Математическое моделирование прочности и несущей способности анизотропных и композитных элементов конструкций

Содержание
стр.
ВВЕДЕНИЕ..............................................................6
ОБЗОР ЛИТЕРА ТУРЫ...................................................23
1. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ ОДНОРОДНЫХ и КВАЗИОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ И АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ. КРИТЕРИИ РАЗРУШЕНИЯ ...................................86
1.1. Краткий обзор известных теории кратковременной прочности 86
1.2. Критерии прочности при многоцикловом нагружении.............86
1.2.1. Определения и обозначения.................................94
1.2.2. Некоторые традиционные критерии прочности при многоцикловом нагружении....................................................95
1.2.3. Новый критерии прочности при многоцикловом нагружении 96
1.3. Критерии начала распространения макротрещин в изотропных телах при сложных напряженных состояниях.....................102
1.3.1. Некоторые определения и формулы..........................102
1.3.2. Развитие концепции Си в механике разрушения..............105
1.3.3. Критерии разрушения на базе энергетической теории прочности 118
1.3.4. Новый вариант о в - критерия в механике разрушения.......127
1.3.5. Новый вариант во- критерия в механике разрушения.........131
1.3.6. Вариант трактовки приближенных критериев разрушения 137
1.4. Критерии разрушения для анизотропного тела с макротрещиной 139
2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДА Ч О НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ..................................146
2.1. Поверхность нагружения.....................................146
2.2. Принцип максимума Мизеса и постулат Друккера. Ассоциированный закон деформирования.........................................149
2.3. Постановка задачи о предельном равновесии ...............152
2.4. Уравнение баланса мощностей..............................153
2.5. Экстремальные свойства предельных состояний деформирования .............................................................155
2.6. Кинематический и статический методы определения несущей способности конструкций. Сведение задачи к задаче линейного программирования.............................................158
2.7. Универсальный характер ассоциированного закона деформирования. О методе пластических решений................................161
3. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ ОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ
ОБОЛОЧЕК, ПЛАСТИН, БРУСЬЕВ.........................................168
2
3.1. Некоторые определения и гипотезы.............................168
3.2. Вывод параметрических уравнении предельной поверхности для анизотропных оболочек и пластин................................170
3.3. Вывод параметрических уравнений предельной поверхности для анизотропных брусьев...........................................174
3.4. Вывод параметрических уравнений предельной поверхности для окрестности вершины сквозной макротрещины в анизотропных тонких оболочках и пластинах..........................................178
3.5. Некоторые частные случаи.....................................182
4. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ ОБОЛОЧЕК\ ПЛАСТИН, БРУСЬЕВ,
ИЗГОТОВЛЕННЫХ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МА ТЕРИАЛОВ..........................186
4.1. О композиционных материалах..................................186
4.2. Параметрические уравнения предельной поверхности в пространстве обобщенных сил для слоистых композитных оболочек и пластин........................................................191
4.2.1. Уравнения предельной поверхности для случая кратковременного статического нагружения........................................191
4.2.2. Уравнения предельной поверхности для случая многоциклового нагружения (многоцикловая усталость)...........................196
4.2.3. Прочность слоистых композитных оболочек и пластин при длительном статическом нагружении..............................206
4.2.4. Прогнозирование прочности слоистых гибридаых композитных оболочек и пластин, работающих в условиях высоких температур 212
4.2.5. Учет совокупного влияния различных факторов на прочность слоистых гибридных композитных оболочек и пластин..............214
4.2.6. Параметрические уравнения предельной поверхности для слоистых композитных оболочек и пластин в пространстве обобщенных сил (общий
случай)...........................................................217
4.3. Прочность композитов, составленных из симметричных слоев структуры [+%/-%].................................................223
4.3.1. Уравнение предельной поверхности для композита структуры / + (р;/ - (pj] для случая кратковременного статического ... 224
4.3.2. Прочность композитных оболочек и пластин, составленных из симметричных слоев структуры [-Hpj/~(р}], в случае кратковременного статического нагружения...........................................234
4.3.3. Учет влияния времени, температуры и других факторов при
прогнозировании прочности композитов структуры [+(pj/~<pj]-.......236
4.4. Параметрические уравнения предельной поверхности в пространстве обобщенных сил для композитных 240
4.4.1. Уравнения предельной поверхности для композитных брусьев в случае кратковременного статического приложения нагрузок.......240
4.4.1.1. Предельные поверхности для композитных брусьев при наличии симметрии в строении материала и в геометрии поперечного сечения (случай кратковременного статического нагружения)..............247
з
4.4.2. Поверхность прочности для композитных брусьев в случае многоциклового нагружения ..........................................251
5. МЕТОДЫ И АЛ10 РИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДА Ч ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПРОЧНОСТИ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ КОМПОЗИТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ. 254
5.1. Вопросы, связанные с использованием параметрических уравнении предельных поверхностей для композитных элементов конструкции в приложениях. Алгоритм А1........................................254
5.2. Определение механических характеристик ортотропного монослоя
путем испытании трубчатых образцов из композита структуры [±<р]с-Алгоритм А 2....................................................263
5.3. О вычислении параметров композитов путем осреднения по Фойхту и осреднения по Рейссу..........................................270
5.4. Метод прогнозирования прочности слоистых композитных оболочек с использованием выпуклых многогранных поверхностей прочности для слоев. Алгоритм АЗ..............................................273
5.5. Оценка снизу несущей способности слоистых композитных оболочек вращения (статический метод). Алгоритм А4.......................280
5.6. Оценка сверху несущей способности композитных оболочек вращения (кинематический метод). Алгоритм ... А$................283
5.7. Метод жестких элементов и обобщенных линий разрушения.
Ачгоритм А6.........................................................288
6. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТА ТЫ РАСЧЕТОВ И ИХ АНАЛИЗ..........................312
6.1. Результаты прогнозирования прочности слоистых композиционных материалов......................................................312
6.1.1. Результаты прогнозирования кратковременной статической прочности слоистых КМ...........................................312
6.1.2. Результаты прогнозирования длительной статической прочности слоистых КМ.....................................................316
6.1.3. Результаты прогнозирования прочности слоистых ЬСМ при повышенных температурах.........................................318
6.1.4. Результаты прогнозирования прочности слоистых КМ при
многоцикловом нагружении............................................319
6.2. Некоторые результаты прогнозирования несущей способности статически определимых композитных ... 321
6.2.1. Несущая способность круговых цилиндрических оболочек с донышками.......................................................321
6.2.2. Несущая способность длинных цилиндрических оболочек замкнутого
профиля при кручении с растяжением...............т..................326
6.3. Некоторые примеры определения несущей способности анизотропных и композитных оболочек вращения с использованием статического и кинематического методов теории предельного равновесия 330
6.3.1. Определение несущей способности торообразной ... д^олоьку...331
6.3.2. Определение несущей способности круговой цилиндрической оболочки со шпангоутами....................................333
6.3.2.1. Алгоритм решения задачи статическим методом..........333
6.3.2.2. Алгоритм решения задачи кинематическим методом.......336
6.3.2.3. Некоторые результаты расчетов........................339
6.3.3. Определение несущей способности железобетонного полусферического купола....................................340
ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................350
ЛИТЕРАТУРА......................................................353
ГР А ФИЧЕСКИЙ МА ТЕ РИАЛ.........................................378
Введение
«Композиционные материалы (КМ), или композиты - материалы, образованные объемным сочетанием химически разнородных компонентов с четкой границей раздела между ними. Характеризуются свойствами, которыми не обладает ни один из компонентов, взятый в отдельности. Различают КМ волокнистые (упрочненные волокнами или нитевидными кристаллами), дисперсно-упрочненные (упрочни гель k виде дисперсных частиц) и слоистые (полученные прокаткой или прессованием разнородных материалов). По прочности, жесткости и др. свойствам превосходят обычные конструкционные материалы». Такое определение КМ дает Большой энциклопедический словарь (ред. Л.М. Прохоров, М.: СЭ, 1991. Т1. С.614). Это определение, как и любое другое, не может, естественно, претендовать на абсолютную полноту. Разные авторы в той или иной мере уточняют и дополняют его. Например, в справочнике [1) под ред. Д.М. Карпиноса приведены следующие определения. "Композиционными называются материалы, обладающие следующей совокупностью признаков: не встречаются в природе, поскольку созданы человеком; состоят из двух или более компонентов, различающихся по своему химическому составу и определенных выраженной границей; имеют новые свойства, отличающиеся от свойств составляющих их компонентов; неоднородны в микромасштабе и однородны в макромасштабе; состав, форма и распределение компонентов "запроектированы" заранее; свойства определяются каждым из компонентов, которые в связи с этим должны быть в материале в достаточно больших количествах (больше некоторого критического содержания)''
КМ являются прекрасной иллюстрацией к философской проблеме о соотношении категорий части и целого. В настоящее время в философии общепринята идея о несводимое!и целого к сумме частей (см., например, работу B.C. Зтепина, В.Г. Горохова, М.Л. Розова[ 1 ]). В работе Ю.Л. Пилиповского, Т.П. рудиной, А.Б. Сапожникова и др. (1] говорится о свойствах-суммах, свойст-
6
вах--произведениях композитов. В общем случае функциональная зависимость свойств КМ от соответствующих свойств, объемных долей компонент, структуры композита, технологии его изготовления и др. может быть весьма сложной.
