Метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей

-2-
ОГЛАВЛЕНИЕ стр
ВВЕДЕНИЕ...........................................................5
Научные положения, выносимые на защиту, и апробация
результатов.......................................................33
ГЛАВА I. Некоторые классы смешанных задач динамики
упругих клиновидных областей...............................36
§1. Постановка смешанных задач об установившихся колебаниях
антиплоского сдвига однородных клиновидных областей...........37
1.1 Колебания однородной клиновидной области (1А).
1.2. Колебания.клиновидной области с радиальным дефектом конечной длины (2А)
1.3. Колебания усеченной клиновидной области (1 Б).
1.4. Колебания конической упругой области (ЗА)
§2. Постановка смешанных задач о колебаниях антиплоского
сдвига неоднородных клиновидных областей......................42
2! 1.Колебания кусочно-однородной клиновидной области (2С)
2.2. Колебания градиентно-упругой клиновидной области (2Д, 2ДК)
2.3. Колебания косослоистого полупространства с негладкой границей (2Б).
§3. Постановка смешанных задач установившихся колебаний
клиновидной области в условиях плоской деформации............... 47
3.1. Колебания однородной клиновидной области (4А);(4АК)
3.2. Колебания-кусочно-однородной клиновидной области (4С,4СК)
3.3. Колебания косослоистого полупространства с
негладкой гратшцей (ЗБ)>
§4. Постановка задач анализа процессов формирования волнового
поля в клиновидной области.........’.............................51
4.1. Поверхностные волны и поле смещений на границе однородной клиновидной области (4Ап)
4.2^ Интерфейсные (каналовые) волны и поле смещений на линии раздела областей кусочно-однородной клиновидной области (4Си)
£5. Постановка нестационарных смешанных задач динамики
антиплоского сдвига клиновидной области..........................54
5.1. Колебания упругого однородного клина при
стохастическом возбуждении его границы (5А) .
5.2. Колебания кусочно-однородной клиновидной области
при стохастическом возбуждении.ее границы (5С).
ГЛАВА II. Граничные интегральные уравнения (ГИУ) смешанных
задач динамики антиплоского сдвига однородных
клиновидных областей..........................................57
§1. ГИУ смешанных задач о колебаниях клиновидной области...............58
1.1.Функция Грина и ГИУ задачи (1А)
1.2.Сведение задачи (2А) к системе ГПУ
1.3.Сведение задачи (ЗА) к системе ГИУ
§2. Базовый оператор ГИУ колебаний клиновидных областей................81
2.1. Обратимость скалярного базового оператора ГИУ (1 А)
2.2. Обратимость матричного базового оператора ГИУ (2А)
§3. ГИУ сметанной задачи о стохастических колебаниях
клиновидной области (5А) и вопросы его разрешимости.............104
§4 Методы построения решений ГИУ,...................................112
4.1. Исследование структуры решения базового ГИУ в случае установившихся колебаний
4.2. Исследование структуры решения ГИУ в случае стохастических
колебаний.
ГЛАВА III. ГИУ смешанных задач о колебаниях антиплоского
сдвига неоднородных клиновидных областей..................131
§1. Удовлетворение условиям сопряжения на наклонных границах
раздела областей.................................................132
§2. Смешанная задача о колебаниях 2-х компонентной клиновидной
области.........................................................140
§3. Построение ГИУ смешанной задачи об антиплоских колебаниях
клиновидного композита (2С,5С)..................................150
§4. Построение пропагатора для усеченной клиновидной области 154
§5. Построение ГИУ смешанной задачи о колебаниях сдвига усеченной
клиновидной области(1Б).........................................160
§6. Смешанная задача об антиплоских колебаниях косослоистой
области (ЗБ)....................................................164
§7. Установившиеся колебания градиентно-упругой клиновидной
области(2Д)...................................................................................................184
ГЛАВ AI V. ГИУ плоских смешанных задач об установившихся*
колебаниях упругих клиновидных областей....................191
§1. Плоская смешанная задача установившихся колебаний
однородной клиновидной области.............................Л....192
§2. Построение матричных пропагаторов для кусочно- однородного
клина в условиях плоской деформации ............................203
§3. ГИУ плоских колебаний косослоистой области(ЗБ)..................207
ГЛА В А V. Метод ГИУ и вопросы концентрации напряжений
в угловых точках неоднородных клиновидных областей 218
§1. Метод ГИУ в анализе концентрации напряжений неоднородной клиновидной области при установившихся антиплоских
колебаниях(2Дк).................................................220
§2. Прямые методы при анализе концентрации напряжений
клиновидной области.............................................230
§3. Некоторые теоремы существования в задачах анализа концентрации напряжений для неоднородной клиновидной
области.........................................................247
ГЛАВА VI. Особенности формирования волнового поля кусочнооднородной клиновидной области в условиях плоских
установившихся колебаний...................................255
§1. Построение функционально-инвариантных решений в задачах
распространения упругих волн в клиновидной области..............256
§2. Поверхностные водны в однородной клиновидной области.......259
§3. Отыскание скоростей поверхностных волн и критических углов
раствора однородной клиновидной области(4А1д................268
§4. Интерфейсные волны в кусочно-однородной клиновидной
области(4Сц)................................................279
ГЛАВА VJL Восстановление полей смещений методом ГИУ
в зонах локализации волнового процесса в клиновидной
области..............................................291
§ 1. Волновое поле смещений свободной поверхности однородной
клиновидной области(4А) 292 •
§2. Волновое поле смещений на линии раздела материалов. ' *
.. кусочно-однородной клиновидной области(4С).................300
ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................ 304
ЛИТЕРАТУРАI ............................................ 307
ПРИЛОЖЕНИЕ /........................................ ....541:
Пространства дробной гладкости Соболева-Слободецкого в терминах преобразования Конторовича-Лебедева и условия разрешимости базового ГИУ главы II.
ПРИЛОЖЕНИЕ II..................................................351
Смешанная задача об установившихся колебаниях сдвига однородного полупространства. Проверка решения ГИУ главы II.
ПРИЛОЖЕНИЕ НГ. ........................................... 364
Доказательство основной теоремы теории клиновидных композитов. Доказательство основной теоремы теории косослоистых областей. \-
Доказательства некоторых математических результатов при анализе ГИУ градиентно-упругой клиновидной области.
ПРИЛОЖЕНИЕ IV. .......................................... .397
Общее решение Зильберглейта-Златиной динамических уравнений-теории упругости. Фундаментальный тензор колебаний в полярной системе координат. Колебания упругой полуплоскости с излучающим разрезом. Описание элементов матрицы- функции ядра ГИУ смешанной задачи о плоских колебаниях упругого клина.
ПРИЛОЖЕНИЕV. ........................................... 436.
Метод коллокации при анализе концентрации напряжений в клиновидной области. Таблица связи модулей упругости. Результаты расчета показателей концентрации напряжений и критических углов раствора клина.
ПРИЛОЖЕНИЕ VI:...........'. 446 .
О существовании действительных нулей и полюсов функции *
deiK(u,a)na критических углах раствора и разрешимость ГИУ смешанной задачи о колебаниях однородной клиновидной области
ПРИЛОЖЕНИЕ VIL................................................454
Таблица контактного соответствия геологических пород клиновидной формы в условиях появления интерфейсных волн типа Стоунли, результаты расчета фазовых скоростей и критических углов раствора контактирующих клиновидных компонент.
-5-
ВВЕДЕНИЕ
Клиновидной будем считать однородную или неоднородную упругую среду, заполняющую область плоского либо пространственного угла в полном или усеченном виде. К разряду клиновидных отнесем также и косослоистую среду, представляющую особый интерес в задачах математической и прикладной геофизики. Под косослоистой средой в настоящей работе понимается неоднородно-упругая. среда, составленная* из клиновидных и усеченно-клиновидных однородных упругих компонент с различными механическими и геометрическими характеристиками. Указанные компоненты жестко сцеплены друг с другом своими полубесконечными границами, а участки границы конечной длины образуют ломаную свободную поверхность.
Актуальность темы теоретических исследований динамики упругих сред в клиновидных областях обусловлена следующими обстоятельствами:
1) требованием более адекватного моделирования и- анализа процессов распространения волн в неоднородных геофизических объектах, представляющих собой сложное сочетание горизонтально-слоистых, клиновидных и косослоистых сред;
2) возрастанием научно-теоретического и практического интереса к исследованию, волновых процессов в композиционных и функционально-градиентных материалах, используемых в машиностроении, а также при создании высокочувствительных датчиков смещений и напряжений, основанных на технологии использования свойств поверхностно активных волн (технология ПАВ);
3) необходимостью математического моделирования процессов распространения нестационарных возмущений в клиновидной среде со случайными источниками внутри среды, либо на её границе, в связи с развитием методов акустической эмиссии для целей неразрушающего
-6-
контроля изделий ответственного назначения при оценке их состояний предразрушения;
4) потребностью теоретического изучения^ вопросов концентрации напряжений в неоднородных клиновидных средах для оценки состояния объектов в местах стыка разнородных сред, анализа вариантов оптимального сочетания материалов в связи с развитием методов контроля прочности в механических конструкциях, содержащих ребра и угловые точки.
