Спектроскопия зеркального отражения и рассеяния мягкого рентгеновского излучения поверхностями твердых тел

-2-
ОГ ДАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение 6
ГЛАВА І. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИІІЦИПЬІ РЕНТГЕНОВСКОЙ
РЕФ ЛЕКТОМ ЕТРИИ. 18
1.1. Основные закономерности отражения рентгеновского
излучения от идеальной поверхности твердых тел (Френелевское приближение). 18
1.2. Отражение и рассеяние рентгеновских лучей реальными
поверхностями. 43
ГЛАВА П. ТЕХНИКА И МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА. 80
2.1 Спектрометр ультрамягкого рентгеновского излучения
РСМ-500. 80
2.1.1. Конструкция и характеристики. 80
2.1.2. Методика проведения эксперимента. 92
2.2. ЦНУ- рефлектометр. 98
2.3. МОООТЕХ. 107
2.4. Характеристика образцов. . 112
ГЛАВА 111. РАСЧЕТ АБСОЛЮТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОПТИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ НА ОСНОВЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ СПЕКТРОВ ОТРАЖЕНИЯ ДИОКСИДА КРЕМНИЯ БЮ2. 115
3.1. Угловые и спектральные зависимости коэффициента от-
ражения в широком интервале энергий 60 - 3000 эВ. 116
3.2. Расчет оптических постоянных из угловых зависимостей коэффициента отражения. 122
-3 -
3.3. Расчет спектральных зависимостей оптических постоян-
ных. Влияние экстраполяции спектра в высокоэнергетической области на абсолютные значения оптических постоянных. 133
3.4. Результаты и выводы. 160
ГЛАВА IV. СПЕКТРЫ ОТРАЖЕНИЯ КРЕМНИЯ И ЕГО СОЕДИНЕНИЙ. 163
4.1 Спектры отражения и оптические постоянные кремния и
его соединений 164
4.1.1. БГЗЮ? с толщиной диоксида 1,9 нм. 164
4.1.2. Монокристаллический карбид кремния а-81С. 176
4.1.3. Аморфный нитрид кремния 513Ы4. * ^0
4.2. Квазимолекулярные особенности формирования спектров поглощения.
4.3. Влияние совершенства кристаллической структуры на спектры отражения.
4.4. Основные результаты и выводы ГЛАВА V. РАССЕЯНИЕ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
ШЕРОХОВАТЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ. ЭФФЕКТ ИОНЕДЫ В ОБЛАСТИ УЛЬТРАМЯГКОГО РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ.
5.1. Рассеяние ультрамягкого рентгеновского излучения поверхностями КИ-кварца.
5.2. Рассеяние сильно шероховатыми поверхностями. Эффект аномального рассеяния ультрамяг кого рентгеновского излучения.
183
189
206
210
212
222
-4-
5.2.1. Индикатрисы рассеяния гексагонального нитрида бора, измеренные с использованием неполя-ризованного излучения.
5.2.2. Индикатрисы рассеяния гексагонального нитрида бора, измеренные с использованием я-поляризованного синхротронного излучения.
5.3. Результаты и выводы.
ГЛАВА VI. АНИЗОТРОПИЯ ОТРАЖЕНИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ.
6.1. Анизотропный кристалл ВМгеКС. Специфика взаимодействия с рентгеновским излучением.
6.2. Ориентационные и угловые зависимости спектров отражения ВИрскс.
6.3. Ориентационные и угловые зависимости рассеяного излучения.
6.4. Результаты и выводы.
ГЛАВА VII. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕФЛЕКТОМЕТРИИ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ФАЗОВОГО СОСТАВА И АТОМНОГО СТРОЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫ X СЛОЕВ ОТРАЖАТЕЛЕЙ.
7.1. Количественная оценка угловой зависимости глубины формирования отраженного излучения.
7.2. Изучение сверхгладких поверхностей плавленого кварца после полировок и лазерного воздействия.
7.3. Изучение распределений структурных нарушений в имплантированном кремнии.
222
233
242
244
245 250
284
300
303
304 316 325
-5-
7.4. Изучение влияния условий роста эпитаксиальных слоев кремния на кремнии на их кристаллическую структуру. 336
7.5. Результаты и выводы. 351
Заключение 354
ЛИТЕРАТУРА 358
-6-
Введение
Ультрамягкое рентгеновское излучение занимает в шкале электромагнитных волн область спектра примерно от 1,5 нм до 100 нм. До конца 50-х годов эта промежуточная между рентгеновским и ультрафиолетовым излучением область спектра оставалась практически неизученной. Низкая техника эксперимента создавала большие экспериментальные трудности, которые тормозили развитие ультрамягкой рентгеновской спектроскопии, обладающей солидными преимуществами по сравнению с коротковолновой рентгеновской спектроскопией при изучении электронной структуры твердого тела. Исследования в этом спектральном диапазоне позволяют достичь максимального физического разрешения спектров (определяемого энергетической шириной остовных уровней), а при исследовании твердых тел - максимальной поверхностной чувствительности из-за сильного поглощения ультрамягкого рентгеновского излучения в веществе.