Компонент, непрерывный во всем объеме КМ, называется матрицей, прерывистый, разъединенный в объеме композиции, - арматурой или армирующим элементом. Понятие "армирующий" означает "введенный в материал с целью изменения его свойств" (не обязательно "упрочняющий").
В зависимости от геометрии армирующих элементов и их взаимного расположения КМ бывают изотропными или анизотропными.
Первые имеют одинаковые свойства во всех направлениях, свойства вторых зависят от направления. К макроскопически изотропным КМ относят дисперсно-упрочненные сплавы, псевдосплавы и хаотично армированные КМ; к анизотропным КМ - материалы, в которых волокна ориентированы в определенных направлениях.
Хаотично армированные КМ упрочняются короткими (дискретными) частицами игольчатой формы (отрезками волокон или нитевидными кристаллами - так называемыми усами), ориентированными в пространстве случайным образом. При этом КМ получаются квазиизотропными, т.е. анизотропными в микрообъемах, но изотропными в объемах всего изделия.
Анизотропия КМ, "проектируемая" заранее с целью изготовления из КМ конструкций, в которых наиболее рационально ее использовать, называется конструкционной. Существует технологическая анизотропия, возникающая при пластической деформации изотропных материалов (металлов), и физическая, присущая кристаллам и связанная с особенностями строения их кристаллической решетки. Обычно в технике используются анизотропные КМ с определенной симметрией свойств (предполагается, что реальный неоднородный материал представляет собой некоторую идеализированную сплошную однородную среду, обладающую симметрией строения и свойств).
7
Ортотропные (ортогонально анизотропные) материалы характеризуются наличием в каждом элементарном объеме трех взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии свойств.
Материалы, имеющие плоскость изотропии и перпендикулярную ей ось симметрии бесконечного порядка, называются трансверсально-изотропными (транстропными). К ним относятся одноосно-армированные, или однонаправленные, КМ, в которых все волокна ориентированы в одном направлении.
К некоторым КМ понятие матрицы и арматуры неприменимо. К таким КМ относятся слоистые КМ, состоящие из чередующихся слоев двух металлических сплавов, или псевдосплавы, имеющие каркасное строение (эти материалы получают пропиткой пористой заготовки более легкоплавкими компонентами, их структура представляет собой два взаимно проникающих непрерывных каркаса) .
Понятно, что эти определения даны с узких технических позиций. Если понимать композит в широком смысле этого слова, то можно убедиться в том, что окружающая нас природа дает удивительные примеры создания различных материалов (композиций) из ограниченного числа элементов. Имея перед собой такой мощный пример, человек, используя научные достижения, способен создавать такие материалы, которые будут оптимальными с позиций их применения в народном хозяйстве, экологии, ресурсосбережения, энергозатрат и т.д. В последнее время, в связи с широким внедрением композитов в народное хозяйство, все чаще стали говорить о том, что на смену "железному веку" приходи I "век композитов", как в свое время на смену "каменному веку" пришел "бронзовый век".
Граница раздела между компонентами (фазами) КМ является, по существу, границей взаимодействия этих фаз, границей, где различные компоненты соединяются, связываются друг е другом. Граница раздела играет большую роль в деле создания композита. Можно утверждать, что если нет границы раздела, то нет и композита.
х
Для успешного применения вновь создаваемых КМ в народном хозяйстве необходимо знание их свойств. При определении необходимых характеристик КМ экспериментальная и теоретическая работы идут параллельно, тесно переплетаясь друг с другом. Накопленные экспериментальные результаты должны быть объяснены и обобщены внутренне непротиворечивой теоретической моделью. Удачная теоретическая модель может подсказать направление и объем дальнейшей экспериментальной работы. Далее по результатам экспериментов может быть развита теория и т.д. При этом, если экспериментальная часть работ предполагает наличие мощной экспериментальной базы и требует больших затрат времени и средств, то для математического моделирования часто достаточно наличия бумаги и карандаша. В то же время результаты математического моделирования могут быть весьма впечатляющими. Математическое моделирование позволяет выделить необходимый и достаточный минимум характеристик КМ, которые должны быть определены экспериментально, позволяет снизить объем и стоимость экспериментальной работы, иногда позволяет обнаружить ошибки эксперимента. Только удачное сочетание экспериментальной работы и математического моделирования позволяют надеяться на успешное продвижение вперед по пути определения необходимых характеристик КМ, в частности, их эффективных механических характеристик, затрачивая на это оптимальные объемы средств, сил и времени.
Проблемы механики анизотропных и композитных материалов и конструкций из них решали многие известные отечественные и зарубежные ученые: Д.С. Аболиньш, И.В. Андриянов, H.A. Алфутов, С.А. Амбарцумян, Е.К. Ашкенази, И.Ю. Бабич, В.Л. Бажанов, Н.В Баничук, И.С. Бахвалов, В.Л. Бердичевский, В Л. Бидерман, В.В. Болотин, В. А. Бунаков, И. А. Буяков, Ф.Я. Булаве, Г.И. Брызгалин, В.Г. Булманис, Г.А. Ванин, А.Т. Василенко, В.В. Васильев, Ж.Р. Винсон, Э.М Ву, И И. Гольденблат, В Т. Головчан, В Т. Голуб, В.И. Горбачев, Я.М. Григоренко, А.Н. Гузь, Э.И. Григолюк, Г.М. Гуняев, А Н. Елпатьев-ский, П.Г1. Ершов, И.Г. Жигун, Ю.В. Захаров, П.А. Зиновьев, A.A. Заболоцкий, Р.И. Каралюнас, А.Л. Каламкаров, P.A. Каюмов, В.И. Королев, Б.А. Кудрявцев,
9
А.Ф. Крегерс, P.M. Кристенсен, В.А. Коннов, A.C. Кравчук, А.Г. Колпаков, В.В. Кобелев, Д.М. Карпинос, Ю.И. Кузьменко, М.И. Кожевников, А.Ж. Лагздинь, С.Г. Лехницкий, В.А. Ломакин, А.К. Малмейстер, Д. Марин, В.П. Майборода, Б.П. Маслов, Л.И. Маневич, М.Ш. Микеладзе, С.Т. Милейко, Ю.А. Митропольский, В.Л. Нарусберг, Ю.М. Новичков, Ю.В. Немировский, И.Ф. Образцов, A.C. Овчинский, Ю.В. Олейник, Н.Д. Пагано, В.Н. Паймушин, Г.Г1. Панасенко, В.З. Партон, Б.Л. Пелех, В.В. Пикуль, В.Г. Пискунов, А.Н. Полилов, В. Прагер, В.Д. Протасов, Б.Г. Попов, Б.Е. Победря, Г.И. Пшеничное, AJI. Рабинович, Ю Н. Работнов, Б.В. Розен, A.B. Розе, М.В. Резцов, Б.С. Резников, Р.Б. Рикарде, В.А. Родионова, Л.Н. Сараев, II.П. Ссмешок, Д.П. Сендецкий, B.C. Сипетов, Р.Л. Сираковский, А.М. Скудра, Ю.В. Суворова, В.П. Тамуж, Ю.М. Тарноиольский, И.Г. Терегулов, Г.А. Тетере, В.Т. Томашсвский, Р. Толанд, Ю.С. Уржумцев, Т. Фудзии, Л.А. Фильштинский, ИН. Францевич, 3. Хашин, Р. Хилл, Л.Г1. Хоро-шун, Л. Ху, С.Б. Чсрсвацкий, С. Чамис, К.Ф. Черных, P.A. Шсйпсри, Г.Д. Шер-мергор, С. Штрикман, H.A. Шульга, М.Э. Эглит и др.
Обзор, не претендующий на исчерпывающую полноту, о принципиальном вкладе советской науки в развитие инженерной механики композитов, опубликован в работе Ю.М. Тарнопольского [11, библиография в котором содержит 73 наименования.
