Оценка параметров стационарных гауссовских процессов при воздействии случайных возмущений с неизвестными параметрами

Содержание.
Введение
Глава 1. Оценка параметров стационарных широкополосных
гауссовских процессов.
1.1 Квазиправдоподобная оценка дисперсии при воздействии случайных гауссовских возмущений с неизвестной интенсивностью.
1.2 Совместная оценка дисперсии и ширины полосы частот гауссовского процесса при воздействии случайных гауссовских возмущений с неизвестной интенсивностью.
1.3 Оценка дисперсии гауссовского процесса при воздействии случайных гауссовских искажений с неизвестными интенсивностью и полосой частот.
1.4 Совместная оценка дисперсии и полосы частот гауссовского процесса при воздействии случай! гых гауссовских возмущений с неизвестными интенсивностью и полосой частот.
1.5 Оценка полосы частот случайного ~ гауссовского широкополосного сигнала.
1.6 Выводы
Глава 2. Оценка параметров стационарных узкополосных
процессов при воздействии случайных гауссовских
искажений с неизвестной интенсивностью.
2.1 Оценка дисперсии узкополосного процесса.
2.2 Оценка дисперсии случайного радиосигнала при воздействии комплекса помех с неизвестными параметрами.
2.3 Квазиправдоподобная оценка дисперсии узкополосного 1'ауссовского процесса с неизвестными частотными параметрами.
2.4 Совместная оценка дисперсии и центральной частоты узкополосного гауссовского процесса.
2.5 Квазиправдоподобная оценка дисперсии и центральной частоты узкополосного гауссовского процесса с неизвестной полосой частот.
3
2.6Совместная оценка максимального правдоподобия дисперсии и частотных параметров случайного радиосигнала.
2.7 Выводы
111
123
Глава 3. Статистическое моделирование алгоритмов оценки
параметров стациопарных гауссовских процессов.
3.1 Статистическое моделирование алгоритмов оценки дисперсии широкополосного случайного сигнала при наличии помехи с неизвестной интенсивностью. 124
3.2 Статистическое моделирование алгоритмов оценки
параметров широкополосных гауссовских процессов. 127
3.3 Статистическое моделирование алгоритмов оценки
параметров узкополосных гауссовских процессов. 134
3.4 Выводы 137
Заключение. 139
Литература.
142
4
Введение.
Статистический синтез радиофизических систем, подверженных случайным воздействиям, давно является объектом пристального внимания ученых. В виду необходимости создания современных эффективных радиофизических систем обработки информации, эта задача приобретает все большую актуальность. Кроме того, возникает необходимость развития методов теоретического анализа эффективности радиофизических информационных систем ввиду их высокой аппаратурной сложности и удорожания практических испытаний.
Поскольку при использовании детерминированных сигналов нет альтернативы (результат наблюдения при неоднократном повторении в неизменных условиях будет один и тот же), для передачи информации они непригодны. Для этой цели могут быть использованы только сигналы, относительно которых априори известно лишь множество возможных исходов многократных наблюдений при неизменных условиях, а результаты конкретного наблюдения предсказать достоверно невозможно. Из большого числа классов таких сигналов, представляемых семействами функций времени, рассмотрим стохастические (случайные) сигналы- широкий класс сигналов, применяемых для передачи и обработки информации. Для случайного сигнала результат конкретного наблюдения предсказать достоверно невозможно. Однако, при возможном существенном различии результатов отдельных наблюдений, статистические характеристики случайного сигнала в достаточно больших сериях наблюдений оказываются устойчивыми. Случайный характер сигналов может быть обусловлен случайными флуктуациями показателями преломления турбулентной атмосферы [1,9,19], наличием множества “блестящих точек” у отражающей сигнал поверхности [8], модулирующими помехами [22,28] и другими факторами [29,39 и др.]. Кроме того, полезный сигнал может быть случайным но природе своего происхождения. Например в пассивной локации [6,47], а так же при использовании шумоподобных сигналов [38].
