2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ.......................................................... 4
1. - ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ *
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО ' СОСТОЯНИЯ
ТОНКОСТЕННЫХ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ИХ ИНТЕНСИВНОМ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ.................................... 11
1.1. Развитие теории удара и импульсного нагружения упругих элементов конструкций................................................ 11
1.2. Постановка задачи на импульсное нагружение стержневой и оболочечной конструкций............................................... 19
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ
ТОНКОСТЕННЫХ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ......................................... 29
2.1. Разрешаюпше линейные уравнения динамики стержней............ 29
2.2. Разрешающие линейные уравнения динамики оболочек вращения............................................................... 38
2.3. У равнения динамики присоединенных сосредоточенных масс .... 51
2.4. Формулировка начатьно-краевых задач ........................ 52
3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ............................................................ 56
3.1. Определение собственных частот и форм собственных колебаний на основе метода конечных элементов.......................... 60
3.2. Классический метод расчета параметров напряженно-деформированного состояния конструкции при действии вынуждающей нагрузки ................................................. 65
3.3. Квазистатический метод расчета параметров напряженно-деформированного состояния конструкции при действии возмущающей
п
нагрузки .............................................................. 70
3
4. .АЛГОРИТМ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАСЧЕТА ИМПУЛЬСНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ................................................. 78
4.1. Построение разрешающих систем алгебраических уравнений математического обеспечения расчетов разветвленных конструкций 78
4.2. Структура и описание программы ......................... 82
4.3. Исследование точности и сходимости алгоритма. Анализ основных типов погрешностей ...........'.......................... 100
5. РЕШЕНИЕ ТЕСТОВЫХ И ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ПРИ ИНТЕНСИВНОМ НАГРУЖЕНИИ КОНСТРУКЦИЙ............................ 113
5.1. Сравнительный анализ методов определения динамических параметров напряженно-деформированного состояния для упругих элементов конструкций......................................... 114
5.2. Расчет параметров напряженно-деформированного состояния для оболочек вращения ............................................ 122
5.3. Расчет параметров напряженно-деформированного состояния для стержневых систем............................................. 135
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ............................... 153
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Вывод матрицы преобразования базисов для стержней ........................................................ 1*55
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Вывод соотношения дтя коэффициента сдвига в сечении крутового стержня......................................... 159
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Матрицы коэффициентов систем разрешающих уравнений динамики пространственных криволинейных стержней и оболочек вращения............................................. 164
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Тестирование квазистатического метода на уравнениях математической физики ................................ 169
ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Примеры решений задач динамики для составной
к *
и разветвленной оболочек вращения.................................. 183
ЛИТЕРАТУРА ■ 187
4
ВВЕДЕНИЕ
В современной инженерной практике большое количество расчетов стержневых и оболочечных систем связано с решением динамических задач. К настоящему времени весьма тщательно исследованы задачи, связанные с колебательными процессами в отдельных элементах конструкций, разработаны методики определения их частот и форм собственных колебаний. Использование современной вычислительной техники позволяет представлять результаты решения полной задачи динамики для различных элементов конструкций на всех ее этапах.
Однако, несмотря на достигнутые успехи, остается актуальной проблема определения напряженно-деформированного состояния систем конструктивных элементов сложной геометрической формы при их интенсивном динамическом нагружении, поскольку сложно учесть влияние всех возмущающих внешних факторов при полном учете взаимосвязей элементов между собой. Поэтому при решении задач динамики исследуемых объектов разрабатываются комплексные подходы. Суть комплексного подхода заключается в независимом описании математических моделей для отдельных конструктивных элементов и описании условий стыковки моделей согласно конструктивной схеме. Так, аналогом условия стыковки математических моделей в методе конечных элементов является ансамблирование элементов.
Большинство работ по динамике стержневых и оболочечных систем, как на основе аналитических, так и численных методов, посвящено исследованию собственных колебаний. Однако наибольший интерес представляют работы, в которых рассматриваются вопросы собственно динамического расчета, то есть вопросы определения динамических напряжений и перемещений в упругих элементах. Решение таких задач является более сложным и имеет ряд дополнительных трудностей, связанных при численной реализации с проблемами памяти ЭВМ и сходимости решения.
