- 2 -
Содержание
Введение .................................................... 4
Глава 1. Аналитические методы исследования нелинейных : волновых уравнений ......................................... 18
1.1. Метод Обратной Задачи Рассеяния и нелинейные эволюционные уравнения ................................. 19
1.2. Метод многих масштабов ........................... 29
1.3. Метод нормальных волн............................. 32
1.4. Метод Хироты построения солитонных решений
решений эволюционных уравнений ................... 35
1.5. Свойство Пенлеве дифференциальных уравнений 41
1.6. Метод сингулярного многообразия ................. 44-
1.7. Связь метода Хироты и метода сингулярного
многообразия ..................................... 50
1.8. Связь рассматриваемых методов с преобразованием Вэклунда и задачей рассеяния для оператора Шредингера..............................................51
1.9. Метод сингулярного многообразия и преобразования эквивалентности ........................................ 52
Г. 10. Аналогия с симметрией и разделением
переменных........................................53 •
1.11. Метод сингулярного многообразия и уравнение Риккати..................................................56
1.12. Метод сингулярного многообразия и неинтегри-руемые уравнения ........................................ 57
1.13. Метод функции перегиба ........................... 63
1.14. Связь метода функции перегиба и метода
- з -
сингулярного многообразия ....................... 67
Глава 2. Нелинейные продольные волны в цилиндрических
оболочках.........................................70
2.1. Упругая оболочка ................................ 70
2.2. Нелинейно-упругая цилиндрическая оболочка . . 76
2.2.1. Динамика физически нелинейных оболочек: обзор исследований........................................76
2.2.2. Вывод модельных уравнений ....................... 80
2.3. Анализ волнового процесса в нелинейно-вязкоупругой цилиндрической оболочке ............. 86
2.4. Неоднородная цилиндрическая оболочка .... 98
2.5. Преобразования Бэклунда и точные решения
неодномерных неинтегрируемых уравнений нелинейной волновой динамики ....................... 108
Глава 3. Эволюция сдвиговых волн в цилиндрических
оболочках........................................113
3.1. Нелинейно- упругая оболочка......................113
3.2. Нелинейно-вязко-упругая цилиндрическая оболочка.....................................123
Глава 4. Моделирование процесса распространения осесимметричных изгибных волн в цилиндрической
оболочке.....................................128
4.1. Упругая оболочка ............................... 129
4.2. Учет потерь энергии.............................136.
Основные результаты работы и краткие выводы ............ 140'
Библиографический список ................................. 143
Приложение.................................................159
- 4 -
ВВЕДЕНИЕ
Последние годы отмечены значительным усилением интереса к решению нелинейных уравнений, возникающих в различных областях естествознания. Эта тенденция связана с созданием нового ме- • тода математической физики - Метода Обратной Задачи Рассеяния (МОЗР) [1], а также развитием теории солитонов. Являясь решениями нелинейных эволюционных уравнений и обладая при этом свойствами частиц,солхтоны представляют собой модельное воплощение . корпускулярно - волнового дуализма, о котором говорил Луи де Бройль еще в 1923 году.
Как известно, в квантовой механике золновая функция Ф, описываемая уравнением Шредингера, выступает не как физическая величина, а как определенный инструмент, пользуясь которым можно-вычислять вероятность того, что результат измерения будет тем или иным. Де Бройль выдвинул идею Двойного решения, состоящую в том, что с каждым непрерывным решением, несущим вероятностный смысл, должно быть связано сингулярное решение с точно такой же амплитудой, фаза которого, однако, существенно отлична от нуля лишь в сингулярной области, соответствующей частице. Эта сингулярная волна рассматривается как физическая волна, описывающая одновременное совместное существование волны и частицы.
Взгляды де Бройля долгое время игнорировались практически • всеми ведущими физиками нашего столетия. Поддержка, хотя и неявная, пришла в 1953 году, когда Ферми, Паста и Улам [1] численно исследовали поперечные колебания струны с учетом нелинейных членов - квадратичных относительно смещений. Целью . исследований было наблюдение того, как благодаря нелинейным силам, возмущающим периодическое линейное решение, струна
- 5 -
будет принимать все более сложные формы и как при стремлении времени к бесконечности полная энергия струны будет распределяться на все частоты.