При решении задач синтеза и анализа радиофизических систем обработки информации одной из наиболее распространенных и широко используемых моделей случайных процессов является гауссовский (нормальный) случайный процесс [3,44,48]. Адекватность модели гауссовского случайного процесса многим реальным помехам и случайным сигналам объясняется во многих случаях действием центральной предельной теоремы. Действительно, большинство встречающихся в реальных условиях радиофизических случайных процессов являются суммой большого количества элементарных малых воздействий, что обусловлено различными случайными факторами, такими как тепловое движение электронов или флуктуации в канале распространения сигнала. При этом важно лишь, чтобы влияние отдельных слагаемых с негауссовским распределением на сумму было равномерно малым.
Для осуществления оптимального статистического синтеза необходимы существенные априорные сведения о законах распределения, значениях псинформационных параметров обрабатываемого сигнала и шума. При практической реализации алгоритмов обработки сигналов в радиофизических системах случай полной априорной определенности о параметрах сигнала и помехи встречается сравнительно редко. Поэтом)' при анализе сигналов и шумов необходимо учитывать
5
имеющую место априорную неопределенность относительно их статистических характеристик. Априорная неопределенность часто заключается в том, чго распределения исследуемых процессов известны не полностью, а с точностью до конечного числа некоторых параметров (параметрическая неопределенность). Такими параметрами могут быть, например, неизвестные амплитуды или мощности сигналов, среднее значение, ширина и центральная частота спектра мощности гауссовского случайного процесса [6,60,62,66].
В настоящее время в литературе достаточно подробно отражены современные методы спектрального анализа и оценивания частотных параметров сигналов, имеющих в своем составе гармонические составляющие [17,31,51 и др]. При этом наибольшее распространение получили методы, основанные на оценке параметров авторегрессионной модели случайных процессов (алгоритмы Юла- Уолкера, Берга и др.) [17], методы аппроксимации наблюдаемых данных суммой затухающих или незатухающих экспонент (метод Прони), а также методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений или сингулярных чисел автокорреляционной матрицы или магрицы данных [31] (алгоритм гармонического разложения Писаренко, методы “MUSIC” и “EV”). Однако, для сигналов с полосовым спектром и для сигналов, не имеющих в своем составе ярко выраженных іармонических составляющих, данные методы часто не обеспечивают удовлетворительной точности оценивания.
Поэтому при статистическом синтезе оценок частотных параметров и средней мощности широкополосных или полосовых узкополосных сигналов часто используются оптимальные методы оценивания, предполагающие априорное знание формы спектра мощности с точностью до оцениваемых параметров. Так, в настоящее время в литературе получены максимально- правдоподобные алгоритмы оценки центральной частоты [60,67,69] и полосы частот [66,70] случайного сигнала с прямоугольной формой спектра мощности в том числе и для случая, когда интенсивность полезного сигнала априори неизвестна. В работе [68] выполнены синтез и анализ совместной оценки центральной частоты и полосы частот разрывного случайного импульса с прямоугольной формой спектра мощности и с неизвестными длительностью и временным положением. В случае, если форма спектра мощности сигнала отлична от прямоугольной, в [62,65] получены сгруктуры квазиоптимальных алгоритмов оценки дисперсии и полосы частот случайного гауссовского процесса.
