Методы многомерных угловых функций в теоретической и прикладной физике

УДК 53:51+530.1.01+539.1-01+539.18.01
САДОВОЙ A.A.
Методы многомерных угловых функций в теоретической
1994, 295 с.
Анализируются математические основы методов многомерных угловых функций и приводится развитый расчетный аппарат, предназначенный для решения проблемы многих тел. Представлены результаты исследования многочастичных эффектов в теории атомного ядра с применением метода гиперсферических функций и в многоэлектронной теории атома на базе метода многомерных угловых кулоновских функций. Показано, как аналитические выражения для штурмовских представлений многочастичных функций Грина позволяют развить многочастичную теорию возмущений в многомерных пространствах. Теоретические результаты иллюстрируются расчетами свойств конкретных ядер, атомов и ионов произвольной кратности ионизации, которые представляют интерес для различных прикладных исследований.
и прикладной физике.
ВНИИЭФ, г.Арзамас-16,
РОССИЙСКАЯ
государственная!
БИБЛИОТЕКА
© ВНИИЭФ, 1994
Введение
Современные задачи технической физики требуют все большего объема информации о свойствах вещества в различных, в том числе экстремальных, условиях [1]. Одновременно существенно повышаются требования к точности этих данных, хоторые определяют надежность и расчетную обоснованность многих уникальных технических устройств и физических установок. Проведение экспериментов с целью получения экспериментальных данных о свойствах вещества в экстремальных условиях обычно связано со значительными техническими трудностями, а в ряде случаев пока не представляется возможным в связи с недостаточно развитой современной экспериментальной базой. Поэтому в решении этой проблемы большая роль, наряду с экспериментом, принадлежит теоретической физике, развивающей различные физико-математические модели для расчетного описания свойств вещества в экстремальных. условиях. Наиболее удачные теоретические модели не только описывают определенные классы экспериментальных данных, но и позволяют предсказывать новые свойства изучаемых систем [2].
1
Большинство объектов, изучаемых в физике, представляют собой многочастичные системы. Проблема многих тел характерна не только для теории твердого тела, статистической физики или бесконечной ядерной материи, но и для теории элементарных частиц, атомного ядра, атомной физики [3-6]. В настоящее время при большом числе взаимодействующих частиц ни одна реальная задача не может быть решена точно, и поэтому в теоретической физике развивались различные приближенные модели [7]. Чтобы понять, какое место среди них занимают представленные в настоящей работе методы многомерных угловых функций (МУФ), необходимо охарактеризовать состояние хотя бы некоторых приближенных моделей. Все приближенные модели можно условно разделить на три класса. Это модели независимых частиц, движущихся в средних полях, модели с сильно коррелированным движением частиц и промежуточные модели, в какой-то степени учитывающие коллективные и одночастичные степени свободы. Модели независимых частиц типа моделей ферми-газа, оптической, оболочечной, как в одночастичном, так и в многочастичном вариантах нашли широкое применение в теории атомного ядра [8], атомной [9] и молекулярной физике [10]. К этому же классу относится и модель кварковых мешков в теории элементарных частиц [И]. Преимущества этих моделей, в первую очередь, связаны с объяснением характеристик нижайших уровней квантовых систем,
2
с удовлетворительным в основном описанием рассеяния частиц в рамках оптической модели и некоторых других экспериментальных фактов.
На протяжении десятилетий уточнялась и дополнялась концепция среднего поля при исследовании связанных состояний квантовомеханических систем [12]. Однако ряд экспериментальных результатов не удавалось объяснить в рамках моделей независимых частиц, среди них можно отметить смешивание конфигурации и наличие коллективных возбуждений, вероятности запрещенных переходов и полные энергии связи в теории атомного ядра, атомной физике и теории элементарных частиц.
Модели с сильно коррелированным движением частиц исходят из наличия сильного взаимодействия в многочастичной системе, а более точно из наличия сильной корреляции в движении всех частиц. Наибольшие успехи в подходе были достигнуты в теории атомного ядра в моделях жидкой капли и составного ядра, где успешно описывались коллективные колебания и параметры деформаций ядра, наглядно интерпретировалось деление ядра; большой объем исследований был выполнен по развитию и уточнению формулы масс, успешно описывались реакции при малых энергиях.
Однако накопление экспериментальных данных, которые не описывались коллективными моделями, и несовершенство математического аппарата затормозили развитие этих методов.
