Магнитостатическое взаимодействие в разбавленных случайных магнетиках

Содержание
Введение............................................................ 6
Глава I. Магнитостатическое взаимодействие и процессы
намагничивания ансамблей малых частиц (обзор)............... 8
1.1. Возможные подходы к описанию магнитостатического взаимодействия в ансамбле................................... 9
1.2.11риближение локального ноля (случайного поля взаимодействия) 10
1.3. Метод характеристических функций (метод Хольцмарка)........ 13
1.4. Кривые перемагничиваиия с учетом взаимодействия.............. 17
Глава И. Модифицированный метод моментов и расчет плотности
распределения случайного поля................................ 19
2.1. Моменты плотности распределения полей взаимодействия случайно рассеянных магнитных диполей...................... 19
2.2. Асимптотические ряды Эджворта и Грама-Шарльс для
плотности распределения........................................ 20
2.3. Метод моментов для объема цилиндрической формы и условия удовлетворительности аппроксимации......................... 21
2.4. Сравнение результатов, полученных методом .моментов и численным моделированием.......................................... 24
Глава Ш. Метод Хольцмарка для тонкого слоя и тонкой нити.......... 26
3.1. Зависимость магнитостатического взаимодействия от размерности ансамбля ферромагнитных частиц........................ 26
3.2. Плотность распределения полей случайного взаимодействия
для тонкого слоя............................................... 29
3.3. Плотность распределения полей случайного взаимодействия
для тонкой нити................................................ 32
Глава IV. Магнитостатическое взаимодействие в системе
растущих суперпарамагнитных частиц........................... 34
4.1. Зависимость критического объема суперпарамагнетизма от
поля магнитостатического взаимодействия........................ 34
2
4.2. Характерные поля взаимодействия в системе растущих
суперпарамагнитных частиц....................................... 36
Глава V. Моделирование процессов намагничивания систем типа
«разбавленный ферромагнетик».................................. 43
5.1. Процессы намагничивания и магнитостатическое взаимодействие
в системах однодоменных частиц (обзор).......................... 43
5.2. Химическая (кристаллизационная) намагниченность................ 48
5.2.1. Кристаллизационная намагниченность системы
одноосных частиц.......................................... 48
5.2.2. Зависимость Мгс от ширины спектра критических полей 52
5.2.3. Кристаллизационная намагниченность ансамбля частиц со случайным распределением осей легкого намагничивания .... 54
5.2.4. Изменение кристаллизационной намагниченности в
нулевом внешнем поле при температуре ее создания............ 59
5.3. Сравнение некоторых видов намагниченности ансамблей с «сильным» и «слабым» магнитостатическим взаимодействием 65
5.3.1. Идеальная намагниченность и сравнение се
с кристаллизационной...................................... 65
5.3.2. Сравнение термоостаточной и кристаллизационной намагниченностей................................................ 66
5.3.3. Некоторые диагностические признаки термоостаточной и химической намагниченностей ансамбля однодоменных частиц 71
5.4. Кривые перемагиичивания и намагниченность насыщения 75
5.4.1. Влияние магнитостатического взаимодействия на гистерезис тонкого слоя разбавленного случайного
магнетика (однодоменные частицы)............................ 75
5.4.2. Влияние магнитостатического взаимодействия на гистерезис тонкого слоя разбавленного случайного
магнетика (суперпарамагнитные частицы)...................... 79
5.4.3. Анизотропия остаточной намагниченности насыщения как результат магнитостатического взаимодействия частиц 82
5.5. Осадочная намагниченность...................................... 86
3
Глава VI. Модифицированный метод Роудса-Роуландса, или метод
«магнитных прямоугольников»............................. 90
6.1. Методы расчета магнитостатической энергии (обзор)......... 91
6.1Л. Размагничивающее иоле и энергия размагничивания 92
6.1.2. Метод скалярного потенциала.......................... 95
6Л .3. Энергия размагничивания сферы и эллипсоида вращения ... 96
6.1.4. Саморазмагничивание в неэллипсоидальных зернах....... 97
6.2. Метод Роудса-Роуландса для расчета энергии размагничивания прямоугольных призм (обзор)................................ 99
6.3. Модифицированный метод Роудса-Роуландса...................... 105
6.3.1. Взаимодействие параллельных поверхностей............. 105
6.3.2. Взаимодействие перпендикулярных поверхностей............ 108
6.3.3. Магнитостатическос взаимодействие двух кубических частиц 110
6.3.4. Обсуждение метода....................................... 114
