Локализация, резонансы и нелинейные аномалии в твердотельных структурах

ОГЛАВЛЕНИЕ
V
Введение........................................................8
1. Проводимость низкоразмерных структур ........................31
1.1. Масштабное поведение проводимости неупорядочен-
ных проволок............................................ 32
1.1.1. Масштабное уравнение для 5 - матрицы ............ 33
1.1.2. Конечномерная аппроксимация в двумерной системе ................................................... 36
1.1.3. Уравнение Фоккера-Планка........................... 39
1.1.4. Анализ уравнения Фоккера-Планка.................... 42
1.1.5. Обсуждение результатов............................. 46
1.2. Локализация в одномерных проводниках................... 47
1.2.1. Локализация в проволоках с неровными границами ..................................................... 50
1.2.2. Сопротивление одномерного проводника со случайным потенциалом, являющимся марковским
случайным процессом.................................. 54
1.2.3. Фупкция распределения сопротивлений и длина
локализации ......................................... 56
1.2.4. Следствия и возможные обобщения.................... 58
1.3. Сопротивление одномерной системы с двухзонным
спектром................................................ 61
1.3.1. Функция распределения сопротивлений................ 63
1.3.2. Ультрарелятивистский предел ....................... 69
1.3.3. Состояния с энергией в середине щели .............. 69
1.3.4. Случай нефлуктуирующей щели........................ 70
1.3.5. Модель флуктуирующей щели.......................... 71
*2
1.3.6. Обсуждение результатов............................. 73
1.4. Мезоскопические эффекты в одномерных проводниках ....................................................... 76
1.4.1. Представление корреляционных функций сопротивлений в терминах Т-матриц ............................. 77
1.4.2. Модель случайных матриц............................ 80
1.4.3. Модель Андерсона................................... 83
1.4.4. Точечная примесь в канале.......................... 85
1.4.5. Геометрическая интерпретация....................... 88
1.5. Чувствительность сопротивления квазикристалла к
локальным дефектам..................................... 90
2. Динамическая локализация электронов в гетероструктурах ...................................................97
2.1. Основные уравнения: теорема Флоке и прозрачность
нестационарной системы................................ 100
2.2. Отражение от нестационарной ямы: зеркало Фано........ 103
2.2.1. Пертурбативный метод............................... 105
2.2.2. Эффект полного отражения.......................... 108
2.3. Туннелирование и локализация......................... 113
2.3.1. Туннелирование.................................... 113
2.3.2. Динамическая локализация.......................... 115
2.4. Взаимодействие между резонансами Фано................ 118
2.4.1. Симметричная двухъямная система. Статический случай.............................................. 118
2.4.2. Полюса и нули прозрачности......................... 119
2.5. Динамическая локализация электронов в двухъямной
структуре.............................................. 123
2.6. Туннелирование через нестационарные структуры......... 128
2.7. Асимметричная структура из двух квантовых ям.......... 131
3
2.8. Возможные приложения................................. 136
3. Коллапс резонансов в квазиодномерных каналах..............139
3.1. Модель квантового канала и уравнения................. 141
3.2. Рассеяние на одиночной примеси: резонансы Фано....... 143
3.2.1 Модель протяженной примеси в канале............... 143
3.2.2. Асимметричные резонансы в прозрачности........... 146
3.3. Когерентное взаимодействие резонансов ............... 152
3.4. Дискретные уровни в континууме....................... 157
3.5. Туннелирование....................................... 160
3.6. Многоканальное приближение........................... 162
3.7. Точнорешаемая модель. Дискретные уровни и прозрачность канала.......................................... 166
3.7.1. Нормированные состояния в континууме............. 166
3.7.2. Матрица рассеяния электрона в канале с примесями.................................................... 170
3.8. Коллапс резонансов в квазиодномерных каналах......... 179
3.8.1. Матрица рассеяния для протяженной примеси........ 179
3.8.2. Резонансы Брейта-Вигнера и Фано.................. 182
3.8.3. Коллапс резонансов Фано.......................... 184
3.8.4. Обсуждение результатов........................... 195
4. Влияние границ на электронные свойства низкоразмерных систем......................................... 198
4.1. Эффективный гамильтониан систем с неровными
границами в присутствии магнитного поля.............. 200
4.2. Связанные состояния электрона в магнитном поле
вблизи локальных изменений толщипы слоя.............. 201
4
4.3. Проводимость пленок с неровными границами и эффекты локализации.......................................... 208
4.3.1. Пленки с квадратичным законом дисперсии носителей заряда........................................... 208
4.3.2. Пленки с двухзонным релятивистским законом
дисперсии носителей................................ 213
4.4. Сверхрешетка для электронов на магнитных поверх-
ностных уровнях....................................... 219
4.5. Фокусировка поляризованных электронов в металлах ....................................................... 224
5. Нелинейный отклик неоднородных структур....................230
5.1. Линейные электродинамические характеристики
среды................................................. 233
5.2. Нелинейные фрактальные среды.......................... 235
5.2.1. Модель ’’теплого” фрактала........................ 235
5.2.2. Численные результаты.............................. 239
5.3. Фрактальный резистор.................................. 241
5.4. Генерация гармоник в микронеоднородных средах......... 245
5.4.1. Амплитуда третьей гармоники локально анизотропной среды............................................ 246
5.4.2. Анализ функции отклика............................ 249
5.4.3. Генерация гармоник в магнитном поле............... 250
5.4.3. Обсуждение результатов........................... 251
5.5. Неоднородные сверхпроводники в переменном поле 252
5.5.1. Импеданс неоднородных сверхпроводников............ 252
5.5.2. Генерация гармоник в керамических ВТСП............ 257
о
6. Нелинейная проводимость регулярных структур..................266
6.1. Нарушение линейного режима протекания тока в двумерных решетках..................................... 269
6.1.1. Модель структуры и основное уравнения.............. 269
6.1.2. Тонное решение для плоской периодической решетки .................................................... 273
6.1.3. Расчет эффективной нелинейности и поля нелинейности ................................................. 275
6.1.4. Косоугольные решетки............................... 280
6.1.5. Критические свойства некоторых решеток............. 283
6.1.6. Обсуждение результатов............................. 286
6.2. Аномальное поведение текстур в магнитном поле...........288
6.2.1 Критические свойства решеток в магнитном
поле............................................... 288
6.2.2. Аномалии в текстурах............................... 290
6.2.3. Выводы и следствия................................. 295
6.3. Нелипейное протекание вблизи перехода металл-
диэлектрик ............................................ 296