Существующие методы и алгоритмы расчета, как правило,
5
ориентированы на узкий круг конкретных задач. Поэтому задача исследования НДС как элементов конструкций, так и разветвленных тонкостенных конструкций при их интенсивном динамическом нагружении актуальна и в прикладном плане, и с точки зрения создания аппарата методического и математического обеспечения решения указанного круга задач. Судя как по известной литературе, так и по инженерной практике, элементы таких комплексных исследований содержат в себе существенные аспекты научной новизны. При проведении исследовании в этой области большое внимание уделяется разработке методов расчета отдельных элементов конструкций при их интенсивном динамическом нагружении.
Поскольку при моделировании расчетных схем отдельных элементов конструкций сложно учесть влияние всех возмущающих внешних факторов, в настоящей работе особое внимание уделено расчету комплексов конструктивных элементов. При этом в качестве импульсного нагружения рассматривается нагрузка силового характера.
Дальнейшее развитие методов расчета напряженно-деформированного состояния тонкостенных элементов конструкций при их импульсном нагружении может быть направлено в области кинематического характера внешнего возмущения, а также в области состояния геометрической и физической нелинейности элементов конструкций при их интенсивном динамическом нагружении.
В связи с решением в настоящей диссертации задач динамики упругих элементов конструкций в процессе силового импульсного нагружения рассматривается случай, когда длительность импульса нагружения соизмерима с периодами собственных колебаний конструктивных элементов по основному тону, то есть, когда импульс не является мгновенным. Это приводит к необходимости рассматривать состояние системы не только при свободных колебаниях после импульса, но и в течение его действия, когда имеет место сложение вынужденного движения системы и ее собственных колебаний.
6
Задача определения динамических напряжений и перемещений при воздействии на стержневую или оболочечную систему импульса нагружения конечной длительности решается методом собственных функций. Принципиально проблема состоит в достижении сходимости рядов или в ее улучшении в разложениях всех компонентов решения и разложениях внешней нагрузки по формам собственных колебании.
В данной работе реатизован метод выделения квазистатического решения, что существенно повышает точность расчетов стержневых и оболочечных систем при наименьшем числе форм собственных колебаний.
Впервые в численной постановке метод выделения квазистатического решения был применен Валовым В.М. [28] при исследовании напряженно-деформированного состояния оболочек вращения, подверженных действию электромагнитного импульса. Им отмечалось, что при определении максимальных напряжений квазистатическое решение само по себе дает удовлетворительную точность. При этом характер распределения напряжений и перемещений по длине меридиана оболочки для квазистатического и динамического решений качественно близки.
В настоящей работе метод выделения квазистатического решения при расчете конструкции на импульсное нагружение, а также алгоритм решения задачи динамики в целом впервые обобщены, как составные части единого математического обеспечения исследования НДС разветвленных тонкостенных конструкций при их интенсивном динамическом нагружении.
Для расчета системы конструктивных элементов требуется обобщенная постановка задачи с максимальным учетом всех ее особенностей. Такой постановке лучше всего отвечает векторно-матричная формализация задачи, при которой значительно сокращаются выводы соотношений и упрощаются математические выкладки при описание алгоритма решения, как на простых, так и на сложных моделях конструктивных элементов. Поэтому, представляется естественным оформление математических моделей стержневых и оболочечных
7
систем, а также методов решения задачи динамики в векторно-матричном виде, что и сделано в настоящей работе.
В основу описания напряженно-деформированного состояния стержней и оболочек вращения положены гипотезы Кирхгофа-Лява и Тимошенко.
При решении динамической задачи используется метод разделения переменных, а также производится дискретизация стержневой или оболочечной систем методом конечного элемента. Для расчета характеристик элементов используется линейная система разрешающих дифференциальных уравнений, решение которой строится на основе метода начального параметра.