Глава VII. Метастабилыюсть магнитного состояния малых
двухфазных феррочастиц..................................... 116
7.1. Моделирование магнитных микрочастиц (обзор)............... 116
7.1.1. Основные принципы микромагнетизма.................... 116
7.1.2. Магнитная свободная энергия.......................... 118
7Л .3. Структура намагниченности в ферромагнитных частицах .... 122
7.1.4. Моделирование химически неоднородных частиц............. 128
7.2. Равновесные состояния двухфазных частиц с различной ориентацией легких осей фаз........................................ 130
7.2.1. Предварительные замечания............................ 130
7.2.2. Описание модели двухфазной частицы с бесконечно
гонкой межфашой границей.................................. 132
7.2.3. Магнитная энергия двухфазной частицы.................... 133
7.2.4. Равновесные состояния двухфазных частиц................. 136
7.2.5. Диаграммы равновесных состояний и магнитная метастабильность двухфазных частиц............................. 138
7.2.6. Влияние тепловых флуктуаций на стабильность
двухфазных частиц...................................... 151
4
7.3. Равновесные состояния двухфазных частиц с протяженной межфазной границей................................................ 158
7.3.1. Описание модели двухфазной частицы...................... 159
7.3.2. Магнитная энергия двухфазной частицы.................... 161
7.3.3. Нахождение равновесных состояний двухфазных частиц .... 163
7.3.4. Двухдоменная магнитная структура в неоднородных частицах 164
7.3.5. Предельные размеры одно- и двухдомеиности неоднородных частиц............................................ 175
7.4. Перемагничивание двухфазных частиц с бесконечно тонкой межфазной границей................................................ 179
7.4.1. Критические ноля двухфазных частиц...................... 179
7.4.2. Ансамбль невзаимодействующих двухфазных частиц 183
7.4.3. Ансамбль взаимодействующих двухфазных частиц............ 189
7.5. Перемагничивание двухфазных частиц с протяженной
межфазной границей.......................................... 193
Глава VIII. Магниторецепция: проблема и возможные механизмы .... 200
8.1. Восприятие магнитных полей живыми организмами (обзор) 200
8.2. Модель индуктивного ферромагнитною рецептора................. 209
8.3. Магнитные свойства тканей биологических объектов.......... 211
8.3.1. Магннтобиологические свойства меланоцитов кровеносных сосудов травяной лягушки Rana temporaria....................... 212
8.3.2. Магнитная восприимчивость железосодержащих тканей некоторых организмов........................................... 218
8.3.3. Реакция меланоцитов сетчатки глаза позвоночных на воздействие постоянного магнитного поля........................ 220
8.4. Модель парамагнитного рецептора.............................. 227
8.5. Реакция некоторых биологических объектов на воздействие магнитного поля и гипотеза магнитного экранирования............... 228
Заключение и благодарности............................................ 233
Приложения............................................................ 238
Список литературы..................................................... 246
5
Введение
Интерес к малым ферромагнитным частицам и их конгломератам не ослабевает уже более 75 лет, с того момента, как в 1925 году И.И. Крейчману в Советском Союзе и Ф. Пфлеймеру в 1928 году в Германии были выданы патенты на носители записи, в которых на гибкую «немагнитную» подложку наносился рабочий слой, состоящий из магнитного порошка, диспергированного в «немагнитной» связующей среде. Развитие звуко- и видеозаписи, электронной и, особенно, вычислительной техники, создание новых магнитных материалов требует все более глубокого понимания процессов намагничивания совокупностей мелкодисперсных ферромагнитных частиц.
Теория и практика носителей магнитной записи далеко не единственные области науки и техники, в которых изучаются ансамбли малых феррочастиц. Такие разделы геофизики, как палеомагнетизм и магнетизм горных пород, имеют дело с рассеянными в пара- или диамагнитной матрице ферромагнитными зернами, являющимися носителями естественной остаточной намагниченности, которая содержит в себе информацию о геомагнитном поле. Среди множества магнитных материалов огромный интерес представляют магнитные композиты - магнитополи-меры и магнитные жидкости, а также системы типа макросниновых стекол. Частицы магнетита биогенного происхождения, замеченные впервые X. Ловенстамом в зубцах хитонов в 1974 году, в настоящее время обнаружены во многих живых организмах. Это вызвало огромный интерес к магнитным свойствам мелких (в основном, однодоменных) фсррочастии и их конгломератов со стороны мапштобиоло-гов и биомагнитологов.