6.3.1. Качественный анализ особенностей................... 297
6.3.2. Точное решение..................................... 299
6.3.3. Анализ решения..................................... 300
6.4. Функции подобия эффективных проводимостей...............301
6.5. Нелинейные аномалии сред с коническими микросужениями................................................ 304
6.5.1. Моменты поля в среде с коническими особенностями .................................................... 305
6.5.2. Критические параметры.............................. 307
6.6.Тепловая стабилизация аномалий в неоднородных проводящих структурах ................................. 309
6.6.1. Модель структуры и теплоотвода..................... 310
6
6.6.2. Нелинейная проводимость пленки.................. 314
6.6.3. Распределение температуры в неоднородной решетке ................................................. 319
6.6.4. Нелинейная проводимость трехмерной среды........ 322
6.6.5. Обсуждение результатов.......................... 325
Заключение..................................................327
Литература..................................................333
7
ВВЕДЕНИЕ
Исследование электронных транспортных процессов в неоднородных твердотельных структурах представляет огромный интерес как с фундаментальной точки зрения, так и с точки зрения приложений. Традиционный подход к описанию кинетических явлений в металлах и полупроводниках основывается на квазиклассических представлениях, согласно которым перенос квазичастиц трактуется как распространение волновых пакетов [1, 2]. Обычно при вычислении кинетических коэффициентов можно полагать длину волны электронов малой по сравнению с длиной свободного пробега. Ранее только для описания квантовых магнитных и размерных эффектов привлекались методы квантовой кинетической теории [2, 3]. Особенно активно квантовые эффекта в проводимости стали изучаться с конпа ТО-х годов, когда были созданы основы с овременной теории локализации [4-6]. Благодаря успехам нанотехно-логиии в настоящее время можно создавать искусственные полупроводниковые структуры: сверхрешетки, квантовые проволоки, кваптовые ямы, квантовые точки и т.д. [7]. Такие системы называют системами с редуцированной размерностью, поскольку благодаря размерному квантованию число эффективных степеней свободы электронов в них может быть понижено и можно говорить о двумерных ( пленки ), одномерных ( проволоки ) и нульмерных системах( точки ) [8]. Как известно, в низкоразмерных системах квантовые корреляции особенно ярко выражены, что обуславливает такие явления, как, например, ан дер ооновская локализация и мезоскопические флуктуации проводимости. При этом малые изменения потенциального поля, в котором движутся электроны, могут приводить к сильным изменениям проводимости. Теоретическое описание электронных свойств низкоразмерных систем требует развития нетрадиционных подходов.
8
Актуальными представляются исследования резонансов в гетеро-структурах [6-11]. Идея управления резонансными состояниями внешними полями лежит в основе функционирования резонансного туннельного диода и резонансного транзистора. Теоретическое исследование резонансов в гетероструктурах было начато в работах [12, 13]. Чтобы получить резонансный уровень, необходимо иметь по крайней мере два гонких барьера, разделенных узкозонным полупроводниковым слоем. Возникающие вследствие конструктивной интерференции волн между барьерами квазисвязанные состояния приближенно характеризуются двумя параметрами: положением резонанса и его шириной. Ширина резонанса определяется частотой колебания электрона между барьерами и вероятностью туннелирования через барьеры. При этом ширина уровня всегда конечна, поскольку имеется конечная вероятность ухода электрона из ямы. Как известно, такого типа резонансы называются резонансами Брейта-Вигнера ( в теории ядра ) или резонансами Фабри-Перо ( в оптических явлениях ). Для приложений интересно выяснить, как влияет переменное электромагнитное поле на локализованные и резонансные состояния в гетероструктурах. Обычно считают, что переменное поле может разрушать резонансы и приводить к дсло-кализации электронных состояний. Однако в настоящее время обнаружены ситуации, когда при воздействии поля имеет место противоположное явление — динамическая локализации электронов [14].
Повышенный интерес вызывают исследования электронного транспорта в двумерном электронном газе [15, 16], [6, 9]. Потенциально на основе двумерных каналов возможно создание так называемых ”латеральных” квантово-интерференционных приборов. Недавно было продемонстрировано, что в двумерных электронных каналах имеет место квантование проводимости. Присутствие примесей может приводить к квантовой эрозии ступеней проводимости и ряду новых квантово-когерентных эффектов. Как оказалось, проблема динамической локализации и проблема квантовой эрозии тесно связаны между собой, по-< кольку в основе этих двух явлений лежат асимметричные резонансы
9
- резонансы Фано [17]. Такие резонансы сравнительно давно были обнаружены и исследованы в атомных системах. При определенных условиях они могут существовать в переменных полях ы в кваоиодномерных каналах [9]. В отличие от резонансов Брейта-Вингера, резонансы Фано представляют собой резонансно-антирезонансную пару и характеризуются дополнительным параметром - положением нуля. Представляется актуальным исследование взаимодействия асимметричных резонансов и анализ следствий для квантовой эрозии.
В системах с низкой размерностью важную роль играет влияние поверхности на электронные состояния [15,16]. Например, шероховатости поверхности пленок приводят к появлению локализованных состояний, а периодическая модуляция - к появлению минизон в спектре носителей. Случайный рельеф поверхности может приводить к рассеянию электро-' нов и появлению квантовых поправок к проводимости, структура которых оказывается зависящей как от закона дисперсии, так и от свойств границы. В последние годы число работ, посвященных поверхностным эффектам в низкоразмерных системах, непрерывно возрастает.
Неослабевающий интерес вызывают также проблемы электронного транспорта в неоднородных классических проводящих средах: композитах, текстурах, легированных и аморфных полупроводниках, сплавах, разбавленных магнетиках и многих других материалах [4, 18, 19]. Особый интерес связан с исследованием токопереноса вблизи перехода металл-диэлектрик. В критической области применимы представления теории протекания, согласно которым ток переносится по бесконечному кластеру. Геометрически бесконечный кластер представляет « обой фрактальный объект [20]. Проводящие фрактальные агрегаты характеризуются широким спектром необычных физических свойств, что делает их особенно привлекательными как с точки зрения теории, гак и с точки зрения эксперимента [21]. В качестве примера можно отметить, что фрактальные агрегаты широко используются для низкочастотного детектирования и для создания поглощающих покрытий [22, 23]. Двумерные периодические решетки половинного состава позволяют
моделировать переход металл-диэлектрик. В линейном случае для функций линейного отклика таких структур получен ряд точных результатов [24-26]. Как оказалось, в неоднородных средах имеются аномалии нелинейного отклика, обусловленные локальными особенностями полей и токов. Такие эффекты делают системы структурно чувствительными, что вызывает практический интерес, поскольку планарные структуры находят широкое применение в электронике [24]. В настоящее время последовательная нелинейная теория перехода металл-диэлектрик отсутствует.