Долгое время в качестве наиболее распространенной модели приповерхностного фрагмента земной коры в геофизике для решения задач сейсморазведки выбиралась горизонтально-слоистая среда, представляющая собой пакет горизонтально расположенных пластов, находящихся в условиях жесткого сцепления. При этом упругие свойства изменяются только в вертикальном направлении при переходе от слоя,к слою, а внутри каждого из слоев остаются неизменными. Для большинства основных и смешанных задаЧ'установившихся>колебаний в условиях такой модели известны строгие решения, полученные с помощью метода факторизации, детально изложенного в», монографии Нобл Б. [187]. Значительный вклад в исследование и решение указанного класса задач, а также развития »метода факторизации внесли, в частности, работы Александрова В.М., Чебакова М.И.,[6,7], Бабешко-В.А. [15-26], Воровича И.Щ96-98], Ватульяна А.О. [84-86], Глушкова^Е.В., Глушковой
Н.В. [103-106], Калинчука В:В. [143,144], Ляпина A.A., Селезнева М.Г. [168,324], Партона В.З., Перлина П.И. [191-193], Пряхиной О.Д. [98,206], и др. Исследованию волновых полей лучевым- методом в кусочнооднородных и произвольно-неоднородных средах с гладкими границами раздела посвящены работы Петрашень Г.И. [194-198], Кучера В.И., Каштана Б.М. [150] и др.
Несмотря на весьма детальную изученность основных и смешанных задач для горизонтально-слоистой- модели неоднородной- среды,
возможности сё использования все же ограничены, поскольку далеко не все фрагменты земной коры могут быть моделированы указанным способом.
Следующей по сложности и степени адекватности моделью' фрагмента земной коры- в геофизике является косослоистая среда, получающаяся при расположении упругих пластов пакета под углом к свободной поверхности: Задачи построения и> описания моделей распространения: волн в- указанных- средах представляют серьезный научно-теоретический.и: практический- интерес в вопросах математической геофизики, что отмечается в ряде известных отечественных и.зарубежных справочных руководствах и изданиях по сейсморазведке [-107,156*188, 214,238, 240]щ-др.. .■
Одной из первых работ Вгнаправлении.теоретического исследования: процессов распространения- волн в.описанных выше средах, следует, по-видимому,. считать работу Петрашень Г.И: [195];, в которой автор впервые обратил ; внимание на проблему математического - описания» процесса распространения возмущений в бесконечной слоисто-изотропной: среде, содержащей' наклонные, пласты. Отрогое: решение прямых, и тем- более, смешанных задач динамики .для; описанного выше случая до сих пор не было получено, а имеющаяся' информация о характере распространения волн в • таких средах содержится лишь, в> результатах геофизических наблюдений;.
. Постановки краевых задач динамики в неоднородных клиновидных средах,, посвященные исследованию, волновых, процессов: в
композиционных, и функционально-градиентных материалах обусловлены возрастающими требованиями к разработкам технических объектов, когда необходимо более точное, чем в традиционных инженерных подходах, описание динамических свойств материалов: конструкций в процессе их эксплуатации. Это, в свою очередь, диктует необходимость постоянной разработки новых математических моделей динамики
-8-
неоднородных сред со сложной геометрией границ. Поиск и исследование новых типов волн в деформируемых твердых телах из различных материалов и различной геометрией границ, а также разработка новых аналитических подходов для решения этих задач относится к фундаментальным вопросам акустики. С указанными вопросами тесно связаны проблемы разработки и создания- высокочувствительных датчиков смещений и напряжений [119,160,162;322,330] для неразрушающего контроля прочности, что, в свою очередь, требует детального изучения характера формирования* волновых полей внутри и* на поверхности указанных выше объектов.
Несмотря на давнюю- историю изучения вопросов концентрации напряжений в неоднородных клиновидных средах, эти вопросы по-прежнему остаются актуальными. Частичное исследование указанных вопросов для> однородных и составных клиновидных сред имеется в“ряде' отечественных и зарубежных работ [5,9Г, 169,361 и др.]. Однако, в случае произвольного характера неоднородности клиновидной среды- вопросы концентрации напряжений ранее не изучались. Исследование, проведенное в настоящей диссертации, позволяет исследовать эти вопросы не только для кусочно-однородных, но и для. градиентно-неоднородных материалов в машиностроении и строительстве, таких как предварительно напряженные, термоупругие, растущие, стареющие, - изнашиваемые, материалы с поверхностной обработкой, различные типы грунтовш др.
В предлагаемом ниже обзоре описано • современное состояние результатов исследования всех перечисленных выше проблем динами ческой теории упругости для клиновидных сред.
1. Исследования основных и смешанных задач для клиновидных областей появились в начале прошлого века и были связаны преимущественно с рассмотрением задач дифракции электромагнитных волн. Одним из первых исследований в этом направлении явилась работа Зоммерфельда, в которой было построено решение задачи дифракции
электромагнитных волн на клине. Детальное изложение её результатов содержалось в монографии Франка Ф., Мизеса Р. [232], изданной в 1937 году. Аналогичным вопросам была посвящен ряд других работ, опубликованных в этот период [274, 309, 355-357, 367].
Существенный вклад в развитие; методов решения задач-математической: физики - длж клиновидных областей внести работы Конторовича.; М.И. и; Лебедева; H.H. [140,141] и- др. В этих работах авторами была установлена. теорема о разложении- произвольной, суммируемой с квадратом^, функции в. интеграл по функциям- Бесселя, которые интегрируются по индексу. На основе формулы- разложения было получено интегральное преобразование, позволяющее достаточно-просто получить как решение задачи-. Зоммерфельда, так и решение ряда новых, ранее не исследованных задач акустики клиновидных сред [287,290,305]. Дальнейшая математическая теория и приложения нового интегрального преобразования были развиты в .работах Лебедева. H.H., Скальской И,П. [158,159]' и др., а также в [116, 243], где были получены различные: модификации основного результата; и ослаблены некоторые условия1 представимости произвольной функции: интегралом Конторовича-.
Лебедева. В-. работах Zemanian A.N. [1-27,369] получено обобщение теории этого интегрального преобразования для* распределений с компактным носителем. ' '
Несколько иной подход к решению задач акустики для клиновидных областей был предложен Малюжинцем Г.Д. [33,173,326] при исследовании геометрической картииьь звукового поля. в. клине- с заданным-, гармоническим^ режимом возбуждения, его граней. Автор отыскивает решение поставленной; задачи в форме контурного интеграла' Зоммерфельда и в результате приходит к некоторому функционально-разностному уравнению, разрешимому в замкнутой форме. В полученном решении посредством, деформации контура интегрирования выделяются слагаемые, отвечающие приближению геометрической оптики w
описывающие картину звукового поля в дальней зоне. В последующих работах этого же автора [174,175] вводится интегральное преобразование на основе интеграла Зоммерфельда и строится его обращение, а также показывается связь, введенного интегрального преобразования, с преобразованием Конторовича-Лебедева. Развитие теории и дальнейшие приложения метода Зоммерфельда-Малюжинца Г.Д. было продолжено в исследованиях Тужилина A.A. [226], Будаева Б.В: [80], Бабича' В:М: Лялинова М.А. [33,323], Шанина' А.В-[237];. Budaev B.V.,Bogy D.-V. [259,260], Norris A.N.,Osipov A.V.[333] w в ряде последующих работ вышеперечисленных и других авторов;
В исследованиях Глушкова. Е.В; [105]- обсуждается возможность применения интегрального преобразования Меллина: к решению задач дифракции упругих волн сдвига в- клиновидных областях. При» этом решение уравнения Гельмгольца сводится' к решению бесконечной, системы, интегральных уравнений-по угловому параметру относительно-гладких функций с выделением сингулярной- составляющей* в угловой точке. Далее решение системы .строится прямыми численными методами.
2. Задачи динамической теории упругости для .однородных клиновидных сред в работах, отечественных и зарубежных авторов первоначально сводились к исследованию^ распространения упругих волн антиплоского сдвига внутри клиновидной среды. Результаты в указанном направлении содержатся в работах Бабешко В:А., Беркович В.Н. [15], Беркович В.Н. [42,43], Уфимцев П.Я. [230], Craster R.V.,Shanin A.V.[275], Fuchs K. [287], Hudson.J.A; [305] и др: [249,307].
Рассмотрение плоских краевых задач. установившихся колебаний
»
однородной клиновидной среды в. основном было ранее связано с изучением вопросов дифракции плоских волн от угловых областей. Этим исследованиям посвящены работы Oberhettinger F.[355,256], Пётрашень Г.И., Николаева Б.Г., Коузова Д.П. [196], Поручикова ВБ. [200-203], Исраилова М.Ш. [133-135] в которых использован подход, основанный на
функционально-инвариантных решениях Смирнова-Соболева. В исследованиях Babich V.M., Matskovskiy [252], Budaev B.V.[82], Kamotski I.V., Lebeau G.[311], Budaev B.V., Bogy D.B. [259,260,262], Gaustesen A.K. [294,295], Norris A.N., OsipovA.V.[333,334], Davis A.M: [282], Shanin A.V.[247,248,275], Rawlins A.D.[341,348] рассмотрены задачи дифракции на клине методом динамических потенциалов в сочетании с использованием метода Зоммерфельда — Малюжинца и метода факторизации. В-работе Mozhaev V.G. [329] описаны результаты применения лучевого метода к изучению акустических волн в упругой клиновидной среде. Вычислительным аспектам- проблем дифракции на упругом, клине посвящена работа Babich V.M., Borovikov V.A., Fradkin L.J., Gridin D., Kamotski V., Smyshlyaev V.P. [265] и др.