Численная реализация метода выделения квазистатического решения осуществлена для различных форм импульсного нагружения - постоянного, возрастающего, убывающего, синусоидального и квадрата синуса. Эффективность нового метода показана при временах действия импульсной нагрузки, сравнимой с частотой первого тона колебаний стержневой или оболочечной конструкций, а также в случаях, когда импульс существенно длиннее или короче периода колебаний по основному тону.
Задача динамики полностью решается численно, включая расчет временной функции, что позволяет использовать в ней любые граничные и начальные условия. При этом программа протестирована на аналитических решениях, на что отдельно указывается в каждой главе.
Необходимо отметить, что задачи динамической устойчивости в настоящей работе не рассматриваются, хотя динамическую устойчивость необходимо учитывать при высоко интенсивном нагружении. То есть следует осторожно относиться к результатам расчета при большой амплитуде внешней нагрузки.
Диссертация состоит из пяти глав, выводов по диссертации, четырех приложений и списка литературы.
В первой главе представлен обзор литературы, посвященный развитию методов расчета упругих элементов конструкций при их интенсивном
нагружении, начиная от элементарных методов, суть которых сводится к исследованию процессов соударения двух тел простой геометрии, и заканчивая методами расчета напряженно-деформированного состояния конструктивных элементов сложной геометрии. Кроме этого, формулируется постановка рассматриваемой в настоящей работе задачи по определению напряженно-деформированного состояния разветвленных стержневых и оболочечных систем при их импульсном нагружении.
Во второй главе описаны математические модели для стержней замкнутого кругового профиля на основании гипотез Тимошенко и для тонкостенных оболочек вращения на основании гипотез Кирхгофа-Лява.
При вычислении напряженного состояния стержней очень часто оказывается необходимым учитывать в реальных стержневых системах влияние присоединенных масс. Поэтому к модели динамического деформирования стержней добавляются дополнительные уравнения движения масс и связи обобщенных перемещений на концах стержней, описанные во второй главе.
Для возможности численного исследования математических моделей динамического деформирования упругих конструкций формулируются векторно-матричные соотношения начально-краевых задач. Эти соотношения используются для численного расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкции при их импульсном нагружении.
Описанию численных методов расчета нестационарных задач динамики посвящена третья глава. На основании обзора научной литературы выявлено, что существует два основных метода определения полного динамического решения при импульсном нагружении тонкостенных элементов конструкций. Первый, классический, метод основан на разложении решения в ряд по формам собственных колебаний. Второй, менеее известный и менее разработанный, метод основан на выделении квазистатической составляющей. В свою очередь, для расчета разветвленных тонкостенных элементов конструкции, подробно освещен метод конечных элементов.
9
В четвертой главе изложены алгоритмы разработанного программного модуля, с помощью которого можно вычислять параметры напряженно-деформированного состояния стержневых и оболочечных элементов конструкций и их систем при интенсивном импульсном нагружении.
ч
Поскольку решение задачи динамики осуществляется на основе метода конечных элементов, то на параметры дискретизации упругих элементов необходимо накладывать некоторые ограничения. Об этих ограничениях свидетельствует проведенное исследование по сравнению найденных программой значений с известными значениями собственных частот и форм собственных колебаний при различных параметрах дискретизации упругих элементов конструкции.
В пятой главе представлены тестовые и практические результаты расчетов для полной задачи динамики. На тестовых задачах проведен сравнительный анализ классического и квазистатического решений полной задачи динамики при импульсном нагружении оболочечных и стержневых элементов конструкций.
В конце диссертации кратко сформулированы основные ее выводы и результаты.
В приложении 1 представлен вывод матрицы преобразования базисов для стержней кругового поперечного сечения.
В приложении 2 выведен коэффициент сдвига сечения кругового стержня, который учитывается в математической модели стержня в случае отказа от гипотезы плоских сечений.
В приложении 3 представлена разрешающая система уравнений динамического деформирования пространственного криволинейного стержня, полученная на основании гипотезы Тимошенко с учетом коэффициента сдвига и разрешающая система уравнений динамического деформирования тонких оболочек вращения, составленная на основании гипотезы Кирхгофа-Лява.