Мы не стремились здесь дать полную классификацию работ по теории локализации, резонансам и нелинейным аномалиям ( частично это « делано в начале каждой главы ), а попытались наметить поле исследований.
Исходя из сказанного, представляет интерес дальнейшее развитие теоретических представлений о классических и квантовых транспортных явлениях в твердотельных структурах: низкоразмерных проводниках, нестационарных гетер о структурах, двумерных каналах с примесями, пленках с шероховатой поверхностью, полуметаллах с модулированной поверхностью, нелинейных периодических и фрактальных средах.
Изучение очерчеппых выше локализационных, резонансных и нелинейных проблем электронного транспорта в неоднородных твердотельных структурах является основной целью данной диссертационной работы. В соответствии с поставленной целью было необходимо решить следующие конкретные задачи:
1. Получить замкнутое масштабное уравнение для 5— матрицы неупорядоченной среды.
2. Исходя из масштабного уравнения для матрицы рассеяния исследовать локализационные эффекты в проводниках: найти функцию распределения проводимости и вычислить длину локализации.
11
3. Исследовать локализацию электронов в негауссовских случайных полях.
4. Изучить локализационные эффекты в полупроводниковых каналах с двухзонным законом дисперсии.
о. Исследовать мезоскопические эффекты в одномерной проволоке, обусловленные изменениями реализаций случайного поля.
6. Изучить динамическую локализацию электронов в нестационарных г етероструктурах.
7. Вычислить прозрачность двумерного квантового канала. Исследовать структуру резонансов и продемонстрировать эффект коллапса резонансов.
8. Исследовать влияние периодических и случайных геометрических деффектов поверхности на спектр и локализацию электронов в двумерных слоях.
9. Выяснить возможность создания сверхрешетки для электронов проводимости в металлах на магнирных поверхностных уровнях.
10. Предложить обобщение метода поперечной фокусировки на случай поляризованных электронов.
11. Вычислить эффективную нелинейную проводимость двумерной фрак тальной среды половинного состава.
12. Изучить модель нелинейного фрактального резистора.
13. Получить выражение для амплитуды третьей гармоники случайнонеоднородного композита с микроструктрой.
14. Вычислить импеданс случайно-неоднородного сверхпроводника.
15. Исследовать генерацию гармоник в неоднородных сверхпроводниках в рамках модели случайных петель.
12
16. Исследовать критическое поведение эффективной нелинейной про-дймости периодической структуры типа ’’шахматная доска”.
17. Изучить критические свойства текстур в магнитном поле.
18. Исследовать нелинейные аномалии среды с коническими особенностями.
19. Численно найти скейлинговские функции эффективной линейной и нелинейной проводимостей периодической решетки половинного состава.
*20. Исследовать тепловую стабилизацию аномалий эффективной нелинейной проводимости периодических структур.
Решение поставленных задач потребовало развития новых методов и подходов, базирующихся на идеях современной теории локализации, скейлинга, теории марковских процессов, идеях фрактальной геометрии и современных численных методах. Прокомментируем важнейшие из них:
• При изучении масштабного поведения проводимости было получено и проанализировано уравнение Фоккера--Планка на группе. Для вычисления локализационной длины развита техника интегрирования по группе.
• Развита техника вычисления функции распределения сопротивления системы с негауссовским случайным потенциалом.
• При исследовании динамической локализации применялась техника обращения сингулярных матриц.
• Идеи фрактальной геометрии и скейлинга применены для анализа высших моментов поля и тока.
Характеризуя научную новизну проделанной работы, хотелось бы отметить следующие основные моменты:
- Получены точные масштабные уравнения ( скейлинга ) для элементов 5 - матрицы, описывающей рассеяние электронов в неупорядоченном проводнике. В случае слабого рассеяния исследована локализация в двумерной системе. Получено уравнение Фоккера-Планка для параметров, определяющих масштабное поведение полной проводимости ( кондактанса ) и показано, что в него входит единственный параметр скейлинга - длина локализации. Развита техника вычисления длины локализации для одномерных и двумерных проводников. Выполнен расчет локализационной длины в проволоках с негауссовским случайным полем. Получено точное выражение для длины локализации электрона в одномерной системе с двухзонным законом дисперсии. Изученно влияние изменений локальных характеристик случайного поля на величину сопротивления одномерного проводника. Показано, что корреляционная функция сопротивлений экспоненциально зависит от длины проводника; она осциллирует при смещении примеси и монотонно зависит от изменений амплитуды случайного потенциала. Дана, геометрическая интерпретация чувствительности сопротивления, демонстрирующая универсальный характер обнаруженных зависимостей. Впервые изучена чувствительность электронных состояний и сопротивления квазикристалла к локальным возмущениям потенциала.
- Впервые исследована резонансная структура электронной прозрачности гетер о структуры, состоящей из нестационарных квантовых ям. В случае одной квантовой ямы прозрачность имеет структуру резонансно-антирезоыаысной пары ( резонанса Фано ). Введена концепция зеркала Фано, когда имеет место полное отражение электрона от ямы. На основе обобщенной схемы Фабри-Перо изучено когерентное взаимодействие резонансов Фано в структуре из двух ям. Вычислена амплитуда прохождения и представлен детальный анализ когерентного взаимодействия резонансов как функции
14
расстояния между ямами и разности фаз переменного поля. Продемонстрировано, что возможен новый механизм динамической локализации электрона в переменном поле, который сопровождается появлением дискретных уровней в континууме.
- Изучены новые когерентные эффекты, возникающие при баллистическом транспорте электронов в квантовых каналах с примесями. Показано, что взаимодействие между асимметричными резонансами ( резонансами Фано ) может приводить к их исчезновению и появлению дискретных уровней в континууме при вполне определенных ( критических ) значениях параметров системы. Впервые изучено туннелирование электронов через дискретные уровни. Как оказалось, структура прозрачности качественно меняется, когда рассеивающиеся электроны имеют энергию, совпадающую с энергией дискретных уровней. При критических параметрах в системе может быть реализован новый тип вырождения, когда одно состояние принадлежит локализованному, а другое - распространяющемуся. Получено точное решение для матрицы рассеяния электрона в квазиодномерном наноканале с двумя притягивающими примесями. Изучены новые когерентные эффекты, обусловленные взаимодействием резонансов Фано в квазиодномерном канале с протяженной примесью. Вычислены критические значения параметров примеси и обсуждается возможность экспериментальной реализации предсказанных эффектов в двумерных каналах.