В.-исследовании краевых задач динамики упругого клина-следует отметить работы, где исследовалось распространение упругих волн, генерируемых нестационарным импульсом.. Указанная* проблема рассматривалась в работах Петрашень Г.И. (см., например [195]), в которых изучались волновые поля в плоском клине на основе метода функционально-инвариантных решений Смирнова- В:И. и Соболева C.JL, а также с помощью метода контурных интегралов Меллина. Аналогичным исследованиям посвящены результаты Алексеева A.C., Михайленко Б.Г. [10]; Achenbach J.D. [246,247], Ting L. [362], основанные на сведении исходной проблемы колебаний однородного клина к граничной задаче для некоторой аналитической функции. Основная задача динамической теории упругости о распространении нестационарной волны сдвига в клине произвольного угла раствора рассмотрена в работе Forristall G.J., Ingram J.D. [288]. С помощью интегрального преобразования Конторовича-Лебедева автор сводит задачу к сингулярному интегральному уравнению, к которому затем применяет метод Мусхелишвили.
Впервые точное решение плоской задачи о дифракции нестационарной плоской упругой волны на гладком твердом клине
произвольного угла раствора было получено Костровым Б.В. [145] . Похожая задача, когда на гранях клина отсутствует касательное перемещение и нормальное напряжение; была решена Капустянским С.М. [137]. Решение плоской задачи о дифракции цилиндрической = упругой волны на гладком твердом клине было найдено в работах Поручикова В .Б; [201], Zemell S.H. [370]; на клине с импедансными граничными условиями - в работах Budaev D.V., Bogy DB. [269], Gaustesen А.К.[294]: и др:. [341,352]. Задача о дифракции волн, возникающих от движения^ заглубленного прямоугольного фундамента, рассмотрены: в статьях Рылько М.А: [213], Dravinski М;А., Thau S.A. [283] , Thau S.A., Umek A.. [359]. Решения этих задач сводятся к решениям плоских задач дифракции на клине- с прямым; углом- при: вершине со смешанными', граничными условиями:, на различных гранях, клина заданы, нормальное напряжение и касательное перемещение или: касательное напряжение: и нормальное перемещение; В-работах Поручикова Б.В.[203], рассмотрены задачи о распространении> нестационарного- импульса в клиновидной среде для случаев, когда граничные условия; для: динамических уравнений теории упругости- разделяются для- продольного» и:. поперечного потенциалов. Дальнейшее решение задачи основано на: применении, интегрального преобразования Лапласа и удовлетворении асимптотического поведения искомого- решения на ребре условию ' Мейкснера; [275], которое сохраняется и после применения преобразования Лапласа.
Рассмотрению плоской основной краевой задачи теории упругости об установившихся колебаниях, прямоугольного клина- при наличии гармонических источников на его> гранях посвящена работы Wong H.L., Luco J.B. [367], Bogy D;B.& Wang K.G. [272]. Введением искусственного поверхностного затухания; авторы, строят решение задачи методом суперпозиции решений 2-х перпендикулярно расположенных полупространств, пересечение которых формирует прямоугольный клин. При этом применяется . преобразование Фурье вдоль 2-х взаимно
- 13-
перпендикулярных полуосей - границ прямоугольного клина. Задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма II рода с ядром, имеющим достаточно сложную структуру. Основные (несмешанные) начально-краевые задачи динамической теории упругости для однородной среды типа квадранта, полуполосы, октанта рассматривались в работах Добрушкина В.А. [120,280,281] на основе численно-аналитического подхода в связи с аппроксимацией возникающих при этом интегро-дифференциальных операторов.
Описанию результатов исследований но распространению волн в клиновидной среде посвящена работа Рагкег Б.Р. [335]. Плоские задачи динамического нагружения-упругих областей с угловыми точками контура рассматривались также в работах Морозова Н.Ф., Суровцовой<И.Л. [184], Будаева Б.В., Морозова Н.Ф., Нарбут М.А. [81], Толипов* К.Б.[363] методом динамических потенциалов для весьма специального случая граничных условий («скользящая заделка»). При этом нагрузка на гранях выбиралась таким образом, чтобы граничные условия* устанавливались-для продольного и поперечного* потенциалов независимо друг от друга. Плоские задачи дифракции в однородных клиновидных областях рассмотрены также в работах Исраилова М.Ш [135], где построено приближенное решение на основе использования метода лучевых разложений в форме специальных рядов.
Отметим, что исследование рассмотренного в данной диссертации общего случая задания граничных условий для задач установившихся колебаний упругой клиновидной среды в условиях плоской деформации не обнаружено ни в отечественных, ни в зарубежных источниках.
3. Относительно задач динамики неоднородно-упругой клиновидной среды следует отмстить, что к настоящему времени известен ряд работ, содержащих подобного рода исследования. Впервые основная задача динамической теории упругости об антиплоских установившихся колебаниях составной клиновидной среды из 2-х упругих материалов
- 14-
была рассмотрена в докторской диссертации Улитко А.Ф. [288]. На основе использования метода динамических потенциалов и интегрального преобразования Конторовича - Лебедева- исходная задача сведена к специальной краевой задаче относительно неизвестных аналитических в- полосе функций, граничные значения которых связаны линейно-интегральными соотношениями' (краевая задача по Векуа [84]). Проблема^ рассеяния SH - волн- на угле, составленном из 2-х. различных материалов, рассмотрена в работе Gaustesen А-.К. [295]. Задача об. установившихся антиплоских колебаниях составной-, клиновидной среды, рассмотрена в работе Ляпина-A.A., Селезнева М.Г. [168,324] на основе метода суперпозиции решений 2-х задач о колебаниях упругих полупространств, границы которых, пересекаясь под требуемым углом, формируют клиновидную среду, а гармонически осциллирующие напряжения, распределенные в некоторой области; действуют на ребро клина. Проблема динамического деформирования клина из неоднородного-материала рассмотрена также в работах [123, 366].
Следует отметить появившиеся в последнее время работы академика РАН-Бабешко В.А., например, [27,28-и др.], в которых предложен подход к решению задач динамики неоднородных сред на основе дальнейшего развития метода факторизации в связи с исследованием и приложениями теории блочных структур. Однако реализация- этого общего1 подхода в случае неоднородных клиновидных областей требует весьма детальной-конкретизации.
Рассмотрение смешанных задач установившихся- колебаний с разрывными граничными условиями, в строгих математических постановках для составной упругой или градиентной клиновидной, а-тем-более, косослоистой среды, не обнаружено ни в отечественной, ни в зарубежной литературе. Имеется лишь ряд работ, посвященных проблемам распространения волн в неоднородной либо стратифицированной среде
- 15-
[10,12,144,217,241,242], а также проблемам дифракции на упругом клине, погруженном в жидкость [320,338,339,346].
4. Исследованию процессов возникновения и распространения поверхностных и интерфейсных волн в упругих телах посвящен значительный ряд работ. По установившейся терминологии интерфейсными (или каналовыми) называют волны в кусочно-однородной среде, распространяющиеся', вдоль границы. раздела сред с экспоненциальным затуханием амплитуды при; удалении.от этой;границы, по нормали. В этом- случае колебательный процесс локализуется; в*, окрестности линии раздела сред, распространяясь с. незначительным* затуханием вдоль линии1 раздела и/унося:- часть энергии», колебаний на. бесконечность.. Указанный эффект впервые был обнаружен Стоунли [351]; при рассмотрении задачи о свободных ‘ колебаниях- кусочно-однородной- среды, составленной, из- двух упругих- полупространств» с различными механическими; характеристиками: Возникающая» при, этом» интерфейсная волна не обладает дисперсией; по- частоте. Интерфейсные волны, распространяющиеся вдоль границы раздела сред при- контакте упругого слоя и полупространства,, были исследованы Лявом-[11,Г67]. Однако, в отличие от волн Стоунли, последние обладают дисперсией; по частоте.,. - . > ■ . . • • .
Детальное исследование процессов возникновения, поверхностных и интерфейсных волн на границах раздела материалов горизонтальнослоистых сред имеется в монографиях Гринченко В,Т., Мелешко В.В. [108]j Бабешко В.A., Глушков Е.В.,. Зинченко Ж.Ф:. [17], где приведена обширная библиография по указанным вопросам.,, а. также: в. работах Бабешко В:А., Глушкова Е.В;, Глушковой Н.В: [18], Воровича И.И., Бабешко В.А., Пряхиной 0;Д. [98], Бабича В.М:. [30-32] Пряхиной О.Д., Смирновой A.B. [206], Вильде М.В. [88-90] и др;.[250,306,319,349;354]. В работах Калинчука В.В., Белянковой Т.И. [143], Калинчука В.В. [144], дано исследование динамических процессов на поверхностях предварительно
напряженных и электроупругих сред с цилиндрическими границами. В работах академика РАН Бабешко В.А. выдвинут «принцип локализации» в задачах установившихся колебаний упругих полуограниченных однородных или кусочно-однородных сред, который нашел еще одно подтверждение в настоящей диссертации.