Однако, в перечисленных выше работах, за исключением [62], при синтезе и анализе оценок частотных параметров и интенсивности сигнала, предполагалось, что полезный сигнала наблюдается на фоне белого шума с априори известным значением величины спектра мощности. При практической реализации алгоритмов обработки случайных процессов в радиофизических системах данное предположение может не выполняться. Действительно, любая радиофизическая система способна обрабатывать сигнал лишь в ограниченной полосе частот, что приводит к тому, что полезный сигнал наблюдается на фоне помех с конечным значением полосы частот. Отметим также, что при цифровой обработке сигналов полоса частот внешней помехи также ограничена частотой дискретизации. Наличие взаимных и заградительных помех |5,36] приводит к тому, что сигнал искажается случайными возмущениями не только с неизвестной интенсивностью, но и с неизвестной областью частотной локализации. Причем полоса частот помехи может оказаться как больше, так и меньше полосы частот полезного
6
сигнала. Для узкополосных сигналов возможно также как полное, так и частичное перекрытие спектров мощности сигнала и помехи. В связи с этим возникает проблема оптимального синтеза и анализа радиофизических систем, работающих при воздсйсгвии случайных гауссовских возмущений с неизвестными параметрами.
При синтезе оптимальных алгоритмов обработки случайных процессов широко используется метод максимального правдоподобия [20,23,24,32,43,73]. Такие алгоритмы обладают рядом достоинств: инвариантность к виду априорного распределения неизвестных параметров процессов, способу задания функций потерь. Кроме того, эти алгоритмы, как правило, оказываются более простыми для аппаратурной реализации, чем байесовские. Эти аспекты определяют большой интерес к методу максимального правдоподобия при разработке алгоритмов синтеза и анализа случайных процессов.
При синтезе максимально правдоподобных алгоритмов оценки нескольких параметров случайного сигнала, а также совместной оценки параметров полезного сигнала и внешних помех приходится усложнять аппаратурную реализацию устройств оценки, т.к. необходимо искать максимум логарифма функционала отношения правдоподобия не по одной, а по нескольким переменным. Это приводит к усложнению и увеличению стоимости систем обработки информации. Поэтому использование оптимальных алгоритмов обработки случайных процессов оправдано в том случае, когда оптимизация обеспечивает заметный выигрыш в эффективности обработки. Иначе возникает необходимость создания и исследования эффективности более простых устройств по сравнению с оптимальными. Например услройства обработки, которые синтезированы для параметров или формы спектра мощности в общем случае отличных от истинных. Такие устройства будем называть квазиоптимальными, или квазиправдоподобными, если в качестве оптимального алгоритма используется метод максимального правдоподобия. Так, использование в качестве модели физически нереализуемого сигнала с прямоугольной формой спектра мощности позволяет существенно упростить математические расчеты и синтезировать относительно несложные алгоритмы оценки параметров случайного сигнала. Причем полученные квазиправдоподобные оценки для сигналов с непрямоугольным спектром мощности при определенных значениях параметров оказываются более эффективными по сравнению с известными раннее из литературы эмпирическими алгоритмами [62].
Исследование эффективности квазиправдоподобных алгоритмов позволяет определить проигрыш в качестве обработки информации таких алгоритмов но сравнению с оптимальными. По результатам анализа можно сделать выбор между различными вариантами построения измерительного устройства, учитывая имеющуюся априорную информацию и требования к точности измерений.
Теоретический анализ эффективности оптимальных алгоритмов, получение аналитических выражений для их характеристик представляет собой достаточно сложную задачу. Для квазиоптимальных алгоритмов эта задача может сшс более усложнится. При этом роль анализа существенно увеличивается т.к. только по его результатам можно сделать выводы о работоспособности разработанного алгоритма, и определить границы возможных значений параметров, при которых целесообразно применение квазиправдоподобного устройства оценки. Поэтому, наряду с теоретическим анализом алгоритмов оценки необходимо получать экспериментальные
7
характеристики оценок и определять границы применимости найденных теоретических выражений.
Решению некоторых из перечисленных проблем посвящена данная диссертационная работа.
Целью диссертации являются:
• синтез максимально правдоподобных и квазиправдоподобных алгоритмов оценки параметров стационарных гауссовских широкополосных и узкополосных случайных процессов при наличии помехи с неизвестными параметрами.