Наиболее широко внедряются КМ в тонкостенные оболочечные конструкции. Современная вычислительная техника открывает доступ к практическому решению широкого класса прикладных задач механики деформируемого твердого тела с более полным учетом свойств материала - нелинейной упругости и пластичности, ползучести, накопления повреждений. Вопросам расчета оболочек, в том числе с учетом геометрической и (или) физической нелинейности, посвящено большое количество работ. Теория оболочек в настоящее время представляет собой хорошо развитый и продолжающий развиваться раздел механики. Результаты фундаментального и прикладного характера изложены в ряде обобщающих монографий, например, в работах Х.М. Муштари, К.З. Гали-мова, В.В. Новожилова, С.А. Амбарцумяна, АЛ. Гольденвейзера, Я.М. Григо-
ю
ренко, А.Т. Василенко, М.С. Корнишина, Н.В. Валишвили, И.Г. Терегулова и др. Механике тонкостенных конструкций посвятили свои работы также Н И. Абовский, A.B. Александров, H.A. Алфутов, И.Я. Амиро, В.А. Заруцкий, А Н. Андреев, И.Г1. Андреев, В.Е. Вериженко, Ю.И. Виноградов, В.З. Власов, A.C. Вольмир, И.И. Ворович, Н.С. Ганеев, М.С. Ганеева, Л.А. Гордон, А.Г. Горшков, Э.И. Григолюк, A.C. Григорьев, А.П. Деруга, Л.Г. Доннел, М.А. Ильгамов, В.В. Кабанов, A.B. Кармишин, Ю.Г. Коноплев, В.И. Королев, Э.Э. Лавендел, Б.Я. Лащенков, И.Ф. Образцов, П.М. Огибалов, В.Н. Паймушин, В.В. Петров, A.B. Погорелов, Я.С. Подстригач, А.П. Прусаков, В.Г. Пискунов, Г.И. Пшеничнов, A.B. Рассказов, Э. Рейсснер, Р.Б. Рикарде, A.B. Саченков, А.Д. Смирнов, АТ. Угодчиков, С.П. Тимошенко, В.И. Фсодосьев, А.П. Филин, К.Ф. Черных, H.H. Шапошников и др.
Развитием методов расчета оболочек занимались, кроме вышеперечисленных, такие ученые, как Ю.П. Артюхин, ВТ. Баженов, З.И. Бурман, Э.Л. Ак-ссльрад, Д.В. Вайнберг, Н.В. Валишвили, А.И. Голованов, A.C. Городецкий, А.И. Гузь, В.И. Гуляев, Ю.П. Жигалко, А.К. Ибраев, В.А. Иванов, В.В. Кабанов, Б.Я. Кантор, В.И. Климанов, Н.В. Колкунов, В.А. Крысько, Ю.В. Липовцев,
A.М. Масленников, Б.А. Куранов, В.И. Мяченков, Б.Г. Победря, В.А. Постнов,
B.В. Рогалевич, Л.А. Розин, Л.М. Савельев, Я.Г. Савула, A.C. Сахаров, М.И. Серазутдинов, B.C. Сипетов, H.H. Столяров, Х.С. Хазанов, Н.И. Шапошников, Н.М. Якупов, С. Атлури, К. Бате, Д.В. Клаф, Р. Галлагер, JI. Марлей, Т. Пиан, О.С. Зенкевич, Дж. Оден и др.
Широкий круг исследований по механике композитных конструкций проведен украинскими учеными: Бабич И.Ю., Бондаренко A.A., Ванин Г.А., Василенко А.Т., Голуб Г.П., Григорснко Я.М., Гузь А.П.. Семенюк П.П., Шнерко К.И., Шульга H.A. и др. (см. библиографию в «Механике композитных материалов и элементов конструкций», т.2).
Теории расчета многослойных оболочек посвящена весьма обширная литература, обзор которой проводили А.К. Галиньш, Ф.А. Коган, A.A. Дудченко,
C.А. Лурье, И.Ф. Образцов, С.А. Амбарцумян, В.В. Болотин, Ю.Н. Новичков,
! i
В.В. Васильев, Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов, Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко, Г.П. Голуб, Ю.В. Немировский, Б.С. Резников, В.В. Пикуль, А.И. Г олованов, В.Е. Чепига, JI.II. Хорошун, С.В. Козлов, Ю.А. Иванов, И.К. Кошевой.
Проблемы теории пластичности и ползучести изучены в настоящее время глубоко. Большой вклад сделан такими учеными как P.A. Арутюнян, А. Балтов, Г.И. Быковцев, P.A. Васин, A.A. Вакуленко, М.А. Греков, A.A. Гвоздев, Г. Гринберг, X. Гейрингср, A.C. Григорьев, А. Грин, О.Ю. Динариев, A.C. Дех-тярь, Д. Друккер, М.И. Ерхов, Л.В. Ершов, В.Г. Зубчанинов, A.A. Илыошин. Г.В. Иванов, Д.Д. Ивлев, А.Ю. Ишлинский, Ю.И. Кадашевич, Г. Казинчи, Л.М. Качанов, P.A. Каюмов, В.Д. Клюшников, Д. Коларов, В. Койгер, B.C. Ленский, IO.Р. Леиик, Я.А. Леллеп, P.M. Мансуров, Р. Мусс, A.A. Марков, H.H. Малинин, Р. Мизес, А.Б. Мосолов, В.П. Мясников, Ю.В. Немировский, В.В. Новожилов, В. Олыиак, Е. Онат, Б.Е. Победря, A.A. Позднесв, А.М. Проценко, В. Прагер, Ю Н. Работнов, А.Р. Ржанииын, В.И Розенблюм, Я. Рыхлевский, Л И Сараев, А. Савчук, В.В. Соколовский, Л.А. Толоконников, И.Г. Терегулов, П.В. Трусов, С.М. Фейнберг, А. Фрейденталь, Ф. Ходж, Р. Хилл, A.A. Чирас, О Н. Шаблий, Г.С. Шапиро, С.А. Шестериков и др.
Механика разрушения тел, имеющих макротрещину, берет свое начало с работ A.A. Гриффитса. Большой вклад сделан такими учеными, как А.Е. Анд-рейкив, С. Атлури, Л.Т. Бережницкий, В.В. Болотин, В.Г. Борисковский, Э. By, А.Н. Гузь, Д.С. Дагдейл, М. Дзако, Л.В. Ершов, Ю.В. Зайцев, С.Е. Inglis, В. Н. Ионов, Дж. Р. Ирвин, И.Н. Карпенко, Л.М. Качанов, С.Е. Ковчик, М.Я. Леонов, С Г. Лехницкий, Г. Либовиц, Н А. Махутов, F A. McClintock, E. М. Морозов, IO. Мураками, Н.И. Мусхелишвили, ЕС). Орован, В.В. Панасюк, P.C. Paris, В.З. Партой, Ю. Н. Работнов, JR. Rice, О Н. Романив, Г.Н. Савин, М П. Саврук, В.В. Селиванов, I.N. Sneddon, G.C. Sih, Я.Б. Фридман, Т. Фудзии, Г.Т. Хан, Г.П. Черепанов, В.Н. Шлянников, Ф. Эрдоган, J.D. Eshelby и др.
Математические модели деформирования и разрушения материалов (в том числе и КМ) должны учитывать наиболее существенные стороны исследуемого физического явления, пренебрегая в то же время несущественными для рас-
12
сматриваемой задачи факторами. Но при этом «не следует ожидать, что когда-то будет построено здание механики композитов, по строгости и завершенности напоминающее здание теории упругости или даже линейной механики разрушения. Механика композитов, будучи в большой степени прикладной дисциплиной, всегда будет опираться на фундамент исходных предположений, гораздо более обширных, нежели на предположение об обратимости в теории упругости или концепцию критического коэффициента напряжений в линейной механике разрушения. Это определяется сложной (композитной) структурой объекта исследования» (С.Т. Милейко, Ю Н. Работнов [1]). Одним из наиболее удачных и широко используемых методов оценки несущей способности конструкций (исходя из условий прочности) является метод предельного равновесия. Как отмечает в своей книге Д.Д. Гвоздев [1, с. 1851 чтобы метод предельного равновесия был обоснован, необходимо, чтобы вплоть до исчерпания несущей способности системы ее деформации оставались настолько малыми, что можно пренебречь изменениями всех геометрических величин, входящих в условия равновесия. Пренебрежение упругими деформациями в сравнении с пластическими приводит к так называемой жесткопластической модели деформируемого твердого тела. Использование теории предельного равновесия дает результаты, хорошо согласующиеся с опытом, для конструкций из материалов, диаграммы ст - г которых имеют относительно малые значения е... (предельные упругие деформации) и достаточно большие площадки текучести (например, для конструкций из мягких сталей, из железобетона). Особенностью жесткопластической модели является то, что бесконечно малым приращениям пластических деформаций соответствуют конечные приращения напряжений. В "жестких" областях тела, где приращения деформаций равны нулю, приращения напряжений не определяются.