Основы ультрамягкой рентгеновской спектроскопии были заложены А. П. Лукирским в Ленинградском государственном университете в конце 50-х - начале 60-х годов. Именно тогда появились первые работы под его руководством по отражению, вызванные необходимостью создания фильтрующих отражателей, позволяющих устранить одну из основных трудностей при изучении рентгеновских длинноволновых спектров, связанную с наложением излучения, отраженного решеткой в разных порядках дифракции. Эти работы стали началом активных исследований спектральных и угловых зависимостей коэффициента отражения различных веществ и покрытий в широком спектральном диапазоне. Их результаты позволили выбрать наиболее эффективные отражательные элементы оптики спектральных приборов. Следует отметить, что потребности оптики
-7-
мягкого рентгеновского излучения и в настоящее время являются движущей силой большого числа теоретических и экспериментальных исследований.
Несколько позже была показана применимость формул Френеля в области мягкого рентгеновского излучения и реализован способ расчета спектральных зависимостей коэффициента поглощения на основе экспериментальных спектров отражения решением уравнений Крамерса-Кронига [24]. Показано, что различные способы экстраполяции экспериментального спектра отражения (в коротковолновую и длинноволновую области энергии) сильно влияют на абсолютные значения рассчитываемых величин, при этом положения экстремумов в рассчитанной зависимости коэффициента поглощения ц(Е) не изменяются при любом способе экстраполяции.
Усиление внимания к спектроскопии отражения было обусловлено широкими возможностями использования за рубежом источников синхро-тронного излучения, позволяющими исследовать отражение в широких спектральных интервалах. При этом спектроскопия отражения развивалась в основном в двух направлениях: как метод, позволяющий определять оптические постоянные вещества преимущественно на основе угловых зависимостей коэффициента отражения при фиксированных значениях энергий [89, 95, 142, 143], и как метод, позволяющий изучать статистические свойства поверхностей [65, 73, 96, 103]. Развитие обоих направлений стимулировалось прежде всего разработкой новых оптических элементов нормального падения: многослойных зеркал, а также прозрачных дифракционных элементов - френелевских пластинок, пропускающих решеток.
Анализ тонкой структуры спектров отражения вблизи порогов ионизации обычно не проводился. Вместе с тем отдельные исследования [5, 24]
-8-
показывали, что тонкая структура спектров отражения вблизи порогов ионизации внутренних уровней, несущая (более сложным образом) информацию об энергетическом распределении плотности состояний зоны проводимости, очень чувствительна как к сорту атомов, расположенных в поверхностном слое исследуемого образца, так и к химическому состоянию атомов.
Определенную роль в развитии спектроскопии отражения сыграло бурное развитие микроэлектроники, выделившей круг полупроводниковых материалов (монокристаллы кремния, карбида кремния и т.д.) и технологий (процесс окисления поверхности, эпитаксиальный рост пленок и т.д.), которые невозможно было изучать с использованием традиционной абсорбционной спектроскопии. Использование спектроскопии квантового выхода внешнего рентгеновского фотоэффекта было также ограничено, поскольку этот метод не позволяет определять абсолютные значения оптических постоянных (в частности, коэффициентов поглощения) материалов, необходимые для создания рентгеновских зеркал и фильтров, широко используемых в космических исследованиях, при изучении плазмы и в других областях науки. Необходим был неразрушающий поверхностно чувствительный метод, позволяющий получать абсолютные значения оптических постоянных, изучать электронную структуру и атомное строение поверхностных областей твердых тел - отражателей, в том числе монокристаллов, с учетом реального строения морфологии поверхности. С точки зрения фундаментальных представлений взаимодействия электромагнитного излучения с поверхностью твердых тел и имеющихся экспериментальных работ именно метод ультрамягкой рентгеновской рефлектомет-рии позволяет решать выше поставленные задачи, выделяясь, таким обра-
-9-
зом, в самостоятельный метод семейства методов спектроскопии неглубоких остовных уровней атомов.
Основной целью работы является разработка методов получения информации о фундаментальных характеристиках электронного и атомного строения поверхностной области твердых тел - отражателей методами зеркальной рефлектометрии и рассеяния мягкого рентгеновского излучения. Основным способом достижения поставленной цели является изучение механизмов взаимодействия мягкого рентгеновского излучения в возможно более широком спектральном диапазоне, включающем пороги ионизации, с твердотельными отражателями различных типов и с различной морфологией поверхности: кристаллами различной симметрии, включая одноосные, аморфными твердыми телами и покрытиями, слабо и сильно шероховатыми поверхностями, в том числе контролируемыми независимыми методами.
Основными задачами работы, решение которых позволяет достичь намеченной цели, являются следующие:
- совершенствование методики эксперимента, обеспечивающей проведение рентгеноспектральных исследований вблизи порогов ионизации внутренних уровней с высоким энергетическим разрешением при варьировании углов скользящего падения в широких пределах, на спектрометре РСМ - 500 с использованием неиоляризованного тормозного излучения рентгеновской трубки и поляризованного синхротронного излучения в широком спектральном диапазоне;
- изучение спектральных распределений коэффициента отражения в широком спектральном интервале, позволяющем с наибольшей точностью использовать дисперсионные соотношения для расчета оптических посто-
- 10-
янных; нахождение и обоснование критерия выбора способа экстраполяции экспериментальных данных;
- изучение чувствительности спектральных распределений коэффициента отражения вблизи порогов ионизации внутренних уровней к сорту атомов и их химическому состоянию, а также к нарушениям кристаллической структуры;
- изучение роли пространственной дисперсии в рентгеновской области при взаимодействии электромагнитного излучения с анизотропными кристаллами;
- изучение угловых распределений ультрамягкого рентгеновского излучения, рассеянного поверхностями различного качества обработки, и установление корреляций характеристик рассеяния со статистическими свойствами реальных поверхностей и веществом отражателей для различных условий проведения эксперимента (в зависимости от угла скользящего падения излучения на отражатель и от его длины волны);
- изучение угловой зависимости глубины формирования отраженного излучения и оценка эффективности применения метода ультрамягкой рентгеновской спектроскопии отражения к исследованию различных систем и процессов, происходящих в приповерхностных слоях твердых тел; проверка достоверности полученных результатов.