• определение характеристик и исследование эффективности синтезированных алгоритмов оценки параметров стационарных гауссовских случайных процессов;
• разработка методов математического моделирования алгоритмов оценки;
• экспериментальное определение работоспособности синтезированных алгоритмов и границ применимости найденных приближенных или асимптотических формул для характеристик алгоритмов методами статического моделирования.
При решении задач синтеза использовался метод максимального правдоподобия, анализа- методы малого параметра [24] и локально- марковской аппроксимации [72], применялся аппарат теории вероятности и математической статистики, статистическое моделирование разработанных алгоритмов проводилось в частотной и временной областях.
Результаты решения сформулированных задач изложены в трех главах.
В первой главе выполнены синтез и анализ алгоритмов оценки дисперсии и полосы частот стационарного гауссовского широкополосного случайного сигнала при наличии внешней помехи с неизвестными параметрами.
Для гауссовского процесса с неизвестными дисперсией, полосой частот и математическим ожиданием рассмотрены квазиправдоподобные алгоритмы оценки дисперсии при наличии широкополосной помехи с неизвестной интенсивностью.
Проведены синтез и анализ совместной оценки максимального правдоподобия дисперсии и полосы частот случайною сигнала с прямоугольной формой спектра мощности при наличии помехи с неизвестной интенсивностью.
Синтезированы оценки дисперсии и совместные квазиправдоподобные и максимально правдоподобные оценки дисперсии и полосы частот случайною гауссовского сигнала при наличии помехи с неизвестными интенсивностью и полосой частот. Найдены асимптотические характеристики синтезированных алгоритмов.
Для гауссовского процесса с произвольной формой спектра мощности, наблюдаемого на фоне белого шума, выполнен синтез и анализ квазиправдоподобной и максимально правдоподобной оценки полосы частот.
На основе анализа теоретических и экспериментальных характеристик алгоритмов оценки параметров широкополосных гауссовских процессов сделаны выводы о целесообразности применимости синтезированных алгоритмов в зависимости от имеющейся априорной информации о параметрах полезного сигнала и помех, а также в зависимости от требований к точности, предъявляемых к измерителям.
Во второй главе выполнены синтез и анализ алгоритмов оценки дисперсии, полосы частот и центральной частоты стационарного гауссовского случайного
радиосигнала при наличии случайных гауссовских искажений с неизвестной интенсивностью.
Найдена структура и получены характеристики квази правдоподобных и максимально правдоподобных алгоритмов опенки дисперсии случайного радиосигнала при натичии внешней помехи и белого шума с неизвестными интенсивностями.
Синтезированы алгоритмы оценки дисперсии случайного гауссовского радиосигнала при воздействии внешней помехи и мешающего сигнала для случаев полного и частичного перекрытия спектров мощности полезного и мешающего сигналов. Найдены характеристики синтезированных алгоритмов.
Для гауссовского узкополосного процесса с произвольной формой спектра мощности и с неизвестными частотными параметрами получена и проанализирована квазиправдоподобная оценка дисперсии.
Выполнен синтез алгоритма совместной оценки дисперсии и центральной частоты случайного гауссовского радиосигнала для случаев, когда полоса частот анализируемого сигнала априори известна или неизвестна. Методом локальномарковской аппроксимации получены асимптотические характеристики совместных алгоритмов.
Найдена структура совместною алгоритма оценивания дисперсии, центральной частоты и полосы частот стационарного гауссовского узкополосного сигнала при наличии внешней помехи с неизвестной интенсивностью. Определены асимптотические характеристики алгоритмов оценки частотных параметров при различных видах априорной информации об интенсивностях полезного сигнала и помехи.
Сформулированы выводы о целесообразности применимости рассмотренных алгоритмов оценки параметров узкополосных гауссовских процессов в зависимости от имеющейся априорной информации о параметрах сигнала и помех, а также в зависимости от требований к точности, предъявляемых к измерителям.