В теории предельного равновесия, а именно, в так называемых статическом и кинематическом методах определения несущей способности конструкций, широко используют понятия виртуальных полей напряжений (статически допустимые напряжения, удовлетворяющие уравнениям статики и не выходящие
п
за пределы поверхности прочности в пространстве напряжений), виртуальных скоростей перемещений (кинематически возможные скорости, удовлетворяющие ограничениям кинематического характера). Как известно, система уравнений для решения задач механики деформируемого твердого тела включает в себя три большие группы - это уравнения статики (динамики), уравнения геометрии (кинематики) и уравнения физики. Уравнения физики связывают напряжения и деформации, т е. описывают диаграммы деформирования а - г. Приняв вместо реальных диаграмм ст - е виртуальные, можно завершить процесс перехода в пространство виртуальных параметров: статически допустимых полей напряжений, кинематически возможных полей скоростей деформаций и виртуальных диаграмм а - е. Как будет показано в соответствующих разделах настоящей работы, использование виртуальных диаграмм сг - с, аналогичных диаграмме а - с для жесткопластического тела, позволяет получать неплохие оценки разрушающих нагрузок и в тех случаях, когда разрушение в макромасштабе является хрупким (например, при многоцикловой усталости). Кроме того, жесткопластическая модель может служить основой для пошаговог о решения задач пластичности, когда в предельном состоянии имеют место большие необратимые деформации.
Основам теории пластического разрушения посвящены работы A.A. Гвоздева, A.A. Маркова, С.М. Фейнберга, Д. Друккера, В. Прагера, X. Гринберга, Р. Хилла, Ф. Ходжа, Д.Д. Ивлева, А О. Рассказова, A.C. Дехтяря, М.И Ерхова, А.Р. Ржаницына, А.М. Проценко, В. Олынака, 3. Мруза, Г1. Пежины, Н.И. Безу-хова, А. Савчука, И Г. Терегулова, A.A. Чираса и др. В настоящей работе существенно использованы основные положения теории предельного равновесия для прогнозирования прочности и несущей способности анизотропных и композитных элементов конструкций (оболочек, пластин, брусьев).
Цели и задачи исследования. Актуальность решаемых в диссертации задач определяется потребностями проектирования конструкций из новых композиционных материалов с учетом особенностей их структуры и свойств. Во многих случаях композиционный материал создается одновременно с изделием из это-
14
го материала. Наличие эффективных методов прогнозирования прочностных свойств КМ позволяет ускорить процесс создания изделия, при необходимости дает возможность оптимизировать структуру КМ применительно к назначению будущей конструкции. Знание разрушающей нагрузки позволяет создавать более экономичные изделия (путем назначения более грамотных коэффициентов запаса прочности). В связи с вышесказанным, первой целью настоящей работы является развитие теорий прочности (разрушения) материалов при сложном напряженном состоянии. Второй целью работы является разработка теорий прочности анизотропных и композитных оболочек, пластин, брусьев. Третьей целью является разработка методов и алгоритмов решения задач прогнозирования прочности и оценки несущей способности композитных элементов конструкций, получение численных результатов, их анализ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из обзора литературы по теме, 6 разделов, заключения и списка литературы.
Первый раздел посвящен теориям прочности и пластичности однородных и квазиоднородных изотропных и анизотропных материалов. Приводится краткий обзор известных теорий прочности. По аналогии с классической энергетической теорией прочности разработан критерий прочности при многоцикловом нагружении анизотропных материалов. Дано логическое обоснование структуры предлагаемого критерия предельного состояния. Рассмотрены некоторые вопросы, связанные с экспериментальным определением коэффициентов, входящих в предлагаемый критерий. Высказаны некоторые критические замечания по отношению к известным критериям прочности при многоцикловом нагружении.
Развита концепция О.С. БШ в механике разрушения изотропных тел. Развитие заключается в рациональном преобразовании предельного соотношения при переходе из пространства напряжений в пространство коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) Кь Кц, Кщ, без использования при этом дополнительных гипотез, существенно влияющих на результаты такого перехода. Из критерия для случая сложного разрушения, записанного предлагаемым автором
15
способом для случая сложного деформирования трещины (когда два или все три из КИП отличны от нуля) следуют, как частные случаи, критерии разрушения для всех видов простого разрушения, которые имеют место при простых деформированиях трещины (когда только один из КИИ отличен от нуля). Новый критерий разрушения обозначен как Бе критерий; он является аналогом известного Б - критерия Си.
Аналогичным, использованному для вывода 5С - критерия, способом получены еще три критерия разрушения для изотропного тела с макротрсщи-
ной:£/ - критерий (аналог известного критерия), а(0- критерий (аналог
известного су») - критерия), е(0 - критерий (аналог известного £о - критерия). Проведен анализ предлагаемых критериев разрушения, отмечены их достоинства в сравнении с известными аналогичными критериями. Предлагаемые критерии разрушения позволяют, для известного значения параметра внешней нагрузки р, построить линию процесса разрушения (границу зоны процесса разрушения в окрестности вершины трещины с окружающей эту зону упругой областью тела). Предложен способ аппроксимации полученных «точных» критериев разрушения путем использования параметра т, определяемого из условия удовлетворительной аппроксимации экспериментальных данных. Приведены результаты сравнения теоретических данных с экспериментальными данными других авторов, показана их удовлетворительная взаимосогласованность. Приведен пример определения несущей способности растянутой пластинки с центральной наклонной трещиной.
Предложен способ определения несущей способности тела с макротрещиной путем поиска экстремума функции внешней нагрузки р(0), определяемой соответствующим приближенным критерием разрушения, и последующего исследования напряженно-деформированного состояния для критических значений угла 0.
Получен критерий разрушения для анизотропного тела с макротрещиной.
Во втором разделе приведены основные положения теории предельного равновесия, изложены методы решения задач о несущей способности элементов конструкций. Здесь приведены известные положения теории, которые использованы в следующих разделах работы. В частности, переход от сведений, изложенных в первом разделе, к результатам, изложенным в третьем и четвертом разделах, осуществляется на основе соотношений, приведенных во взором разделе. Введено понятие о виртуальных диаграммах деформирования а 8. Подчеркнуто, что концепция о поверхности нагружения и ассоциированном с ней законе деформирования носит универсальный характер, а жесткопластическая модель деформирования твердою тела и соответствующий аппарат теории предельного равновесия могут служить основой метода пластических решений, когда в предельном состоянии имеют место большие деформации, а решение задачи проводится с использованием фактической диаграммы ст - с.
Третий раздел посвящен разработке теорий прочности для однородных анизотропных оболочек, пластин, брусьев при их кратковременном статическом нагружении. Получены параметрические уравнения поверхностей прочности для анизотропных оболочек, пластин, брусьев в пространстве внутренних сил для общего случая сложного сопротивления, а также параметрические уравнения поверхности разрушения для материала в малой окрестности вершины макротрещины в анизотропных оболочках и пластинках в пространстве обобщенных сил. При этом использованы, традиционные для гонких оболочек и пластин, для брусьев, гипотезы (статические и геометрические), постулат Друккера, ассоциированный с поверхностью прочности материала закон изменения кинематических характеристик процесса деформирования. Отмечено, что известные в научной литературе результаты следуют, как частные случаи, из полученных в настоящей работе параметрических уравнений предельных поверхностей. Этот раздел, хотя и имеет большое самостоятельное значение, в то же время, в какой-то степени, подготавливает почву для восприятия материала, излагаемого в четвертом разделе, который занимает центральное место в работе.
17
Четвертый раздел посвящен разработке теорий прочности для оболочек, пластин, брусьев, изготовленных из композиционных материалов. Выведены параметрические уравнения предельных поверхностей в пространстве обобщенных сил для слоисто-волокнистых (слои ортотропные) композитных оболочек и пластин для случаев кратковременного статического, длительного статического, многоциклового нагружений, позволяющие учитывать влияние повышенных температур на прочность композитных конструкций. Эти уравнения позволяют учитывать влияние комбинаций различных факторов на прочность слоистых композитных оболочек и пластин (например, позволяют прогнозировать прочность слоистых КМ при одновременном действии статических и циклических нагрузок, прогнозировать длительную статическую прочность при повышенной температуре и т.д.). При этом использованы обычные для тонких оболочек и пластин гипотезы, постулат Друккера, ассоциированный с поверхностью прочности для монослоя закон деформирования. Проведен анализ полученных уравнений. Дано обобщение полученных уравнений на случай общей анизотропии слоев, когда напряженное состояние определяется в Ы-мерном пространстве (в общем случае N > 6), а изменение кинематических характеристик деформирования но толщине пакета слоев может быть как линейным, так и нелинейным. Параметрические уравнения предельной поверхности в общем случае имеют весьма компактный вид. Отметим также, что в общем случае на структуру материала и на вид нагружения накладываются минимальные ограничения самого общего характера. Показано, как из общих уравнений следуют параметрические уравнения предельных поверхностей для некоторых частных случаев.
