании, примерно в тот же период времени на основе классических работ [14, 28| возник новый раздел механики деформируемого твердого тела, а именно механика материалов с внутренним распределением повреждений, и развитие этого раздела с несколько другой стороны привело к рассмотрению моделей материала с разупрочнением [43, 52]. Заметим, что в тех случаях, когда кинетика накопления поврежден н ости считается мгновенной,
повреждающиеся материалы не имеют принципиальных отличий от упругопластических. Следовательно, рассмотрение разупрочняющихся повреждающихся материалов в этих-случаях эквивалентно рассмотрению разупрочняющихся упругопластйческих материалов с некоторыми специфическими особенностями упругсил&стического поведения [57]
Хотя интерес к понятию разупрочнения и к определяющим соотношениям с соответствующими свойствами поддерживается, прежде всего, его вышеупомянутыми методологическими возможностями, введено оно было первоначально для описания « терминах аномального поведения материала некоторых экспериментально наблюдаемых и широко известных аномальных диаграмм деформ проьан и* образцов при испытаниях. Имеется в виду такое поведение образцов в достаточно жестких нагружающих устройствах, когда при увеличении относительного смещения нагружающих элементов машины (зажимов, плит-и т. го) нагрузка, достигнув максимума, начинает затем уменьшаться, что описывается диаграммой деформирования с "падающим" хвостовым участком . .
Несмотря на немалое количество экспериментальных данных такого рода для разных типов испытаний-и самых разных материалов [4, И, 17, 42, 15, 46, 50, 51, 105], их трактовка в терминах разупрочнения, т е. в терминах
16
свойств материала, вызывала и до сих пор продолжает вызывать сомнения и
даже весьма резкие возражения со стороны многих исследователей,
%
занимающихся теоретическими вопросами механики деформируемого твердого тела вообще и механики горных пород и геоматерналов в частности (см. напр, обзор (105]). Как правило, эти возражения относятся не к какому-либо конкретному типу испытаний и конкретному материалу, а имеют обобщенный характер и сводятся к сомнениям по поводу или лаже к полному отрицанию Физической адекватности самого понятия разупрочнения материала. Иначе говоря, отрицается, прежде всего, существование такого свойства материала. Кроме того, утверждается, что даже если бы само разупрочнение материалов когда-то было возможно, то все равно было бы заведомо невозможно его наблюдение, Идентификация и измерение его параметров с помощью существующих или осуществимых в принципе испытательных устройств.
Поскольку постановка вопроса о физической адекватности понятия разупрочнения материала носит принципиальный характер и затрагивает основы всех разновидностей континуальной механики разрушения (которую иначе можно было бы назвать механикой зарождения разрушения), то весьма актуальным дня современной механики деформируемого твердого тела является и принципиальное решение этого вопроса. По убеждению автора, до самого недавнего времени такого принципиального решения не было, хотя ряд известных (и в том числе давно известных) фактов проливает свет на данную проблему в некоторых важных частных случаях. Одной из целей диссертационной работы как паз и-является обоснование положительного решения сформулированного выше вопроса.
Обсудим, прежде всего, те аргументы, которые выдвигаются против возможности существования и наблюдаемости свойства разупрочнения материала. Основным аргументом является следующее утверждение: даже если допустить, что в строении материала заложена возможность
разупрочнения, то все равно никакое тело или механическое устройство, включающие в себя разупрочняющийся материал, не могут находиться в статическом (или квазисіэтическом) состоянии но причине заведомого отсутствия устойчивости. Из отсутствия устойчивости делается вывод о невозможности обеспечения ни н каком нагружающем устройстве однородного квазистатического (или вообще какого-либо определенного) деформирования образца, по данным о котором можно было бы воспроизвести характеристики материала. Значит, данные возможного эксперимента характеризуют каким-то образом неустойчивую механическую систему "макроскопический образен + машина", но при этом совершенно невозможно установить однозначное соответствие между этими данными и свойствами материала (105) Следовательно, полученные в результате таких экспериментов "свойства" материала на самом деле ему не присущи и являются фикцией.