В третьей главе рассмотрены методы статистического моделирования алгоритмов оценки параметров гауссовских процессов. Определены границы применимости полученных асимптотических выражений для характеристик алгоритмов в случае оптимального и квазиоптимального приема. Основные результаты диссертации проверены методом статистического моделирования на ЭВМ.
В заключении подводятся итоги проведенных исследовании, сформулированы выводы по работе в целом.
Результаты диссертационной работы докладывались на 4 Международных и 1 Всероссийской конференциях, опубликованы в работах [89-97], внедрены в учебный процесс Воронежского Государственного Университета.
9
Глава 1. ^
Оценка параметров стационарных широкополосных процессов
1.1 Квазиправдоподобная оценка дисперсии при воздействии случайных гауссовских возмущений с неизвестной интенсивностью.
Задача оценки параметров случайных сигналов встречается достаточно часто: в активной и пассивной радиолокации, в гидролокации, радиоастрономии, системах связи с шумовой несущей и др. При этом в качестве математической модели как информационных (полезных) сигналов, гак и мешающих сигналов - помех и шумов широко используется модель случайного процесса л(/) ,/еТ1 [8,55].
В данной работе в качестве модели информационного случайного сигнала принимается модель стационарного гауссовского случайного процесса. Для такого сигнала все вероятностные характеристики инвариантны относительно сдвига интервала 7’, поэтому без потери общности, начало интервала наблюдения Т можно совместить с началом отсчета времени, полагая интервал наблюдения г е Т = [0;Г] •
Важнейшей характеристикой стационарного гауссовского сигнала является спектральная плотность [55]. При качественном рассмотрении формы различных спектральных плотностей в(со) целесообразно выделить два широко распространенных класса сигналов- низкочастотные (широкополосные) и высокочастотные (узкополосные) сигналы.
С этой целью обозначим = 5ир6’(со)- величина спектральной плотности и
сс
О0 = ^(юДОсфирСф)]-* - эквивалентная полоса частот случайного сигнала. Сигнал
называется широкополосным (низкочастотным) если основная масса его спектральной плотности сосредоточена в окрестности начала оси частот, так что (7(со) «(10 при
|со| > О0. Тогда спектральную плотность широкополосного процесса удобно представить в виде [71] ОД(о) = (10£(соИ):()) или
С» = 2тг/)^(со/00)/П0, (1.1.1)
где О0- дисперсия стационарною гауссовского случайного процесса. Функция g(x) описывает форму спектральной плотности и обладает свойствами
«о
g(x) > 0, g(x) = g(-x) ,Бир £(х) = 1, |£(*)<& = 1 .
-00
Таким образом, полное описание широкополосного гауссовского случайного сигнала задано, если известны : 1. Функция g(x), определяющая форму спектральной плотности; 2. Величина дисперсии 7)0 или параметр *70, определяющий величину спектральной плотности; 3. Эквивалентная полоса частот <30; 4. Математическое ожидание (МО) случайного сигнала а0.
Аналогично можно определить класс узкополосных (высокочастотных) гауссовских стационарных случайных сигналов. У этих сигналов основная масса спектральной плотности сосредоточена в некоторой полосе в окрестности центральной
10
частоты, много большей полосы частот сигнала [55]. Полагая, что £(«) - спектральная плотность узкополосного сигнала, обозначим с10 = 2$ир£(<о),
со
£20 = |(/(со)*/сфирС(а))]-1 и у0- центральная частота узкополосного сигнала. В о
соответствии с определением У0 >>О0 и <?(со) «</0 при |о)±У0| >Ю0. В диссертации
рассматриваются узкополосные сигналы, спектральные плотности которых симметричны относительно центральной частоты. Тогда спектральную плотность узкополосного случайного сигнала можно представить в виде
а, (со) = (йГ0 / 2) { ^[(у0 - со) / О0 ] + ^[(у0 + со) / О0 ]}, (1.1.2)
или
С,((0) = (11О0/Г!0){8[(у0-(1))/О0]+я[(у0+а))/О0]}, (1.1.3)
где Д,- дисперсия узкополосного сигнала. Функция g(x) обладает теми же
свойствами, что и для широкополосного случайного сигнала.