Выведено непараметрическое уравнение поверхности прочности для композита структуры [±ф]с в пространстве средних напряжений для случая сложного напряженного состояния. Проведен анализ влияния принимаемых гипотез на получаемые результаты. Даны формулы для определения прочностных характеристик композита структуры [±<р]с при простых напряженных состояниях. Отмечено, что для получения экспериментальных значений прочности компо-
18
зита фебуется создание специальных режимов деформирования, а при простых деформациях получаем некоторые комбинации разрушающих напряжений.
Далее приведены параметрические уравнения предельной поверхности для КОМПОЗИТНЫХ оболочек И пластин, составленных ИЗ симметричных слоев 1±фк], к = \,п. Эти уравнения следуют из общих уравнений при учете структуры композита. Наиболее простой вид они имеют для композита структуры [Эф]с- Дано обобщение полученных результатов для случая многоциклового нагружения КОМПОЗИТНЫХ оболочек И пластин, составленных ИЗ симметричных слоев [±фк]> к = 1,«.
Предложены критерии прочности для анизотропного бруса, для ортотрои-ных элементов композитных брусьев для случаев кратковременного статического и многоциклового нагружений.
Выведены параметрические уравнения предельной поверхности в пространстве обобщенных сил для композитных брусьев, армированных волокнами и (или) стержнями, в общем случае сложного сопротивления, для случая кратковременного статического нагружения. Даны упрощенные варианты этих уравнений, когда имеют место симметрия в строении композиционного материала и (или) симметрия в геометрии поперечного сечения бруса. Показано, что из общих уравнений следуют известные результаты для изотропных брусьев. Полученные уравнения обобщены на случай многоциклового нагружения композитных брусьев.
Пятый раздел посвящен разработке методов и алгоритмов решения задач прогнозирования прочности и определения несущей способности композитных элементов конструкций. Алгоритм А1 предназначен для построения определенных сечений гиперповерхности прочности, заданной параметрическими уравнениями, для композитных оболочек и пластин. Указан способ преодоления некоторых трудностей посфоения линейных участков таких сечений (эти трудности обусловлены особенностями жссткопластичсской модели).
Алгоритм А2 предназначен для определения прочностных характеристик ортотропного монослоя по результатам испытаний трубчатых образцов структуры [±<р]с на прочность. Основу алгоритма составляют соотношения, полученные в четвертом разделе настоящей работы. Здесь же приведен порядок определения оценок прочностных характеристик монослоя при поперечном сдвиге но результатам испытаний образцов структуры [±(р]с на срез.
Алгоритм АЗ основан на оригинальном методе прогнозирования прочности слоистых композитных оболочек с использованием выпуклых многогранных поверхностей прочности для слоев. На простом примере показано, что предлагаемый метод даег логически правильные результаты.
Алгоритм А4 основан на статическом методе теории предельного равновесия и предназначен для определения нижней оценки несущей способности композитных оболочек вращения. Алгоритм А5 основан на кинематическом методе теории предельного равновесия и предназначен для определения верхней оценки несущей способности композитных оболочек вращения. Для улучшения нижней и верхней оценок несущей способности композитных оболочек вращения рассматриваемые задачи сведены к соответствующим задачам линейного программирования.
Разработан оригинальный метод определения оптимальных верхних оценок несущей способности композитных оболочек и пластин, названный методом жестких элементов и обобщенных линий разрушения Метод является разновидностью кинематического метода теории предельною равновесия. Алгоритм А6, основанный на методе жестких элементов и обобщенных линий разрушения, сводит рассматриваемую задачу о несущей способности композитных оболочек и пластин в общем случае их напряженно-деформированного состояния, к соответствующей задаче линейного программирования.
В шестом разделе работы приведены некоторые результаты расчетов, проведенных с использованием методов и алгоритмов, разработанных в пятом разделе, в том числе:
20
- результаты прогнозирования прочности слоистых КМ при кратковременном и длительном статическом, при многоцикловом и комбинированном нагружениях, с учетом различных температурных условий;
- некоторые результаты определения несущей способности композитных круговых цилиндрических оболочек с донышками при кратковременном и длительном статическом, при многоцикловом нагружениях, при различных температурных режимах; результаты определения несущей способности длинных цилиндрических композитных оболочек замкнутого произвольного профиля при кручении с растяжением (кратковременное статическое и многоцикловое нагружения, их комбинации);
- некоторые результаты определения верхней и нижней оценок несущей способности анизотропных и композитных оболочек вращения при их осесимметричном деформировании (нагружение - кратковременное статическое);
Проведен анализ результатов математического моделирования поведения композитных элементов конструкций и, где это было возможно, теоретические результаты были сопоставлены с соответствующими экспериментальными результатами других авторов, что показало хорошую взаимосогласованность наших теоретических результатов с соответствующими экспериментальными результатами других авторов.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы.
На зашиту выносятся следующие результаты диссертации:
- развитие теорий прочности и разрушения материалов при сложном напряженном состоянии (в том числе новый критерий прочности для ортотропных материалов при многоцикловом нагружении; критерии начала роста макрогре-щины в изотропных телах);
- новые теории прочности анизотропных и композитных оболочек, пластин, брусьев применительно к общему случаю их сложного сопротивления; теория разрушения анизотропных оболочек и пластин с макротрещинами;
21
- новые методы и алгоритмы решения задач прогнозирования прочности и определения несущей способности композитных элементов конструкций; результаты расчетов с применением предлагаемых методов и алгоритмов.
Публикации. По теме исследований опубликовано 8? печатных работ. В автореферате приводится 27 основных публикаций.
Диссертационная работа выполнена на кафедре динамики и прочности конструкций Камского политехнического института, в соответствии с планом научно-исследовательских работ института.
Автор выражает искреннюю благодарность научному консультанту, академику АН РТ, Заслуженному деятелю науки и техники РФ И РТ, доктору физико-математических наук, профессору И Г. Терегулову; сотрудничество с ним во многом определило облик настоящей работы.
22
Обзор литературы
"В механике материалов очень часто используются различные критерии, характеризующие переход материала из одного состояния в другое, например, условия линейной и нелинейной упругости, прочности, пластичности и т.д. Эти критерии выражаются через напряжения или деформации и геометрически изображаются как поверхности в пространствах симметричных тензоров второго ранга. Полученным таким образом поверхностям часто присваивается обобщенный термин "предельные".
Если упомянутые критерии строятся на основе чисто физических соображений, то никаких проблем, касающихся самой предельной поверхности как таковой, обычно не возникает, так как она однозначно определяется самим критерием. Однако на практике часто известны лишь экспериментальные предельные точки и требуется найти такую геометрическую поверхность, которая бы их достаточно хорошо аппроксимировала, т.е. необходимо выбрать подходящее уравнение предельной поверхности. Если такое уравнение найдено и оно достаточно универсально, то его можно назвать феноменологическим критерием состояния материала" (А. Лагздинь, А. Зилауц [1]).
Основные критерии прочности однородных изотропных материалов при их кратковременном статическом нагружении (критерии прочности по наибольшим нормальным напряжениям, по наибольшим главным удлинениям, по наибольшим касательным напряжениям, энергетический критерий прочности) широко известны и вошли в учебники (см., например, работу И.Г. Терегулова [1]). Например, согласно энергетическому критерию прочности предельная поверхность описывается уравнением (1.1.4) настоящей работы, которое для пластичных материалов носит название условия пластичности Мизеса. Многие цругие критерии состояния материалов или имеют в своей основе вышеперечисленные классические критерии прочности, или написаны по аналогии с ни-
ми, путем их обобщения и расширения с учетом результатов экспериментальных исследований.
Обзоры по критериям прочности и разрушения материалов имеются в работах, авторами которых являются Е.К. Ашкенази, Э.В. Ганов [1], Г.М. Бартенев, Ю.В. Зеленев [1], Э.М. By [1], Г.А. Гениев, В.Н. Киссюк, Г.А. Тюпин [1], И.И. Гольденблат, B.JI. Бажанов, В.А. Копнов [1], И.И. Гольденблат, В.А. Коп-нов [2], Л.М. Качанов [2], В.П. Когаев [1], А.К. Малмейстер, В.П. Тамуж, Г.А. Тетере [1], Ю.В. Немировский, Б.С. Резников [1], В.В. Панасюк, А.Е. Андрей-кив, В.З. Пар!он [1], Ю.М. Тарнопольский, А.М. Скудра [1], Ю.С. Уржумцев [1], Г.П. Черепанов [1] и др.
Для ортозропных материалов часто используют критерий прочности Ми-зеса - Хилла (Р. Хилл [l]); уравнение предельной поверхности согласно этому критерию имеет следующий вид:
И(о{ - (7 J2 + Го; + Go; + 2/^ = 1. (1)
Здесь оси системы координат 0123 направлены по осям ортогропии материала. Коэффициенты в (1) определяются через прочностные характеристики материала. Например,
И = 0.5(1/0-74 + \ j(Tj2 ~ l/°n)>
где ап, <Jt2, сгп пределы текучести материала при растяжении вдоль осей 1, 2, 3 соответственно.
