Введение................................................................6
Глава 1. Основные положения линеаризованной теории упругости 15
1.1 Основные соотношения нелинейной теории упругости..................15
1.2 Линеаризация соотношений теории упругости для тел с начальными напряжениями..........................................................18
Глава 2. Контактные задачи для предварительно напряженного упругого слоя.........................................................21
2.1 Контактная задача для предварительно напряженного сжимаемого упругого слоя, лежащего без трения на жестком основании...............21
2.1.1 Постановка задачи...............................................21
2.1.2 Сведение задачи к интегральному уравнению.......................22
2.1.3 Асимптотическое решение при большой относительной толщине слоя 24
2.1.4 Асимптотическое решение при малой относительной толщине слоя... 27
2.1.5 Приближенное численное решение по методу Мультоппы-Каландии. 30
2.2 Контактная задача для предварительно напряженного сжимаемого упругого слоя с закрепленной нижней гранью............................33
2.2.1 Сведение задачи к интегральному уравнению.......................34
2.2.2 Асимптотическое решение при большой относительной толщине слоя 37
2.2.3 Асимптотическое решение при малой относительной толщине слоя... 38
2.2.4 Приближенное численное решение по методу Мультоппы-Каландии. 40
з
2.3 Контактная задача для предварительно напряженного несжимаемого упругого слоя, лежащего без трения па жестком основании................42
2.3.1 Постановка задачи...............................................42
2.3.2 Сведение задачи к интегральному уравнению.......................43
2.3.3 Асимптотическое решение при большой относительной толщине слоя 45
2.3.4 Асимптотическое решение при малой относительной толщине слоя... 46
2.3.5 Приближенное численное решение по методу Мультоппы-Каландии. 48
2.4 Контактная задача для предварительно напряженного несжимаемого упругого слоя с закрепленной нижней гранью.............................50
2.4.1 Сведение задачи к интегральному уравнению.......................51
2.4.2 Асимптотическое решение при большой относительной толщине слоя 53
2.4.3 Приближенное численное решение по методу Мультоппы-Каландии. 55 Глава 3. Задачи механики разрушения для предварительно
напряженного упругого слоя............................................58
3.1 Задача о трещине для сжимаемого упругого слоя с начальными напряжениями с шарнирно опертыми гранями..............................58
3.1.1 Постановка задачи...............................................58
3.1.2 Сведение задачи к интегральному уравнению.......................59
3.1.3 Асимптотическое решение при большой относительной толщине слоя 61
3.1.4 Асимптотическое решение при малой относительной толщине слоя... 63
4
3.1.5 Модифицированный метод Мультоппа-Каландии.......................64
3.2 Задача о трещине для сжимаемого упругого слоя с начальными напряжениями со свободными гранями.....................................66
3.2.1 Постановка задачи...............................................66
3.2.2 Сведение задачи к интегральному уравнению.......................67
3.2.3 Асимптотическое решение при большой относительной толщине слоя 69
3.2.4 Асимптотическое решение при малой относительной толщине слоя... 71
3.2.5 Модифицированный метод Мультоппа-Каландии.......................76
3.3 Задача о трещине для сжимаемого упругого слоя с начальными напряжениями с жестко закрепленными гранями............................78
3.3.1 Постановка задачи...............................................78
3.3.2 Сведение задачи к интегральному уравнению.......................79
3.3.3 Асимптотические решения при большой относительной толщине слоя 81
3.3.4 Асимптотическое решение при малой относительной толщине слоя... 82
3.3.5 Модифицированный метод Мультоппа-Каландии........................84
3.4 Продольная трещина в предварительно напряженном несжимаемом упругом слое с шарнирно опертыми гранями................................85
3.4.1 Постановка задачи................................................85
3.4.2 Сведение задачи к интегральному уравнению........................86
3.4.3 Асимптотические решения при большой относительной толщине слоя 88
5
3.4.4 Асимптотическое решение при малой относительной толщине слоя... 89
3.4.5 Модифицированный метод Мультоппа-Каландии......................90
3.5 Продольная трещина в предварительно напряженном несжимаемом упругом слое со свободными гранями....................................92
3.5'. 1 Постановка задачи..............................................92
3.5.2 Сведение задачи к интегральному уравнению......................93
3.5.3 Асимптотические решения при большой относительной толщине слоя 95
3.5.4 Асимптотическое решение при малой относительной толщине слоя... 96
3.5.5 Модифицированный метод Мультоппа-Каландии.....................98
Заключение.........................................................100
Приложение.........................................................102
Список литературы...................................................114
6
Введение
Во всех реальных конструкциях и деталях машин практически всегда существуют начальные или остаточные напряжения. Причины их возникновения могут быть совершенно различными. Зачастую начальные напряжения в деталях и конструкциях создаются специально при их изготовлении или сборке. Также они могут появляться в процессе эксплуатации как под влиянием механических факторов, таких как необратимые пластические деформации, так и по причинам, носящим немеханический характер (локальное изменение агрегатного состояния, физико-химические процессы и структурные изменения в материале). Наконец, начальные напряжения могут быть обусловлены постоянным действием массовых (например, гравитационных) сил.
Наличие начальных напряжений сказывается на всем напряженно деформированном состоянии тел, поэтому может влиять на прочность конструкций, приводить к внутренней потере устойчивости, способствовать локальному разрушению материала и пр. Учет остаточных напряжений при расчете элементов конструкций, машин и сооружений позволит при их создании более эффективно учесть прочностные ресурсы материалов путем правильной оценки запасов прочности и существенно понизить их материалоемкость, сохраняя нужные функциональные характеристики в целом.
7
Более полное представление о влиянии начальных напряжений и важности их учета можно почерпнуть из источников [60-63].