Научная новизна работы во многом определяется актуальностью и новизной цели и решаемых задач исследования. Впервые на обширном материале изучены особенности процессов отражения и рассеяния ультрамягкого рентгеновского излучения в широком энергетическом диапазоне, с учетом реального микрорельефа и атомного строения отражающих поверхностей, дающие возможность для детального изучения механизмов этих процессов и их теоретического описания и позволяющие использо-
-11 -
вать спектроскопию отражения как метод неразрушающего послойного анализа электронного и атомного строения поверхностных слоев отражателей. Подавляющее большинство результатов работы получено впервые, в частности:
- на основе экспериментальных спектров отражения с использованием дисперсионного соотношения Крамерса-Кронига получено детальное распределение абсолютных значений оптических постоянных диоксида кремния в области энергий 60 - 3000 эВ, в том числе вблизи 81Ь2(3- ОК- и 81К-порогов ионизации; развитие методик измерения абсолютных значений оптических постоянных вблизи порогов ионизации имеет большое значение для совершенствования теоретического описания процесса взаимодействия мягкого рентгеновского излучения с твердыми телами, имеющего в настоящее время, в основном, качественный характер;
- установлен критерий, согласно которому экспериментальный
спектр отражения можно экстраполировать соотношением Я(Е) ~ £-4 из энергетической точки, определяемой соотношением вс < ^2 ;
- обнаружена высокая чувствительность околонороговой тонкой структуры спектров отражения к сорту, химическому состоянию атомов, а также структурным нарушениям;
- обнаружена корреляция изменений тонкой структуры спектров отражения и поглощения, что обеспечивает возможность непосредственного анализа кривых отражения без промежуточного решения уравнения Крамерса-Кронига;
- проведено экспериментальное исследование процесса рассеяния от поверхностей разного качества в условиях полного внешнего отражения и вне их и показано существование влияния на процессы рассеяния и отра-
- 12-
жения величины радиусов корреляции высот шероховатостей и структурных нарушений, возникающих при технологической обработке в приповерхностных слоях отражателей;
- экспериментально доказано существование эффекта аномального рассеяния (эффекта Ионеды) в области ультрамягкого рентгеновского излучения; проанализированы факторы, влияющие на величину аномального рассеяния рентгеновских лучей;
- обнаружена и изучена ориентационная зависимость спектров отражения и рассеяния рентгеновских лучей в одноосном кристалле ВЫ1екс вблизи ВК - и ИК - порогов ионизации в широком диапазоне углов скользящего падения с использованием 5 - поляризованного синхротронного излучения и неиоляризованного излучения рентгеновской трубки;
- обнаружена ориентационная зависимость спектров поглощения, рассчитанных на основе измеренных спектров отражения, суть которой СОСТОИТ В различной степени проявления переходов 15 электронов В 7Г (2р2а2 - компонента) и а(е(2рху) - компонента)- состояния в зависимости от ориентации кристалла, определяемой взаимным расположением вектора напряженности электрического поля падающей электромагнитной волны Е и кристаллографической оси с кристалла (Е\ \ с или Е±с)\ показана возможность прослеживания роли каждого канала возбуждения в формировании тонкой структуры спектров поглощения;
- экспериментально доказана различная динамика формирования К - спектров поглощения вблизи порогов ионизации бора и азота, что хорошо согласуется с теоретическими расчетами;
- обнаружена высокая чувствительность тонкой структуры спектров отражения и рассчитанных на их основе спектров поглощения к электрон-
- 13-
но - ядерным (вибронным) состояниям системы, а также к релаксации электронной системы на появление дырки на внутреннем уровне;
- обнаружена высокая чувствительность абсолютных значений коэффициентов отражения к планарной анизотропии поверхности;
- экспериментально определена угловая зависимость глубины формирования отраженного пучка мягкого рентгеновского излучения;
- изучен ряд промышленно важных систем и процессов, демонстрирующий высокую эффективность применения ультрамягкой рентгеновской рефлектометрии для решения широкого круга фундаментальных и прикладных задач физики твердого тела.
Научная и практическая ценность работы определяется тем, что разработанные методические приемы исследования тонкой структуры спектров отражения в области порогов ионизации внутренних оболочек атомов в твердых телах и расчета спектральных зависимостей оптических постоянных на основе экспериментальных спектров отражения увеличивают информативность метода ультрамягкой рентгеновской спектроскопии как метода исследования электронной структуры вещества. Проведенное детальное изучение процессов отражения и рассеяния ультрамягкого рентгеновского излучения от различных реальных поверхностей в условиях полного внешнего отражения и вне их продемонстрировало высокую эффективность использования спектроскопии отражения при изучении микрорельефа и атомной структуры поверхности и позволило расширить представления о фундаментальных процессах, сопровождающих взаимодействие электромагнитного излучения с поверхностями отражателей. Закономерности, выявленные при изучении влияния пространственной анизотропии кристаллов на процессы отражения и рассеяния рентгеновских лучей, будут способствовать дальнейшему развитию теоретических моделей,
- 14-
правильно описывающих механизм формирования ближней тонкой структуры в рентгеновских спектрах поглощения и связь тонкой структуры с электронной структурой твердых тел, а также развитию теории рассеяния от шероховатых поверхностей.