Уникальная способность естественных и искусственных магнитных материалов сохранять информацию, а также возможность ее извлечения определяются многими внешними и внутренними факторами (температура, давление, химический состав и его изменения, форма и размер зерен, их пространственное распределение и т.д.). Использование свойств магнитных материалов невозможно без изучения характера физических процессов, происходящих при их намагничивании и обусловленных магнитной структурой и равновесными состояниями составляющих их частиц.
6
Часто в теоретических работах, посвященных изучению совокупностей малых ферромагнитных зерен, используется приближение «невзаимодействующих частиц» и предположение об их химической однородности. Но как в порошковых носителях магнитной записи, так и в естественных образованиях (минералы и организмы), встречаются объекты с достаточно большими концентрациями ферро-частиц. К тому же, реальные ферро- и ферримагнитные зерна в зависимости от технологии получения в той или иной степени неоднородны. Наиболее ярким примером в этом случае являются капсулированные частицы и частицы с модифицированным поверхностным слоем, используемые в целях повышения коэрцитивно-сти и химической устойчивости материалов для магнитной записи информации.
В природных условиях особые свойства поверхности частиц могут быть обусловлены влиянием окружающей среды, например, процессами окисления.
Таким образом, теоретический анализ магнитостатического взаимодействия в ансамблях химически однородных и неоднородных частиц и процессов намагничивания такого рола объектов необходим для более адекватного описания магнитных материалов, как применяемых в носителях магнитной записи, гак и широко распространенных в природе.
Целью диссертационной работы является исследование процессов намагничивания систем взаимодействующих, в том числе химически неоднородных, однодоменных частиц с использованием разработанных методов расчета функций случайных полей взаимодействия и магнитных состояний как отдельных зерен, так и системы в целом.
7
Глава I. Магнитостатическое взаимодействие и процессы намагничивания ансамблей малых частиц (обзор)
В обзорной главе обсуждаются методы описания систем случайно распределенных в пространстве классических магнитных моментов, достаточно удаленных друг от друга и взаимодействующих между собой преимущественно диполь-иым образом. Из экспериментальных объектов рассматриваемые модели соответствуют прежде всего ансамблям макроскопических ферромагнитных частиц в твердой суспензии типа носителя магнитной записи [23, 40, 46, 54], однако применяются и при изучении гистерезисных свойств дипольных спиновых стекол [42] и магнитных свойств горных пород [16, 62, 113].
Энергия ансамбля взаимодействующих диполей является сложной функцией угловых координат всех моментов и, подобно другим неупорядоченным системам, имеет большое число локальных минимумов. При большой величине магнитного момента барьеры между минимумами оказываются высокими, так что туннельные и активационные (при низких температурах) переходы становятся маловероятными. Тогда вопрос о термодинамическом равновесии и релаксации к нему является второстепенным. Ьолее важным в этом случае является изменение состояния системы за счет того, что при изменении внешнего магнитного поля Н локальные минимумы потенциальной энергии один за другим исчезают. Пренебрежение переходами между минимумами и предположение достаточно сильной диссипации позволяет не учитывать динамику поведения моментов после потери устойчивости и сводит задачу к слежению за минимумами потенциальной энергии ансамбля взаимодействующих диполей. Усредненная по всей системе намагниченность М(Н) испытывает при этом гистерезисное поведение, которое чаще всего представляет основной интерес и позволяет обнаружить влияние взаимодействия на процесс пере-магничивания.
8
1.1 Возможные подходы к описанию магнитостатического взаимодействия в ансамбле
Если магнитные частицы не имеют внутренней анизотропии, то направление магнитного момента каждой из них совпадает с направлением действующего локального магнитного поля. В этом случае гистерезис М(Н) возникает только как коллективный эффект взаимодействий между моментами. Ьолсе простой является ситуация, когда анизотропия (кристаллщрафическая или анизотропия формы) приводит к гистерезису намагниченности даже для невзаимодействующих частиц. Тогда взаимодействие моментов можно рассматривать как возмущение и искать поправки к петле гистерезиса, разлагая по концентрации част иц в магнетике.