Вопросы прохождения и отражения поверхностных волн Релея в упругом клине представлены в работах Kane J.,Spence J.[313], Hudson J.A., Knopoff I.[304], Fujuii K. [288], Budaev B.V.,Bogy D.B. [259,260;262] и др. [293,296,298]. Этим же вопросам» посвящены работы авторов Бахрамова Б.М. [37], Бахрамова Б.М. и Филиппова И.Г. [36]- и др. [32, 34, 332,334,338]. Вопросам рассеяния, волн Релея- и Стоунли на составном упругом« клине посвящены, в частности, работы Gaustcsen А.К. [295], Budaev B.V., Bogy D.B. [261]. В последних работах применен- подход Зоммерфельда - Малюжинца* на основе использования метода динамических потенциалов при задании- на гранях клина граничных условий 1,11,III' рода. Исследованию процесса возникновения интерфейсных волн на границе упругой и жидкой среды при изучении дифракции волн на упругом клине, погруженном в жидкость (волны Шолте - Стоунли [345] ), посвящены работы Duflo Н., Tinel A1, Duclos J, Lebeau G. [277], Croisille J.-P., Lebcau G. [278], Piet J.F., de Billy M: [339] и др:[256,320,346] В: этих работах на основе использования метода динамических потенциалов для- упругой и жидкой сред, а также метода Малюжинца рассмотрена плоская связанная задача дифракции.
Отмстим, что постановка и исследование динамических краевых задач для.произвольной кусочно-однородной клиновидной и косослоистой средах, а также исследование характера формирования волнового поля в указанных областях не обнаружены ни в отечественных, ни в зарубежных публикациях.
5. Задачи о концентрации напряжений в окрестности угловых точек области, занятой упругим телом, представляют значительный интерес для
- 17-
прогнозирования прочности конструкций при сочетании в угловой точке двух или нескольких материалов с различными упругими свойствами. Исследованию вопросов концентрации напряжений в окрестности угловой точки однородной упругой среды в условиях статического нагружения посвящены работ авторов: Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь
Б.В. [7], Лурье А.И. [163] , Партой В.З., Перлин П.И. [192], Попов Г.Я.' [199]; Уфлянд Я.С. [231] и др. [169, 257]‘. В этих работах отмечается существование некоторого критического угла концентрации а., начиная с которого (а>а*) в вершине угла появляется степенная особенность напряжений 0(r~ö), 0 <ö < 1. При этом- критический показатель концентрации 5 находится из- некоторого трансцендентного'уравнения. Задачи для двухслойного клина исследованы в работах Bogy D.V. [271], Hein V.l.., Erdogan F. [301], Thcocaris P.S., Gdontos E.E., Thireos C.G. [361] и др., где - проводится- подробный анализ структуры областей' изменения параметров задачи, при которых возможны бесконечные напряжения у вершины. Вычисление и исследование критического показателя концентрации <5 для кусочно-однородной клиновидной среды дано в работах Аксентян 0:К., Лущик О.Н. [5], Лущик О.Н. [165] , Блинова В.Т., Линьков А.М' [257], Глушков: Е.В.,. Глушкова- Н.В.,Хофф Р. [106], где определены- области изменения параметров; для которых имеет место появление бесконечных напряжений. Отметим, что при увеличении, числа клиновидных компонент от 3 и выше методы этих работ приводят к весьма громоздким процедурам как вывода самих трансцендентных уравнений, из которых определяется показатель особенности, так и численной процедуре исследования зависимостей этих корней от параметров задачи. •
Вопросы об особенностях волновых полей в окрестности угловых точек в условиях гармонических колебаний рассмотрены, в работе Морозова Н.Ф., Суровцовой И.Л. [184], Поручикова В.Б. [203] и др. В работах Будаева Б.В., Морозова. Н.Ф:, Нарбут М.А. [81,327], уделено особое внимание принципу Сен-Венана при статическом и динамическом
нагружении однородной клиновидной среды. В работах Суровцовой И:Л.[223,224] показано, что принцип Сен-Венана в общепринятой формулировке не выполняется в задаче о нагружении граней клина антисимметричной нагрузкой ни при каких углах раствора. В работах Вовк Л.П., Соболь Б.В. [93] и др. рассмотрены вопросы концентрации напряжений в условиях гармонических колебаний составного призматического тела, составленного- из 3-х й.\ 4-х разнородных тел. Получено и исследовано' характеристическое, уравнение, определяющее локальную- особенность напряжений: во. внутренней угловой точке сопряжения всех областей: .
Исследование критического- угла- концентрации- а* в> зависимости от характера распределения упругих характеристик в окрестности, вершины- угла для' произвольной неоднородно-упругой; клиновидной-, среды не обнаружено в отечественной и- зарубежной? литературе ни при рассмотрении задач- статики,, ни при рассмотрении задач динамики неоднородного клина. Отметим также, что исследования: вопросов1 концентрации, напряжений в произвольно* неоднородной среде приобретают большую актуальность в^ связи, с изучением- и проектированием функционально-градиентных материалов (ФГМ), заменивших во многих технических устройствах слоистые композиты. I Грш этом • в ФГМ модули. упругости меняются1 гладким? образом- по: координатным переменным: в. соответствии с заданным технологическими процессом. Кроме того, изменение свойств материалов во времени в связи: его износом и старением . может привести к изменению характера: концентрации напряжений в; углах, и переходу состояния материала1
в. этой зоне к очередной^ стадии предразрушения, которую следует диагностировать. -
7. Вопросы нестационарных и случайных воздействий на упругие классические области детально - изучены в: работах Болотина В.В, Волоховского В.Ю.,Чиркова В.П. [76], Чигарева А.В.[236], Пальмова В.А.
[190], Сеймова В.М. [215], Диментберга М.Ф. [118]. В работе Койбина A.B. [143] изучен процесс распространения случайной вибрации в упругом стержне. В монографии Басс Ф.М., Фукс И.М. [35] рассмотрены математические вопросы дифракции волн на шероховатых поверхностях с подробной библиографией по указанному вопросу. Общие вопросы разрешимости и приближенных методов решения краевых задач теории, упругости со случайными нагрузками рассмотрены в работах Гончаренко В.М. [114,115], Grandall S.H. [299,300] и др.[ 308,342,344,350]
Исследование вопросов стохастической- динамики клиновидной среды представлены лишь в нескольких* работах Budaev B.V.&Bogy D.B.[264,265,] и др., связанных с задачами дифракции на клине. В указанных работах предложен- численный алгоритм; основанный; на методах случайного блуждания. Исследование краевых задач о стохастических колебаниях в клиновидной среде при случайном-возбуждении' её граней не' обнаружено1 ни отечественных, ни в зарубежных публикациях.
8. Некоторые вопросы разрешимости краевых задач I,ir,IIL рода для дифференциальных уравнений эллиптического типа в областях с кусочногладкой границей (включая* клиновидную и косослоистую среду) рассмотрены. В‘ работах Мазыь В:Г., Пламеневского Б.А. [170,171], Назарова С.Ф., Пламеневского Б.А. [186] и др.[ 13, 125,280^281]. Вопросы разрешимости смешанных задач для неоднородной клиновидной и косослоистой среды с разрывом граничных условий (смешанные условия контактного- типа) не представлены в работах данных, а также других отечественных и зарубежных авторов.
Целью исследований в настоящей диссертации является разработка методов анализа плоских и антиплоских смешанных задач динамики с разрывом граничных условий для однородных и неоднородных клиновидных и косослоистых упругих сред на основе метода граничных интегральных уравнений (ГИУ). Ставится задача
-20-
исследования вопросов разрешимости указанных задач и разработки методов их приближенного решения. Ставятся также задачи изучения характера формирования волнового поля в клиновидных и косослоистых средах и исследования при этом вопросов концентрации напряжений в угловых точках этих сред.
Научная новизна предлагаемого исследования состоит в построении строгих математических моделей формирования волновых полей при- колебаниях неоднородных клиновидных и косослоистых сред на основе постановки основных и смешанных задач динамики.
В частности, научную новизну составляет изучение новых классов задач- для* клиновидных и косослоистых сред, построение методов их решения, связанных с удовлетворением условиям сопряжения на границах раздела сред, представляющих самостоятельный' научный интерес: Несмотря- на- обилие работ по изучению сейсмических границ-косослоистых сред (отмеченных, в частности, в монографии' Алексеева
А.€., Бессоновой.Э.Н. и др.[9]), модели указанных сред,.исследованные в предлагаемой диссертации; не обнаружены, к настоящему времени ни- в отечественных публикациях и справочных изданиях Гурвич И.И., ■Боганик Г.И.[107],Номоконов В.П.(ред.)[188] и др.[214, 240,207, 235, 156,], ни в работах зарубежных авторов Шерифф' Р., Гелдарт Л. [239] и др. [331,336,354,365,366]. Имеющаяся» информация о характере распространения- волн в косослоистых средах носит в основном лишь численно-эмпирический характер и получена при обработке результатов геофизических наблюдений рассмотренных задач для указанных выше клиновидных и косослоистых сред, но и методы- их решения, основанные на удовлетворении условиям сопряжение в обобщенном смысле, представляющие самостоятельный научный интерес.