- Изучена зависимость энергии состояния, локализованного вблизи небольших локальных возмущений границ пленок, от напряженности перпендикулярного к поверхности магнитного поля. Вычислены квантовые поправки к проводимости, обусловленные рассеянием электрона на шероховатых границах. Впервые вычислены квантовые поправки для проводимости пленки с двухзонным релятивистским законом дисперсии носителей, когда имеет место спин-орбитальное взаимодействие электронов с неровностями гра-
15
ниц. Предложена сверхрешетка нового типа, в которой электроны прижимаются к периодически модулированной поверхности параллельным ей магнитным полем. Найден спектр электронов и вычислено поглощение электромагнитной энергии. Изучен эффект поверхностной фокусировки поляризованных электронов и показано, что с помощью такого метода можно получить дополнительную информацию о характеристиках поверхности.
- Изучено протекание тока в смесях металл-диэлектрик на пороге протекания, когда проводящие каналы имеют структуру стохастического фрактала. Показано, что эффективная нелинейная проводимость расходится на. пороге протекания в зависимости от отношения линейных проводимостей компонент, а эффективное поле нелинейности падает. Аналитически и численно получено значение критических индексов, определяющих расходимость эффективных характеристик. Обсуждается возможность создания воспроизводимых нелинейных фрактальных резисторов. Получено общее выражение для амплитуды третьей гармоники с учетом локальной микроструктуры композита. Исследована структура эффективного тензора нелинейной восприимчивости. В рамках лондо-новской электродинамики исследован электромагнитный отклик слоистых случайно-неоднородных сверхпроводников. Для расчета импеданса сформулирована задача Коши. Вычислены статистические характеристики импеданса при различных соотношениях между глубиной проникновения электромагнитного поля и масштабом изменения проводимости. Изучена генерация гармоник в керамических сверхпроводниках. В рамках петлевой модели вычислена излучаемая мощность и исследованы ее статистические характеристики.
- Показано, что в двухкомпонентных средах возможно нарушение линейного режима протекания тока и может происходить переход в нелинейный режим при конечном отношении линейных прово-
16
димостей компонент. Выяснено, что это связано с концентрацией тока и поля в узких областях, в которых формируются ’’горячие” области - нелинейные домены поля. Показано, что в двумерных двухфазных текстурах в магнитном поле возможен качественно новый тип перехода в нелинейную фазу. Изучен аномальный рост эффективного отклика ( высших корреляторов тока ) вблизи критического магнитного поля. Вычислена зависимость критического магнитного поля от углов микровключений. Исследовано протекание4. тока в слабо нелинейных двумерных периодических структурах вблизи перколяциоыного порога. Показано, что нелинейная проводимость ведет себя критическим образом в зависимости от параметров системы. Проведено численное моделирование, позволяющее вычислить скейлинговские функции эффективной линейной и нелинейной проводимостей для периодических решеток как функции концентрации компонент и отношения линейных проводимостей ячеек. Впервые изучены расходимости высших моментов поля в проводящих структурах с коническими особыми областями. Вычислены критические значения параметров, определяющих нелинейные аномалии трехмерной среды. Впервые исследован тепловой механизм стабилизации аномалий. Получено обобщенное выражение для эффективной нелинейной проводимости, которое позволяет учесть влияние теплоотвода от горячих областей. Изучен характер расходимости температуры вследствие выделения джоу-лева тепла вблизи ’’горячих” областей. Показано, что появление тепловой длины приводит к обрезанию аномалий, однако эффективная нелинейная проводимость может значительно превышать нелинейные проводимости компонент.
Защищаемые научные результаты:
1. Масштабные уравнения ( уравнения скейлинга ) для матрицы рассеяния электронов в неупорядоченных системах, позволившие вычи-
17
« лить наблюдаемые характеристики проводников: функцию распределения сопротивлении, длину локализации электронов в проводниках с негауссовским случайным полем и длину локализации в проволоках с двухзонным спектром.
2. При малых локальных изменениях параметров сопротивление одномерных проводников испытывает сильные мезоскопические флуктуации, обусловленные квантовой интерференцией электронных волн. Корреляционные функции сопротивлений содержат информацию о локальных параметрах проводников.
3. В нестационарных гетероструктурах при определенных параметрах системы имеет место явление динамической локализации электронов.
4. Взаимодействие асимметричных резонансов в квазиодномерных каналах может приводить к коллапсу резонансов и качественному изменению прозрачности.
5. Метод расчета электронных состояний в размерно квантованных пленках с шероховатой поверхностью в магнитном поле.
6. Выражение для проводимости полупроводниковой пленки с релятивистским законом дисперсии.
7. Теория сверхрешетки для электронов на магнитных поверхностных уровнях в металлах и полуметаллах.
8. Эффективная нелинейная проводимость двуме])ных сред половинного состава вблизи перехода металл-диэлектрик обладает критическим поведением. Вычислены критические индексы, характеризующие расходимости нелинейной проводимости и корреляционных функций поля и тока.
9. Обнаружены критические аномалии эффективной нелинейной проводимости двумерных и трехмерных регулярных структур. Изучена зависимость эффективных нелинейных характеристик от микрогеометрии и микроструктуры.
Результаты диссертации можно использовать в следующих научно-исследовательских учреждениях: ФИ РАН, ИРЭ РАН, ИОФ РАН,
18
ФТИ РАН, Институте атомной энергии, ИФМ РАН, НЙФТИ и МГУ.