Подобная аргументация была бы безупречной, если бы отсутствие устойчивости было действительно доказано для трехмерных тел, конфигурации которых, а также наложенные на них граничные условия, соответствовали бы (конечно, в рамках некоторых идеализаций) условиям деформирования образцов в тех или иных нагружающих устройствах. Однако эго не так, и выводы делаются на основе рассмотрения одномерных моделей среды (нить при растяжении, тонкий стержень при изгибе), для которых разупрочнение (т е. отрицательные модули) действительно всегда порождает неустойчивость. Интуитивное >ке реренесение результатов одномерных задач на неодномерные законно далеко не всегда, что показывают как некоторые известные результаты, так и результаты самой диссертационной работы, существуют эффекты. порождаемые неодномерностью тел и принципиально не имеющие одномерных аналогов. Одним из давно известных, строго доказанных и при этом совершенно ошеломляющих, с точки зрения привычной интуиции, результатов являегся формула Кельвина для упругой
энергии и однородного гукова тела (с модулем сдвига С и модулем объемного сжатия К) при условиях либо защемления но всей поверхности (для тела произвольной формы), либо проскальзывания вдоль поверхности (в гом случае, когда тело имеет форму многогранника):
21/ = с||IV X Н[ V +1 с (V • и )</У,
в
где и(г) - поле смещений. Из формулы Кельвина видно, что при сформулированных граничных условиях необходимым и достаточным условием положительной определенности упругой энергии является
4 4
одновременно выполнение двух неравенств: б’>0 и о К >--(}.
В свою очередь положительная определенность упругой энергии означает устойчивость со всеми вытекающими последствиями: единственностью нулевого решения, наличием собственных колебаний (40], корректностью стандартных постановок динамических задач н т.д. 1-І все это возможно при немалых отрицательных значениях модуля объемного сжатия К, например, при К = —О. Кроме того, давно известно, что уравнение движения однородного гукова тела (уравнение Ламе) при отрицательном значении
объемного модуля К = превращается в векторное волновое уравнение,
для которого корректность постановок динамических задач и все прочее ни у кого не вы зывает сомнений.
Таким образом, однородное гуково тело дает яркий и вполне убедительный пример того, что отрицательность некоторых упругих модулей в определенных пределах и при определенных (стесняющих) граничных условиях совершенно не противоречит устойчивости и нормальному динамическому поведению тела. Однако любая попытка объяснить эти сірого
19
доказанные результаты «на пальцах» с помощью рассмотрения одномерных моделей обречена на провал!
Пределы значений упругих модулей, при которых еще возможна устойчивость (а точнее - при выходе за которые устойчивость уже наверняка невозможна ни при каких граничных условиях), устанавливаются как для гукова, так и для любою другою упругого материала Теоремой Лдамара об устойчивости (см. напр. [77, 75, 118, 119)), а именно, они соответствуют первому нарушению неравенства Ада.мара. Теорема Ада мара допускает обобщение на случай упругопластических материалов [81, 36, 98], и в гаком виде является единственным доказанным общим утверждением о заведомой неустойчивости тел Заметим, что и ь общем случае нарушение неравенства Адамара зачастую происходит при отрицательных (и даже немалых, как показывает пример объемного модуля в законе Гука) значениях некоторых модулей материала, т.е. при разупрочнении (соотношение между условием Адамара и условием разупрочнения подробно рассмотрено в Гл 4 диссертации).
На основании только Теоремы Адамара нельзя сделать никаких выводов относительно достижимости тех предельных значений модулей материала, которые ею устанавливаются; иначе говоря, по необходимым условиям устойчивости никак нельзя судить о достаточных, и действительно, для различных задач они различны и далеко не всегда совпадают с необходимыми
Пример и доказательство совпадения достаточных условий устойчивости с необходимыми дает вышеупомянутая формула Кельвина, для вывода которой, напоминаем, существенны однородность тела и нулевые или некоторые другие специальные'- кииелпгтические граничные условия. В качестве обобщения формулы Кельвина- на случай защемленных по всей границе однородных линейно упругих тел с произвольной анизотропией может рассматриваться фундаментальная Теорема Ван Хофа [ 1211 в ее
20
механической интерпретации, появившейся в литературе на рубеже 1960г (напр. [81,61, 123]). В работах Р Хилла и Д.Друкксра конца 1950-х годов [70, 79, 80] была построена общая теория, сводящая вопрос о достаточных условиях устойчивости состояния равновесия или равновесного процесса, совершаемого над упругопластическим телом, к условиям устойчивости состояния равновесия некоторого умозрительного упругого тела («тела сравнения»). Тем самым механическая трактовка Теоремы Ван Хофа расширяется до утверждения о том, что для устойчивости однородного процесса деформирования однородного упругопластического тела с предписанным движением границы достаточно выполнения строгою неравенства Адамара (т е. і'/-,' - неравенства) для модулей материала в режиме активного пластического нагружения. При этом разупрочнение материала (отрицательность некоторых модулей), и даже значительное, является возможным [24].
