Динамические смешанные задачи для ограниченного объема жидкости на упругом основании

Содержание
Введение 3
I. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению первого рода. 12
1. Постановка задачи 12
2. Построение решения задачи для упругой среды. 16
3. Построение решения задачи для объема жидкости. . 23
4. Вывод интегрального уравнения. 24
II. Свойства интегрального уравнения 26
1. Свойства символов ядра интегрального уравнения. 26
2. Теоремы единственности. 28
3. Некоторые сведения из теории факторизации функции и матриц-функций. 33
III. Построение решения интегрального уравнения 40
1. Сведение интегрального уравнения к системе функциональных соотношений 40
2. Задача Римана. Общий вид решения • 44
3. Факторизация матрицы-функции 47
4. Факторизация вектора-функции. Построение решения функционального уравнения 56
IV. Вывод расчетных формул. Анализ полученных результатов. 59
1. Определение, аналитических выражений для распределения контактных напряжений 59
2. Численный аначиз полученного решения: распределение контактных напряжений с учетом геометрических физических и частотных факторов 62
Заключение 67
Список основных обозначений 68
Библиографический список 70
Приложение 87
3
Введение
В последнее время пристальное внимание привлекают к себе проблемы, связанные с изучением динамических задач теории упругости и математической физики для сред сложной структуры.
Растущий интерес к этим задачам связан, в частности, с развитием сейсмологии, гидроакустики, геофизики, вибрационного просвечивания Земли, интенсивным освоением природных ресурсов Мирового океана.
Повышение требований к надежности и долговечности промышленных, г идротехнических и энергетических объектов, особенно в районах сейсмической активности, . обуславливает необходимость разработки достоверных способов исследования сооружений, их колебаний, напряженно деформированного состояния и его изменения во времени.
Среди вопросов требующих решения, следует назвать такие как взаимодействие сооружений с основанием и жидкой средой; распространение волн в основании, жидкости и сооружении.
Кроме того, распространение методов вибрационной разведки полезных ископаемых, в чаегггости, под дном водоемов и в прибрежной зоне морей и океанов, требует изучения влияния масс жидкости на распространение волн в упругих средах.
Перечисленные проблемы заставляют рассматривать модели, представляющие собой системы слоев идеалыгой сжимаемой жидкости и однородных упругих слоев с нлоскопараллельными границами раздела.
Исследования по указанному кругу вопросов проводятся в Кубанском государезвенном университете в рамках программы "Университеты России" и Фсдсршгьной Целевой программы "Инге!рация" № 368, а также проекта "Научно-образовательный эколого-аналитический
4
центр системных исследований, математического моделирования и экологической безопасности юга России" № П.Р.304 (REC 004 ).
Настоящая работа посвящена разработке метода решения интегральных уравнений, порождаемых контактными задачами о колебании ограниченного объема жидкости на упругом основании.
Значительный вклад в развитие контактных задач внесли: Б.Л. Абрамян, В.М. Александров, А.Я. Александров, Ю.А. Амензаде, Н.Х. Арутюнян, В.А. Бабешко, В.М. Бабич, A.A. Баблоян, A.B. Белоконь, Н.М. Бородачей, И.Н. Векуа, И.И. Ворович, Л.А. Галин, Е.В. Глушков, В.Т. Гринченко, B.C. Губенко, Б.А. Ефимов, А.И. Каландия, М.А. Колтунов, В.Д. Купрадзе, А.И. Лурье,: В.И. Малый,
М.Д. Мартыненко, В.И. Моссаковский, И.А. Молотков,
Н.И. Мусхелишвили, С.М. Мкиторян, Б.М. Нуллер, В.В. Панасюк, Г.Я. Попов, В.З. Патрон, B.C. Проценко, Б.Л. Пелех, В.А. Рвачев,
II.А. Ростовцев, B.C. Саркисян, Б.И. Сметанин, В.М. Сеймов,
Л.А. Толоконников, B.C. Тоноян, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, Я.С. Уфлянд, А.И. Цейтлин, М.И. Чебраков, Д.И. Шерман, И.Я. Штаерман и многие другие исследователи. Обзор результатов, полученных в этой области, приведен в работах [1,41, 53, 66-68, 130, 164].
Динамические контактные задачи исследовались в работах: В.М. Александрова [7, 8], Н.Х. Арутюняна 112], A.C. Алексеева [9], В.А. Бабешко [13-17, 20-22, 24, 25, 67], A.B. Белоконь [42-45], Н.М. Бородачева [50-53], И.И. Воровича [24, 63-67], Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой [25, 73-75], В.И. Закорко, H.A. Ростовцева 183],
A.C. Зильберглейта, Б.М. Нуллера [84, 85], В.В. Калинчука,
И.Б. Поляковой [86J, В.Д. Кунадзе [94-96], М.Д. Мартыненко,
B.C. Романчик [105], Л.А. Молоткова [108], Т.Б. Муравского [111], Г.И. Петрашеня [120, 121], Г.Я. Попова [122-124], О.Д. Пряхииой [33-35,
5
126, 127], A.H. Румянцева [138], В.Л. Свекло [140], В.М. Сеймова [146-148], а также в работах [6, 26-30, 32, 36, 151, 157, 177, 180].