Обнаруженная высокая чувствительность околопороговой тонкой структуры спектров отражения к сорту атомов, расположенных в поверхностном слое отражателей, их химическому состоянию и координации атомов окружения, в сочетании с установленной зависимостью глубины формирования зеркально отраженного пучка от угла скользящего падения излучения на отражатель и учетом обнаруженной корреляции изменений тонкой структуры спектров отражения и поглощения позволяют использовать спектроскопию отражения в качестве метода фазового химического анализа, что является новым оригинальным направлением и существенно расширяет традиционные границы применения рентгеновской рефлекто-метрии.
Практическая ценность работы состоит также в установлении влияния различных технологий обработки поверхности на процессы рассеяния и отражения рентгеновских лучей. Экспериментально обнаруженная и доказанная значимость величины радиусов корреляции высот шероховатостей, толщины и характера нарушенного переходного слоя в процессе отражения и рассеяния рентгеновских лучей будут способствовать дальнейшему развитию рентгеновской оптики, в частности совершенствованию технологий изготовления сверхгладких поверхностей.
Достоверность полученных результатов гарантируется применением современных методов экспериментального исследования отражения и рассеяния ультрамягкого рентгеновского излучения, проведением измерений в беспрецедентно широком спектральном диапазоне, позволяющем много-
- 15-
кратно повысить точность вычисления оптических постоянных и т.д., использованием различных методик вычисления оптических постоянных, хорошей корреляцией абсолютных значений полученных данных в области нормальной дисперсии с табличными данными, а также применением современных моделей теоретического описания взаимодействия рентгеновского излучения с твердыми телами.
Положения, выносимые на защиту.
1. Спектральное распределение оптических постоянных диоксида кремния в области энергий 60-3000 эВ и методика их расчета по данным измеренных спектрально-угловых зависимостей зеркального отражения рентгеновского излучения.
2. Отражение как э-поляризованного, так и неполяризованного рентгеновского излучения в области аномальной дисперсии одноосного кристалла ВЫ гекс является анизотропным и проявляется в ориентационной зависимости спектров отражения и аномального рассеяния.
3. Эффект аномального рассеяния (эффект Ионеды) существует не только для слабо поглощающих отражателей, но и в области ультрамягкого рентгеновского излучения. Амплитуда рассеяния зависит от высот шероховатостей, их планарной статистики и от наличия и характеристик переходного слоя на поверхности отражателей.
4. Топкая структура спектров отражения и рассчитанных спектров поглощения чувствительна к характеристикам атомной структуры ближнего и дальнего порядка поверхностных слоев отражателей, а так же к динамике их атомной и электронной подсистем.
5. Результаты измерения угловой зависимости глубины формирования отраженного луча для поверхности диоксида кремния в области
-16-
Ь2,з-порога, свидетельствующие о существовании такой зависимости даже в области полного внешнего отражения.
6. Спектроскопия отражения мягкого рентгеновского излучения может эффективно использоваться для неразрушающего послойного анализа электронной структуры, фазового химического состава и особенностей атомного строения поверхностных слоев отражателей в диапазоне толщин от единиц до десятков нм.
Апробация работы.
Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, совещаниях и семинарах:
■ Всесоюзном семинаре "Микролитография" (Черноголовка, 1984);
■ II Всесоюзной конференции "Квантовая химия и спектроскопия твердого тела" (Свердловск, 1985);
■ X и XV Всесоюзных школах - семинарах "Рентгеновские и электронные спектры и химическая связь" (Одесса, 1986; Ивано-Франковск, 1989);
■ XIV и XV Всесоюзных совещаниях по рентгеновской и электронной спектроскопии (Иркутск, 1984; Ленинград, 1988);
■ III Всесоюзном совещании но межвузовской комплексной программе "Рентген" (Черновцы, 1989);
■ Всесоюзном совещании "Проблемы рентгеновской диагностики несовершенства кристаллов" (Цахкадзор, 1985);
■ IX Всесоюзной конференции по физике ВУФ - излучения (1991);
■ ХШ и XV Международных конференциях по рентгеновской спектроскопии "X -Ray and Inner - Shell Processes in Atoms, Molecules and Solids" (Лейпциг, Германия, 1984; Ноксвилл, США, 1990);
- 17-
■ IX, X, XI и XII Международных конференциях по физике ВУФ -излучения (Гонолулу, Гавайи, 1989; Париж, Франция, 1992; Токио, Япония, 1995; Сан Франциско, США, 1998);
■ XIII, XIV и XV Европейских конференциях по физике поверхности ECOSS (Варвик, Швеция, 1991; Лейпциг, Германия, 1994; Лиль, Франция, 1995);
■ III Международной конференции "Surface X-ray and neutron scattering" (Москва, Россия, 1993);
■ VI Международной конференции ISSP "Frontiers in Synchrotron Radiation Spectroscopy" (Токио, Япония, 1997);
■ VIII и X Международных конференциях "X-ray Absorption Fine Structure - XAFS" (Берлин, Германия, 1994; Чикаго, США, 1998)
■ IX Международной конференции ISCFS "Science and Technologies of Thin Films and Surfaces" (Копенгаген, Дания, 1996)
- 18-
Глава I
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ РЕНТГЕНОВСКОЙ РЕФЛЕКТОМЕТРИИ
Г лава носит обзорный характер. Основное внимание в ней уделяется рассмотрению фундаментальных аспектов отражения рентгеновских лучей от поверхности твердых тел.