Данная диссертация выполнена на кафедре теоретической физики Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. Ее результаты опубликованы в статьях [27-59] и материалах конференций [60-84]. Основные результаты были также представлены на следующих конференциях и симпозиумах:
XII Всесоюзном совещании по теории полупроводников і Ташкент, 1985 );
Зимней школе-симпозиуме по теории твердого тела ( ’’Кауровка-21”, 1986 );
XII Всесоюзной конференции по высокотемпературной сверхпроводимости ( Киев, 1989 );
Международной научно-технической конференции ’’Актуальные проблемы фундаментальных наук” ( Москва, 1991 );
Международной школе-семинаре “Динамические и стохастические волновые явления” ( Н. Новгород, 1992 );
П ер вой Р о с сийской универ сит е тско- ака демиче ской научно- практи че с кой конференция ( Ижевск, 1993 );
I-ой Российской конференции по физике полупроводников ( Н. Новгород, 1993 );
Международной конференции по информационным технологиям, Ижевский государственный университет ( Ижевск, 1994 );
Международной конференции по электронным, транспортным и оптическим свойствам неоднородных материалов ( ЕТОРІМ4 ) ( Москва-C. Петербург, 1996 );
Physics Computing’96 ( Краков, 1996);
2 - ой Российской конференции по физике полупроводников ( С.-Петербург, 1996 );
Научной конференции ’’Структура и свойства кристаллических и аморфных материалов” ( Н. Новгород, 1996 );
Международной конференции ’’Прогресс в статистической физике”
( Сеул, 1997 );
3— ей Всероссийской конференции по физике полупроводников ( Москва, 1997 );
3 - ей Российской университетско-академической научно-практической конференция ( Ижевск, 1997 );
Международной конференции АРСТР/1СТР ” Последние достижения в теории конденсированных систем” ( Сеул, 1998 );
Съезде Американского физического общества ( Лос-Анжелес, 1997 );
Итоговых научных конференциях ИНГУ.
Результаты работы докладывались на семинарах кафедры теоретической физики ИНГУ, кафедры физики полупроводников МГУ, кафедры квантовой радиофизики ИНГУ, Института физики твердого тела РАН ( Черноголовка ), Института прикладной физики РАН ( Н. Новгород ), Института физики микроструктур РАН ( Н. Новгород ), Университета Провинции Чолла ( Кванджу, Республика Корея ).
После краткой характеристики рассматриваемых в диссертации вопросов, перейдем к последовательному изложению ее содержания.
Содержание по главам
В первой главе основное внимание сосредоточено на трех проблемах: 1) выводе и анализе масштабного уравнения для проводимости * истем с пониженной размерностью; 2) задаче о локализации в двухзонной модели; 3) исследовании чувствительности сопротивления квантовых проволок к вариациям локальных параметров. Дан краткий анализ современного состояния проблемы анд ер ооновской локализации в низкоразмерных системах и намечены конкретные проблемы. Подчеркивается практическое значение теории для низкоразмерных систем.
Раздел 1.1 посвящен изучению масштабного уравнения для 5— матрицы. В п. 1.1.1 методом, развитым в теории ядра, получены точные масштабные уравнения для элементов для 5— матрицы, которые, как и в одномерном случае, составляют содержание задачи Коши. Эти
20
уравнения описывают зависимость элементов матрицы рассеяния от толщины слоя неупорядоченной среды. В п. 1.1.2 уравнения для матрицы применяются для описания масштабной зависимости проводимости пленки. В этом случае по аналогии с одномерным случаем вводятся угловые переменные ( углы на динамической группе системы ), позволяющие параметризовать уравнение для сопротивления. В и. 1.1.3 получено (13 конечномерной аппроксимации ) уравнение Фоккера-План-ка и общее выражение для длины локализации. Показано, что в случае гауссовского случайного поля масштабная зависимость проводимости определяется единственным параметром-длиной локализации. Вп.1.1.4 анализируются динамические уравнения, определяющие масштабную зависимость проводимости. В п. 1.1.5 проведено обсуждение результатов.
В разделе 1.2 более детально исследуется локализация в одномерных проводниках. В начале раздела дан обзор литературы и намечено решение конкретной задачи. В п. 1.2.1 рассмотрен пример рассеяния на поверхности и продемонстрировано, как может возникать негаус-
< овское случайное иоле. Здесь же получены замкнутые уравнения для билинейных форм, одна из которых непосредственно связана с сопротивлением проводника. В случае марковских случайных процессов диффузионного типа вводится расширенное фазовое пространство, которое дополнительно к билинейным формам для волновой функции, включает также случайный процесс. Указанный прием позволяет получить замкнутое уравнение Фоккера-Планка. Для различных моделей случайного потенциала в п. 1.2.3 вычислена длина локализации, а в п. 1.2.4 об-
< уждаюся возможные следствия и обобщения развитого подхода.
Раздел 1.3 посвящен изучению сопротивления одномерной системы •• двухзонным спектром. В начале раздела осуждаются физические ситуации, которые могут быть описаны в рамках двухзонного приближения и причина интереса к данной модели. В п. 1.3.1 получено масштабное уравнение для билинейных форм и вычислены ляпуновские показатели роста сопротивления и дисперсии сопротивления; выведено урав-
нение Фоккера-Планка и получено общее выражение для длины локализации. В п. 1.3.2-1.3.5 анализируются различные предельные случае. В этих пунктах выписаны явные выражения для длины локализации при различных значениях параметров модели и случайных процессов. В п. 1.3.6 суммированы результаты и приведены графики зависимости длины локализации от энергии электрона и параметров модели. Обсуждается предельный переход к однозонной модели.
Раздел 1.4 посвящен изучению мезоскопических эффектов в одномерных проводниках. В и. 1.4.1 получено общее выражение для корреляционной функции сопротивлений. В рамках модели случайных матриц коррелятор сопротивлений вычислен в п. 1.4.2, где показано, что он растет в зависимости от длины проводника. Аналогичный эффект имеет место и в рамках модели Андерсона, что продемонстрировано в п. 1.4.3. В п. 1.4.4 изучается влияние смещения точечной примеси на флуктуации сопротивления канала. В этом случае сопротивление испытывает сильные изменения при смещении примеси на расстояние порядка длины волны электрона с энергией, равной фермиевской. В п.
1.4.5 дана геометрическая интерпретация аномальной чувствительности квантовой проволоки к вариациям локальных параметров.
В разделе 1.5 изучена чувствительность волновой функции и сопротивления квазикристалла к локальным дефектам. Показано, что в этом случае изменения волновой функции и сопротивления степенным образом зависят от длины системы.
Во второй главе диссертации изучается динамическая локализация электронов в гетероструктурах. Дан краткий обзор литературы, посвященной локализации в стационарных и нестационарных структурах. Поставлена проблема локализации в открытых системах и сформулирован общий подход к ее решению.
Раздел 2.1 посвящен формулировке задачи и метода решения. Нестационарное уравнение Шредингера с использованием теоремы Флоке записывается как стационарное матричное уравнение для гармоник, а задача рас:сеяния в нестационарном поле трактуется как многоканаль-
22
ная стационарная проблема. В данном разделе вводятся необходимые определения и обсуждается идея рассмотрения локализации в открытых системах.