Недостатком критерия (1) является то, что он предполагает равенство пределов текучести (прочности) при растяжении и сжатии вдоль главных осей анизотропии, что не всегда выполняется для орготропных материалов. Этот недостаток был устранен в работе К.В. Захарова [1], который предложил критерий прочности для орготропных материалов в виде (1.1.6) согласно принятой в настоящей работе нумерации формул. Дальнейшее развитие это предельное условие получило в работах И.И. Гольденблата и В.А. Копнова [1], А.К. Малмей-
24
стера [1] и др. А.К. Малмейстер предложил уравнения предельной поверхности записать в виде (1.1.7) настоящей работы. Как отмечают А. Лагздинь и А. Зила-уц в [1], использованию ряда (1.1.7) препятствует то, что число констант в нем довольно быстро растет, особенно в анизотропии, и трудно удовлетворить условие, чтобы поверхность при этом оставалась пригодной для механики материалов, т.е. была бы без петель, вогнутостей и т.д. С целью избежать этих неприятностей ряд (1.1.7) часто обрывают на втором члене и пользуются уравнением второй степени (1.1.9), что приемлемо, однако, не всегда.
Корректная запись уравнения предельной поверхности возможна при учете ограничений, накладываемых на его структуру и коэффициенты сгруктурой и свойствами материала (изотропия, транстропия, ортотропия и т.п.), характером нагрузки и напряженно-деформированного состояния, экспериментальными данными и т.д. Иначе говоря, здесь первичной является механика, а математика - вторичной. Иногда анализ уравнения предельной поверхности становится менее трудоемкой, если его записать через инварианты I, тензора напряжений о„, образующих функциональный базис. Такой критерий прочности рассмотрен в работе [1] Ь.Е. Победри. В работе ПА. Зиновьева, С.В. Цветкова [1] критерий прочности для анизотропных материалов представлен в виде полинома от инвариантов:
AJ, +AJJs + ...= 1; (2)
здесь I,, I2, ..., In - инварианты тензора сту, входящие в полиномиальный базис относительно группы ортогональных преобразований, соответствующей симметрии структуры материала. Величины Ai, A,j, ... в отличие от ра(<, р(1^ в (1.1.7), не меняются при изменении ориентации осей координат. Константы А„ Ai, определяются по результатам испытаний материала на прочность. Количество слагаемых в (2) выбирается наименьшим при уелрвии описания экспериментальных данных с необходимой точностью. Например, полиномиальный баше тензора Gjj для группы ортогональных преобразований, отвечающих сим-
25
метрии транстропного материала (ось 3 совпадает с осью трансверсальной изотропии) состоит из пяти инвариантов:
(3)
С целью выделения инварианта, пропорционального гидростатической составляющей тензора напряжений в качестве полиномиального базиса вводится следующий набор инвариантов:
Здесь .її пропорционален гидростатической составляющей тензора ах]у а остальные инварианты не зависят от этой составляющей. Общий вид квадратичного относительно компонент Сту критерия получают с использованием (2, 3,
Если исходить из инвариантно-полиномиальной формулировки (2) критерия прочности, то условия симметрии, накладываемые на константы, удовлетво-ряются автоматически. Еще одной особенностью записи (5) У прочности в виде полинома от инвариантов является наглядная зависимость от величины гидростатического давления, т.е. инварианта Если прочность материала не зависит от гидростатического давления, то в (5) слагаемые, содержащие должны быть равны нулю, т.е. А] = Ап = А|2 = 0, и критерий прочности приобретает вид
^сли дополнительно потребовать, чтобы критерий прочности был чисто квадратичным (т.е. и А) = 0), то получим критерий Мизеса - Хилла:
(4)
4):
А| </, + А2 ,/2 + А 22 ^2 +2 А,, ./|о/2 + А31/3 + А4 ./4 = 1.
(3)
А2./2 + А 22 ^ 2 А з .У з + А 4 ,/ 4 = 1
(6)
20
A22 ^2 + A3 */3 + A4./4 - 1.
(7)
Если выражение для критерия прочности зависит линейно от гидростатического давления, то в (5) Ац = A]2 = 0 и получается критерий Хоффмана:
А | «./1 + А 2 J 2 А 22 *^2 + А3 ,/3 + А4 J 4 = 1- (8)
П.А. Зиновьев , С.В. Цветков в [1] отмечают, что не возникает существенных математических трудностей при использовании инвариантно-полиномиальной формулировки критерия прочности любого порядка и для материалов любого класса симметрии структуры. Ими показано, что в у' случаях феноменологический критерий прочности для материалов различных групп симметрии должен иметь порядок, больше чем 2. Упомянутые авторы не рассматривают других ограничений, накладываемых на предельные поверхности (таких, как замкнутость линий пересечения поверхности прочности с координатными плоскостями, односвязность поверхности, ее выпуклость и т.д.).
Иной способ описания предельных поверхностей приведен в работе А. Лаг-здиня, В. Тамужа, I'. Тетерса, А. Крегерса [1], который заключается в разложении предельной поверхности в тригонометрический ряд Фурье как функции на единичной сфере S3 в 6D пространстве тензоров o,j:
а + а0а0 Г f + а^а^стк, Г2‘ +... = I'22; (9)
здесь I2 = bfaj) = cTijCTÿ - второй инвариант тензора напряжений. Ряд (9) дает замкнутые поверхности, без самопересечений, но обеспечить их выпуклость трудно. Для расширения возможностей аппроксимации (9) и улучшения сходимости ряда целесообразно ввести вспомогательный параметрический тензор зторого ранга пц и записать ряд (9) в сдвинутом пространстве, элементом кото-юго является НОВЫЙ тензор qij!
% =^ij - '/.г (10)
27
Тогда вместо (9) имеют:
здесь 12 = Ь(Чу) - ЧуЧу. Но проблема обеспечения выпуклости этим, конечно, не решается.
В некоторых случаях сгремятся конструировать такие уравнения пре-
дельных поверхностей, которые при минимальном количестве входящих в них неопределенных констант являлись бы достаточно гибкими и универсальными для практических целей. Например, в работе А. Лагздиня, А. Зилауца [1] предложены следующие уравнения предельных поверхностей для среде произвольной анизотропией, задаваемой тензором четвертого ранга а^ь
Р,(о„) = к2Вшлицп„ - л;(\ - р1) = 0; (12)
/У",, )- к 2 Вк,„„Чи + к% р0 = 0, к = ± 1; (13)
Р1(а,1)^(к'В1Мп„Г+кр„=0. к=± 1, т > 1/2; (14)
1 « ! здесь ра - а„и(1и, ВЫт, = о^ыа^ш -~аша^„т , рч = , а)]к! = ак1у = а/ма^к.
Поверхности (12, 13, 14) являются выпуклыми в пространстве переменных ач. Здесь Х| и являются функциями констант материала I, ш, п. Преимуществом предельных условий (12, 13, 14) является то, что по сравнению с полиномиальным уравнением второй степени в них появляется максимум четыре новые константы, не считая дискретный параметр к - ±1, а именно: I, ш, п, 1; сравнение с экспериментом показывает, что уравнения (12, 13, 14) в рассмотренных в работе А. Лагздиня, А. Зилауца [1] случаях лучше описывают прочность магериа-пов, чем эллипсоид. Неудобства использования уравнений (12, 13, 14) в некоторых случаях связаны с тем, что при I Ф 0 о'ни не являются непрерывно дифференцируемыми, т.с. поверхности имеют изломы (ребра).
В некоторых случаях используют предельные поверхности, различные учалки которых описываются, фактически, разными уравнениями (см., например,
28
работу Э. By [1], где приведен модифицированный критерий Мизеса - Хилла, работу Ю.И. Димитриенко, И.П. Димитриенко [1]). Это же замечание относится и к работе А. Лагздина, А. Зилауца [1]. Предельная поверхность как бы "сшивается" из кусочков поверхностей, описываемых разными уравнениями. Это, естественно, позволяег лучше аппроксимировать экспериментальные результаты. Но при этом возникают свои сложности (одна из таких сложностей - отмеченное выше появление ребер на предельной поверхности; другая сложность - переход в пространство обобщенных сил (внутренних сил и моментов) для тонких оболочек и пластин, язя брусьев затруднителен).