Научную новизну составляет теоретически установленный в работе и практически подтверждаемый результатами геофизических наблюдений факт локализации волнового процесса в кусочно-однородной клиновидной
-21 -
и косослоистой среде при определенных условиях. Разработана методика теоретического определения скоростей возникающих при- этом поверхностных волн в окрестности свободных границ, а также интерфейсных (каналовых) волн в окрестности линий раздела сред.
Научную новизну составляет впервые рассмотренная в настоящей диссертации смешанная задача о возбуждении клиновидной среды внешними случайными источниками' на основе сведения начально-краевой- задачи к эквивалентному ГИУ с исследованием вопросов разрешимости и аналитической'структуры его решения.
Научную новизну составляют впервые исследованные в настоящей диссертации вопросы концентрации напряжений в угловых точках неоднородных клиновидных сред в случаях произвольной* зависимости механических характеристик от полярного угла.
Методика исследований
В качестве основного подхода к исследованию-классов.основных и смешанных задач, рассматриваемых в данной работе, выбран метод граничных интегральных уравнений (ГНУ), состоящий в сведении рассматриваемых краевых задач динамической теории упругости на основе методов интегральных преобразований- к эквивалентным граничным ГИУ, в их детальном исследовании, и на основе которых осуществляется процедура построения рсшений исходных задач.
Значительный вклад в развитие математической теории ГИУ и
<
численных методов их решения, широко применяемых в механике сплошных сред и в инженерном деле, который • внесли отечественные ученые- Векуа Н.П. [87], Купрадзе В.Д. [147,148], Мусхелишвили Н.И>. [185], Галин Л.А.[99], Лурье А.И. [164], Гольдштейн Р.В.[110-112], Лопатинский Я.Б. [154], Михлин С.Г. [180], Ворович И.И., Бабешко В.А., Александров В.М. [96,97], Ватульян А.О [84,86], Сметанин Б.И., Соболь Б.В. [7], Пожарский Д.А. [8], Горячева И.Г. [113], Улитко А.Ф. [231], Попов Г.Я. [199], Партон В.З., Перлин П.И. [193],
-22-
Нуллер Б.М. [189] и др. Среди исследований зарубежных ученых следует отметить работы Matezinski М. [325], Srivastav R.P. [352], Lâchât J.C., Watson J.O. [323], Cruse T.A. [279], Shaw R.P. [342], Hess J.L. [302] и др.
В данной работе метод ГИУ реализуется как на основе метода интегральных преобразований непосредственно, так и на основе построения функции или тензора1 Грина. В процессе построения решений используются методы, традиционно применяемые в динамической теории упругости- и теории дифракции: методы теории интегральных
преобразований основных и- обобщенных функций, методы теории потенциала, вариационные методы- и методы факторизации, методы теории1 аналитических функций, теории интерполяции целых функций и функциональных пространств, теории аппроксимации, теории случайных процессов, функционального и' численного анализа.
Достоверность полученных результатов определяется применением к решению рассматриваемых задач общих математических подходов; основанных на использовании динамических уравнений теории упругости, детально разработанной теории интегральных преобразований основных и обобщенных функций, результатов' теории потенциала, методах теории- функций и функционального анализа. Достоверность результатов, получаемых выдвинутыми в диссертации методами детально проверяется' на основе их сравнения с решениями! известных задач, полученных с помощью других подходов и методов, а также результатами численного анализа. Особое внимание в работе уделено строгим доказательствам вопросов разрешимости. Для доказательства' теорем о разрешимости, связанных с рассмотренными в работе краевыми задачами, применяется метод перехода от классических их постановок к обобщенным, позволяющим применять далее методы функционального анализа.
Ниже излагается кратное содержание основных разделов диссертации.
-23-
В ГЛАВЕ I даны классические постановки основных типов смешанных краевых задач о колебаниях упругих клиновидных и косослоистых сред, рассмотренных в настоящей диссертации в условиях плоской или антиплоской деформации. Под смешанными задачами в главе понимаются задачи при наличии разрыва нормальной производной неизвестных функций на границе. Постановка краевых задач осуществляется для следующих упругих неклассических областей: 1) однородная клиновидная среда с постоянными значениями механических параметров; 2) кусочно-однородная среда, составленная из жестко сцепленных однородных клиньев с общей вершиной и различными механическими и геометрическими характеристиками; 3) неоднородная клиновидная среда с непрерывным распределением механических параметров (градиентные среды); 4) упругая среда в форме усеченного клина с постоянными механическими-характеристиками; 5) косослоистая среда, составленная из усеченно-клиновидных компонент, примыкающих друг к другу своими.полубесконечными границами при условиях жесткого сцепления. Для вышеперечисленных упругих областей формулируются следующие задачи:
-переход от классических постановок к граничным интегральным уравнениям (ГИУ);
-исследование' вопросов разрешимости ГИУ и построения приближенного решения;
-исследование вопросов концентрации напряжений в рассматриваемых клиновидных областях;
-исследование характера, формирования, волновых полей в рассматриваемых неклассических областях.
В ГЛАВЕ II получены ГИУ, порождаемые смешанными задачами об установившихся колебаниях антиплоского сдвига, возбуждаемых внешними источниками, расположенными на одной из граней клиновидной или усеченно-клиновидной среды в полосе, параллельной
ребру. Исследуемые задачи и получаемые при этом ГИУ не рассматривались ранее другими авторами ни при математическом моделировании волновых процессов, ни как чисто математические объекты исследования. Для получения ГИУ применены методы интегральных преобразований Фурье, Лапласа, Меллина и Конторовича-Лебедева, Крама [38]. Рассмотрены случаи наличия источников, генерирующих как установившиеся, так и стохастические* колебания на границе рассматриваемых сред. Для задач'установившихся, колебаний, в операторах ГИУ выделен базовый интегральный оператор, и изучены вопросы его обратимости в функциональных пространствах дробной
гладкости-Соболева-Слободецкого-Для случая стохастических колебаний в операторах ГИУ также выделен базовый интегральный оператор, и результатьмю его обратимости сформулированы в терминах
осцилляции-[149,295] над пространствами дробной гладкости. Разработан метод точного обращения базовых операторов, основанный на сведении ГИУ к вспомогательным интегральным уравнениям II рода с помощью метода факторизации. Установлена структура решения ГИУ, которое выражается через решения вышеуказанных интегральных уравнений II рода. При этом искомые амплитуды смещений клиновидной среды выражаются через построенные решения ГИУ.
В ГЛАВЕ III выдвинуты 2л новых подхода, позволяющие выяснить аналитическую структуру решений смешанных задач об установившихся антиплоских колебаниях кусочно-однородных клиновидных сред с механическими характеристиками, дискретно меняющимися в зависимости от угловой координаты. Первый, из предлагаемых подходов к решению указанного класса задач связан с удовлетворением условиям сопряжения па границе раздела сред с различными упругими и волновыми характеристиками и основан на
функциональных пространств
средней- ограниченной
получении специального соотношения, представляющего равенство нулю некоторого сингулярного интеграла, содержащего линейные соотношения между интегральными преобразованиями Конторовича-Лебедева от смещений и напряжений. На основе этого подхода получено- ГИУ смешанной (контактной) задачи об установившихся колебаниях сдвига кусочно-однородной клиновидной .среды, составленной из жестко сцепленных, клиньев с общей вершиной? и различными механическими характеристиками (клиновидный композит):.
Другой подхода является: более общим- и основан-, на применении методов интегральных преобразований в классах обобщенных функций При-этом уравнения колебаний, граничные условия и условия сопряжения на границах раздела сред с различными упругими: и волновыми характеристиками рассматриваются; как следствия- вариационного принципа • Гамильтона-Остроградского. Установлен: математический,
результат, с-' помощью- которого- оказалось, возможным*. вУ специально выбранных пространствах обобщенных функций' трансформировать условия- сопряжения: в форму линейных соотношений между
интегральными преобразованиями Конторовича-Лебедева; от смещений и напряжений;/ : '/ •
В.данной главе рассмотрен также общий случай градиентно-упругой клиновидной* средьь с произвольной зависимостью- механических характеристик от угловой координаты: Установлен теоретический
результат, обосновывающий возможность аппроксимации градиентной клиновидной- среды с помощью рассмотренного выше клиновидного композита:.
В:- целях проверки проводилось сравнение обоих, подходов1 на примере решения смешанной (контактной), задачи об антиплоских колебаниях кусочно-однородной клиновидной- среды. При' этом оказывается, что ГИУ относительно неизвестных контактных напряжений, полученные с помощью обоих подходов, полностью совпадают.
На основе последнего из подходов разработан метод операторных пропагаторов, позволяющий получить ГИУ смешанных задач об антиплоских колебаниях неоднородной клиновидной среды, составленной из клина и усеченного клина с общей- вершиной, а также косослоистой неоднородной среды с негладким рельефом при установившихся' колебаниях её крайней границы.