Для невзаимодействующих однодоменных ферромагнитных частиц первые расчеты были выполнены Акуловым [3) и Стонером и Вольфартом [167]. В настоящее время свойства кривых перемагиичиваиия таких ансамблей как с одноосной, так и с более сложной анизотропией магнитных свойств частиц в основном изучены (см., например, [26]). Вместе с тем строгая теория перемагиичиваиия ансамблей взаимодействующих частиц, несмотря на довольно длительное развитие, до сих пор не создана [105, 127].
Хотя последовательное разложение по концентрации частиц в приближении локального поля применительно к случайным изинговским магнетикам с диполь-дипольным взаимодействием используется достаточно давно [90, 92, 138], в литературе долгое время преобладали работы прикладного характера, использующие различного рода неконтролируемые приближения [43, 131, 155]. Имеются попытки численного моделирования процессов перемагиичиваиия методами молекулярной динамики [148, 149] и полуэмпирической систематизации экспериментальных фактов [34, 35, 1041. Также в последние годы появились работы, позволяющие численно рассчитать дипольное поле из первых принципов с использованием преобразований Фурье (см, например, [67]).
К настоящему времени наиболее хорошие результаты позволяет получить приближение локального поля [17, 18, 20, 90, 92, 138], использующее предложенный в работе [78] метод характеристических функций, или метод Хольцмарка. Рассмотрим основные положения и результаты этого приближения.
9
1.2 Приближение локального поля (случайного поля взаимодействия)
Считаем, что ферромагнитные частицы имеют шаровидную форму и одинаковый радиус го. Магнитный момент частицы ш имеет величину, равную Му, где
М5 - намагниченность насыщения, V = 4яг03/3 - объем частицы. Магнитное иоле Ь в данной главе будем измерять в единицах К\/М5 (К\ - константа кристаллографической магнитной анизотропии), магнитный момент - в единицах Му. Соответственно энергия будет измеряться в единицах Ку.
Для начала рассмотрим одну из частиц ансамбля в произвольно направленном поле И. Введем систему координат, направив ось г вдоль магнитного поля, а ось х' - в плоскости магнитного поля и легкой оси частицы. Направление легкой оси в плоскости х'Ог' будем задавать сферическим углом направление магнитного момента, лежащего при одноосной анизотропии в той же плоскости, - углом в. Без ограничения общности можно считать Оц изменяющимся в пределах от 0 до п/2. Энергия частицы в расчете на единицу сс объема равна
V ^-к:со%в + У2ъ\п2{в-Оа). (1.1)
Исследование функции (1.1) показывает, что для любого угла 90 существует область малых полей !/?.!< Н0(в0), где имеется два минимума, и область больших
нолей \Иг \ > Н0(0О), где минимум один, что согласуется с физическими соображениями. При /?. - ± 1/2 легко получить равновесные состояния магнитного момента:
вхЛво. в2 =
7г + 20о, 0<в<я/4
. (1.2)
2(2л- + 6>0)/3, 7Г14 <0О < я 12
При других полях приходится прибегать к численному решению [26]. Критическое значение Но($>), при котором исчезает минимум, определяется из уравнения
2[(1-Яо2)/Зр=Яо28т20о. (1.3)
Для применения полученных результатов к перемагничиванию ансамбля частиц необходимо связать направление момента т с вектором магнитного поля Ь при произвольном направлении легкой оси частицы п. Эта связь устанавливается поворотом исходной системы координат луг, в которой заданы эти векторы, к сис-
10
теме координат x'y'z', использованной выше для получения уравнения состояния момента, которое удобно представить в виде зависимости 0(hz, cos 0О). Тогда
m(h,n) = hcostf(/i,hn) + П ■ (1.4)
|[hn]|
откуда нетрудно получить проекцию момента частицы па ось z исходной системы координат (шляпка обозначает отнормироваиный вектор).
Наличие области неоднозначности зависимости G(/*, cos 00) приводит к неоднозначности и выражения (1.4). Для построения кривой перемагничивания ансамбля частиц ото выражение должно быть дополнено (при тех h, для которых это необходимо) рецептом выбора одного из двух значений тг. При непрерывном изменении действующего на частицу поля момент ш также поворачивается непрерывно, пока не нарушается условие устойчивости. При потере устойчивости момент скачком переходит в другое, устойчивое при данном ноле, состояние. Таким образом, значение т2 данной частицы зависит от последовательности смены значений действующего на частицы поля в конкретных условиях перемагничивания.