В разделе 2.2 для одной ямы изучена структуру резонанса Фано. Показано, что при определенных условиях возможно полное отражение частицы от ямы. Дана интерпретация полного отражения и введена концепция ’’зеркала” Фано. При этом в п. 2.2.1 развита техника анализа полюсов многоканальной матрицы рассеяния, а в и. 2.2.2 детально изучен механизм полного отражения.
В разделе 2.3 рассмотрена гетероструктура, состоящая из двух ям, находящихся в переменном поле и разделенных некоторым промежутком. Так как каждая яма играет роль зеркала Фано, то для описания динамики электрона используется обобщенная схема Фабри-Перо. В п. 2.3.1 обсуждается метод вычисления туннельной амплитуды, а в п. 2.3.2 - метод анализа локализованных состояний. Получено общее выражения для полюсов и нулей матрицы рассеяния.
Раздел 2.4. посвящен изучению взаимодействия резонансов Фано. В п. 2.4.1 обсуждается статический предел. В и. 2.4.2 найдены выражения для полюсов и нулей прозрачности в трехканальном приближении. Приводятся результаты численных расчетов прозрачности в многоканальном приближении.
Раздел 2.5 посвящен изучению динамической локализации. Для многоканальной системы получено динамическое условие локализации и исследовано когерентное взаимодействия резонансов Фано. В этом случае оказывается возможной своеобразная аннигиляция реоонансно-анти-]резонансных пар. Это новое явление мы называем коллапсом резонансов. Следствием коллапса является то, что электроны могут захватываться ямами при определенных ( критических параметрах ) параметрах системы. В данном разделе показало, что возможно два типа решений при одной и той же квазиэнергии: одно состояние принадлежит распространяющемуся, а другое-состоянию континуума.
В разделе 2.6 рассмотрена ситуация, когда энергия туннелирую-
23
щего электрона совпадает с энергией локализованного состояния в системе. Показано, что при этом имеется конечная вероятность прохождения электрона через систему.
В раздел 2.7 изучены когерентные эффекты, которые имеют место зз асимметричной гетероструктуре.
Наконец, в разделе 2.8 обсуждаются возможные экспериментальные следствия динамической локализации.
В третьей главе диссертации изучаются электронные состояния в к в ази од номерных квантовых каналах с примесями. Подчеркивается связь поставленных задач с проблемой примесной эрозии квантовых ступеней проводимости.
В разделе 3.1 обсуждается геометрия канала и выписаны необходимые уравнения для электрона в канале.
В разделе 3.2 изучается рассеяние на уединенной примеси в канале. Введена модель примеси и вычислены матричные элементы потенциала. В п. 3.2.1 показано, что матрица рассеяния уединеной примеси вблизи нуля и полюса приводится к стандартной форме резонанса Фано.
В разделе 3.3 изучено когерентное взаимодействие резонансов Фано, вычислены положения полюса и нуля амплитуды рассеяния.
В разделе 3.4 исследованы условия возникновения дискретных уров-ненй в континууме. В двухканальном приближении получено явное выражение для нормированной волновой функции электрона с энергией в континууме.
В разделе 3.5 исследовано туннелирование электрона через дискретные уровни.
Раздел 3.6 посвящен изучению многоканального приближения и анализу случая, когда энергия электрона принадлежит высшим зонам размерного квантования. Показано, что в квазиодномерыой ситуации выводы относительно, локализации остаются в силе, а в случае рассеяния электронов с энергией, лежащей вблизи высших зон, локализованные состояния приобретают конечную ширину.
В разделе 3.7 приведены результаты точного решения в случае
24
двух точечных примесей в канале. Получено выражение для матрицы рассеяния, ее нулей и полюсов. Выводы, следующие из анализа точного выражения согласуются с приближенными результатами. Полученное выражение для амплитуды рассеяния позволяет продемонстрировать нетривиальное взаимодействие резонансов Брейта-Вигнера и резонансов Фано.
В разделе 3.8 изучены новые когерентные эффекты, обусловленные взаимодействием резонансов Фано в квазиодномерном канале с протяженной примесью. В п. 3.8.1 получено точное выражение для матрицы рассеяния электрона в волноводе, содержащем примесь конечного размера. В п. 3.8.2 полюса и нули амплитуды исследованы в ряде предельных случаев. В п. 3.8.3 впервые изучена ситуация, когда примесь создает большое число уровней. При этом возможны новые когерентные эффекты: взаимодействие уровней, погруженных в континуум и коллапс резонансов. Отмечается, что физика, связанная с резонансами Фано, принципиально отличается от обычных резонансов Брейта-Вигнера. Показано, что резонансы Фано могут исчезать при вполне определенных ( критических ) параметрах системы. При этом коллапс резонансов сопровождается появлением дискретных уровней в континууме, для которых также найдена волновая функция и показано, что она может быть нормирована. В п. 3.8. обсуждаются условия возникновения дискретных уровней в квантовых каналах и следствия для проблемы примесной эрозии.
В четвертую главу включен материал, относящийся к исследованию влияния грании на электронные состояния в размерно квантованной пленке и сверхрешетке. В этой же главе обсуждается обобщение метода поперечной фокусировки, позволяющее получить дополнительную информацию о свойствах поверхности.
Раздел 4.1 посвящен выводу эффективного гамильтониана, описывающего взаимодействие электрона с неровной поверхностью полупроводника. Для дальнейших приложений рассмотрено обобщение на случай присутствия внешнего магнитного поля.
В разделе 4.2 исследована зависимость энергии состояния, локализованного вблизи небольших локальных возмущений границ пленок, от напряженности перпендикулярного к поверхности магнитного поля.
Раздел 4.3 посвящен исследованию проводимости и эффектов локализации, обусловленных рассеянием электрона на шероховатых границах. Закон дисперсии электронов в п. 4.3.1 предполагается квадратичным, а в п. 4.3.2 рассмотрена проводимость пленки с двухзонным релятивистским законом дисперсии носителей. В последнем случае имеется « пии-орбитальпое взаимодействие электронов с неровностями границ. Для данной системы вычислены квантовые поправки к проводимости.
В разделе 4.4 вычислено поглощение электромагнитной энергии и найден спектр электрона в свсрхрешетке нового типа, в которой электроны прижимаются к периодически модулированной поверхности параллельным ей магнитным полем.