В ГЛАВЕ IV рассмотрены не изучавшиеся.ранее в общей постановке плоские смешанные задачи установившихся колебаний, (задачи Соболева) однородных и кусочно-однородных клиновидных областей. Результаты главы IV основаны на использовании- представлений, общих решений-динамической теории упругости, полученных Зильберглейтом- A.C. и Златиной1 И.Щ128]. Указанное рассмотрение-осуществляется с помощью полученного в. диссертации специального- представления фундаментального тензора колебаний Купрадзе В.Д. [147,148] в полярной? системе координат. Для получения основных ГИУ плоских смешанных задач о- колебаниях клиновидных областей с использованием фундаментального тензора колебаний- производится предварительное построение тензора. Грина для клиновидной и усеченно-клиновидной упругой среды, который удовлетворяет требуемым граничным условиям. При этом оказывается, что главная составляющая оператора левой части получающихся при этом ГИУ совпадает с базовым оператором, изученным в главе II и допускающим точное обращение, что позволяет разработать алгоритмы для построения эффективного приближенного решения.
В качестве иллюстрации- выдвинутого подхода получены ГИУ плоской смешанной задачи о колебаниях упругого полупространства с наклонным, излучающим разрезом, выходящим на свободную границу, получена структура его аналитического решения и построена амплитудно-частотная характеристика смещений свободной поверхности; Указанная задача детально рассмотрена в ПРИЛОЖЕНИИ. Отметим, что в более
-27-
поздних работах авторов Глушкова Е.В., Глушковой Н.В., Голуб М.В. [104] и др. были рассмотрены задачи о колебаниях, возбуждаемых гармоническими источниками на границе полупространства с наклонной трещиной, но в связи проблемой локализацией энергии волнового' процесса, блокирования и эффекта резонансного захвата бегущих волн трещиной. Полученные при этом ГИУ решались приближенно по методу Бубнова-Галсркина.
С помощью выдвигаемых подходов получено ГИУ смешанной' задачи о колебаниях однородной и- кусочно-однородной клиновидной среды, а также (по-видимому, впервые) ГИУ смешанной задачи* о колебаниях косослоистой среды. Ранее рассматривались лишь некоторые частные случаи постановки задач о плоских колебаниях клиновидной среды, и их решения при весьма специальных 'вариантах задания граничных условий (типа “скользящей заделки”) без разрыва- нормальной производной неизвестной функции на границе [184, 203}.
В ГЛАВЕ V исследованы краевые* задачи- о концентрации напряжений в окрестности вершины неоднородного клина с произвольным (как гладким, так и кусочно-непрерывным) законом изменения модулей-по угловой координате. Для исследования поставленных задач выдвинуты 3- подхода: 1) аппроксимация неоднородного клина кусочно, -
однородным, построение ГИУ методом интегральных преобразований и его использование при получении* трансцендентного уравнения для определения показателя концентрации; 2) сведение исходной проблемы на основе вариационного похода к некоторой нелинейной спектральной задаче для квадратичного пучка.операторов и последующее использование прямых методов (Бубнова-Галеркина, Ритца) для получения приближенного трансцендентного уравнения относительно- показателя концентрации; 3) непосредственное сведение исходной проблемы к нелинейной спектральной задаче для системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода и последующая конечномерная'аппроксимация
-28-
интегральных операторов уравнения для получения приближенного трансцендентного уравнения относительно показателя концентрации.
На основе 1-го подхода рассмотрена задача о концентрации напряжений в неоднородной клиновидной среде при наличии колебаний антиплоского сдвига. Получено подтверждение известного ранее факта о том, что наличие колебательного процесса в клине не влияет на величину показателя концентрации, который остается, таким же, как и в случае статического нагружения/ Указанное обстоятельство* позволяет для-исследования вопросов концентрации рассматривать соответствующие уравнения статики с теми же граничными условиями:
На основе 2-го. подхода дано теоретическое обоснование факта существования критических углов раствора «♦ неоднородной клиновидной среды, начиная?, с которых появляется бесконечная особенность напряжений в вершине.
Рассмотрены задачи о концентрации, напряжений в.* окрестности вершины неоднородного упругого клина с произвольным- законом изменения упругих модулей по угловой координате. В рамках указанных подходов с помощью численного анализа методами 1) — 3) исследованы особенности появления концентрации напряжений, получены величины критических углов раствора клина, отделяющих области с наличием и отсутствием концентрации- в угловой-точке. Проводилось тестирование предлагаемых алгоритмов на задачах с известными аналитическими решениями. Сравнение результатов обнаруживают удовлетворительное совпадение.
Численный анализ проводился.для кусочно-постоянной, линейной и квадратичной-зависимости упругих модулей от угловой координаты в 2-х случаях — антиплоской- и плоской задачи о- равновесии упругого неоднородного клина. В зависимости от закона неоднородности в окрестности угловой точки определялся показатель концентрации и критический угол, при котором появляются бесконечные напряжения
в вершине. При этом, как и следовало ожидать, значения показателя концентрации S оказываются в интервале 0 <д <1 .
На основе анализа результатов установлено, что показатель концентрации, а, следовательно, и критический угол си неоднородной клиновидной среды существенно- зависит от характера распределения упругих свойств материала в окрестности вершины неоднородной клиновидной среды.
В ГЛАВЕ VI изучен характер формирования волнового поля смещений свободной поверхности упругого клина. Дается аналитическое исследование условий возникновения поверхностных воли при плоских установившихся колебаниях клиновидной среды. В рамках модели линейной динамической теории упругости теоретически установлены факты локализации волнового процесса в- окрестности свободной поверхности однородной клиновидной среды» (существование поверхностной волны Релея) и локализации волнового процесса в-клиновидном композите в окрестности* границы раздела- сред (существование интерфейсной- волны типа Стоуили) при возбуждении в этих средах установившихся-колебаний.
Вопросы локализации волнового процесса в многослойных горизонтально-слоистых средах детально рассматривались в работах Бабешко.В.А. [19], Пряхиной О/Д. [98], Глушкова Е.В:, Глушковой Н.В.
[103] и др: Для клиновидных сред исследования в указанном
направлении, как отмечалось выше, имеют эмпирический характер и обнаружены автором настоящей диссертации, лишь в руководствах, по вибросейсморазведке; например, в [156, 188] и др.
В данной главе на основе построения функционально-инвариантных решений специального вида для динамических уравнений теории упругости и использования вариационного принципа Гамильтона-Остроградского в форме Трефтца предложен метод изучения характера формирования волнового поля- смещений при установившихся плоских
-30-
колебаниях, как однородной клиновидной среды, так и кусочнооднородной, составленной из 2-х упругих клиньев с общим ребром. Исследована форма колебаний, описывающих поверхностную волну в однородной клиновидной среде и интерфейсную волну,
локализованную в окрестности линии раздела клиновидных компонент
составного клина. Получены соотношения между механическими
параметрами сред и формулы для расчета фазовых скоростей воли
локализации и критических углов раствора, при- которых эти волны ПОЯВЛЯЮТСЯ'в клиновидной-среде.
Описаны результаты численной реализации предложенного1 выше метода. Численный- анализ проводился для однородных и составных клиновидных сред. В. качестве характеристик материалов клиновидных компонент выбирались параметры реальных геологических пород приповерхностного слоя земной коры таких, как песчано-глинистые, известковые, мерзлота и*др. На основе результатов- численного анализа составлена таблица фазовых скоростей поверхностных волн и значений,, критических углов раствора, вычисленных по-предложенной методике для некоторых клиновидных геологических пород. Составлена также таблица контактного соответствия геологических пород клиновидной формы с критическими углами раствора сред, на границах раздела которых появляется- интерфейсная* волна. Как следует из справочных материалов [156,188], полученные результаты согласуются с имеющимися данными геофизических наблюдений.
ГЛАВА VII посвящена' описанию методики теоретического восстановления волновых полей смещений в зонах локализации колебательного процесса при возбуждении- клиновидной среды, с критическим углом раствора внешними источниками, расположенными на её гранях. При этом задача восстановления волнового поля сводится к решению граничных интегральных уравнений, относящихся к классу,
детально изученному в главах 11,111, где указан метод построения их эффективного приближенного решения.
С помощью решений, полученных в главе VI для сплошной и составной клиновидной среды с критическими углами раствора, удается построить тензор Грина, удовлетворяющий заданным граничным условиям. Тензор Грина позволяет с помощью формул Бетти получить решение задачи о возбуждении колебаний в клиновидной среде внешними источниками. При этом построенное решение вне области задания источников колебаний удовлетворяет динамическим уравнениям теории упругости и граничным условиям и условиям.сопряжения.
Рассмотрены случаи появления поверхностных волн на свободной границе однородного клина и интерфейсных волн на границе раздела сред кусочно-однородной среды. При этом* восстановленные волновые поля амплитуд смещений в указанных зонах в качестве составляющих содержат продольные и поперечные волны, а также незатухающие на* бесконечности поверхностные волны типа Релея, локализованные в окрестности свободной границы, и незатухающие каналовые волны типа Сгоунли, локализованные в-окрестности-границы раздела сред.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ содержит перечень выдвинутых и
разработанных в диссертации, подходов и методов, вынесенных па защиту, а также полученные с помощью этих методов основные результаты, представляющие научную новизну.