1.1. Основные закономерности отражения рентгеновского излучения от идеальной поверхности твердых тел (Френелевское приближение)
Распространение электромагнитного ноля в среде. Оптические функции вещества.
В случае однородной изотропной среды, при условии, что объемная плотность зарядов р=0, используя уравнения Максвелла, описывающие распространение электромагнитного поля в среде, можно получить волновое уравнение:
V (11)
с 812 с2 &
где Е -вектор напряженности электрического ноля; £ и // - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды; сг - удельная проводимость среды (для анизотропной среды величины £*, /и И (7 есть тензорные величины второго ранга, т.е. //,-,* и оу у [1]).
Аналогичное волновое уравнение можно записать и для вектора напряженности магнитного поля Н. Важным частным решением уравнения
(1.1) является плоская монохроматическая волна, распространяющаяся, например, вдоль *:
- 19-
(1.2)
где амплитуда поля Е0 - комплексный вектор, не зависящий от координат и времени (т.е. х и і), 3 - фазовая скорость распространения волны.
Подставляя (1.2) в (1.1) и ограничиваясь рассмотрением немагнитных сред (//= 1) получаем:
Соотношение (1.3) связывает скорость распространения электромагнитной волны 3 в среде с характеристиками среды. При прохождении плоской границы раздела двух однородных изотропных сред плоская электромагнитная волна частично зеркально отражается, частично проходит в другую среду, оставаясь плоской, но меняя направление распространения (рис. 1.1.). Направление распространения преломленной волны определяется законом Снсллиуса:
где 0' и - углы, образуемые направлениями падающей и преломленной волн с нормалью к границе раздела сред; п1 и п2 - показатели преломления первой и второй сред; Зх и 32 - фазовые скорости волны в первой и второй среде.
Отношение:
определяет относительный показатель преломления волны из первой сре-
(1.3)
віп^' _ «2 віп^' п\ '
(1.4)
(1.5)
-20-
Рис. 1.1. Прохождение плоской электромагнитной волны через плоскую границу двух однородных изотропных сред, где: вугол падения и зеркального отражения; угол преломления.
-21 -
ды во вторую. Абсолютный показатель преломления среды определяется как показатель преломления из вакуума в данную среду:
п=~. (1.6)
3
Подставляя (1.6) в (1.3) можно получить связь между оптическими функциями среды:
~2 , А'тсг
п - £ + I------. (1.7)
со
Введем комплексную диэлектрическую проницаемость:
£ = £*+ . (1.8) О)
* 4 71(7
Обозначив у £2 = и записав п в виде п - п + /лг получим
со
связь между коэффициентом преломления и диэлектрической проницаемостью [2]:
*22 £\ =п -к ;
(1.9)
£2 = 2пк .
Используя (1.6) запишем (1.2) в виде:
. пх . пх кх
tv г Ш~ гг -ia>t ш~с ~Со~с п 1 Пч
E(x,t) = E0e е -Е0е е е . (1*Ю)
Из уравнения (1.10) следует, что введение комплексного показателя
( ^
преломления приводит к появлению члена ехр) - со— I, характеризующего затухание волны в среде. Введем коэффициент пог лощения среды. Согласно известному закону ослабления:
^=е-л>*, (їді)
Л)
-22-
где Iq - интенсивность падающего излучения; 1Х - интенсивность волны в среде (на глубине х); //0 - линейный коэффициент поглощения.
2 о
Используя /0 ~|£0! и I ~ |£|~, легко получить:
2 сок 4к
^= — = —K. (1.12)
Таким образом, мнимая часть коэффициента преломления связана с ослаблением излучения при прохождении слоя х, а вещественная - с фазовой скоростью распространения волны в среде.
Остановимся кратко на физическом смысле фазовой скорости. Согласно общему определению, фазовая скорость - это скорость перемещения фазы волны в определенном направлении. В случае монохроматической плоской волны, распространяющейся, например, вдоль х:
U(xj)= Асо%(р-Acos(at - kx), 0-13)
где к - волновое число, фазовые фронты или плоскости постоянной фазы (р = const перемещаются в пространстве вдоль х с фазовой скоростью &ф = &х = В то же время, в любом ином направлении составляющем с х угол а (g= x/cosa)i скорость перемещения фазы пре-
t9 /
вышает ,9Х, поскольку <9^ = /со$а (Рис- 1 -2-)- Т.о. в отличие от волнового вектора /с, совпадающего по направлению с направлением распространения волны, фазовая скорость не является векторной величиной в обычном смысле. В определенных случаях фазовая скорость может превышать скорость распространения света. Для плоских воли это осуществляется когда п - «[s/j меньше единицы (область рентгеновского излуче-
ния). Согласно теории относительности, сигналы не могут распространяться со скоростью, превышающей с. Это означает, что фазовая ско-
-23-
Рис. 1.2. Монохроматическая плоская волна, распространяющаяся вдоль х.