В разделе 4.5 изучен эффект поверхностной фокусировки поляризованных электронов и показано, что с помощью такого метода можно измерить коэффициент шероховатости поверхности с перворотом спина,
В пятой главе диссертации изучаются нелинейные свойства сильно неоднородных проводящих сред. Основное внимание уделяется двухкомпонентным системам половинного состава ( средам Дыхне ). В таких средах эффективная нелинейная проводимость зависит от отношения линейных проводимостей компонент. Для систем па пороге протекания ток протекает по проводящему кластеру, который представляет гобой фрактальный объект. Фрактальные структуры обладают ано-мальнами свойствами, поскольку они характеризуются широким спектром энергетических, временных и пространственных масштабов. Показано, что нелинейные эффекты могут играть важную роль в таких гредах.
В разделе 5.1 обсуждаются геометрические и электрические характеристики линейных неоднородных сред.
В разделе 5.2 рассматривается неупорядоченная среда, состоящая из металла и диэлектрика, в критической области, т.е. вблизи перехода
26
метал л-диэлектрик. В п. 5.2.1 предлагается модель ’’теплого” фрактала и изучаются некоторые общие свойства функций нелинейного отклика. Для двумерной системы половинного состава получен ряд точных соотношений и доказаны важные неравенства, которые определяют критические свойства слабо нелинейной двумерной среды. В п. 5.2.2 обсуждаются результаты численного исследования характеристик нелинейной двумерной среды. Вычислены критические индексы, описывающие поведение эффективной нелинейной проводимости и корреляторов тока и
ПОЛЯ.
В раздело 5.3 обсуждается модель нелинейного фрактального резистора. Вычислена эффективная нелинейная проводимость резистора, критическое поле нелинейности и соответствующие критические индексы.
Раздел 5.4 посвящен изучению гармоник, возбуждаемых в микроне-однородных средах. В п. 5.4.1 получено общее выражение для амплитуда третьей гармоноки, которое анализируется в п. 5.4.2. Показано, что амплитуда гармоники зависит от микр о симметрии системы. В п. 5.4.3 получено общее выражение для амплитуды третьей гармоники в магнитном поле. Обсуждение результатов выполнено в п. 5.4.3, где отмечена возможность получения дополнительной информации о композитах путем измерения третьей гармоники.
В разделе 5.5 изучается импеданс сильно неоднородных сверхпроводников в рамках лондоновской электродинамики. Для расчета импеданса сформулирована задача Коши. Вычислены статистические характеристики импеданса при различных соотношениях между глубиной проникновения электромагнитного поля и масштабом изменения проводимости.
В разделе 5.6 исследуется генерация гармоник в керамических сверхпроводниках. В рамках петлевой модели вычислена излучаемая мощность и исследованы ее статистические характеристики. Показано, что излучение может быть когерентным. Выполнено численное моделирование излучения статистическим ансамблем петель. Приведены оценки
27
излучаемой мощности.
Шестая глава диссертации посвящена исследованию нелинейных аномалий в регулярных структурах. Основное внимание сосредоточено на двумерных периодических структурах половинного состава. Указана причина интереса к таким сисмемам. Приводится краткий обзор основополагающих работ в этом направлении.
В разделе 6.1 изучено нарушение линейного режима протекания тока в слабо нелинейных двумерных решетках типа ’’шахматная доска”. В п. 6.1.1 обсуждается геометрия системы и формулируются основные уравнения слабо нелинейной среды. Для анизотропной среды получено обобщенное соотношение Ахарони-Строуда-Хью, которое позволяет исследовать особенности эффективной нелинейной проводимости в слабо нелинейном режиме. В п. 6.1.2 с использованием точного решения для решетки типа ’’шахматная доска” продемонстрирована физическая природа неустойчивости линейного режима протекания тока, а в п. 6.1.3 выполнен детальный расчет эффективной нелинейной проводимости и проанализирован характер ее особенностей. В п. 6.1.4 и
6.1.5 вычисляются критические параметры косоугольных решеток. Полученные результаты суммированы и анализируются в п. 6.1.6.
Раздел 6.2 посвящен изучению нелинейных аномалий регулярных структур в магнитном поле. Показано, что расходимости высших корреляторов электрических полей и токов зависят от внешнего магнитного поля при заданной геометрической структуре неоднородностей. В п. 6.2.1 исследовано влияние магнитного поля на нелинейные эффекты в периодических решетках. Вычислена зависимость критических параметров от магнитного поля. В п. 6.2.2 изучаются аномалии в текстурах. В этом случае из всей системы удается выделить простейшие геометрические объекты и выяснить их роль в формировании нелинейного отклика. Показано, что в гетерогенных средах асимптотическое поведение электрического поля и тока как функций расстояний от углов зависят от внешнего магнитного поля. Для структур общего вида найдена зависимость критического значения отношения проводимостей от
28
углов и внешнего магнитного поля. В и. 6.2.3 обсуждается возможность экспериментального обнаружения предсказанных эффектов.
В разделе 6.3 исследовано нелинейное протекание вблизи перехода металл-диэлектрик. В п. 6.3.1 выполнен качественный анализ поведения нелинейной проводимости. Выяснено, какие области дают основной вклад в эффективную проводимость и найдены соответствующие критические индексы. Полученные результаты подтверждаются точным расчетом в и. 6.3.2, а в разделе и. 6.3.3 проведено краткое обсуждение результатов.
В разделе 6.4 обсуждаются результаты численного исследования эффективных проводимостей как функций концентрации компонент и отношения линейных проводимостей. Чтобы получить полную картину, уравнения поля решались численно на решетке. Наличие решетки приводит к обрезанию аномалий. Показано, что несмотря на параметр обрезания, эффективная нелинейная проводимость в критической области может заметно превышать значения проводимостей компонент.
Раздел 6.5 посвящен анализу аномалий в трехмерных средах. В качестве точнорешаемой модели рассматривается среда с коническими микросужениями. В п. 6.5.1 вычислены высшие моменты ноля, а в н. 6.5.2 анализируются полученные значения критических параметров.