Сформулированное выше утверждение дает весьма общий положительный ответ на вопрос о том, возможно ли в принципе существование (те. возможна ли в принципе устойчивость) состояний разупрочнения упругопластического материала. Однако остается открытым другой вопрос: о принципиальной наблюдаемости состояний разупрочнения и принципиальной измеримости его характеристик в ходе экспериментов. Рассмотрение и решение этого вопроса составляет содержание Гл.4 диссертации. Хотя речь здесь ндег об •эксперимент ах, но поставленный вопрос является вопросом теории, а конкретно, вопросом об устойчивости разупрочняюшихся упругопластических тел при определенных условиях. Следствия из Теоремы Ван Хофа ответить на него не могут по причине очень сильного и ограничительного предположения о предписанном движении границы Действительно, ни в каком устройстве, осуществимом хотя бы в принципе, движение границы образна не может быть предписано полностью обязательно должны быть плоскости проскальзывания или свободные участки
границы; на каких-то участках границы могут быть предписаны усилия. Значит, для решения вопроса нужны какие-ro другие математические результаты того же типа, что и Теорема Ван Хофа, но для других, не столь сильных, кинематических граничных условий (возможно, за счет уменьшения общности в каких-либо других предположениях Теоремы) Такими результатами явились сформулированные и доказанные в работах автора [37, 110, 112J Три Модифицированные теоремы Ван Хофа, составляющие математическую основу значительной части диссертации и изложенные в Гл.З последней. С помощью Модифицрованной теоремы Ван Хофа 1 удалось обосновать устойчивость закритичсского деформирования ортотропных образцов в жестких трехосных машинах вплоть до нарушения неравенства Адамара, т.е до абсолютного теоретически допустимого предела (заметим, что этот тип испытательных машин реально существует). Обоснование же возможности проведения измерений, характеризующих разупрочнение, требует рассмотрения устройств конечной жесткости, поскольку в абсолютно жестких устройствах принципиально отсутствует возможность прямого измерения усилий, действующих на образец со стороны плит машины, что необходимо для определения напряжений в образце в случае, когда обеспечена устойчивость однородного деформирования. В качестве устройств конечной жесткости в тон же Гл.4 рассмаприваются нежесткие трехосные машины [38]. Основой для решения этой новой задачи служит опятъ-таки Модифицированная теорема Ван Хофа I, а также некоторые дополнительные математические приемы, с помощью которых удалось доказать, что при жесткостях машины, превышающих некоторое найденное в работе достаточное значение, закритическос деформирование ортотропных образцов, ка* и в жестких трехосных машинах, устойчиво вплоть до абсолютного теоретически допустимого Предела 138] Таким образом, вопрос о принципиальной возможности экспериментального изучения разупрочнения п выполнения характеризующих его измерений оказывается решенным это
можно делать с помощью по крайней мере одного ні реально существующих типов испытательных устройств - трехосных машин достаточно большой (разумеется, конечной) жесткости.
Есть еще один вопрос о принципиальной осуществимости некоторых экспериментов, теснейшим образом связанный с вопросом о возможности экспериментального изучения разупрочнения Имеется в виду вопрос о принципиальной пригодности некоторых испытательных устройств для изучения локаднзаиионных явлений при деформировании, и этот вопрос также рассматривается в Гл.4 диссертации (хотя локализационная неустойчивость как таковая является предметом рассмотрения другой главы, а именно Гл.5).
Как известно, неустойчивость, при которой деформации локализуются
(те. концентрируются) в тонких слоях, может возникать только при
нарушении неравенства Адамара для модулей материала. Чтобы такая
неустойчивость была первичной, те наиболее ранней из всех возможных (а
ведь именно наиболее ранняя и осуществляется, а до тех возможностей,
которые могли бы осуществляться позже, очередь просто не доходит),
необходимо сохранение устойчивости вплоть до нарушения неравенства
Адамара Это требование совпадает с тем, которое предъявляется к
испытательному устройству для экспериментального изучения разупрочнения
во всем теоретически допустимом диапазоне. Разница заключается лишь в
целях исследования: при изучении локализационных явлений (скажем, в
геофизических экспериментах), не ставится задачи измерения параметров
материала, а исследуется картина деформирования в условиях,
напоминающих некоторые тектонические ситуации. Соответственно,
используются другие материалы (например, сыпучие или глина) и другие
устройства, большей частью сдвиговые "ящики” разных конструкций [3, 8, 30,
47-49, 63, 68, 122]. Тем не менее, ключевым (хотя и не единственным)
моментом анализа устойчивости и здесь оказывается использование
*
23
Модифицированной теоремы Ван Хофа 1 Кроме обоснования пригодности двух известных типов ящиков, в работе предлагается (на уровне идеи) и некоторый новый тип сдвигового устройства, в котором используются элементы конструкции сдвигового ящика Ревуженко-Стажевского-Шемякина (30), но полость для испытуемой сыпучей среды может иметь довольно-таки произвольную форму (ограничения конечно есть, но небольшие). Для него также обосновывается возможность однородного деформирования и его устойчивость вплоть до нарушения неравенства Адамара. Произвольность формы полости в принципе открывает новые возможности для лабораторного моделирования процесса зарождения локализационных структур в массивах геоматериалов.