Некоторые критерии предельного состояния материалов, изначально предложенные как критерии прочности для случая кратковременного статического нагружения однородных материалов без макродефектов, и успешно выдержавшие испытания расчетной практикой, получили свое дальнейшее развитие в виде критериев предельных состояний для случаев длительного статического и многоциклового нагружений, повышенных температур, комбинаций различных видов внешних воздействий, для тел с макротрещинами. Сохраняя внешнее подобие с критериями предельного состояния для случая кратковременного статического нагружения, они, тем не менее, несут другую информационную нагрузку. Это может осуществляться как через коэффициенты, входящие в эти предельные условия, так и через марамегры, описывающие напряженное состояние. Например, условие прочности изотропного материала в случае много-циклового нагружения (сложное напряженное состояние, компоненты тензора напряжений изменяются синхронно и синфазно, симметричные циклы) по гипотезе октаэдрических напряжений можно записать в следующем виде (С.В. Серенсен, В.Г1. Когаев, P.M. Шнейдерович [1]):
(«V - )! +("!о - "э„ У + ("за - У < 2<7-1 ■ (15)
*десь ofo (/ = 1,3) - амплитуды главных напряжений, а_i - предел выносливости îarepuajia при симметричных циклах растяжения - сжатия. Аналогичный (15)
29
критерий предельного состояния при изменении главных напряжений по асимметричным циклам предложен С.В. Серенсеном в [1]. Но при этом в уравнении предельной поверхности появились некоторые слагаемые, не свойственные предельным поверхностям при многоцикловой усталости (см. анализ, проведенный в разделе 1.1.2 настоящей работы). В работах И.Г. Терегулова, Э.С. Сибгатуллина [5], Э.С. Сибгатуллина, И.Г. Терегулова, С.Н. Тимергалиева [1] предложен критерий предельного состояния при многоцикловом нагружении ортотропных материалов (сложное напряженное состояние, напряжения изменяются синхронно и синфазно, или синхронно и антифазно, в общем случае циклы несимметричные), которая сконструирована путем обобщения диаграммы Хея на случай многомерного напряженного состояния, приведено обоснование структуры предложенного уравнения предельной поверхности в пространстве средних и амплитудных значений компонент тензора напряжений. Предлагаемый критерий предельного состояния может быть использован и при комбинированном действии статических и циклических напряжений.
Другой пример использования традиционных теорий прочности для решения актуальных задач механики деформируемого твердого тела - это запись на их основе критериев разрушения для тел с макротрещинами: <?е - критерия, ее - критерия, S<j ~ критерия (что является модификацией S-критерия Си [1]) -см., например, работу Панасюка В.В., Лндрейкива А.Е., Партона В.З. [1]. По мнению авторов вышеупомянутой работы наиболее широко распространен предложенный Дж.С. Си S - критерий, постулирующий рост трещины в направлении минимальной интенсивности энергии деформации и. Предельное состояние наступает тогда, когда в этом направлении интенсивность энергии деформации
S - lim 2к ru • (16)
г-* О
достигает критического значения Sc, определяемого для трещин отрыва формулой
Яс=(\-2у)(\ + у)Кіс/2Е.
(17)
Принимается, что напряжения <?о в плоскости развития трещины растягивающие. В Ба - критерии вместо полной энергии упругой деформации и рассматривается потенциальная энергия формоизменения иг. Здесь V - коэффициент Пуассона, Е - модуль Юнга, К]С - трещи носгой кость материала при нормальном отрыве. В (16) энергия упругой деформации и определяется как функция вида и = и (Кь Кц, Кщ, 9, г) , где К, (\ = I, II, III) - коэффициенты интенсивности напряжений (КИН); 0, г - полярные координаты точки, в которой определяется и (полюс системы координат совпадает с вершиной трещины).
Запись критерия разрушения в виде
с использованием (16), (17) имеет, на наш взгляд, следующие недостатки:
1) Выпадает из рассмотрения полярная координата г, а теория прочности должна сопоставлять напряженно-деформированное состояние в критической точке с координатами (0С, гс) в общем случае напряженно-деформированного состояния с напряженно-деформированным состоянием в опасной точке с координатами (Віс, г,с) в частном случае напряженно-деформированного состояния (/ = І, II, III), для которого сравнительно легко могут быть осуществлены экспериментальные исследования.
2) Из критерия разрушения, записанного для общего случая, должны следовать критерии разрушения и для частных случаев. Из (18) в рассматриваемом случае следует только критерий разрушения К| = Кіс для трещины нормального отрыва, а критерии разрушения Кц = Кцс, Кщ = Кшс для трещин поперечного и продольного СДВИГОВ соответственно, ИЗ (18) не следуют, ХОТЯ КПс, К(1]С являются самостоятельными характеристиками трещиностойкости материала.
Указанные недостатки характерны и некоторым другим популярным критериям разрушения (оо - критерию, £е - критерию, Ба - критерию и др.) - см., например, работу Панасюка В В., Андрейкива Л.Е^., Партона В.З. [1]. В работах
(18)
31
Сибгатуллина Э.С., Терегулова И.Г. [3], С'ибгатуллина Э.С. [7], где предложены критерии разрушения, обозначенные как сгс0 - критерий, £§ - критерий, полученные путем перехода с пространства напряжений - деформаций в пространство КИН без использования дополнительных гипотез в теориях прочности, указанные выше недостатки существенно устранены.
Как отмечает Э. Ву [2], "весьма успешное применение механики разрушения к изотропным материалам, с одной стороны, гипнотически привело к прямому перенесению теории с небольшими модификациями на композитные материалы, а, с другой стороны, оно стимулировало теоретические решения весьма сложных математических задач. При этом многие важные факты были упущены из вида".
Пример использования метода Си для анализа разрушения композитов приведен в работе Т. Фудзии, М. Дзако [1]. Там же отмечено, что результаты расчета не совпадают с результатами экспериментальных исследований. Использование традиционных подходов, применяемых для анализа разрушения изотропных тел с макротрещинами, для анализа несущей способности анизотропных и композитных тел с макротрещинами связано с существенными трудностями. Например, для анизотропных и композитных материалов предельное значение потенциальной энергии упругой деформации но в (1.3.2.1) не является постоянной величиной для рассматриваемого материала.
В работе Э. Ву [2] высказана гипотеза, что для каждого материала существует "характерный объем" гс, не зависящий от вида напряженного состояния в окрестности вершины трещины. Необходимое и достаточное условия распространения трещины будут выполнены, если в радиусе гс от кончика трещины вектор упругих напряжений Ф равен или превышает вектор прочности Р (вектор прочности Р коллинеарен вектору напряжений Ф, а его копен лежит на предельной поверхности, описываемой уравнением вида (Г. 1.7)). В этой же работе
Э. Ву приведены некоторые экспериментальные результаты, подтверждающие высказанную им гипотезу, а также ссылки на экспериментальные работы дру-
32
гих авторов, безоговорочно подтверждающие существование характерного объема гс для слоистых композитов, а также для изотропных материалов.
В работе Шляпникова В.Н. [1] приведены 0-распределения упругой и пластической частей общей плотности энергии деформации, а также коэффициента плотности энергии деформации 8 в полном диапазоне смешанных форм разрушения при плоской деформации и плоском напряженном состоянии. Выведено общее соотношение между плотностью энергии деформации и параметром материала (размером зоны процесса разрушения). Предложены уравнения для расчета размера зоны процесса разрушения в полном диапазоне смешанных форм деформирования по стандартным механическим свойствам материалов. Отмечено, что основные гипотезы современных теорий разрушения связаны с концепцией критического расстояния, которое считается фундаментальной характеристикой, устанавливающей взаимосвязь между процессами, происходящими на микро- и макроуровне по отношению к структуре материала. Это критическое расстояние часто отождествляют с размером зоны процесса разрушения, в которой происходит накопление и рост микроповреждений, приводящих к развитию макрогрещин. Зона процесса разрушения характеризуется тем, что идеализированные решения механики континуума неприменимы внутри нее из-за возникновения несплошности, непропорционального нагружения и упругой разгрузки. При нелинейном деформировании в пределах указанной зоны существенно влияние гидростатической компоненты напряжений, обуславливающей образование и рост пор и, как следствие, объемное расширение.
От себя добавим, что на границе зоны разрушения с упругой областью в окрестности вершины трещины перемещения, деформации и напряжения обычно полагают неразрывными. Поэтому предельные размеры зоны процесса разрушения могут быть определены, в первом приближении, из решения упругой задачи механики трещин. Такой подход сильно упрощает рассматриваемую задачу и в случае квазихрупкого разрушения удовлетворительно согласуется с соответствующими экспериментальными данными для предельной нагрузки для тела с макротрещиной. То есть к упомянутой выше границе можно подойти с
двух сторон - со стороны вершины, тогда имеем дело с очень сложной задачей для материала типа Гарсона (пористая, упрочняющаяся среда с объемным расширением), или со стороны упругой части материала, которая стыкуется с упомянутой выше зоной процесса разрушения. Первый подход является более общим, тогда как второй подход дает удовлетворительные результаты только в случае квазихрупкого разрушения, когда предельные размеры зоны процесса разрушения малы в сравнении с размерами тела и трещины.