В настоящее время в технике для улучшения прочностных свойств деталей, возможности их использования в условиях повышенных температур или в присутствии агрессивных сред широко применяются различные покрытия. Поскольку такие детали зачастую являются ответственными элементами конструкций, чье разрушение может привести к катастрофическим последствиям, необходима их регулярная диагностика. В теоретическом плане эта проблема может быть сведена к рассмотрению задач о предварительно напряженном бесконечном слое со смешанными граничными условиями.
Аналогичные задачи могут возникать и при расчете тяжелых фундаментных плит и строительных перекрытий, находящихся в поле действия гравитационных сил [29].
Характерной особенностью таких задач является то, что в математическом плане они в основном являются задачами со смешанными граничными условиями (контактными задачами) для сжимаемых и несжимаемых тел при однородных начальных состояниях и, как правило, сводятся к решению интегральных уравнений.
Основополагающими в теории смешанных задач были исследования Г. Герца [3, 4], Я. Буссинеска [1], С. Л. Чаплыгина [101]. В дальнейшем развивались методы их решения, основанные на теории функций комплексного переменного, разработанные Н. И. Мусхелишвили и его последователями. Эти методы базируются на использовании конформных отображений и теории
сингулярных интегральных уравнений. Результаты работ этого периода освещены в монографиях Н. И. Мусхелишвили [78], И. Я. Штаермана [105], Л. А. Галина [45], А. И. Лурье [75], И. Снеддона [90], С. Г. Михлина [76], В. И. Довноровича [66], Я. С. Уфлянда [91]. Подробные обзоры проведены Д. И. Шерманом [103, 104], Н. А. Кильчевским и Э. Н. Костюком [70].
Более аетивные исследования задач механики со смешанными граничными условиями приходятся на вторую половину прошедшего столетия. В этот период развиваются несколько основных направлений. В одном из них задача сводится к парным или тройным функциональным уравнениям (рядам, интегральным уравнениям), которые затем преобразуются к интегральному уравнению Фредгольма ГГ рода. К этому направлению можно отнести работы
Н. Н. Лебедева, Я. С. Уфлянда, И. И. Воровича, Ю. А. Устинова и др.
Второе, развиваемое Н. X. Ару гюняном, Б. Л. Абрамяном, А. А. Баблояном, С. М. Мхитаряном, Г. М. Валовым и др., характеризуется непосредственным сведением краевых задач к некоторой бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.
Исследователи третьего направления (А. И. Лурье, П. И. Клубин, Г. Я. Попов, Н. А. Ростовцев, В. М. Александров и др.) сводят задачу к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений путем разложения решения в ряд по специальным системам ортогональных полиномов.
Еще одно направление основано на идее коллокации (И. Я. Штасрман,
A. И. Каландия, И. И. Ворович, В. М. Александров, В. В. Копасенко,
B. М. Фридман, В. С. Чернина и др.) В этом случае искомые величины обычно
9
аппроксимируются конечным набором параметров, которые определяются из известных требований, накладываемых граничными условиями.
Часть исследований, проведенных по первому направлению, изложена в монографии Я. С. Уфлянда [91]. Обзоры работ по всем четырем направлениям были даны Б. Л. Абрамяном и А. Я. Александровым [8], Б. Л. Абрамяном [7].
Дальнейшее развитие теории задач со смешанными граничными условиями происходило по пути усложнения как рассматриваемых областей (полоса, слой, клин, цилиндр, тела конечных размеров) [15], так и свойств исследуемых материалов (анизотропия, вязкоупругость, пластичность). В отдельные области можно выделить исследования по трибологии (Горячева И. Г., Коваленко Е. В.) и динамические задачи (Горшков А. Г., Тарлаковский Д. В.). Наконец, постоянное повышение требований к точности расчета конструкций привело к необходимости учета начальных (остаточных) напряжений в телах. Наиболее полное представление о результатах работ последнего периода по проблемам смешанных (контактных) задач можно получить из обзорного труда [40].
Исследования влияния начальных (остаточных) напряжений стали активно проводиться в нашей стране и за рубежом лишь в конце XX столетия. Необходимо отметить, что в общем случае, строгая постановка таких задач требует привлечения аппарата нелинейной теории упругости [74, 80], что сильно затрудняет построение аналитических решений. Однако, при условии больших начальных напряжений (деформаций) можно ограничиться рассмотрением линеаризованной теории упругости [55, 63].
Первые работы по контактным задачам для преднапряженных тел посвящены взаимодействию упругих тел с жесткими штампами для классических областей типа полуплоскости и полупространства. Причем рассматриваются либо упругие потенциалы конкретной довольно простой формы (Трелоара, Муни и др.) [951, либо задача ставится в общем виде для сжимаемых и несжимаемых тел с потенциалом произвольной структуры [34, 35].
Изучение более сложных задач стало возможно благодаря развитию подходов к исследованию смешанных краевых задач теории упругости и методов решения интегральных уравнений. Одним из наиболее эффективных подходов для материалов с произвольным видом упругого потенциала и однородной начальной деформацией является подход, предложенный А. Н. Гузсм [50, 51, 53]. Он основан на использовании теории функций комплексного переменного для плоских задач [50, 51] и теории потенциала (интегральных преобразований, интегральных уравнений) для пространственных задач. Этот подход был развит в работах А. Н. Гузя,
С. Ю. Бабича, Ю. П. Глухова, В. И. Кшоха, В. М. Назаренко, В. Б. Рудницкого и др. [32-36, 49-51,53, 54,64]
Не менее эффективным оказался подход, основанный на асимптотических методах решения интегральных уравнений, используемый в настоящей работе. Асимптотический метод, позднее названный «методом больших Я» был предложен для решения смешанных задач теории упругости в работах И. И. Воровича, Ю. А. Устинова [42].
- Київ+380960830922