В приложении 4 приведено тестирование алгоритма поиска полного
решения задачи динамики квазистатическим методом. Тест проведен на брусе в уравнениях математической физики.
В приложении 5 приведены результаты решений задач динамики для составной и разветвленной оболочек вращения, полученные с помощью разработанного программного комплекса.
Основные результаты, представленные в диссертации, были доложены на семинарах и конференциях.
На защиту выносится метод, алгоритм и программный комплекс расчета напряженно-деформированного состояния тонкостенных элементов конструкции, стержневых систем сложной геометрии, составных разветвленных многослойных упругих осесимметричных физически и конструктивно ортотропных оболочечных конструкций при динамических силовых на1рузках импульсного характера.
Реализованный в программном продукте квазистатический метод решения динамических задач позволяет с необходимой точностью производить расчеты напряженно-деформированного состояния и прочности проектируемых конструкций с учетом конструктивных особенностей при реальных условиях нагружения, а также при переменных вдоль осевого направления и неосесимметричных в окружном направлении нагрузках.
Разработанный программный модуль может быть использован, как основной структурный элемент:
- для расчетов тонкостенных конструкций сложной структуры на малоцикловую прочность при ударно-импульсных нагружениях;
- для ускоренных (форсированных) испытаний реальных конструкций новой техники.
11
1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЩЙ ПРИ ИХ ИНТЕНСИВНОМ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ.
V
В настоящее время известно большое количество теорий, связанных с исследованиями методов определения напряженно-деформированного состояния упругих элементов конструкций при их интенсивном динамическом нагружении.
Изучение интенсивного динамического нагружения начиналось с исследования процессов, происходящих при ударном взаимодействии твердых тел. Затем делались попытки описать внутреннее состояние материала при соударении упругих тел. Результатом продолжительного углубленного изучения физики ударного процесса было формулирование различных теорий для частных конструктивных объектов, позволяющих достаточно достоверно определять их прочность и долговечность. По этим методам можно решать задачи и об импульсном нагружении упругих элементов конструкций. Различие ударного и импульсного нагружения сказывается в характере внешнего нагружения на отдельный элемент конструкции. Об этих различиях будет сказано в разделе 1.1.
Особо следует отметить, что основным критерием применимости той или иной теории ударного или импульсного нагружения является критерий скорости нагружения. В настоящей работе рассматриваются импульсные воздействия, скорости изменения которых существенно меньше скорости распространения возмущений от них в материале упругих элементов. Именно для таких импульсных воздействий и представлена постановка задачи в разделе 1.2 для стержневых и оболочечных систем.
1.1. Развитие теории удара и импульсного нагружения упругих элементов конструкций.
Удар представляет собой процесс, в котором силы взаимодействия тел
12
нарастают и убывают в очень короткие промежутки времени. Скорость тел в процессе удара быстро изменяется на значительную конечную величину. Следствием этого является возникновение очень больших ускорений, а также, связанных с ними, сил инерции и сил взаимодействия тел при ударе.
Импульсное нагружение можно охарактеризовать, как частный случай ударного нагружения, в котором тело, передающее нагрузку, находится в постоянном контакте с другим и считается абсолютно жестким. Таким образом, при ударе исследуются физические состояния двух тел, а при импульсе -физическое состояние только одного тела.
Поскольку решение динамических задач об импульсном нагружении конструкций и их элементов целиком основано на методах решения задач динамики при ударном нагружении, то по этой причине ниже представлен краткий обзор теорий удара.
Изучение ударных процессов относится к числуг наиболее актуальных проблем прикладной механики, связанных с оценкой поведения различных конструкций в условиях воздействия интенсивных нагрузок, которые возникают при эксплуатации машин, механизмов и сооружений, например: судов, подвижного состава автомобильного и железнодорожного транспорта. Удару подвергаются всевозможные конструкции специального предназначения. Удар используется и в технологических операциях: ковка, штамповка и тому подобное.