ПРИЛОЖЕНИЯ содержат вспомогательные сведения и промежуточные результаты, облегчающие чтение основного текста, а также строгие математические доказательства ряда теорем, сформулированных в тексте диссертации.
В ПРИЛОЖЕНИИ I приведены основные понятия и результаты теории интерполяции банаховых пространств, некоторые сведения из теории пространств Харди [149]. На их основе дано построение эквивалентной нормы пространства дробной гладкости Соболева-
-32-
Слободецкого W] (öQ), о <y < 1 в терминах преобразования Конторовича-Лебедева, представляющее самостоятельный математический интерес. Результат является обобщением частного случая для у = /2, полученного другим методом в главе II.
В ПРИЛОЖЕНИИ II осуществлена детальная проверка основного результата главы II, §3. Дается построение решения ГНУ смешанной задачи о - колебаниях сдвига упругого полупространства 2-мя методами: 1) с помощью формул §3 точного решения- ГИУ смешанной задачи колебаний однородной клиновидной- среды; 2) с помощью метода Рвачева В.М. Показано, что оба метода приводит к одному и- тому же результату. Приведены также основные формулы преобразования Крама.
В ПРИЛОЖЕНИИ III приведены подробные доказательства основных теорем, сформулированных в главе III, §1,2 и обосновывающих выдвигаемые в этой главе методы, решения смешанных задач динамики для кусочно-однородных, клиновидных сред. Дано математическое обоснование сходимости метода дискретизации в смешанных задачах установившихся колебаний градиентно-неоднородной клиновидной среды.
В ПРИЛОЖЕНИИ IV приведены формулы для' смещений и напряжений' плоской динамической теории упругости; полученные из общих представлений Зильберглейта A.C., Златиной И.Н и используемые в основном тексте. Здесь же дано детальное рассмотрение иллюстративной задачи о плоских установившихся колебаниях упругого полупространства с излучающим разрезом.
В пунктах ПРИЛОЖЕНИЯ V приведены доказательства вспомогательных результатов главы V , вспомогательные сведения для численного исследования вопросов концентрации напряжений в клиновидной среде, а также результаты численного анализа.
В ПРИЛОЖЕНИИ VI приведено исследование вопросов существования действительных нулей детерминанта матрицы ядра ГИУ смешанной задачи о колебаниях однородной клиновидной среды, а также существования решения ГИУ в рассматриваемом случае .
В ПРИЛОЖЕНИИ VII приведена таблица, .содержащая результаты расчета фазовых скоростей интерфейсных волн и критических углов раствора клиновидных компонент.клиновидной среды, составленной из. различных геологических пород, для которых эти волны могут появиться на границе раздела 2-х компонентной клиновидной среде..
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ содержит 370 источников: отечественных -243 и зарубежных -127.. '
‘По-теме диссертации^ опубликовано 25 работ, в том числе 10[ в изданиях для публикаций- по докторским диссертациям, из списка, рекомендованного/в-перечне. ВАК РФ: Работы 47,48 выполнены в-, соавторстве. с Трипалиным A.C., а работы- 63,66,68 выполнены в/ соавторстве со Шварцманом М.М. В. указанных выше работах соискателю принадлежит математическая постановка смешанных задач на основе их сведения' к ГИУ, исследование вопросов разрешимости и разработка алгоритма построения решения. Работа 70 выполнена в соавторстве с Ватульяном - А.О. и Шварцманом М.М., где автору . принадлежит постановка задачи и ее исследование методом ГИУ с использованием-метода дискретизации, а также решение вопросов обоснования- при вариационном подходе к исследованию проблемы концентрации напряжений в клиновидной среде. .
НА УЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ
X. Исследован новый класс смешанных задач динамики для неоднородной упругой среды со сложной геометрией клиновидного типа на основе сведения к системам граничных интегральных уравнений.
2. Получены. новые функционально-инвариантные и интегральные представления общих решений динамической теории упругости.
3. Сформулированы условия локализации волнового процесса в окрестности свободнойповерхности однородной клиновидной.среды;, а также в> окрестности линий раздела? кусочно-однородной' КЛИНОВИДНОЙ среды;.
4:. Разработана* методика расчета волновых нолей смещений* в-зонах локализации колебательного процесса* однородной;, кусочно-; однородной* клиновидной и косослоистой среды.
5;.. Представлены« методы? определения- показателя
сингулярности* напряжений в. вершине клина», и? критических углов концентрации с произвольным (непрерывным и*, кусочно-непрерывным) распределением;механических характеристик среды;
АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ'
Излагаемые в диссертации научные результаты докладывались на V Всероссийской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, 2005г.), на IX,X,XII,XIII Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов н/Д, 2005,2006,2007,2009 гг.); на Всероссийской конференции Института гидромеханики им. акад. М.А.Лаврентьева СО РАН «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» (Новосибирск, 2006г.),. на VIII ■ Международной конференции АМАОЕ-2003 «Аналитические методы анализа, и дифференциальных уравнений» (Беларусь, Минск, 2003 г.),. на
Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти акад.
Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002 г.), на X, XII1, XIV, XVI, XVIII, Международных конференциях «Математика. Экономика. Образование»
-35-
(Новороссийск, 2002, 2004, 2006,2008, 2010 гг.), на семинарах кафедры теории упругости и кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Южного федерального университете (Ростов н/Д,2004-2010п\), на семинаре «Механика сплошной среды» им. Л.А. Галина в Институте проблем механики РАГІ (Москва), в Центре Южного отделения РАН при Кубанском госунивсрситете по математическому моделированию и прогнозированию чрезвычайных ситуаций, экологических и техногенных катастроф (Краснодар, 2011г.), на семинаре «Дифракция и распространение волн» лаборатории математических проблем геофизики Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН (Санкт-Петербург, 2011), на Международном семинаре «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения»(Ростов-иа-Дону, 2011).
БЛАГО ДА PH ОСТИ
Автор диссертации выражает глубокую признательность своему учителю, академику РАН, проф. Бабешко В.А. за постоянный интерес, внимание и поддержку настоящей работы, а также благодарит коллектив кафедры теории упругости Южного федерального университета за ценные замечания при обсуждении полученных результатов.
ГЛАВА I
НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СМЕШАННЫХ ЗАДА Ч ДИНАМИКИ УПРУГИХ КЛИНОВИДНЫХ СРЕД
В данной главе сформулированы постановки всех рассматриваемых в диссертации типов смешанных задач динамики для однородных и неоднородных клиновидных и косослоистых сред в-условиях плоской или антиплоской деформации. Под смешанными задачами для< клиновидных сред понимаются*, краевые задачи', динамической теории упругости при наличии, разрыва нормальной' производной неизвестных функций на границе. Косослоистой считается неоднородно-упругая- среда, составленная из клиновидных и усеченно-клиновидных однородных* упругих компонент с различными механическими- и геометрическими характеристиками. Указанные компоненты жестко сцеплены друг с другом своими полубесконечными границами, а участки границы конечной длины образуют ломаную свободную поверхность.
В главе приведены постановки смешанных задач об установившихся колебаниях антиплоского сдвига- однородной клиновидной среды, клиновидной среды- с радиальным; вырезом, усеченной- клиновидной среды, конической среды.. Даны постановки смешанных задач для кусочно-однородных, косослоистых и градиентных клиновидных сред,? Рассмотрены постановки смешанных задач установившихся колебаний для аналогичных областей в условиях плоской деформации. Даны постановки проблем. существования и анализа поверхностных и интерфейсных явлений в указанных средах, следуя* принципу локализации колебаний, сформулированному академиком РАН, проф. Бабешко В.А.
Даны постановки задач о стохастическом возбуждении полей смещений в рассматриваемых средах, а также задач анализа концентрации напряжений в вершине угла неоднородной клиновидной среды.
V
-37-
§1, Постановка смешанных задач об установившихся колебаниях антиплоского сдвига однородных клиновидных областей
1.1. Колебания однородной клиновидной области (1А)
Рассматривается задача об установившихся колебаниях сдвига, возбуждаемых внешними гармоническими источниками /(г)е~1(01 на участке а <г <Ь верхней грани однородной клиновидной области О угла-раствора а. Предполагается, что оставшаяся часть верхней грани свободна от напряжений, а» нижняя грань жестко закреплена (либо свободна). При указанных условиях ставятся задачи:' 1) определение неизвестных напряэ/сений на участке а <г <Ь верхней грани; 2) восстановление поля смещений во всей клиновидной области, включая её границу.
Сформулированная таким образом: проблема, как известно' [15, 246,290], сводится в первоначальной классической постановке к следующей смешанной краевой задаче для уравнения Гельмгольца относительно комплексных амплитуд смещений и(г,(р):
Ли + К2ч = 0 , К2=От2/ц (Г-1-1)
и\г=а =/(г), ге(а,Ь) с ! -0, г$(а,Ь)
~у1<р=а
Предполагается, что на ребре г=0 источники излучения отсутствуют, а на бесконечности выполняются условия принципа излучения Зоммерфельда [29]:
~ — /АГм - ), Г =^Х2 + у2 ->со (1.1.3) ^
Отсутствие источников излучения на ребре клина обеспечивает выполнение принципа Сен-Венана [81,184] и наличие энергетического решения, существование которого для задач рассматриваемого типа может быть установлено традиционными методами, например [96,97 ] и др.
