Лавинные процессы в теории самоорганизованной критичности

Оглавление
Введение 3
1 Асимметричный лавинный процесс. 8
1.1 Формулировка модели...................................... 8
1.2 Основное кинетическое уравнение.......................... 9
1.3 Двухчастичная приводимость.............................. 12
1.4 Уравнение для производящей функции...................... 14
1.5 Анзац Бете.............................................. 16
1.6 Основное состояние. ................................... 18
1.7 Явное решение уравнений Бете............................ 19
1.8 Уравнения Бете в термопределе........................... 23
1.9 Средняя скорость лавинного процесса..................... 28
1.10 Пределы применимости решения............................ 33
2 Динамика эйлеровых блужданий. 36
2.1 Алгебраические свойства эйлеровых блужданий..............36
2.2 Лавинная динамика....................................... 40
2.3 Численное исследование лавин общего положения........... 45
2.4 Распространение эйлеровых блужданий..................... 47
3 Исследование моделей самоорганизованной критичности с помощью пространственной ренормгруппы. 52
3.1 Модель Бака-Танга-Вейзенфельда.......................... 52
3.2 Динамическая пространственная ренормгруппа.............. 54
3.3 Ренормализационная схема для модели БТВ................. 57
3.4 Пример расчетов для простейшего случая. Метод производящих функций................................................ 63
3.5 Обобщенная модель необратимых химических реакций. . . 68
1
3.6 Вывод соотношений рекурсии на границе................... 72
3.6.1 Закрытые граничные условия........................ 72
3.6.2 Открытые граничные условия........................ 74
3.7 Схема ДПРГ на треугольной решётке....................... 77
. 3.8 Вычисление критических экспонент....................... 81
3.9 Полученные результаты................................... 82
Заключение. 85
2
Введение
Лавинная динамика это основной сценарий релаксации нестабильных состояний в экстремальных системах, где каждый подвижный элемент находится около порога стабильности. Типичное распределение лавин, имеющее характерные степенное убывание, ведет к возникновению дисперсного транспорта частиц, вовлеченных в лавину [1]. Многие физические явления, такие как распространение фронтов [2, 3, 4], землетрясения [5], смачиваемость пористой среды [6], движение дислокаций [7], биологическая эволюция [8] и процесс распространения эпидемий [9] могут рассматриваться в терминах лавинной динамики .
Характерный пример систем с лавинной динамикой - гранулярные системы, которые непосредственно порождают прерывистые лавины, поддерживающие равновесие в системе. В 1987 г. Г1.Бак, Ч.Танг и К.Визен-фельд [10] предложили теорию самоорганизованной критичности (СОК) для объяснения поведения таких систем. Согласно этой теории, неравновесные гранулярные системы могут естественным образом эволюционировать к определенному критическому состоянию, в котором они теряют характерные масштабы как длины, так и времени, т.е. их корреляционный радиус становится равным бесконечности, а корреляционные функции имеют степенные асимптотики. Это критическое состояние не зависит от начального состояния системы, и, в отличие от обычных критических явлений, не требуется никакой точной подгонки параметров, чтобы достичь его. При этом лавинные процессы играют роль механизма, удерживающего систему в критическом состоянии, изменяя надлежащим образом транспортные свойства системы.
Трудность исследования систем с лавинной динамикой связана со сложным многочастичным характером лавинных процессов. Для таких систем характерно разделение временных масштабов. Тогда как в состоянии ниже порога стабильности характерные времена изменения системы
3
определяются в основном медленными диффузионными процессами, при превышении этого порога лавинообразное изменение системы происходит почти мгновенно. За малое время лавина может охватывать неограниченно большие области, что приводит к кардинальной перестройке системы. При этом возникновение лавины может быть вызвано локальными микроскопическими изменениями а её окончание определяется установлением общего равновесия. Таким образом, именно нелокальный характер лавин вносит основные трудности в аналитическое описание систем с лавинной динамикой.
Способы преодоления этих трудностей заключаются в исследовании точнорешаемых прототипов таких систем или создании способов их упрощённого описания. Эти способы оказываются успешными в силу того, что многие статистические характеристики неравновесных явлений, демонстрирующих, в том числе, и лавинные механизмы, обладают свойством универсальности, т.е. одинаковы для широких классов систем, отличающихся деталями взаимодействия на микроскопическом уровне [11]. Обычно это происходит когда в системе исчезают характерные пространственные масштабы и возникающее в системе самоподобие обусловливается стремлением системы к состоянию динамического равновесия.
Наибольшие успехи в области точнорешаемых моделей лавинной динамики были достигнуты в теории абелевой модели сэндпайл (АМС) [12,13]. Благодаря детерминистическому характеру этой модели, удалось найти точное представление её стационарного состояния и описать некоторые характеристики возникающих в ней лавинных процессов [14, 15,
16]. Однако, полученные для АМС и других моделей СОК [17, 18, 19, 20] результаты относятся только к критической точке и не дают информации о лавинных процессах в других областях фазового пространства системы. Кроме того определение положения самой критической точки на фазовой диаграмме для моделей со стохастической динамикой можно отнести к разряду нерешённых проблем.
Что касается методов упрощённого описания систем с лавинной динамикой, среди них следует выделить метод динамической пространственной ренормгруппы, предложенный в работе [21]. Этот метод подобен пространственной ренормгруппе, предложенной Кадановым для описания критической точки в модели Изинга [22]. Суть этого метода в огрублении
4
характеристик лавинной динамики при увеличении масштаба рассмотрения. При этом возникающее в критической точке самоподобие обеспечивает возможность сохранять число динамических параметров при переходе с масштаба на масштаб. С помощью ренормгруппы были вычислены критические индексы, характеризующие распределения лавин и вероятности высот в модели Бака, Танга, Визенфельда (БТВ) в объёме. К недостаткам метода ренормгруппы можно отнести отсутствие критерия точности полученных результатов. Поэтому выяснение пределов применимости этого метода и областей его наибольшей эффективности представляет большой интерес.
Диссертация посвящена исследованию точнорешаемых моделей лавинных процессов и методов их упрощённого описания. В первой главе исследуется модель асимметричного лавинного процесса. Эта одномерная система, в которой частицы движутся по решётке с периодическими граничными условиями. Взаимодействие между частицами таково, что повышение их локальной концентрации приводит к возникновению лавинообразных релаксационных процессов. При стремлении размера системы к бесконечности на её фазовой диаграмме появляется критическая точка, что выражается в стремлении средней скорости частиц к бесконечности при приближении плотности частиц к критическому значению, которое зависит от параметров взаимодействия. В в первой главе диссертации найдено положение критической точки, и вычислена средняя скорость частиц во всей области изменения параметров.
Кроме изучения аспектов лавинной динамики, решение модели асимметричного лавинного процесса представляет также чисто методический интерес. Динамика модели формулируется в терминах основного кинетического уравнения, которое оказывается вполне интегрируемым уравнением, решаемым с помощью анзаца Бете. Первый многочастичный стохастический процесс, проинтегрированный с помощью анзаца Бете, это так называемый асимметричный процесс с исключением - модель одномерного решёточного газа с короткодействующим отталкивающим взаимодействием, движущегося во внешнем поле [23, 24]. Наибольшим достижением в исследованиях процессов с исключением в рамках анзаца Бете, можно считать получение систематического способа расчёта всех физических характеристик процесса, таких как средняя скорость потока,