Результаты вычислений с самого начала оказались удивительными. Вместо непрерывного постепенного потока энергии от перзой частоты к более высоким во всех задачах обнаружилось совершенно иное позедение - вопреки предсказываемому теорией постепенному увеличению энергии во все более высоких частотах, ‘ ею з основном обменивались только некоторые из частот, более того, в достаточно закономерном порядке, то есть система оказалась почти периодической. Поэтому усмотреть быстроту перемешивания, что было целью, не удалось. Тенденция к равномерному распределению энергии между степенями свободы проявила себя в весьма скромной степени, что явилось косвенным подтверждением существования "квазисостояний”. Иными словами, на макроуровне было выявлено квантование энергии.
Окончательная точка была поставлена в 1967 году Гарднером, ' Грином, Забусским, Крускалом и Миурой [75] при исследовании уравнения Кортевега де Вриза (КдВ)
Ч + ьиих + иххх = 0 -впервые возникшего в 1895 году в качестве модели волн на мелкой
воде. Здесь и везде далее по тексту нижний буквенный индекс
обозначает дифференцирование по соответствующей независимой
переменной:
и = 5 и п - д3Ц
иЬ ~дТГ ’ XXX ___з
С А
В последние годы жизни Луи де Бройль в Институте Анри Пуанкаре приступил к разработке проблемы движения сингулярностей, недеформируемых волновых пакетов (солитонов), являющихся
- 6
решениями нелинейных уравнений. .
Идея солитонов, отцом которой по праву должен считаться • Луи де Бройль,находит все более широкие приложения. Современные физики рассматривают ее как фундаментальную проблему: отсутствует общий принцип, на основании которого можно было бы выбрать одно нелинейное волновое уравнение из бесчисленного набора возможных. Решение этой проблемы знаменовало бы собой рождение новой микрофизики [17].
Итак, оказалось, что многие нелинейные уравнения имеют очень простую внутреннюю структуру и могут быть проинтегрированы мето-. дами линейной теории. Кроме того, выяснилось, что такие уравнения естественно возникают в качестве моделей физических явлений в различных областях естествознания. Все это привело к тому, что расширился список классических уравнений математической физики: к уравнениям теплопроводности, Лапласа и волновому добавились уравнения Кортевега де Вриза, синус-Гордона и нелинейное уравнение Шредкнгера.
Механика деформируемого твердого тела не стала исключением. Многочисленные исследования привели к формированию нового. раздела механики - нелинейной волновой динамики.
Предметом данного исследования язляются нелинейные волны в деформируемых твердых телах, поэтому остановимся подробнее на истории вопроса.
Начать, видимо, следует с работ У.К.Нигула и Ю.К.Энгель-брехта [87,89], в которых изучались переходные волновые процессы в задачах термоупругости и были получены важные качественные результаты с процессе распространения нелинейных волн деформаций в сплошных средах. Нелинейные явления при распространении, упругих волн в твердых телах рассматривали Л.К.Зарембо и В.А.Кра-
- 7 -
сильников [36], Л.Л.Островский, Е.Н.Пелиновский [96]. Нелинейные волны в ферроупругих кристаллах исследовались Л.Н.Давыдовым и
3.А.Спольником [27]. В книге В.И.Карпмана [56] изучены общие, закономерности при распространении нелинейных волн в диспергирующих средах.
По-видимому, первой работой интересующего нас направления применительно к конкретным тонкостенным конструкциям можно на-, звать статьи Ыагз.ЬоП и Бес1оу'а [143,144], в которых изучались продольные диспергирующие волны в упругих и вязко-упругих стержнях и пластинах. Для компоненты продольной деформации были получены уравнения Кортевега - де Вриза и Кортевега - де Вриза -Бюргереа.