В разделе 6.6 обсуждается проблема тепловой стабилизации аномалий в неоднородных средах. Появление аномалий связывается с разогревом электронного газа в локальных областях, в которых ток прокачивается через узкие иеремычки, образованные плохо проводящим материалом. Отмечается, что локальное распределение температуры и условия теплообмена могут существенно повлиять на нелинейный от-зелик среды. В п. 6.6.1 обсуждается модель структуры и модель теплоотвода вблизи особых областей. Получено обобщенное выражение для нелинейного отклика, позволяющее учесть влияние теплоотвода на аномалии. В п. 6.6.2 изучена стабилизация аномалий в тонкой пленке. Показано, что появление тепловой длины приводит к обрезанию аномалий, однако эффективная проводимость может заметно превышать прово-
29
димость компонент пленки. В п. 6.6.3 обсуждается влияние неоднородностей пленки на аномалии. В п. 6.6.4 анализируется стабилизация аномалий в среде с коническими особенностями. Полученные результаты суммируются в п. 6.6.5, где также получены оценки эффективной нелинейной проводимости при различных соотношения между тепловой длиной и размером ячейки.
В Заключении приводится краткая сводка основных результатов диссертационной работы.
1. ПРОВОДИМОСТЬ НИЗКОРАЗМЕРНЫХ
СТРУКТУР
Изучение влияния беспорядка на электронные свойства систем с пониженной размерностью привлекает внимание с конца 50-х годов. Теоретические исследования локализации в неупорядоченных системах были инициированы известными работами И.М.Лифшица [85, 86], Ф. Андерсона [87] и II. Мотта [88, 4]. Развитие данного направления привело впоследствии к созданию масштабной теории локализации [5] ( скейлинга ) и теории мезоскопической явлений [6].
Несмотря на прорыв, связанный с возникновением теории скейлинга, как теоретические так и экспериментальные исследования андерсонов-« кой локализации продолжают активно развиваться. В частности, считается необходимым освободиться от тех неизбежных модельных предположений и приближений, которые делаются при формулировке скейлинга. Важно выяснить в какой мере теория имеет универсальное значение. Было бы желательным назичиться вычислять конкретные характеристики неупорядоченных систем: функции распределения наблюдаемых величин, локализационную длину ( или набор длин ) и т.д.
В данной главе будут изложены результаты, посвященные трем проблемам: 1) изучению масштабного поведения проводимости систем с пониженной размерностью [36, 31, 33, 65]; 2) исследованию локализации в двухзонной модели [30, 60]; 3) исследованию чувствительности <-©противления квантовых проволок к вариациям локальных параметров [40, 35, 43, 63, 64, 62, 72, 73].
V
1.1. Масштабное поведение проводимости неупорядоченных проволок
Рапсе было предложено несколько подходов для описания локализации электронов в неупорядоченных проводниках: полевые теории локализации [89, 90], метод случайных ансамблей [91, 92] , приближенные ренормгрупповые уравнения [93, 94] (см. обзор [5]). При формулировке масштабной теории локализации делаются различные предположения относительно масштаба расщепления корреляций. Дискуссионным является вопрос о числе эффективных параметров скейлинга и предельном законе распределения проводимости (сопротивления) ма-кро скопического о бразца.
Хорошо поняты масштабные свойства проводимости одномерного неупорядоченного проводника [95-109]. В одномерном случае удается « формулировать задачу Коши для параметров, определяющих зависимость проводимости от длины проводника. Решение задачи Коши для уравнений со случайными коэффициентами можно выполнить с помощью метода, основанного на уравнении Фоккера-Планка.
Важным представляется обобщение техники, развитой для одномерных систем, на случай двумерного и трехмерного проводника. Как известно, проводимость б? проводника конечных размеров ( кондактанс ) может быть выражена через элементы 5 - матрицы
которая связывает амплитуды падающих и рассеянных волн. В случае большого числа открытых каналов С определяется формулой Ландау-
■фа[110, 149, 112]
О = “5, 9 = Тг(1+і) .
(1.1.2)
32
Масштабные свойства д могут быть описаны, если удается сформулировать масштабное уравнение для матрицы (.
В данном разделе методом, развитым Вигнером и Айзенбудом в теории ядра ( метод изложен в [113] ), получены точные масштабные уравнения для элементов 5 - матрицы, которые, как и в одномерном случае, • оставляют содержание задачи Коши. В качестве примера использования полученных уравнений исследована локализация в двумерной системе. В случае слабого рассеяния использована конечномерная аппроксимация - приближение конечного числа каналов. Получено уравнение Фоккера-Планка для параметров, определяющих масштабное поведение проводимости. В уравнение Фоккера-Планка входит единственный параметр скейлинга - длина локализации. Получено точное выражение для длины локализации, справедливое при любом числе открытых каналов. Исследовано масштабное поведение статистических моментов проводимости и сопротивления.
Рассмотрим проводник, занимающий по оси х интервал (О, Ь) и неограниченный по остальным измерениям ( по ОСИ 2 - для пленки и осям уу 2 - в случае трехмерного слоя). Связь между амплитудами падающих л отраженных волн определяется Б - матрицей (1.1.1). Для изучения масштабного поведения проводимости достаточно написать уравнения для г и £. Матрицы г' и %' могут быть выражены через г и t из условий унитарности и симметрии относительно обращения времени ( см. ниже ).
Для определенности рассмотрим трехмерный слой. Внутри слоя волновая функция удовлетворяет уравнению
1.1.1. Масштабное уравнение для 5 - матрицы
(1.1.3)
где
к\ = (2тЕ/П2 - д2)1/\
33
ф„(х) = / (1р ехр(~гдр)ф(х,р), р = (у,г),
УчАх) = ^ ехР Нр(з - 4)]у(х>р)>
У(х,р) - потенциал примесей. Общее решение (1.1.3) запишем в виде
“ J ^(} Сд'1рЯуд'(х)
пли в матричных обозначениях
л
Фч = (Фс)я-
Вне слоя имеем
Фк = I -^{Аяк ехр[-1кч(х - Ь)} + ВА ехр[гк„(х - Щ ехр(гдо),
х > Ь,
(1.1.4)
(1.1.5)
ФЬ = { -фі Д)£ ехр(~ік,х + ідр),
х < 0.
Вводя оператор
- (2тЕ д \1/2 д <92 (92
V Л2 7 ’ <9г/2 + а*2’
запишем граничные условие при х — Ь в виде
/И'2(/+ г) .4й = ^(£)с,
_і^/2(/_ г) л« = ^1с, где /- единичная матрица. При х = 0 достаточно написать
к~1/ЧА* = ф(0)с . (1.1.6)
Если ввести матрицу
(1.1.7)
то (1.1.5) и (1.1.6), после исключения Ал, приобретают вид
- ік^2{1 - г) = Як~1^2{14- г) , (1.1.8)
34