Таким образом, полное описание узкополосного гауссовского стационарного случайного процесса задано, если известны: 1. Функция £(дг), определяющая форму спектральной плотности; 2. Величина дисперсии О0 или параметр </0, определяющий величину спектральной плотности; 3. Эквивалентная полоса частот ; 4. Центральная частота у0.
Определив модели сигналов, рассмотрим некоторые характеристики помех и их модели. В различных радиофизических системах приходится сталкиваться * с различными видами помех. Однако во всех случаях является общим и характерным наличие нормального флуктуационного шума, обусловленного естественными причинами, которые не могут быть устранены (тепловые и другие шумы окружающего пространства). Шумы окружающего пространства принимаются вместе с полезным сигналом. В дальнейшем такой внешний шум будем считать белым. Таким образом, на вход приемника поступает аддитивная смесь х(/) = $(/) + ?(/), где ^(/) - гауссовский белый шум (ГБШ) с односторонней спектральной плотностью у0.
Однако, любая радиофизическая система способна обрабатывать сигналы лишь в ограниченной полосе частот. Это обстоятельство можно формально учесть, предполагая, что аддитивная смесь полезного сигнала и внешней помехи до обработки проходит через фильтр (преселектор) с прямоугольной амплитудно-частотной характеристикой в полосе частот а>т. Для высокочастотных систем введем также
центральную частоту со0, на которую настроена данная радиофизическая система. С учетом вышеуказанных предположений запишем спектральную плотность широкополосной внешней помехи %(1) в виде
= (Уо /2)/(ю/в>*)» (1.1.4)
а узкополосной внешней помехи в виде
/ \ со0 +С0
ч ©*
, /(*)=
ііх < 1 / 2,
(1.1.5)
ОІ^ <1/2.
Л 1
Кроме внешпих шумов заметное влияние могут оказывать собственные шумы элементов радиофизической системы, включенных после преселектора. В качестве модели собственных шумов будем рассматривать модель аддитивного ГБШ п(г) с односторонней спектральной плотностью .
11
Итак, в дальнейшем будем предполагать, что полезный сигнал s(t) принимается на фоне аддитивной внешней помехи ад и ГБШ n{t), т.е. колебание х(/), принятое на конечном интервале времени Т, представляет собой гауссовский стационарный случайный процесс
*(/) = *(') +$(')+ *(/)• (Ы-6)
В данной главе рассматривается оценка дисперсии широкополосного гауссовского стационарного случайного процесса s(t).
Задача оценки дисперсии стационарного случайного процесса ранее рассматривалась в ряде работ [7,23,33,62] и др. При этом наиболее часто реализуется
оценка D’, основанная на использовании эргодических свойств процесса [7,23,33]
т
D' = \h(t)s\t)dt.
о
Здесь [0; 7] - интервал наблюдения, У(/) = $(/) - а0, а д()- априори известное математическое ожидание (МО) процесса s(t). Функция h(t) является весовой и сс
оптимальный вид определяется из условия несмещенности оценки дисперсии
г
jh(t)dt = 1 и минимума дисперсии оценки дисперсии.
о
Для получения оптимальной оценки необходимо достаточно точное знание корреляционной функции, что не всегда возможно. Поэтому, как правило, весовую функцию выбирают исходя из простоты реализации, но так, чтобы оценка была несмещенной. Наиболее часто в качестве весовой функции используется функция вида
l/T,Q<t <Т О, t <0,/>7’
Тогда оценку дисперсии можно записать как
(1.1.7)
о
Несмотря на неоитимальный характер оценки (1.1.7), она в силу относительной простоты ее аппаратурной реализации [33], часто оказывается приемлемой.