Отечественные иелледования начинаются со статьи Л.А.Островского и А.М.Сутина [97], в которой анализировались нелинейные упругие волны в стержнях. Авторы показали, что продольная скорость частиц стержня удовлетворяет уразнению Кортевега де Вриза. Был рассмотрен процесс нелинейных искажений волны, включая образование солитонов, а также исследовано их затухание с учетом реальных потерь в стержне. Приведены результаты экспериментального наблюдения солитонов в стальной проволоке диаметром в 1 мм. Кроме того, показано, что минимальная длина, солитона достигается при максимально возможном упругом напряжении, для которого еще выполняется закон Гука. Так, для стального цилиндрического стержня длина солитона составляет примерно семь диаметров стержня (т.е. предположение о малости поперечных размеров стержня по сравнению с длиной волны практически всегда выполняется для солитонов).
И.А.Молотков и С.А.Вакуленко рассматривали продольные волны в стержнях с медленно меняющимися плотностью и модулем Юнга
- 8 -
[83]. С использованием метода возмущений были получены выражения для амплитуды и скорости возмущенного солитона. Было отмечено, что решение представляет собой локализованное в малой области пространства и времени ядро солитона, за которым следует имеющий почти постоянную величину ’’хвост”.
В работах А.М.Самсонова и Е.В.Сокуринской [106-109] изучено: влияние непостоянства геометрии, модуля Юнга, коэффициента' Пуассона и параметра нелинейности вдоль стержня на волновой процесс. Было отмечено, что при расширении стержня импульс теряет свою энергию и трансформируется в волновой пакет, в то время как при сужении стержня солитон скорости деформации усиливается, что может стать причиной необратимых деформаций в стержне. Авторы сделали вывод, что при упрочнении материала солитон теряет массу и энергию, а при разупрочнении амплитуда и энергия могут неограниченно возрастать. г
А.В.Мартынов [81] рассматривает продольные вибрационные' колебания в тонкой пластине. Исследуются уравнения нелинейных продольных колебаний пластины с большими прогибами срединной упругой поверхности, полученные вариационным методом. В случае плоской продольной волны, распространяющейся вдоль какой-либо координатной оси, уравнения сводятся к волновым возмущенным уравнениям синус-Гордона ( для неограниченного пространства ). В общем случае исследовано качественное поведение решения уравнения, а для неограниченного пространства получен простой класс решений в виде бегущих волн неизменной формы, распространяющихся' с неизменной скоростью.
А.И.Потапов, И.Н.Солдатов [100] исследовали распространение слаборасходящегося пучка нелинейных продольных волн в пластине, показав, что компонента продольной деформации удовлетворяет
_ 9 -
уравнению Кадомцева - Петвиашвили. Таким образом, было показано, что в пластинах могут распространяться двумерные солитоны. Заметим, что уравнения продольных колебаний пластин были получены авторами из соотношений трехмерной теории упругости, а не из классических теорий пластин. Учет геометрической и физической нелинейностей проводился путем использования пятикснстантнсй теории упругости [24]. Результаты исследований о распространении нелинейных волн деформации з стержнях и пластинах были обобщены. А.И.Потаповым в [99].
В статье Ю.С.Кившаря и Е.С.Сыркина [58] рассматриваются сдвиговые солитоны в упругой пластине. Проанализировано влияние нелинейности на чисто сдвиговые волны. Выведено эффективное нелинейное параболическое уравнение (нелинейное уравнение Шредин-гера), описывающее динамику огибающих таких волн. Показано, что в зависимости от нелинейных свойств упругой пластины в ней могут распространяться ’’светлые” или "темные” сдвиговые солитоны, параметры которых связаны с линейными модами пластины. Важно . отметить, что сдвиговые солитоны в упругой пластине недавно на- • блюдались экспериментально [147].