1.2. Континуальная концепции зарождения макроразурушения к изначально сплошной среде
Возвращаясь к общим вопросам континуальной механики разрушения, заметим, что в центре внимания этой науки находится явление, возникающее на определенном этапе деформационного процесса и заключающееся в резком переходе рассеянного микроразрушения среды (в континуальной грактовке -ее разупрочнения) в сосредоточенное макроразрушение. По всей вероятности, существует не одни "сценарий" такого перехода (в зависимости от разных обстоятельств и условий). На основании многочисленных экспериментальных данных известно, что зачастую зарождение макроразрушения происходит континуальным образом и выражается в резком изменении характера деформирования - переходе от более или менее однородного деформирования к крайне неоднородному, когда относительно большие инкрементальные деформации "локализуются" (те. концентрируются) в узких зонах, которые и являются зародышами будущих разрывных нарушений (1, 2. 3, 8, 27, 29, 30, 45, 47-49,60,63,68, 105, 106, 117, 122) Описанное явление резкого изменения
24
хараклера деформирования среды получило название "локализации деформаций". Известно, что такое поведение типично для материалов самой разнообразной природы - от грунтов и горных пород до металлов и даже композитов. Оно играет существенную роль во многих природных и технологических процессах, что предопределяет интерес к нему со стороны ряда прикладных дисциплин; этот интерес нашел отражение в исследованиях по механике горных пород, по разрушения композитов и др. 15-7, 18-20, 23, 26. 27, 30-33, 44-46, 63, 68, 105, 117, 120].
Очевиден также и интерес к этому удивительному явлению со стороны теории: желательно найти принципиальное объяснение мгновенному и столь разительному изменению в характере деформирования среды Такое принципиальное объяснение было дано Р.Хиллом в 1962г. в знаменитой работе [81]. посвященной, вообще говоря, другой теме (распространению волн), но содержащей параграф, в котором рассматриваются вопросы устойчивости среды во взаимосвязи с основной темой статьи. Р.Хилл предложил считать локализацию деформаций (названную им "деформационной модой типа полос Людерса") специфической формой потерн устойчивости, которая может возникать в упругопластическом теле при нарушении неравенства Адамара для модулей материала. Приведенное в статье рассуждение, обосновывающее возможность возникновения такой неустойчивости, представляет собой не что иное, как идею доказательства Обобщенной теоремы Адамара об устойчивости (имеется в виду обобщение на случай упругопластических сред; оригинальная Теорема Адамара сформулирована и доказана для упругих сред, и ее первоначальное доказательство для упругопластическнх сред не годится). Кроме того, для однородного тела е защемленной границей с помошыо упоминавшейся ранее Теоремы Ван Хофа обоснована первичность неустойчивости, возникающей при первичном нарушении неравенства Адамара. Таким образом обосновано, что локаличаннонная неустойчивость по крайней мерс в упомянутом случае
25
является одним из возможных типов первичной неустойчивости. Заметим для дальнейшего, что в работе Хилла совершенно ничего не скатано (и тем более не доказано) по поводу того, что локализанвднная неустойчивость когда-либо
является единственно возможным или предпочтительным типом
неустойчивости
В середине 1970-х годов одна за другой появляются две статьи Дж.Рудницкого и Дж.Райса [108] и одного Дж Райса 1106], в которых на основании результатов Р.Хилла формулируется концепция локализационного зарождения макроразрушения в сплошной упругопластической среде (в первой статье - применительно к грунтам и горным породам, описываемым специфическими упругопластическими соотношениями, во второй статье - в полной общности, т е. применительно любым упругоиластнческим средам). Хотя вторая статья содержит, помимо провозглашенной концепции, ешс и превосходное, чрезвычайно обстоятельное и развернутое изложение результатов и идей Хилла, но никаких существенно новых результатов принципиального характера в ней нет. Тем не менее, именно после работ 1106, 108] и провозглашения вышеупомянутой концепции внимание широкого круга исследователей было привлечено к той самой локализационной неустойчивости, которая была обнаружена и исследована ранее Хиллом, но оставалась тогда не слишком замеченной.