3
В последнее время все более широкое развитие получают модели, в той или иной степени учитывающие коллективные и одночастичные степени свободы. Одной из первых моделей этого класса была ’’обобщенная модель ядра” Бора-Моттельсона [13], в которой коллективное движение в ядрах учитывалось наряду с оболочечными свойствами. Более совершенными моделями этого направления являются подходы, предложенные Базем [14] в модели уравнений ядерной физики, и подходы, развиваемые в многоканальной теории резонансного рассеяния электронов на сложных атомах [15]. Последний подход используется в атомной физике для расчетно-теоретического описания квазистационарных автоионизационных состояний системы ’’мишень + налетающий электрон” [16], которые являются атомными аналогами известных в ядерной физике компаунд-состояний ядер. Общим для данного типа моделей является выделение в волновой функции (ВФ) многочастичной системы структур, специфичных для внутренней и внешней областей рассматриваемой системы. Во внутренней области многочастичная система моделируется неким компактным образованием с плавно меняющейся плотностью, поэтому в этой области целесообразно раскладывать многочастичную ВФ в быстросходящийся ряд по МУФ . Во внешней области у системы могут выделяться фрагменты, состоящие из одной, двух, трех или большего числа частиц. Естественно, что в этой области сходимость разложения по обычным
4
МУФ ухудшается, и поэтому для учета характерных сингулярностей в последнем случае в ВФ вводят структуры, ’’впитывающие” эти сингулярности, что и обеспечивает одновременный учет существенно коллективных и других Степеней свободы, в том числе одно-, двухчастичных и т.д.
Из приведенного выше очень краткого обзора методов решения многочастичных задач в квантовой теории видно, что многочисленные конкретные модели достигли известных успехов в описании определенного класса экспериментальных данных с использованием совершенно различных математических подходов. Между тем углубленный анализ достижений экспериментальной и теоретической физики указывает на наличие общих закономерностей в спектрах элементарных частиц, атомного ядра, в атомных и молекулярных системах. Следующий шаг связан с предположением, что общие свойства таких различных многочастичных систем можно объяснить, если развить некоторый общий математический аппарат, одинаково успешно работающий в теории элементарных частиц, ядра, атомной и молекулярной физике и т.д. Естественно, метод должен, кроме общих, допускать учет и некоторых частных свойств тех или иных многочастичных систем. Определенная таким образом цель требует проведения широкомасштабных исследований, причем далеко не очевидно, что всем развиваемым методам гарантирован успех. Несмотря на отмеченные трудности автором на протяжении примерно двух десятилетий развивались
5
методы решения различных многочастичных квантовомеханических задач, основанные на использовании МУФ. Изложение достигнутых результатов составляет содержание данной работы.
В работе предлагаются и исследуются методы, которые, по мнению автора, могут служить исходной точкой в создании единой теории многочастичных систем. Речь идет о методах МУФ в теоретической физике [17], которые основаны на различных, в том числе впервые введенных, параметризациях ЗА-мерного пространства и определениях угловых и коллективных переменных. МУФ определяют более широкий класс функций по сравнению с широко известными К-гармониками или многомерными гармониками, используемыми в теории атомного ядра [18,19]. Последние функции представляют тот класс решений многомерного уравнения Лапласа, которые неприводимо преобразуются под действием группы вращения в многомерном пространстве и группы перестановок. В развиваемых методах также используется более широкий класс функций по сравнению с известными гиперсферическими функциями [20], которые определяют любое решение многомерного уравнения Лапласа. Использование перечисленных выше функций,так же как и обобщенных гиперсферических функций (ОГФ) [21,22] в теории ядра,значительно упрощает расчет матричных элементов (МЭ) оператора кинетической энергии многочастичных систем. Вводимый угловой момент в многомерном пространстве, как показали многочисленные расчеты
6
для различных нуклон-нуклонных (КГ-Ы) взаимодействий, не является точным квантовым числом (за исключением многочастичных систем с осцилляторным межчастичным взаимодействием). Поэтому в развиваемых методах МУФ не являются собственными функциями оператора Лапласа, что привело к необходимости расчета МЭ оператора кинетической энергии, но вместе с тем открыло большие возможности по учету специфики конкретных физических задач [23].