В работе Дж.С. Си, Е.П. Чена [1], базирующейся на концепции Си, отмечено, что средняя величина гс = 0,51мм обеспечивает хорошее соответствие теории экспериментам на слоистом стеклопластике со схемами армирования [±15°]н, [±30°]8, [±45°]8, [±60°1$, [±75°]8, при нагружении в направлении 0° (вдоль оси симметрии).
Как отмечают В.В. Панасюк, Л.Е. Андрейкив, В.З. Партой [1], на практике очень часто предпочитают использовать для аналитического описания опытных результатов вместо критериальных уравнений предельных поверхностей эмпирические уравнения, например, типа
где а, Ь, с - постоянные, определяемые из условия наилучшего приближения.
Как видно из вышеизложенного, формы записи предельных условий (условий пластичности, прочности, критериев разрушения), когда эти условия записываются для опасной точки тела, во многих случаях аналогичны друг другу; более сложные по содержанию критерии получаются путем обобщения и развития менее сложных, менее сложные критерии следуют, как частные случаи, из более сложных (сказанное можно проиллюстрировать на примере предельного условия (1.2.3.3), предлагаемого для случая, когда имеет место комбинация статических и циклических напряжений). Можно предположить, что аналогичная ситуация будет иметь место (при учете особенностей рассматриваемых задач) часто и в тех случаях, когда предельные условия записываются в про-
(19)
странстве обобщенных сил (в частности, в пространстве внутренних погонных сил и моментов в тонких оболочках и пластинках).
В работе В.В. Косарчука [1] условие текучести Мизеса - Хилла обобщенно для случая квазихрупких материалов (у которых при разрушении не возникают макропластичсские деформации), неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. Расчеты предельных состояний по предлагаемому критерию сопоставлены с некоторыми известными экспериментальными результатами.
В работе G. Sines, G. Ohgi [1] предложен критерий усталостной прочности при многоцикловом нагружении и сложном напряженном состоянии. При этом учитываются комбинации переменных и статических напряжений. Отмечено, что наложение статических напряжений ведет к видоизменению критерия усталости.
В работе Г А. Гениева, А С. Курбатова [1] предложены статические критерии прочности анизотропных материалов для общих случаев 3-х и 2-х-осного напряженных состояний, учитывающие различные механизмы разрушения -отрыв, смятие, сдвиг. Направления опасных площадок отрыва, смятия и сдвига в общем случае не совпадают с направлениями главных нормальных и касательных напряжений и определяются аналитически. Дана линеаризованная модификация критериев прочности, учитывается влияние внутреннего кулонов-ского трения. Проведено сравнение предлагаемых критериев прочности с экс-11ериме*ггальными данными.
А.А. Островский в [1] рассмотрел модель разрушения материала, основанную на обобщенной концепции разрыхления и отрыва, где положительный шаровой тензор напряжения способствует, а отрицательный препятствует разрушению. В связи с этим предельная поверхность прочности в целом должна состоять из двух различных поверхностей, плавно сопрягаемых между собой по девиаторной кривой. Уравнение предельной поверхности при положительном шаровом тензоре получено путем обобщения условия отрыва по первой теории прочности (критерий прочности по наибольшим нормальным напряжениям) и условия максимальной работы напряжений формоизменения. Эго уравнение
лучше согласуется с экспериментальными данными при развитых пластических деформациях, предшествующих разрушению, чем условие Мизеса.
В работе В.А. Маньковского, Э.М. Таратина [1] сопоставлено около двадцати существующих критериев разрушения композиционных материалов в случае сложных напряженных состояний. Сопоставление носило статистический характер. В качестве меры согласия выступал среднеквадратичный критерий Гаусса. Тестовыми экспериментами служили опыты Э. By по разрушению углепластиковых труб с варьируемым углом намотки. Как известно, каждой теории прочности отвечает свое разрушающее напряжение при растяжении такой трубы. Эта так называемая "проверка Р. Мизеса" позволила выявить наиболее оптимальные критерии (с точки зрения меры Гаусса).
В работе P.M. Мансурова [1] предлагается подход к определению начальной и последующих поверхностей текучести, не предполагающий несжимаемость среды и независимость условия текучести от гидростатического давления. Определяющие соотношения удовлетворяют принципу градиентальности. Для случая квадратичных поверхностей текучести входными материальными данными являются, кроме постоянных упругости, кривые одноосных нагружений в главных осях анизотропии. Приведено сравнение с данными для графита.
В работе Weixian Z. [1] для анизотропных материалов предложен новый неквадратичный критерий текучести, свободный от ограничений, которые существуют в аналогичных критериях. Показано, что константы материала, число которых равно пяти, входящие в критерий, включая и показатель степени, могут быть найдены только из опытов на одноосное растяжение. Приведены примеры для листового титанового сплава.
В работе Kurtyka Т. [1] для описания неупругого поведения анизотропных материалов предложена модель, учитывающая перемещение, изменение размеров и формы поверхности текучести.
В работе A. Troost, О. Akin, F. Klubberg [I] путем сравнения результатов расчета с опубликованными данными ряда экспериментальных исследований по двухосному циклическому нагружению конструкционных сталей и сплавов
36
определена точность нескольких гипотез прочности. Они представляют собой модификацию известных в статике критериев прочности. На основе результатов статистического анализа предпочтение отдано так называемой квадратичной гипотезе прочности.
В работе Tan S.C. [1] выведен трехмерный критерий разрушения в виде квадратичного полинома с фундаментальными функциями прочности, выраженными синусоидальными рядами. Эта теория удовлетворяет физическому условию, согласно которому поверхность разрушения должна быть замкнутой. Показано, что предлагаемая теория является обобщением критерия текучести Мизеса. Получена хорошая корреляция между расчетными и экспериментальными данными для трех видов нагружения: одноосного растяжения, одноосного сжатия и двухосного нагружения. Показано, что для сильно ортотроп ных материалов данный критерий позволяет получить хороший прогноз наступления разрушения.
В работе Wu X., Li X. [1] проведен анализ четырех известных критериев механики разрушения: максимальных окружных напряжений (gg - критерий), максимальных окружных деформаций (со - критерий), минимальной интенсивности энергии деформации (S - критерий) и минимальной интенсивности энергии формоизменения (Sj - критерий). Предложены модификации этих критериев: они получаются в результате удовлетворения критериальных условий не в вершине, а на границе пластической зоны, окружающей вершину трещины. При этом пластическая зона определяется приближенно при использовании асимптотического разложения напряжений у вершины трещины, содержащего сингулярные члены и регулярные (не зависящие от расстояния до вершины трещины) составляющие. Проведено сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными при растяжении и сжатии пластины с наклонной ■фещиной.
В работе Богданова Е.П., Косарчука В.В., Котречко С.А. [1] для модели по-ликристалличсского материала - микронсодиородной среды, обладающей локальной анизотропией механических свойств и состоящей из зерен с куби-
37
ческим типом кристаллической решетки, сформулированы статистические критерии начала макротекучести для различных механизмов сдвигообразования, включающие в себя коэффициенты корреляции касательных микронапряжений, что позволяет учесть взаимовлияние зерен - монокристаллов. Сопоставлены известные критерии прочности и показано, что они являются частными случаями предложенных статистических критериев при определенных значениях указанного коэффициента корреляции.
В работе Zhang S.Q., Jang B.Z., Valaire В/Г., Suhling J.C. 11] проведен анализ полей напряжений у трещины в КМ, рассматриваемом как однородная анизотропная среда. Это поле напряжений использовано для определения общей, ди-лата ционной и сдвиговой плотности энергии. Предложен критерий роста трещины, основанный на плотности упругой энергии в вершине трещины (Z -критерий), который позволяет предсказать предельную нагрузку и направление роста трещины. Приведены уравнения Z - критерия в общем случае и для трещин I и II типов. Рассмотрена трещина в однонаправленном волокнистом материале, произвольно ориентированная относительно волокон. Дан анализ других энергетических критериев роста трещин.
В работе Balevski Т., Ruskov D., Venkov V [ 1) предложен критерий статической прочности, описывающий влияние первого и второго главных напряжений на наступление разрушения. В основу критерия положены предположения о том, что начало образования микротрещин при пластическом деформировании происходит под действием сдвиговых напряжений, а их развитие - под действием главного нормального напряжения Ст|. Критерий имеет линейный вид относительно входящих в него напряжений и показывает хорошее соответствие с экспериментальными данными по разрушению при двумерном напряженном состоянии для широкого класса материалов.
К. Wei, De Bremaecker J.-C. в [I] предложили новую формулировку критерия G,nax, которую они считают применимой ко всем типам разрушения, даже и к разрушению под действием большого гидростатического давления, которое существует внутри Земли. Эта формулировка утверждает, что направление
38