В работах В.И.Ерофеева [30-34,131] рассмотрен широкий спектр проблем нелинейной волновой динамики упругих систем с микроструктурой. На основе теоретического анализа показано, что в средах с микроструктурой могут наблюдаться резонансные взаимодействия продольной волны с волнами продольного вращения и волнами сдвига - вращения, формирование нелинейных стационарных волн (в частности, солитонов деформации), и другие эффекты, не . имеющие аналогов в классической теории упругости. Здесь же • указано на возможность использования перечисленных эффектов в задачах акустического зондирования твердых тел. При исследовании
- 10 -
распространения упругих волн в поврежденной среде определены * зависимости между основными параметрами волны и поврежденностью материала. Отмечено, что эти зависимости могут быть положены в основу разработки акустического метода диагностики поврежденно-сти материала.
Практически все авторы, исследующие нелинейный волновой
процесс в стержнях и пластинах, исходят из неклассических теорий колебаний [25]. Это закономерно в силу того, что все классические теории продольных и изгибных колебаний являются
одномодовыми аппроксимациями задач трехмерной динамической' теории упругости, в основе которых лежит модель обобщенного
плоского напряженного состояния (ОПНС). Модель ОПНС не учитывает связи продольных и поперечных движений (в теориях оболочек эта связь возникает автоматически за счет наличия в соотношениях-”деформации - перемещения” слагаемых вида к її, к її, то есть
X у
является следствием криволинейности) и потому применима лишь при невысоких частотах. Из сказанного следует, что никакие уточнения не улучшат качественно классические теории, если эти уточнения не увеличивают числа мод (форм колебаний по толщине). К таким" уточнениям относятся поправка Лява, учитывающая силы инерции
поперечных движений при продольных колебаниях стержня и поправка Рэлея, учитывающая инерцию вращения элемента балки при изгибных колебаниях. Таким образом, не выходя за рамки ОПНС, невозможно* адекватно описать нелинейный волновой процесс, возникающий в деформируемом твердом теле.
Значительный вклад в решение динамических проблем теории упругости внесли Л.А.Айнола, Н.А.Алумяэ, В.В.Болотин, А.С.Воль-мир, Ш.У.Галиев, М.П.Галин, А.Л.Гольденвейзер, Э.И.Григолюк, * Л.Ю.Коссович, В.Н.Кукуджанов, Ю.Н.Новичков, Ю.Н.Работнов,
11
С.П.Тимошенко, В.А.Фельдштейн, Г.С.Шапиро и другие ученые.
В монографии Л.Г.Куликовского и Е.й.Свешниковой [72] последовательно изложены результаты теоретического исследования одно-. мерных ударных волн в упругих и вязко-упругих средах. Работа содержит подробное изложение общих математических методоз изучения нелинейных гиперболических систем уравнений, выражающих законы сохранения. Книга имеет теоретический характер. Экспери-. ментальные данные не обсуждаются. Не рассматриваются волны в стержнях, пластинах, оболочках и других случаях, когда проявляется влияние границ и неоднородности среды.
Книга Л.Ю.Коссовича [62] посвящена разработке асимптотических методов исследования важного класса нестационарных задач, теории упругих тонких оболочек - задач о распространении волн деформаций в оболочках вращения под действием торцевых нагрузок. Асимптотический подход используется в двух направлениях: проводится построение асимптотической модели волнового процесса, включающее выявление характерных типов напряженно - деформированного состояния, расчленение его на составляющие с различными показателями изменяемости и выяснение зон применимости приближенных теорий, а также разрабатываются аналитические методы описания волнового процесса во всех участках фазовой. плоскости.
В работах М.Д.Мартыненко и его коллег [78-80] рассматриваются задачи об условиях существования солитонов в нелинейно -упругих телах, а также задачи об упругих волнах в движущихся, цилиндрических оболочках с учетом нелинейных эффектов, обусловленных влиянием инерционных сил.
Отметим, что в первой работе, где были экспериментально обнаружены солитоны в твердом деформируемом теле [148], описаны со-
- 12 -
литоны огибающей изгибной волны, описываемые Нелинейным уравнением Шредингерг, в тонкой металлической цилиндрической оболочке.