Наиболее привлекательной идеей методов МУФ для исследования многочастичных систем различной физической природы является возможность выделения доминирующих движений в многочастичной системе. Это достигается путем введения соответствующих коллективных переменных, конкретное определение которых составляет предмет детального теоретического анализа специфики исследуемой системы. Как правило, коллективные переменные используются в качестве динамических переменных, зависимость ВФ от которых находят из решения многочастичных уравнений Шредингера или Дирака при заданном взаимодействии между частицами. Зависимость многочастичной ВФ от других переменных обычно выбирают из физических или кинематических условий конкретной задачи. В качестве этих условий используются принцип Паули, пространственная симметрия задачи, трансляционная инвариантность, требования изоспиновой или цветовой симметрии и т.д.
7
В конечном итоге все это позволяет искать многочастичную ВФ в виде ряда по МУФ, которые образуют полный ортонормированный базис. Амплитуды разложения ВФ по МУФ зависят от коллективных переменных. Использование проективных методов в методах МУФ позволяет свести решение многочастичных уравнений Шредингера или Дирака к решению системы дифференциальных уравнений второго или первого порядка, зависящих от коллективных переменных. Последнее существенным образом упрощает расчетные алгоритмы решения многочастичных квантово-механических задач и, кроме того, такая важная характеристика многочастичных систем, как ВФ, во многих случаях находится в полуаналитическом виде, что позволяет очень емко хранить большой объем информации о поведении многочастичных систем и рационально использовать ее при расчете различных свойств.
Следующим отличительным моментом методов МУФ является их универсальность [24], которая заключается в том, что расчетные данные, полученные при решении задачи с меньшим числом частиц, мшут быть использованы при решении задач с большим числом частиц. Это позволило ввести универсальные коэффициенты (УК) [25-27] метода гиперсферических функций (МГСФ) в теории ядра, выражающие МЭ потенциалов по МУФ в виде однократных интегралов. В методе многомерных угловых кулоновских функций (МУКФ) расчетные данные, необходимые для расчетов свойств нейтральных атомов, могут применяться при расчете
8
свойств ионов любой кратности ионизации данного типа, т.е. имеющих одинаковое число электронов [28]. Аналогичная картина имеет место и в релятивистском варианте метода МУКФ [17,29]. И этот ряд примеров можно продолжать.
Укажем также вариационные свойства методов МУФ, которые позволяют контролировать точность проводимых численных расчетов. Последняя особенно существенна при проведении прецизионных расчетов, например в атомной или молекулярной физике, где для достижения относительной точности учитывается много членов разложения ВФ [30], что приводит к работе с плохо обусловленными матрицами больших рангов. В этом случае вариационные принципы позволяют контролировать конкретные численные алгоритмы [31].
В широко используемых в настоящее время методах МУФ используется различное количество коллективных переменных. Так, в МГСФ [18] -одна, в методе ОГФ [22] - три, в работе [32] вводилось шесть коллективных переменных, связанных с эллипсоидом инерции системы многих частиц. Это разнообразие коллективных переменных было призвано более полно учесть особенности исследуемых физических задач в теории атомного ядра [33]. Аналогичные цели преследуются при развитии математического аппарата методов МУФ в атомной физике. Здесь в методе МУКФ (в нерелятивистском и релятивистском вариантах) вводится по одной коллективной переменной, а для исследования многоэлектронных атомов во внешних
9
электрическом или магнитном полях - по две коллективные переменные [23]. Принципиально в многочастичных системах с короткодействующим и дальнодействующим взаимодействиями могут использоваться одни и те же коллективные переменные. Например, гиперсферические переменные, широко используемые в теории атомного ядра, находят применение и для исследования простейших атомных систем [34]. Естественно, что при этом вопросы практической сходимости соответствующих разложений по МУФ различны, что иллюстриру ется данными исследований этих систем в последующих разделах.Определенную информацию по всему рассмотренному выше комплексу вопросов может дать теоретико-групповой анализ различных систем МУФ.
Любая физико-математическая модель многочастичных систем может быть охарактеризована своей групповой структурой [35-371. На практике, к сожалению, из-за сложности проведения группового анализа в общем виде часто не проводят данный анализ. Но, как неоднократно отмечалось, имеется соответствие между динамикой многочастичной системы и оптимальным базисом для используемой системы, а более точно, между динамикой системы и групповой структурой используемого в расчетах базиса. Естественно, что наиболее интересные физические результаты получены в теоретической физике многочастичных систем при наличии указанного соответствия. Так, в МГСФ используются квантовые числа цепочки групп,
10
содержащие подгруппы группы перестановок для системы из А-частиц:
и и и и
э... з о з
Здесь О3- группа вращений в трехмерном пространстве с квантовыми числами полного момента £ и его проекции М , нижние индексы относятся к пространству номеров частиц. Группа 0^я характеризуется квантовым числом глобального момента К, энергией. В принципе возможны ситуации, когда квантовых чисел к,1 ,М, спина 5, изоспина Т недостаточно для классификации многомерных гиперсферических функций. В этом случае для снятия такого своеобразного вырождения возможно введение таких квантовых чисел, как приведенный изоспин и другие, что делается в моделе оболочек для состояний последней оболочки.