Несмотря на свою исключительную и очевидную важность, теории удара пока далеки от завершения. Окончательно не сформулировано обоснование выбора теории (теории Герца или волновой теории) для проведения расчетов параметров НДС упругих элементов конструкций. Также возникают трудности, имеющие физическую и математическую природу. Первые появляются в виду непредсказуемости проявлений физических свойств материала при ударе (текучесть либо упругость). Вторые возникают в случаях, когда соударяющиеся тела имеют более сложную геометрическую форму, и эти трудности часто
13
оказываются практически непреодолимыми, следствием чего явилось создание упрощенных теорий для решения задач по определению параметров НДС упругих элементов конструкций.
Выбор теории зависит от постановки решаемой задачи и искомых в ней величин и ' зависимостей. Теория должна применяться с большой осторожностью, после необходимой ее оценки и выявления границ правомочности. В технике критерием применимости основных классических теорий удара является коэффициент /?= Ттр /2-Т„ где Т'тр - время удара, Тв - время пробега волны деформаций по наибольшей из длин соударяющихся тел [42].
Если то скорости соударяющихся тел можно вычислить по
стсреомеханической теории, а напряжения в точке контакта - по теории Герца.
Если р<1, то скорости соударяющихся тел не рассчитываются, а вычисляются только напряжения по волновой теории.
Самая первая теория удара разработана Ньютоном и называется стереомеханической теорией удара. Она основывается на предположении о пропорциональной зависимости между относительными скоростями до и после удара. Здесь впервые было введено понятие коэффициента восстановления, который, как полагал Ньютон, зависит только от внутренних свойств соударяющихся тел и не зависит от кинематических характеристик движения тел в момент времени, непосредственно предшествующий удару.
Более поздние экспериментальные работы, проведенные Такэда [104], позволили определить эмпирическую формулу для коэффициента восстановления:
где а, п - некоторые константы, определяемые экспериментально; Уо -относительная скорость тел в момент возникновения начального контакта.
Модель Ньютона может быть использована для исследования движения соударяющихся тел на больших интервалах времени, по сравнению с которыми
допустимо считать удар мгновенным. Для определения сил взаимодействия в соударяющихся телах используется контактная теория Герца, исследующая динамическое контактное взаимодействие тел при их прямом центральном ударе [56].
небольшие области внутри тел, примыкающие к поверхности контакта, остальные части соударяющихся тел не деформируются при ударе, то есть движутся, как абсолютно твердые тела и что общие деформации соударяющихся тел малы по сравнению с местными и ими можно пренебречь.
Характеризуя упругое смятие тел в месте их контакта параметром а, Герц определил контактное усилие следующей зависимостью:
где к - коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств материала и кривизны поверхностей тел в точке контакта.
Если поверхности сферические, то коэффициент пропорциональности равен [57]:
где: £/, Ег, Мь /£> &1, - модули упругостей, коэффициенты Пуассона, радиусы
кривизны поверхностей соударяющихся тел соответственно.
Несмотря на ряд недостатков, с помощью теории Герца были впервые раскрыты некоторые внутренние закономерности упругого удара и определены следующие параметры [57]:
1. Длительность ударного взаимодействия:
Герц полагал, что процессы, определяющие удар, охватывают лишь
2
Р(а) = \к'а3 “Рн а~0’ О при а < 0.
1.1.2
1.1.3
15
2. Максимальная сила контактного взаимодействия:
з
(S О
= к5
max
1.1.5
3. Максимальное сближение соударяющихся тел:
&max
(с ... хг2\1
4-к
1.1.6
Здесь: т = т1 -т2 -(т1 + т2) 1, V0 = - К,.
Позднее Штаерманом И .Я. [110] было определено контактное усилие:
2п+1
Р„(а) = к-a 2п , 1.1.7
где:
k= 2 - п Е 1(2-п-l)f! I 2 -п + 1 I - ц2 V (2-п)!! 'А 9
А - коэффициент, зависящий от формы тел в зоне контакта;
п - любое число от 1 ДО со .