Решению нестационарных задач уделили внимание A.B. Белоконь [43], A.C. Благовещенский [46, 47], В.Д. Купрадзе [96], А.И. Слепян [152, 153], A.B. Смирнова [126, 127, 154-156], Ю.С. Яковлев [153] и другие авторы.
При решении сложных задач механики деформируемого твердого тела успешно применялись различные аналитические методы, в частности, метод факторизации [15,16,18,23,67,125], метод ортогональных полиномов и собственных функций [124, 147, 162], метод R-функций [129, 130], асимптотические методы [3, 19, 41, 66, 107, 109], метод интегральных уравнений второго рода [50-53, 98,99], метод фиктивного поглощения [18, 34, 35].
Преимущества этих методов состоят в явном виде решений интегральных уравнений первого рода, порождаемых динамическими контактными задачами и в возможности качественного исследования этих решений.
Смешанные динамические задачи механики деформируемого тела относятся к категории труднейших задач теории упругости. Наличие разрывных граничных условий приводит к необходимости решать интегральные уравнения первого рода с ядрами, обладающими как особенностями, гак и сильной осцилляцией. Кроме того, математическая постановка краевых задач о возбуждении колебаний в неограниченных и полуограниченных средах требует корректной формулировки условий поведения решения на бесконечности.
Установлению этих условий посвящены работы А. Зоммерфельда [183], И.Н. Векуа [59], А.Г. Свешникова [141-143], А.Н. Тихонова,
А.Л. Самарского [ 159].
6
В работах В.А. Бабешко [17 ,20, 22,], И.И. Воровича [64-66], JI.А. Молоткова [108] и других авторов [85, 91, 163] дана строгая математическая постановка краевых задач об установившихся колебаниях в полуограничениых упругих телах и рассмотрена единственность их решения.
Вклад в исследование проблем распространения волн в упругих средах внесли В.Н. Бабич 139, 40], СЮ. Бабич, А.П. Жук, А.Н. Гузь [411, И.А. Молотков [40, 107|, Е.В. Глушков [73-75], В.Г. Гринченко,
В.В. Мелешко [79], Г.И. І Іетрашень [120], А.Ф. Улитко [162] и другие исследователи.
Среди множества работ, в которых затронуты вопросы распределения акустических волн в жидкости отметим следующие [54-57, 72, 82, 97, 139, 152].
Причем в работах [54, 56, 72, 82, 139] в качестве инструмента исследования применялся лучевой метод, имеющий ряд ограничений на параметры задачи.
В работах [55-57] изучение акустических колебаний проводилось на основе точного решения краевых задач. При этом в качестве подстилающего основания выбиралось либо абсолютно неподатливое дно, либо жидкое.
Проблемы динамического воздействия жидкости с упругими телами и средами рассматривались в работах В.Н. Сеймова [149, 150], Е.М. Гершуиова [71], М.В. Чепиль [38, 170], Б.М. Островерха [117-119],
A.B. Смирновой [38, 114], А.М. Трофимчука [150, 161], В.М. Ляхтера [102, 103], И.С. Шейнина [102, 172], К.В. Фролова [169], A.B. Белоконь [42] и других авторов.
Нестационарные волновые поля в жидкости на упругой среде были изучены в работах [104, 153]. В частности, в работе [153] был приведен
7
анализ вклада волн различного типа системы "жидкость - упругое полупространство" в гидродинамическое давление.
В монографии 1150] авторами В.М. Сеймовым, А.Н. Трофимчуком,
O.A. Савицким приведены тщательные разработки методов исследования гидроупругих задач различного типа, направленные на выявление особенностей волновых процессов. Была рассмотрена, например, плоская задача о распространении волн в жидкости, расположенной на упругой полуплоскости под воздействием гармонической нагрузки, приложенной на границе раздела сред. Были получены перемещения в полуплоскости и гидродинамическое давление жидкости, а также проведено исследование волн Стоунли и Релея.
Работа [149] посвящена исследованию распространения упругих волн в гидротехнических сооружениях при динамических нагрузках с учетом взаимодействия с жидкостью и упругим основанием. Авторами приведены аналитические методы решения нестационарных задач для жесткого прямоугольного массива (штампа), двухмассовой системы, резервуара с жидкостью на упругом полупространстве при заданной сейсмограмме. Кроме того, на основе метода конечных разностей построены математические модели для исследования волн напряжений и деформаций конкретных сооружений.