\<р=0
=0 (либо а
2<р
(р-0
-о)
(1.1.2)
-38-
В соотношениях (1.1.1), (1.1.2) параметры Э , ц- плотность и модуль сдвига материала клина соответственно. Решение поставленной смешанной задачи основано на её сведении к граничному интегральному уравнению (ГИУ) относительно неизвестной комплексной амплитуды контактного напряжения о.0\в_а = ц(г) на участке а<г<Ь верхней грани
однородной клиновидной среды. Исходная проблема сводится к следующим задачам: 1Л-І) получение ГИУ и исследование вопросов его разрешимости; 1А-2) разработка метода для построения эффективного решения ГИУ.
1.2. Колебания клиновидной области с радиальным дефектом
конечной длины (2А)
Рассматривается смешанная краевая задача для уравнения Гёльмгольца в плоской области Г2 9 представляющей собой угол раствора а с разрезом ./, моделирующим дефект на линии Гч конечной длины /, берега которого 1± являются генераторами смещений антиллоского сдвига 12(г)е~,0)* на конечном отрезке [с,сі] линии Г^ .
Рис. 1.1.1
На верхней границе Га также расположены источники гармонических колебаний /,(г)е~,(о1 на конечном отрезке [а,ь].
-39-
Предполагается, что оставшаяся часть границы' га свободной, а нижняя граница Г0 закреплена (или свободна). В вершине г = 0 источники излучения отсутствуют, а на бесконечности выполняются условия излучения Зоммерфельда (см. ниже 1.1.4-7). В условиях установившихся колебаний ставятся задачи: 1) определение неизвестных напряжений на участке а<г<Ь верхней грани; 2) восстановление поля смещений во всей клиновидной области, включая её границу.
Указанная выше постановка приводит к следующей краевой задаче для уравнения Гельмгольца в рассматриваемой области:
Д1У + К^У = 0 4 (1.1.4)
=0
0<г< оо (1.1.5)
д\У.
—\ =0, 0 <г <а, Ь<г< оо
дп 1
=//('■)> а<г<Ь (а=а0+а,) (1.1.6)
=Л(др»3;)э (*>У)е^±
£-иаГшо(гА) Г = л1х2 + у2 —> СО (1.1.7)
дп
Тогда исходные проблемы сводятся к следующим задачам: 2А-1) получение ГИУ и исследование вопросов его разрешимости; 2А-2) разработка метода построения эффективного решения ГИУ.
1.3. Колебания усеченной клиновидной области (1Б)
Рассматривается задача об установившихся колебаниях антиплоского сдвига усеченной клиновидной области П. Предполагается, что область является однородной, а её полубесконечных границы Г,,Г2 составляют произвольные углы а,[) с границей Г конечной длины /, свободной от напряжений. Одна из граней возбуждается источниками гармонических колебаний антиплоского сдвига в полосе П = (д,/>)х/У, расположенной
-40-
установившихся колебаний с круговой частотой ю в упругой области с
плотностью £> и модулем сдвига р ставится задача: определить
соотношения связи между граничными значениями амплитудных
векторов и (и2,сг2) на соседних Г,,Г2 полубесконечпых границах
усеченной клиновидной области {у-смещения,в-напряжения).
Поставленная задача сводится к отысканию функции Грина
в(г,<р\ р,ч/)9 удовлетворяющей неоднородному уравнению Гельмгольца и-*
граничным условиям, которые имеют вид [29]:
дО + К2С = -^;д(р-г)д(ч/-<р) , К2 = Р(о?/у (1.1.8)
ОО
дv
= дв
Г/ ^
=0 • (1.1.9)
г
Предполагается, что в вершинах усеченной клиновидной области источники- излучения отсутствуют, а на бесконечности выполняются условия излучения Зоммерфельда (1.1.7).
Сформулированная задача является промежуточной, поскольку позволяет осуществить постановку задач об антиплоских колебаниях кусочно-однородных клиновидных областей, приведенных в последующих параграфах.
1.4. Колебания конической упругой области (ЗА) Рассматривается смешанная задача об осесимметричных крутильных колебаниях сдвига упругой полубесконечной круговой конической области О с углом 2а в осевом сечении. Предполагается, что на поверхности конуса дП заданы окружные касательные смещения
и^\да =/(г)е 1(01 , а <г <Ь в коническом поясе /7, границы которого
представляют собой окружности, удаленные от вершины конуса на расстояния а и Ь соответственно. Остальная поверхность свободна от напряжений. В условиях установившихся колебаний сдвига ставится задачи: 1) определение неизвестных напряжений в коническом поясе
-41 -
П п дО; 2) восстановление поля смещений во всей конической области, включая её границу.
Описанная проблема сводится к постановке смешанной краевой задачи осесимметричнных колебаний для нолубесконечиой конической области П. Формулировка этой задачи в сферических координатах (г, ^^относительно единственной, на равной нулю компоненты
смешения и у = и( г, ц/ )е~‘а> 1 имеет следующий вид [44]:
у = К - йсо / ц (1.1.10)
НуВвв^ ге(а,Ь) д
——(иБіп<р) = 0, г £ (а,Ь)
г БІГКО 0(0
• 8Ш (р 0(р
— - іКи = о(г~^:), Г-> со (1.1.11)
дг 4 ' 4
В соотношениях (1.1.10) Ад- плотность и модуль сдвига материала конуса. В вершине конуса предполагается отсутствие источников колебаний, на оси конуса - ограниченность смещений и\^=0 < оо, а на
бесконечности — выполнение условий излучения Зоммерфельда (1.1.11) Исследование проблемы сводится к задачам, аналогичным 2А: ЗА-1) получение ГИУ и исследование вопросов его разрешимости; ЗА-2) разработка метода построения эффективного решения ГИУ.
Результаты исследования задач, сформулированных в §1, опубликованы в работах соискателя [45, 53,54].
-42-
§2. Постановка смешанных задач о колебаниях антиплоского сдвига неоднородных клиновидных областей.
2.1. Колебания кусочно-однородной клиновидной области
(задачи 2С, 2Ск)
Рассматривается смешанная задача о колебаниях антиплоского
N
сдвига кусочно-однородной клиновидной области /2== и А
*=/ .
произвольного угла раствора 0<а<п, составленной из N однородных жестко сцепленных клиньев Рк = {(г,(р): 0 <г < оо, (рк_, <(р <(рк), к = с
общим ребром, различными механическими характеристиками 1)к , цк и
N
углами раствора ак, такими, что а = . Полученную кусочно-
А=/
однородную среду назовем клиновидным композитом.
Гармонические колебания возбуждаются источниками, расположенными на верхней грани клина <р = а в полосе, параллельной ребру, и»
распределенными в ней по закону /(г)е~,со1 на участке а<г<Ь. Вне указанной выше полосы верхняя грань предполагается свободной от напряжений. Нижняя грань <р = 0 предполагается жестко закрепленной либо свободной. В режиме установившихся колебаний ставятся
-43-
следующие задачи: 2С-1) восстановление поля смещений и напряжений в кусочно-однородной области; 2Ск- 2) изучение вопросов концентрации напряжений в окрестности вершины г = 0,
Относительно комплексных амплитуд смещений и(г,(р) возникает смешанная задача для уравнения Гельмгольца (1.1.1) в кусочно-
N
однородной клиновидной области 0 = с граничными условиями
п=1
(1.1.2)’ , условиями излучения (1.1.3), условием ограниченности смещений и отсутствием источников излучения на ребре г = 0. Тогда в клиновидных компонентах амплитуды смещений и(г,ф) и напряжений
<т.9 = (у(г,(р) будут удовлетворять следующим связанным соотношениям:
(х,у) еП,, Ли + к]и = 0 , и\ = 0 (либо <т = 0 )
' ” (р—0
(х,у)еПп, Ли + К2и = 0 , [и\ = [а\ =0 , п = 2... -/ (1.2.1)
П—1 п—1
и\ = /(>А ге(а.Ь)
1.2.2).
а =0, г £ (а, Ь)
-г (р=а
И/. = “I .о ~ "I -о = 0 ’ К»= Г’ДА' ■ я = А2.N
п 4 п
Условия сопряжения в формулах (1.2.1),(1.2.2) являются условиями жесткого сцепления на границах Ьп раздела сред, символами Оп, рп обозначены постоянные плотность и модуль сдвига клиновидных компонент Д, области О соответственно, [м]|/, - скачок функции при переходе через границу Ь. Тог да поставленные выше задачи 1,2) приводят к следующим: 2С-1) исследовать вопросы разрешимости задачи.(1.2.1),
(1.2.2) методами ГИУ; 2С-2) разработать способ построения эффективного решения; 2Ск-3) исследовать вопросы концентрации напряжений в зависимости от характера распределения механических характеристик в окрестности вершины г-0 кусочно-однородной клиновидной области.
(х.у)е О, , Ли + К*.и = 0 , И* = [ст]* = 0,