Намагниченность ансамбля М зависит не только от значения поля, но и от направления его изменения, и выражается через среднее значение момента т. Если поле направлено по оси z, то отнесенная к одной частице намагниченность равна
М(Яг)=<ш(Я1)>. (1.5)
При рассмотрении идеального магнетика нет нужды использовать общее выражение (1.4). Поскольку в отсутствие взаимодействия на каждую частицу действует только внешнее иоле, направленное но оси z, исходная система координат с точностью до поворота вокруг этой оси совпадает с использованной нами при получении уравнения состояния момента. Намагниченность без учета взаимодействия М0(Н:) можно получить усреднением cos 0 по направлениям осей частиц:
М0 (hz) =< cos(0(Н,, cos 0О)) >. (1.6)
Усреднение (1.6) по ориентациям легких осей с функцией 0(h2, cos $>) дает зависимость М0(Н2), изображенную на рис. 1.1.
Учет взаимодействия моментов в низшем порядке по концентрации частиц в магнетике означает, что при рассмотрении состояния каждого момента к внешнему полю добавляется поле всех остальных моментов в месте расположения данного.
11
Рис. 1.1. Кривые перемагничивания ансамбей невзаимодействующих частиц с хаотической (сплошная линия) и параллельной внешнему полю (пунктирная линия) ориентацией легких осей.
Действие момента самого на себя через его влияние на направление соседних моментов является эффектом следующего порядка но концентрации. По этой причине поле, действующее со стороны всех других частиц на данную, может рассматриваться как случайное поле, не коррелирующее с пространственным положением частицы и направлением ее момента. Знание распределения F(h) дает возможность записать намагниченность «слабовзаимодействующего» ансамбля в виде свертки
М{Н2)= ІМоСЬ^Оі-н^3/!, (1.7)
где Мо(Ь) - намагниченность ансамбля невзаимодействующих частиц.
На первый взгляд, для применимости приближения локального поля достаточно разбавленности магнетика. Вопрос, однако, осложняется гистерезисом намагниченности. В процессе перемагничивания действующее на определенную частицу поле соседних частиц изменяется, причем переворотам этих частиц отвечают скачкообразные изменения создаваемого ими поля. По этой причине локальное магнитное поле на данной частице имеет, вообще говоря, достаточно сложную траекторию движения к своему мгновенному значению Н. Траектория может, в частности, выходить за область устойчивости рассматриваемой ветви намагниченности
12
частицы, даже если само значение Ь еще находится в этой области (такие траектории назовем возвратными). В конечном счете, наличие возвратных зраекторий должно приводить к более ранним переворотам моментов и тем самым к сужению реальной петли гистерезиса. Строгий учет отмеченного обстоятельства потребовал бы рассмотрения зависимости намагниченности от траектории локального ноля и введения распределения вероятностей этих траекторий. Сложность задачи при этом возросла бы настолько, что концепция локального поля стала бы бессмысленной.
Вопрос не всегда снимается многочисленностью частиц ансамбля, поскольку поправки к петле гистерезиса могут быть обусловлены действием не большого числа удаленных, а малого числа близко расположенных частиц. Для того чтобы влиянием возвратных траекторий можно было пренебречь, необходима малость поля взаимодействия частиц, находящихся на минимальном расстоянии друг от друга, т. е. большая величина константы анизотропии. В этом случае переворот даже близко расположенной частицы вызывает относительно небольшой скачок локального поля. При хаотическом распределении осей этот скачок не захватывает, как правило, критического поля данной частицы. Г.е. вероятность возвратных траекторий оказывается относительно малой, и перевороты моментов можно считать независимыми.
1.3 Метод характеристических функций (метод Хольцмарка)
При вычислении плотности распределения случайного ноля усреднение по частицам удобно заменить усреднением ноля на пробной частице, расположенной в начале координат, по пространственному положению и направлению моментов остальных частиц. Учитывая разбавленность магнетика, считаем частицы распределенными в пространстве хаотически и пренебрегаем корреляцией, связанной с их конечными размерами. Также учтем, что моменты, действующие на пробную частицу', не могут оказаться на расстоянии, «меньшем диаметра частиц 2го от ее центра.