Локализационная концепция обрела множество последователей и породила огромное количество работ, в которых задачи локализации исследуются как аналитически, так и численно, с использованием идей методов основоположников, но зачастую в столь грубо упрощенном виде, что рассмотрение полностью утрачивает изначальный (а порой и вообще всякий) смысл. Разумеется, среди работ по локализационной неустойчивости имеются и такие, в которых теория действительно получила интересное развитие в том или ином направлении, напр. (53-59, 62, 95, 98, 100-103, 107, 115, 117]
26
Возвращаясь к вопросу о том, является ли локализаиионная неустойчивость при каких-либо условиях, когда она возможна в принципе, еще к тому же и единственно возможным типом неустойчивости, заметим, что •по никоим образом не вытекает из всею того, что доказано (или изложено в виде идеи доказательства) во всех упомянутых выше основополагающих работах по локализации. Тем не менее, в абсолютном большинстве работ, последовавших за |106, 108], принимается как нечто само собой
разумеющееся, что если уж локализаиионная неустойчивость возможна, то именно она и реализуется, те. никаких других форм потери устойчивости (назовем их "диффузными" в противоположность "локализационным") быть не может. Такая убежденность проистекает, по всей видимости, из того факта, что экспериментальные данные подтверждают возникновение при определенных условиях именно локалнзационной неустойчивости, и создается впечатление, что такая наблюдаемая закономерность уже получила теоретическое объяснение в рамках концепции; в действительности же ничего этого не было. Более того, никакой исключительности локалнзационной неустойчивости заведомо нет для упругих тел: легко доказать, что для них неустойчивость, порождаемая нарушением неравенства Адамара. в тем случаях, когда она возможна в принципе, всегда может проявляться как в виде локалнзационной, так и в виде диффузной неустойчивости, причем никакая из этих двух возможностей не является предпочтительной.
Таким образом, если локализаиионная неустойчивость когда-либо и играет исключительную роль, то это может иметь отношение только к упругопластическим телам. Что касается упомянутой концепции локализационного зарождения разрывных нарушений в среде, то она но своей внутренней логике опирается на наличие такой и с ключ тельной роли и должна была бы включать в себя сс обоснование. Действительно, в противном случае рассуждения о том, что при достижении критического состояния (когда нарушается неравенство Адамара) потеря устойчивости происходит
27
именно локализацнонным образом с дальнейшим превращением зон локализации в разрывные нарушения, не имели бы под собой никаких оснований ведь неустойчивость могла быть в равной мере и диффузной, и тогда не было бы никакого зарождения разрывов
Таким образом, отсутствие обоснования обязательности возникновения именно локализацноннон неустойчивости в унругошшстичсских телах хотя бы при некоторых условиях является существенным логическим пробелом рассматривамой концепции, а его хотя бы частичное восполнение -актуальной задачей теории, решение которой, составлявши ice одну из главных целей диссертации, изложено в Гл.5 последней. Изложение следует работам автора [35, 111, 113] и дополнено некоторыми новыми материалами.
В контексте такого исследования приходится отказаться от слишком конкретного, узкого и поверхностного определения локализации как концентрации относительно больших инкрементальных деформаций в предельно тонких плоских слоях, поскольку оно не отражает существенных признаков понятия локализации Форма зон концентрации деформаций и их распределение в этих зонах не должны задаваться заранее, в то время как локализационный и диффузный типы деформирования должны пониматься предельно широко - как взаимно дополнительные, охватывающие в совокупности весь диапазон возможных деформационных мод
При таком широком понимании локализации единственным способом установления принадлежности той или иной деформационной моды к локализационному типу является использование критерия, основанного на некоторой количественной мере локализации, значение которой ставилось бы в соответствие каждой моде и тем самым характеризовало ее В качестве такой меры предлагается величина "локализашюнгного объема", которая появляется естественным образом в ходе анализа неустойчивости и форм ее проявления, и, как оказывается впоследствии, представляет собой оценку объема той части тела, в которой концентрируются относительно большие
- Київ+380960830922