Однако, как уже отмечалось выше, во многих приложениях непосредственно сама реализация сигнала s(t) наблюдению не доступна. Это объясняется наличием внешней помехи, ограниченностью полосы частот cow радиофизической системы а также собственными шумами элементов системы. Таким образом, при измерении дисперсии стационарного случайного сигнала в радиофизических системах, наблюдению оказывается доступна реализация наблюдаемых данных вида (1.1.6), где спектральные плотности полезного сигнала и внешней помехи определяются из выражений (1.1.1) и (1.1.4) соответственно.
В результате сделанных предположений оценка дисперсии D" (1.1.7) может быть записана как
К (')<*• <1ЛЛ>
* о
В (1.1.8) ?,(/)- отклик фильтра с передаточной функцией (ПФ) Я, (го) на центрированную реализацию наблюдаемых данных X(t) = x(t)-a0. Передаточная
функция фильтра удовлетворяет условию |Я,(со)|2 = /(со/со„).
/*/) =
12
В работе [62] получены и проанализированы характеристики оценки (1.1.8) при условии, что присутствием белого шума n(t) в наблюдаемой реализации (1.1.6) можно пренебречь. Полученные общие выражения для смещения (систематической ошибки) b(D* | Д>)=< D* -D0 > и рассеяния (среднего квадрата ошибки)
V(D* | D0)=<(/)* -D0)2 > оценки (1.1.8) конкретизированы для случаев, когда анализируемый случайный сигнал s(t) обладает лоренцовской и прямоугольной формой спектральной плотности.
Так, для лоренцовской формы спектральной плотности функция g(x), входящая в выражение (1.1.1) определяется как
£(*) = [1 + (та)2]'- (1.1.9)
Соответствующие выражения для смещения и рассеяния оценки (1.1.8) имеют вид |62]
b,(D'\D„) = Dl
~2 ( пк0 '
- arctg
л
-1 + 0
а]
К(D* \ D0) = b,2(D* \ D0) +
D„
Or2 ко + - (4Q + \)arctg{ ^ 71 \ Z
+
1 +
(nk0}
-1
(1.1.10)
Здесь р = 7Ю0 / 4тг, к0 = а>т / £20, ()у= у0О0 / 4тг1)0 - отношение средней мощности внешней помехи £(/) в эффективной полосе частот анализируемого процесса к средней мощности самого процесса.
Для сигнала с прямоугольной формой спектральной плотности функция
*(*)-/(*). (1.1Л1)
и соответствующие выражения для смещения и рассеяния оценки (1.1.8) имеют вид
*..(/)• 1о0)=адл К(£>' I Оо) = Оо2ЬЛ2 +(1 + 20г +0,2*оЫ (1.1.12)
Изменение точности оценки (1.1.8), вызванное наличием внешней помехи будем характеризовать отношением рассеяний р-У{ГУ | й0)/У0(/У \ О0), где У0(О' | /)0) = К(/)‘ | £>0) \0 ^ - рассеяние оценки (1.1.8) при отсутствии помехи £(*). На рис. 1.1.1 нанесены зависимости р(^) для сигнала с лоренцовской формой
спектральной плотности (1.1.9), а на рис. 1.1.2- для сигнала с прямоугольной формой спектральной плотности (1.1.11). Кроме того, на рис. 1.1.3 нанесены зависимости
относительного смещения р = 6,ф* | Д,)/^К/(/)’ \£>0) для сигнала с лоренцовской
формой спектральной плотности. Кривым 1 соответствует значение параметра к0= 5, а
кривым 2- к0- 2. Дш всех кривых на рис. 1.1.1, 1.1.2 и 1.1.3 значение параметра
р = 100.
Как следует из рис. 1.1.1 и 1.1.2 наличие внешней помехи может существенно снизить точность оценки (1.1.8), особенно при достаточно больших величинах Qy