В методе ОГФ использовалась редукция полной группы канонических преобразований Бр(бя-бй) на группу и(Зй-з) симметрии (ЗА-З) -мерного гармонического осциллятора, а также использовались квантовые числа, получаемые при дальнейшей редукции группы иш-з)ва цепочку включенных в нее подгрупп:
5р(6й-6,Я. ) Э и(ЗЯ-З)-,
СНЗЛ-З) 3 0(ЗД -3);
СНЗЛ-3) 3 0(3)*о(я-1);
0(А-1) о
Как отмечалось в [22], возможно использование и других квантовых чисел, отвечающих редукции группы на другие подгруппы, например,
17(ЗЛ-3)Э (/(Л-1) 0 1/(3); и(Я-1) э 0(Я~1)',
17(3) Э$0<3);
0(/1-1)ъ
или другие редукции полной группы канонических преобразований
Зр(бЛ- 6,Л) э вр(6,Й) <ЭО(Я-1)1
$р(6,Л) ^ (7(3)) 17(3)? 60(3)}
0(Я-1)Э 5Д .
Групповая структура метода МУКФ сложна и не полностью исследована, однако для прикладных исследований важно, что для классификации МУКФ могут быть использованы квантовые числа трехмерной группы вращений и цепочки подгрупп, содержащей подгруппы группы перестановок, что иллюстрируется при применении метода МУКФ к решению многоэлектронных задач.
12
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДОВ МУФ
Основная идея применения методов МУФ для решения многочастичных квантовомеханических
задач состоит в использовании полных ортонормиро-ванных базисов, образованных из МУФ. Как правило, большинство вычислений в методах МУФ проводят в многомерных пространствах, размерности которых зависят от числа исследуемых физических объектов и которые обычно конструируют в виде прямого произведения трехмерных пространств каждой частицы. Известно [38], что в каждом конкретном многомерном пространстве можно
выделить различными способами гиперрадиальные и угловые переменные. Такое разделение должно учитывать специфические особенности конкретных физических приложений. Обычно гиперрадиальные, или коллективное, переменные используют в качестве динамических переменных, описывающих доминирующие движения в системе, зависимость ВФ от этих переменных., находят из решения многочастичных уравнений Шредингера или Дирака при заданном взаимодействии между частицами. Зависимость многочастичной ВФ от остальных переменных обычно выбирают из физических и кинематических условий конкретной задачи,
например, условия обеспечения трансляционной инвариантности, учета принципа Паули, требования определенной симметрии рассматриваемой физической задачи и т.д.
13
1.1. Системы координат в многомерном
пространстве, использующие коллективные переменные
Исторически первой системой координат в многомерном пространстве, нашедшей широкое применение в теоретической физике, была система гиперсферических координат [39], в которой декартовы координаты п-мерного вещественного евклидова пространства связаны со сферическими формулами
х1 = fiSin. 9n t ,. . sLn9zsin&f;
л'.z-fi sin 9п_1 . . . slftBz cosQ1 • •• • » • • * «
'Z-n.-t -fiSln Bn.1 COS Xn = fi COS.
Числау^б},.^., изменяются в следующих пределах: о, о46» <-2ТГ; о<гвк^; к = 1 .
Обратное преобразование определяется формулами
В соответствии с определением при фиксированном /> точка х (р, в,пробегает сферу радиусом р, поэтому числа в,,..., рассматривают как
координаты на единичной сфере.
При использовании в качестве реперов многомерного пространства трансляционно-инвариантных якобиевых координат ^ коллективная переменная р. обладает следующими свойствами:
/ • ЕI’ - X (V *г -м‘.
т.е. она может быть выражена через координаты отдельных частиц и координату центра инерции системы.
Гиперсферические координаты позволяют провести разделение радиальной и угловых переменных, представить многомерный оператор Лапласа в таком
виде: я . л
V- Э _ і д /зя-ч д \ к
вїУт\іл)
іде угловая часть многомерного лапласиана.