Вопросы, связанные с колебанием резервуаров с жидкостью, рассматривались так же в работах М.А. Климова [87], Б.Г. Коренева [89, 90], А.М Трофимчука [161].
Задача о колебании штампа на упругом основании является модельной для многих практических задач фундаментостроения, сейсмологии, вибрационного просвечивания Земли и других отраслей науки и техники.
В ранних работах на основании упрощенных контактных условий были получены приближенные законы распределения контактных напряжений для слоя и полупространства [175,184].
В работе [10J приведены результаты экспериментальных исследований взаимодействия штампа с упругим основанием.
Задача об определении контактных напряжений под штампом на упругом основании при различных видах внешних динамических воздействиях рассматривалась в целом ряде работ, например, [24, 31, 50, 52, 111, 151, 155, 156].
В настоящей работе аналитически исследуется распределение контактных напряжений на границе раздела сред: упругое основание -ограниченный слой жидкости.
Методом решения интегрального уравнения, к которому сводится изучаемая в данной работе краевая задача теории упругости, является метод факторизации функций и матриц-функций. Основы его были заложены в знаменитой работе Н. Венера и Е. Хопфа [ 185 J.
Большой вклад в развитие и использование этого метода внесли
В.М. Александров, В.А. Бабешко, М.Н. Винник, И.И. Ворович, И.Ц. Гокберг, М.П. Крейн, С. Ли, Р. Миттра, Б. Нобл, Г.Я. Попов, И.М. Раппопорт, И.А Фельдман, В.А. Фок, Ю.И. Черский, Г.И. Эскин и др., из работ которых следует указать [3, 5, 7, 8, 15, 16, 18, 23, 24, 30, 31, 61,67, 76, 77, 92, 106, 115, 125, 128, 174, 176, 182].
Основные результаты метода факторизации вытекают из теории краевых задач аналитических функций, разработанной в монографиях П.П. Векуа [159], Ф.Д. Гахова [70], Н.И. Мусхелишвили f 112, 113].
Целью настоящей работы являегся развитие методов решения динамических контактных задач о совместных колебаниях жидких и упругих сред; исследование и решение интегрального уравнения первого рода, ядро которого имеет особый вид и зависит как от суммы, так и от
9
разности аргументов; построение функции распределения контактных напряжений на границе раздела сред с учетом частотных и физических факторов.
Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержаться в публикациях [131-137] и были представлены на региональных конференциях в Краснодаре [132, 135], Сочи [134], Киеве [131, 133], на III Всесоюзной конференции по смешанным задачам механики деформируемого тела в Харькове [137], на XII Всероссийской конференции по теоретическим основам и конструированию численных алгоритмов решения задач математической физики (11овороссийск, 1998 г.), XVI Международной конференции по математическому моделированию в механике деформируемых тел (Санкт-Петербург 1998 г.).
Изложим кратко содержание диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения, в которое вынесен графический материал.
Первая глава посвящена математической постановке контактной задачи о колебаниях ограниченного объема жидкости и для упругого основания, в качестве которого рассматривались упругое полупространство и упругий слой с защемленной нижней 1раш»ю.
Используя равенство вертикальных составляющих скоростей точек жидкости и упругой среды в зоне контакта, исходная задача сведена к интегральному уравнению первого рода относительно неизвестного гидродинамического давления на г ранице раздела сред.
Во второй главе изучены свойства полученного интегрального уравнения, ядро которого зависит как от суммы, так и от разности аргументов и представляет собой бесконечную сумму несобственных
10
интегралов. Доказаны теоремы единственности для интегральных уравнений подобного вида.
В конце главы приводятся известные сведения о факторизации функций и матриц-функций, полученные разными авторами. Рассматриваются методы приближенной факторизации, необходимые для построения решения.
Третья глава посвящена построению решения интегрального уравнения динамической контактной задачи, сформулированной в первой главе. Интегральное уравнение первого рода преобразования Фурье сводится к функциональному, исходя из которого получена система функциональных соотношений.
После представления системы в матричной форме, для ее разрешения применен метод Винера-Хопфа. Применение этого метода к матричному функциональному уравнению приводит к необходимости кроме факторизации функций приводить и факторизацию матриц-функций. Особенностью матрицы-функции изучаемой системы является то, что она не обладает необходимыми свойствами для применения теорем о факторизации матриц-функций. Поэтому ее факторизация проводилась в несколько этапов. Вначале с помощью умножения исходной матрицы справа и слева на две треугольные матрицы специального вида проводится ее нормализация. Затем осуществляется факторизация полученной матрицы в виде произведения и выполняется переход к исходной матрице, легко разделяемой в произведение двух, элементы которых регулярны в соответствующих областях.
После проведения факторизации вектора функции в виде суммы, построено решение исходного функционального уравнения.
В четвертой главе, в результате вычисления интегралов обратного преобразования Фурье получены расчетные формулы для определения гидродинамического давления на границе раздела сред.