Число публикаций, посвященных решению задач динамики оболочек, огромно. Можно выделить два основных подхода к решению таких задач. Первый подход (классический) базируется на гипотезах Кирхгофа - Лява, а соответствующие модели оболочек называют моделями первого приближения. Второй подход, связываемый с. именем С.П.Тимошенко, з дополнение к "классическим” деформациям, учитывает деформации, связанные с поперечными силами и инерцией вращения. Модели, основанные на таком подходе, называют моделями второго приближения [19]. Альтернативный путь построения моделей оболочек состоит в разложении перемещений или напряжений в ряды по нормальной координате и удержании определенного отрезка этого ряда в зависимости от требуемой точности.
Известно, что уравнения движения элемента оболочки для мо-‘ дели Кирхгофа - Лява имеют параболический тип, что предсказы-. вает бесконечные скорости распространения фронтов возмущений. Уравнения движения для модели типа Тимошенко имеют гиперболический тип, что выражает конечность скорости распространения любого возмущения в рассматриваемой среде. Однако указанные различия в математических формулировках и физических следствиях несущественны при анализе распространения квазиплоских пучков продольных и сдвигозых волн [41], т.к. уравнения для перемещений II и V в обоих случаях совпадают [19]. Другими словами, в данном случае параболичность уравнений модели Кирхгофа - Лява . не является недостатком, как и гиперболичность уразнений модели Тимошенко не является преимуществом. Тонкостенность рассматриваемых конструкций привносит особый вид дисперсии, обеспечивающий фомирование нелинейных волн деформации различной
- 13 -
структуры. Таким образом, нелинейные волны в стержнях, пластиках и оболочках являются, по классификации Уизема [118], диспергирующими. Поэтому в каждом конкретном случае при выборе исходной системы уравнений необходимо спираться на физические представления о волновом движении.
Ограниченность числа исследований о распространении нелинейных волк в оболочках делает данную проблему актуальной.
В настоящей работе будут рассматриваться только цилиндрические оболочки. !
Целью настоящей работы является развитие общего теоретического подхода к исследованию нелинейной волновой динамики цилиндрических оболочек.
Комплексный характер проблемы приводит к необходимости решения следующих задач:
- вывод эволюционных уравнений, моделирующих распространение продольных, сдвиговых и изгибных волн в упругих, нелинейно-упругих, нелинейно-вязко-упругих, однородных и неодно- • родных цилиндрических оболочках;
- нахождение классов точных решений получаемых уравнений, включающих в себя солитоноподобные и ударно-волновые решения;
- выявление условий, при которых возникающие модели связаны с интегрируемыми, в частности, с нелинейным уравнением Шредингера;
- теоретико-групповой анализ нелинейных уравнений в частных производных, механическая интерпретация инвариантных решений.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов по диссертации, списка литературы и
- 14 -
приложения.
В первой главе описаны традиционные методы нелинейной волновой динамики и неклассические методы современной математической физики, позволяющие кооректно выеодить и точно решать нелинейные уравнения в частных производных. Проведен сравнительный анализ описанных методов, установлены существующие между ними связи, а также - их связь с симметрией и разделением переменных. Выявлены аналогии задач динамической теории упругости, газовой динамики и акустики. Построены классы точных решений неинтегрируемого эволюционного уравнения пятого порядка, моделирующего волновой процесс в нелинейно-упругой диспергирующей среде с моментными напряжениями.
Вторая глава посзящена изучению процесса распространения продольных волн деформации з упругих, нелинейно-упругих, нелинейно-вязко-упругих, однородных и неоднородных цилиндрических оболочках. С помощью метода многомасштабных разложений задача сведена к анализу известных солитонных и нозых, близких к интегрируемым, эволюционных уравнений, для которых найдены преобразования Бэклунда и построены классы точных решений, включающие в себя уединенные волны.
В третьей главе рассмотрена эволюция сдви-
говых волн в нелинейно-упругих и нелинейно-вязко-упругих цилиндрических оболочках. На основе группового анализа выведенных уравнений проанализированы их точные редукции, сводящиеся к уравнениям смешанного типа и линеаризуемые методом годографа.
Четвертая глава посвящена моделированию
процесса распространения осесимметричных изгибных волн в упру-
- Київ+380960830922