Угловые переменные в многомерном пространстве могут быть выбраны различными способами. В некоторых задачах явный вид угловых переменных не существенен, в этом случае все полученные результаты, как правило, не зависят от конкретного выбора системы многомерных углов. Конкретные примеры использования определенных угловых переменных будут даны ниже. Для проведения реальных вычислений с гиперсферическими координатами существенным является использование простых вы-
ражений для элемента объема в многомерном пространстве, определяемом обычно так:
В работах [18, 40] были найдены следующие выражения для элемента интегрирования по угловым переменным: ^ л
У -о© •
причем последнее выражение, как показано в [40], справедливо только при интегрировании трансляционно-инвариантных выражений.
В методе ОГФ [21,22] коллективные переменные строятся из компонент векторов Якоби в системе главных осей эллипсоида инерции
11* Й-1 Л-1
а
Г'!-«'- Гг!.
К*1 К К*1 к к*1 *
с • (1.2)
Причем эти коллективные переменные называют
полуосями эллипсоида инерции. В системе главных
осей эллипсоида инерции декартовы компоненты
векторов Якоби частиц ^ удовлетворяют
трем условиям равенства нулю недиагональных
элементов тензора инерции системы
Л-1 Я-1 л-1
51л*0) Жт чЛ*°'г 51/к=,°*
Коллективное вращательное движение определяется как движение, которое связано лишь с
16
изменением углов ориентации эллипсоида инерции и , при котором не изменяются координаты Якоби. Роль коллективных вращательных координат при этом играют углы Эйлера У,в,У. Остальные зя - 9 переменных являются обобщенными углами Эйлера в (я-1) -мерном пространстве. В физических приложениях метода ОГФ в теории атомного ядра вместо коллективных переменных (1.2)
о & а & <с < оо
находят применение переменные вводимые
посредством соотношений
падают с главными осями тензора инерции. Подробно эти вопросы рассмотрены в монографии [22].
В методе МУКФ [23] была предложена другая параметризация ЗА-мерного пространства, образованного радиус-векторами ?. л-тел. Вместо радиусов г рассматриваются координаты
«(у* |а* .-€* | 6а-с*;|с*- а* * dadSdc = врР *dj3.fi - 3jS2 * ZJb*со$у р*dji|Sitidjf jrfjf.
Заметим, что выбор коллективных и угловых переменных в методе ОГФ неоднозначен, как неоднозначен выбор системы координат, оси которой сов-
Sin 9К ;
(1.3)
17
" 2Г і^і/ ря > (1-4)
і*»
0</>к^оо) 0 і вк і ЗГ/2 ; К-і,І, ..., Л-1.
Угловые и радиальные переменные в этих координатах не разделяются. Элементы объема в данной системе координат имеют вид
-Р™'^Р*&ъл, где для элемента интегрирования по углам в [23] получено выражение
^ _ і І
^2 П (1-&ІП0-) (Зтв.)4* іііяіпв. ).
і*4 с ^=у 4 4 4
Практические расчеты показали, что более удобной является интегральная форма элемента интегрирования по углам в новой системе координат [28]
й
|п<ч-
°^ЗЛ = 2?Г/)
Приведем еще несколько примеров параметризации многомерного пространства с использованием коллективных переменных. При изучении многоэлектронного атома во внешнем магнитном поле возможно введение цилиндрической системы координат в многомерном пространстве, в которой вводятся две коллективные переменные 2 и г , выражающиеся через соответствующие цилиндрические координаты отдельных частиц
2* = Г 2?; (1.6)
й
г - И г. . (1.7)
ич 1
18
Для элемента объема в ЗА-мерном пространстве с коллективными переменными (1.6), (1.7) имеем
&Гзй-{(г,тМиг <1ЪЪР.г . (1.8)
Явный вид функции коллективных переменных е,г) определим ниже. Из (1.8) можно найти
л *• *■-»< ^ .