-24-
рость не может соответствовать скорости распространения сигнала и, вообще говоря, лишена какого-либо прямого физического смысла.
Отражение рентгеновского излучения. Полное внешнее отражение (ПВО)
Амплитуды отраженной и преломленной волн в оптическом диапазоне длин волн описываются хорошо известными формулами Френеля [2]. В области рентгеновского излучения длина волны сравнима с межатомными расстояниями, а у кристаллов - с постоянной решетки, т.е. строго говоря, кристалл следует описывать обобщенным тензором диэлектрической проницаемости £у{со,г-г1,г1), введенным в [3]. Возникает вопрос о
правомерности использования формул Френеля в рентгеновском диапазоне длин волн.
Согласно [3], кристаллы не являются пространственно однородными, поскольку, например, узлы решетки не эквивалентны другим точкам. Поэтому при описании кристаллов необходимо использовать тензор
£у(й),г,г'). Поскольку кристалл представляет собой среду, свойства кото-
г*
рой неизменны при сдвиге на любой вектор решетки а (трансляционная симметрия), то можно написать:
еу(&,r,r') = c0(a>,r + a,r'+a). (1.14)
Функция, обладающая свойством (1.14) может быть представлена в
виде:
eÿ(û>,rs') = YJgb(a,r-r,)e~,2,Ar', (1.15)
h
где Ь = пфх + п2Ь2 + пъЬъ - произвольный вектор обратной решетки
(п; - целые числа, Ь. - три основных вектора обратной решетки) т.е.
ei2mb _ | периодическая зависимость Sj от радиуса-вектора г' приводит
-25 -
к дифракции волны при угле падения, удовлетворяющем условию Лауэ (к = к0 + 2лЬпп^ , где к0, к - волновые векторы падающей и рассеянной
волн, соответственно). Как показано в работе [4], вблизи этого угла в интервале направлений Д0~1ОИ амплитуда дифрагированной волны сравнима с амплитудой падающей. В других направлениях в кристалле фактически распространяется только одна волна (без учета поляризации), т.е. можно описывать кристалл нулевой компонентой тензора £^=0(а),г - г').
В случае пространственной дисперсии тензор е^(соук) (£^(со,к) -
фурье компонента £^(со,г - г'), к - волновой вектор электрона \к\ = ^) дается соотношением [4]:
£ц(<М) = (<у) + гХ/Гу/(*>)*/ - Е/>иа,]1т{а)к,кт . (1.16)
С первым членом (1.16) связана, в частности, частотная дисперсия. Второй и третий члены (1.16) пропорциональны и {^/^[ (тензоры /у7 и сСу1т пропорциональны, соответственно, а и а2, к = 2у^). Для частот, близких к собственным частотам Щ, выполняется условие »1 (а{ -
размер /-оболочки), поэтому второй и третий члены выражения (1.16) малые величины. Т.о. в нулевом приближении зависимостью е\^(со,к) от
к можно пренебречь. Обратим внимание на то, что в средах, обладающих центром симметрии, в частности в кубических кристаллах, величина /(со) тождественно обращается в ноль, и эффекты пространственной дисперсии могут проявляться лишь благодаря третьему члену выражения (1.16).
В то же время, в ряде низкосимметричных кристаллов обнаружена анизотропия поглощения вблизи краев поглощения [5].
-26-
Таким образом, если не учитывать тонких эффектов пространственной дисперсии и анизотропии, а также считать ]раницу раздела достаточно гладкой (влияние поверхностных неоднородностей на отражение падающего излучения будет рассмотрено ниже), вполне правомерно описывать отражение рентгеновских лучей с помощью формулы Френеля.
Диэлектрическая проницаемость всех материалов £ в рентгеновском диапазоне, как правило, меньше единицы, поскольку при взаимодействии рентгеновского излучения с веществом большую часть атомных электронов можно рассматривать в первом приближении свободными. Эго обстоятельство обуславливает специфику отражения рентгеновского излучения от поверхности твердых тел: отражение происходит от оптически менее плотных сред, поэтому, при больших углах падения Ав' формулы Френеля дают мнимые значения для угла преломления. Это означает, что падающая волна не может проникнуть внутрь вещества и отражается обратно в вакуум. Такое явление получило название полного внешнего отражения (ПВО), аналогично эффекту полного внутреннего отражения для видимого излучения. Поскольку в области рентгеновского излучения угол полного внешнего отражения близок к 90°, удобно перейти к углам скользящего падения 0, т.е. О= 90° - 0\
С учетом выше сказанного амплитуда коэффициента отражения рентгеновской волны от гладкой поверхности однородной изотропной среды имеет вид [2]:
(1.17а)
£Б\П О ~ V £ - СОБ2 О
(1.17Ь)
£ътО+ у! £ — соб2 О
<?Б1П
-27-
где индексы р определяют состояние поляризации падающей волны: 5 - перпендикулярно, р - параллельно плоскости падения. Реально в эксперименте измеряются не амплитуды, а коэффициенты отражения 5’-и р- поляризованного излучения:
В работах [ 4, 6] проведена оценка выражений для Я$ и Яр и показано, что в области малых скользящих углов падения (область ПВО) различием меж-
длин волн 10-0,1 им. К аналогичному выводу пришли авторы работы [7], анализируя необходимость учета поляризации излучения в более длинноволновой области спектра (Л ~ 19нм). В работе представлен модельный расчет Ял,, Яр и Я в интервале углов падения от 6° до 25° от поверхности с параметрами £{ = £г - 0,2 (такими оптическими постоянными характеризуется золото в области Л = 19нм). Показано, что компоненты Я5 и Яр отличаются от Я всего лишь на 3 - 5%.