При л=/, соотношение (1.1.7) совпадает с формулой Герца (1.1.2).
Использование соотношения (1.1.7) в инженерной практике затруднено вследствие сложности аналитического определения параметров п и к.
В дальнейшем Кильчевский H.A., используя зависимости (1.1.2) и (1.1.7), с помощью методов операторного исчисления [56, 57] получил приближенные выражения в виде бесконечных рядов для закона изменения контактной силы P(t) при ударе.
Основные соотношения теории упруго-пластического удара для контактного усилия P(t), сближения aft), скорости Vft) приведены в работе [11]. При теоретическом исследовании обычно считают, что при сжатии упругая деформация подчиняется закону Герца, а пластическая деформация зависит от контактного усилия, в соответствии с чем сближение соударяющихся тел можно представить в виде:
16
а = к. - Р~3 + % • Р , 1.1.8
где х ’ эмпирический коэффициент.
Энергетическая теория удара, базирующаяся на использовании теоремы об изменении кинетической энергии тел и предположениях о характере их деформации, применяется для приближенной оценки максимальных усилий при соударении. В основе могут лежать и другие законы механики, например, теорема импульсов и условие сохранения количества движения системы соударяющихся тел.
Предположим, что кинетическая ’энергия тела Т к моменту его останова (когда все сечения находятся в напряженном состоянии) преобразуется в потенциальную энергию деформации тела и, то есть:
Т=и . 1.1.9
Для стержня это условие примет вид [И]:
І.т-У02 = ---—= Р^К'- , 1.1.10
2 0 2-Е 2-Е'Р
где: т, У0 - масса ударника и его скорость до удара; Е - модуль упругости; Ь -площадь поперечного сечения стержня и его длина; Ртах - максимальная ударная сила.
Из соотношения (1.1.10) можно найти:
Ртах=Уо^™-Е-Г‘ . 1.1.11
Волновая теория удара более полно отражает реальные динамические процессы в соударяющихся телах. Она учитывает распределение массы по координатам и инерционные свойства сечения тел. Однако учет волновых эффектов при соударении тел значительно усложняет не только описание движения системы, но и построение решений соответствующих дифференциальных уравнений.
Волновая теория получила законченное математическое решение благодаря работам Сен-Венана, Буссинеска, Навье:
где а - скорость распространения волны деформации.
Решая волновое уравнение (1.1.12), они рассмотрели продольный удар
V
идеально упругих стержневых систем при условии, что соударяющиеся сечения идеально плоские. С помощью этой теории проводились исследования волн напряжений и деформаций без учета местных эффектов [57].
Позднее Сирс [31], в ходе проверки теории Сен-Венана, обнаружил, что его теория достаточно точно подтверждается экспериментально, если контактируемые поверхности идеально круглые. Поэтому в ряде работ Сирса рассматривается возможность применения в расчетах на ударное нагружение элементов конструкций волновой теории Сен-Венана и контактной теории Герца. Эта же попытка была предпринята и в работе Соколинского В.Б. [3].
Почти одновременно с выше перечисленными исследованиями, Тимошенко С.П. [105], при описании продольных и поперечных колебаний стержней, учел инерцию вращения и сдвиг. Также он ввел в рассмотрение местные деформации ударяющего тела и балки. Посредством численного решения составленного им функционального уравнения, Тимошенко С.П. обнаружил неизвестные ранее закономерности в изменении силы взаимодействия между' соударяющимися телом и балкой, строго установил возможность повторных ударов, возникающих через малые промежутки времени, соизмеримые с периодом наиболее медленных собственных колебаний балки.
Векторно-матричная форма записи уравнений колебаний стержней, предложенная Тимошенко С.П., позволяет применять теорию колебания тел при соударении для произвольно направленных стержней в пространстве, что создает основы для автоматизации расчетов и продольных, и поперечных колебаний стержня. Такой подход может быть использован для расчета пространственного стержня. Однако при исследовании на ударную нагрузку'
- Київ+380960830922