стС2 -92
Воспользовавпшсь интегральным представлением обобщенных функций и элементами объема в цилиндрической системе координат, находим
р г и^-ягя г 1 г*01
/^°зл-2 = у^г,г)( " гф Г(2й)'
Следовательно, для элемента объема в цилиндрической системе координат в многомерном пространстве (1.6), (1.7) окончательно можно
записать
При изучении свойств многоэлектронного атома во внешнем электрическом поле возможно введение параболической системы координат в многомерном пространстве, при этом вводятся две коллективные переменные, выражающиеся через соответствующие координаты трехмерной параболической системы координат £. и
Аналогично предыдущему для элемента объема в ЗА-мерном пространстве с параметризацией (1.7),
(1.8) можно записать
Используя интегральные свойства обобщенных функций, находим
Интегрирование (1.11) по описанному выше методу позволяет получить
я
(1.9)
я
рг вИЧг
(1.10)
*ЯзА-г-
й
Л
Г(2Я-п) Г(Я + п)
20
Следовательно, окончательно элемент интегрирования по угловым переменным в параболической системе координат ЗА-мерного пространства равен
, _ 1 1 1_
/<АЛ) ч*
А
а
че Iе
АЧ ГШ у- Р?Р* П
/ГДЛ)= ГАД) £~о Г(п+1)Г(Ы-пн)ГМ-п)Г(Ы+п)
1.2. Построение МУФ
Различные МУФ, применяемые в теории элементарных частиц, атомного ядра, атомной и молекулярной физике, представляют собой функции многих переменных. Они зависят от угловых переменных, которые определяются конкретной параметризацией ЗА-мерного пространства и не зависят от гиперрадиальных, или коллективных, переменных. Кроме того, они могут зависеть от спиновых, изоспиновых и цветовых переменных, которые используются для классификации электронных, нуклонных и кварковых состояний. Конкретные примеры этих зависимостей подробно будут проиллюстрированы в разделах, посвященных различным физическим приложениям.
Вторым общим свойством МУФ является наличие определенной перестановочной симметрии, что свя-
*'А сн,рС*'Р'И1 г
■ ал *оо
21
зано с применением МУФ для изучения в основном многофермионных систем. При изучении проблемы трех, четырех тел непосредственно используется техника группы перестановок [35]. Например, в трехкварковой модели нуклона соответствующие МУФ строятся так:
игё^,г,е,)-
где г - пространственные, э-спиновые, V- изоспи-новые, с - цветовые переменные.
В соответствии с гипотезой квантовой хромодинамики наблюдаются только синглеты с цветовой группой 5а(3) , поэтому
полностью антисимметричный тензор в цветовом пространстве. Тоща должна быть полностью
симметричной функцией своих аргументов. В соответствии с общими свойствами группы перестановок последнее означает, что и выражается в виде произведения координатной и спин-изоспиновой частей, имеющих одинаковые схемы Юнга
(1Л2)
г>.
22
В (1.10) учтено, что для трех частиц имеется симметричное, антисимметричное и два представления смешанной симметрии. При изучении состояний с полным спином трех кварков 5 -1/2 и полным изоспином Т-1/2 спин-изоспиновые функции имеют вид
Спиновые х и изоспиновые функции £ для трех частиц с соответствующим спином, равным 1/2, можно строить с помощью операторов соответствующей симметрии. Так, для спиновых переменных
где ы. и уз - спиновые одночастичные состояния с проекциями спина соответственно 1/2 и -1/2; операторы симметрии выражаются через операторы перестановок
В результате для системы трех кварков с и = О Г= Г = 5 = 5, = 1/2 можно получить
Е с
23
Здесь нельзя использовать общепринятые обозначения и+=оса; и^и и номера кварков определяются позиционным признаком
и+и.<1_ = и*ц.* .
Проиллюстрированная выше техника несколько громоздка, однако она позволяет полностью классифицировать все состояния рассматриваемых систем.
В более общих случаях при изучении большего числа частиц МУФ строятся из антисимметричных полиномов, которые представляют собой детерминанты Слэтера размерностью Л * Л для системы Л - частиц [41]
24
Явный вид базисных функций Ф^Лр-р зависит от специфики физической задачи, однако общим свойством является использование в качестве базисных функций однородных полиномов. Действие операторов перестановки на (1.13) очевидно, оно сводится к перестановке соответствующих строк или столбцов.
В теории атомного ядра, где необходимо учитывать внутренние спиновые и изоспиновые степени свободы нуклона, базисные функции имеют вид [18]
%> 'Я ) =спг д2*
Здесь сп/,- нормированный множитель; х^, ^ -спиновая и изоспиновая функхщи нуклона; у\jjty трехмерная гармоническая функция.
В многоэлектронной теории атома для учета специфики нерелятивистских кулоновских задач базисные функции выбираются такими [23];
= г(п.+ 1) х иг/с(1)-
При изучении свойств многоэлектронных атомов и ионов во внешних электрических полях предложены [33] базисные функции, которые в параболической системе координат имеют вид
<Ы4)
25