Таким образом, в области малых углов скользящего падения можно не учитывать поляризацию рентгеновского излучения при отражении и использовать формулу (1.17а). В области рентгеновского излучения выражение для диэлектрической проницаемости £ удобно записывать в виде:
где £х, £г - вещественные величины, описывающие поляризуемость и поглощение. Поскольку, согласно теоретическим оценкам, в рентгенов-
К =Ы2 И к
2
(1.18)
—9 —Л
ду Я$ и Яр можно пренебречь, поскольку оно составляет 10 -г-10 для
£ = 1- 6\ +ІЄ2,
(1.19)
•у
ской области спектра £х «1 и є2 «1 [8], учитывая є - п , можно получить выражение для показателя преломления:
п = д/1 - £, + І£2 » 1-£, + —І£2- (1 -20)
-28-
Из выражения (1.17а) видно, что, когда можно пренебречь мнимой частью диэлектрической проницаемости, т.е. считать е2 = 0, коэффициент
выходе из области ПВО (рис. 1.З.). При наличии поглощения (£2 *0) коэффициент отражения всегда меньше единицы, т.е. строго говоря, отражение не является полным. Величина коэффициента отражения определяется
значения коэффициента отражения в области ПВО остаются близкими к единице. При увеличении поглощения коэффициент отражения в области ПВО уменьшается, зависимость Я(О) становится более плавной (рис. 1.З.). При £г » б\ понятие критического угла ПВО теряет смысл. В работе [4]
гиба. Зависимость вс от длины волны может быть грубо аппроксимирована формулой [9]:
где 6С - выражено в градусах, Л - в нанометрах, а коэффициент
пропорциональности увеличивается с ростом порядкового номера элемента.
Дисперсия оптических постоянных
Существенным фактом при рассмотрении взаимодействия рентгеновского излучения с твердым телом является зависимость оптических постоянных от частоты падающего излучения. Первой попыткой объяснить спектральную зависимость оптических констант была классическая теория дисперсии Лоренца [8], в которой среда рассматривалась как совокупность
отражения точно равен единице при 0<0С и быстро спадает при
соотношением величин €\ и е2 • Если поглощение невелико
показано, что при
> 0,62 зависимости Я(0) не содержат точек пере-
(1 -г 3)Л при Л < 1,5 нм
(1.21)
еюс
Рис. 1.3. Зависимость коэффициента отражения от приведенного угла скользящего падения 0!0С для различных значений є2і€і.
1 - 0,01; 2 - 0,02; 3 - 0,05; 4-0,10; 5 - 0,20; 6 - 0,50;
7 - 1,00; 8 - 2,00; 9 - 5,00.
-30-
электрических зарядов - осцилляторов, приводимых в движение электромагнитной волной Е = Е0с1а>‘. Стационарное решение уравнения движения электрона с учетом всех сил, действующих на него, имеет вид [8]:
рР
Хч= ■ ■ ■ а-з ■ (1-22)
(2 2^ О) .
»К Г-£Г1
где хц - смещение </--ого электрона под действием поля; (Од - собственная частота q-ого электрона; т - масса электрона; со - частота па-
2 е2сог
дающего излучения; описывает затухание колеоании электрона.
3 с3
При этом происходит поляризация среды, характеризуемая зависящим от времени вектором поляризации Р:
Рч=-пчехч, (1.23)
где пя - число q-элeктpoнoв в единице объема среды; е - заряд электрона.
Поскольку диэлектрическая проницаемость г; выражается через поляризацию Р по формуле:
Е+4пР=б£, (1.24)
а полная поляризация среды Р определяется поляризацией всех электро-
нов атомов в единице объема вещества:
Р = (1-25)
ч
частичная диэлектрическая проницаемость связанная с (/-электронами среды, может быть представлена в виде [8]:
4 7гпае2
еч=Х +--------------2~Г~2~Г • 0.26)
т{а>1~со2) + —-г1 3 с
-31 -
Выделив в выражении (1.26) действительную и мнимую части с учетом (1.19) можно получить:
4 тгппе2т(со2 - о?2)
а27)
m2(col - со2)2 +
9с(
- %7ГП„Є,6Г>І
£2 =----------- 9 —т-т- (1.28)
9 О 3 2/ 2 2 \2 СО
Зс т (со:. — со ) + т—
4 3 с3
Особого внимания требует выражение, описывающее £^ . Преобразуем (1.27) к виду:
2 тге2па со2 - со2
= S—7---------TT-"Г-0-29>
* tn (со2 -со2) +Ab;0ö)2
где
3 me
Если исключить область значений со, близких к coq, и пренебречь
затуханием, т.е. вторым членом знаменателя в выражении (1.29), можно получить:
І7ГЄ2 *
*1 (130)
Ш СО2 - со2 откуда:
2тгє ,. •> і \
*1 = £ "2 2’ (131)
^ Ц СО - СОд
Поскольку для большинства электронов атома в рентгеновской области
о) > соц, £{ является положительной величиной и, следовательно, показа-
тель преломления п< 1. При переходе в оптическую область спектра для большинства электронов атома со < соц, т.е. £} <1 и // > 1. Заметим, что
-32-
при со » (Оц, т.е. вдали от краев поглощения выражение (1.31) принимает вид:
где N - число электронов в единице объема среды, и, следовательно, для данного вещества имеет место соотношение:
Область, в которой выполняется соотношение (1.33), называется областью нормальной дисперсии. Результат, описываемый формулой (1.33), хорошо согласуется с экспериментом вдали от К-края с коротковолновой стороны, в тоже время, теория Лоренца плохо описывает экспериментальные данные с длинноволновой стороны от К-края и оказывается совершенно неудовлетворительной в области краев.
Введение в классическую теорию понятия силы осцилляторов /С(
позволило привести в соответствие теорию Лоренца и эксперимент. Было получено, что если вдали от я-границ справедливо постоянство отношения
> то вблизи от q-гpaницы этот закон нарушается и имеет место аномальная дисперсия.
Современный теоретический расчет оптических постоянных вещества проводится в рамках квантовой теории дисперсии, в которую перенесено понятие “силы осциллятора” как термин. Если в классической теории под силой осциллятора fq понимается просто число классических осцилляторов в атоме, обладающих собственной частотой С0д, то в квантовой теории дисперсии понятие СИЛЫ осциллятора /у связывается с вероятно-
(1.32)
6*) _ е2Ы
= соп$1.
(1.33)
Л2 2тпс2
-33-
стью перехода атома из состояния і с энергией Еі в состояние у с
более высокой энергией Ер принадлежащей дискретному спектру. Согласно [10]:
перехода из состояния / в состояние у; в длинноволновом приближении:
2
- интегрирование ведется по всему объему У\
у/і и у/1 - волновые функции начального и конечного состояний
атома, соответственно.
Если состояние, в которое переходит атом в результате поглощения кванта, принадлежит сплошному спектру, то вероятность поглощения ха-
плотности вероятности перехода удобнее иметь дело с сечением фотопоглощения <7, которое определяется вероятностью перехода атома из состояния у/7- в состояние у/ г отнесенной к плотности потока налетающих
квантов, при единичной плотности фотонов. Единичная плотность означает, что энергия единицы объема равна энергии фотона. Согласно [11]:
ї'і = й ЫрР]'
2т
(1.34)
(1.35)
рактеризуют спектральной плотностью сил осцилляторов
Вместо
(1.36)
-34-
Сечение фотопоглощения (т(а)) связано напрямую с коэффициентом поглощения //(я;), характеризующим процесс поглощения кванта излучения, соотношением:
0(0,) = ^, (1.37)
N
где N - число атомов в единице объема. Плотности сил осцилляторов и силы осцилляторов удовлетворяют определенным интегральным соотношениям, которые называют правилами сумм. Наиболее известное из них и широко применяемое в исследовании фотопоглощения - правило Томаса-Рейхе-Куна (“золотое правило сумм”) записывается в виде:
00
2>-5>«+ с-38»
./ 0)ц
и означает, что если просуммировать силы осцилляторов по всем возможным переходам атома из состояния / на любые возможные состояния у и прибавить интеграл по всей области непрерывных значений энергии, то получится число электронов атома на уровне /.
Теоретическое определение оптических постоянных
Мнимая часть диэлектрической проницаемости гг2 связана с поглощением /у и может быть выражена, согласно (1.37), через сечения фотопоглощения <т, для расчета которых в атомной физике развит целый ряд приближенных методов, подробно рассмотренных в [11, 12]. Значительно сложнее обстоит дело с действительной частью диэлектрической проницаемости £х, которая связана с поляризуемостью. В определенном смысле можно сказать, что если для определения достаточно 1-ого порядка теории возмущения, то для определения £х - необходим расчет 2-ого по-
-35 -
рядка. Выражение диэлектрической проницаемости £ через поляризуемость изолированного атома а(со) имеет вид:
<г(» = 1 + 4 яМа(а)у (1.39)
где Аг- число атомов в единице объема. Тогда, сопоставляя соотно-
шения (1.19) и (1.39), можно получить следующие соотношения для оптических констант £х и £2 :
£{ = 4л1\г К е а (со) ; (1.40а)
е2 = 4тгЫ 1т а (со) . (1.406)
Учитывая связь мнимой части диэлектрической проницаемости е2 с поглощением //, выражение (1.406) может быть представлено в виде:
сг(со) = 4;т^—^ 1т а(со).
(1.41)
Согласно [13]:
+
Еп- Е0- Исо - і0 Еп - Е0 + Но - /0
(1.42)
(^и -£0)|<Прг|^я>1’
(.Е„-Е0)2-(ГшУ |2
(1.43)
л* «о
1та'(й)) = ^({/0|^.Уп0)|2. О-44)
Л
где с/. - ^-компонента оператора дипольного момента; Е0 и - волновые функции и энергии основного и возбужденных состояний атома; п0 - состояние, которое определяется из условия
Е„0 -Ео = Псо.
Практические вычисления по формулам (1.42)-(1.44) крайне сложны и требуют использования различных приближений, как для вычисления