Рассчитаем среднее значение и дисперсию случайного поля. Поля, создаваемые разными частицами, независимы, причем частица с моментом т, расположенная в точке г, создает в начале координат поле
л
ЛТ V л -»
И(т,г) = ——Ь(ш,г)/г , 11(т,г) = 3г(тг)-т . (1.8)
Кх
13
Усредняя по положению частицы в образце и направлению се момента т и умножая затем на полное число частиц в системе, получим
Здесь и далее с будет обозначать объемную долю ферромагнетика. Интеграл (1.9) берегся в пределах от размера частицы до границ образца и представляет собой известное поле размагничивания, ./<хР - тензор размагничивающих коэффициентов [53J. В отличие от (1.9) в интегразе (1.10) существенны только малые расстояния, верхним пределом положена бесконечность, а нижним - диаметр частицы.
Многие авторы (см., например, [173]) полагают плотность распределения локального поля гауссовой, апеллируя к центральной предельной теореме. Если бы эти рассуждения были справедливы, вычисленные параметры (1.9)-(1.10) полностью описывали бы распределение. В действительности эта теорема утверждает, что случайная величина, являющаяся суммой большого числа N других случайных величии, имеющих одинаковые и не зависящие от N распределения, имеет в пределе N -> оо гауссово распределение с дисперсией, равной сумме дисперсий слагаемых. В данном случае увеличение N достигается только увеличением объема системы, ог которого зависит дисперсия распределения поля, создаваемого одной частицей. Т.е. никаких оснований считать распределение локального поля гауссовым нет. Физически это связано с быстрым спаданием поля диполя с расстоянием.
Для вычисления плотности распределения локального поля применим метод Хольцмарка [78]. Распределение поля, создаваемого в начале координат N частицами, случайно распределенными по объему образца К, можно записать в виде
(усреднение по направлениям всех моментов т,-). При переходе к фурье-образу
(1.11)
(1.12)
плотность распределения выражается через интеграл для одной частицы:
14
Дк) = " { jexp(-ikh(m,r))<i3r).
(1.13)
При больших размерах системы это выражение близко к единице:
/(к) = 1 -1( |[1 - ехр(-/кЬ(т, г ))]Л). (1.14)
Интеграл в этом выражении при не слишком малых к » г03 преобразуется к виду
к /
jdüjr2dr 1 - exp
2/-0 \
. уЛ/г2кЬ(п1,г)Л ~1 з ‘
КГ
/
vM:
« —
к,
-|к|Л(кт), (1.15)
где
|kj/4(km) = ~ J[|kh(m,r)|- /kh(m,r)lnjkh(m,r)|]c/Q . (1.16)
Образец здесь считается шаром бесконечно большого радиуса R. В общем случае интегрирование в области больших расстояний дает в (1.15) мнимую добавку, связанную с размагничиванием и зависящую только от формы образца (-ik«Jap )щ ). Подставляя ( 1.15) в ( 1.13), получаем в пределе V—>cc (с = const)
Fk =ехр
>1
(1.17)
Плотность F(h) может быть записана в виде обратного преобразования Фурье:
<?к
(2лУ
(1.18)
1 *Х1 где А' и А" обозначают действительную и мнимую части А. Из этого трехмерного распределения можно найти распределение проекций случайного поля Ь на произвольное направление Ь. Оно является смещенным лоренцевым распределением:
I (К,1сМ?у(АХ Ьш>)
F(hh) =
(1.19)
я- [{л'(Ьш))]2 + [(К, !сМ))ЬЬ - ^{т/))- (А"(Ьт)$
Видно, что смещение распределения связано не только с размагничиванием, но и с наличием мнимой добавки - \сМ] I К{(ЛН{кш)) в показателе экспоненты (1.17).
Выражение (1.18) в силу приближений, использованных при преобразовании (1.15), справедливо в области полей, значительно меньших максимально возможно-
2 2 г о поля взаимодействия между' частицами Н « М5 /К]. В области И ~ М5 / К]
15
можно вычислить F(h) непосредственно:
F(h)-^(Jtf[h-h(m,r)]rfV), (1.20)
гак как для разбавленного магнетика распределение в указанной области определяется одной, ближайшей к пробной, частицей.
Практическое использование выражений (1.18) и (1.20), описывающих распределение локального поля во всей актуальной области полей, затруднительно, поскольку входящие в них интегралы не вычисляются в явном виде. Численное исследование показывает, однако, что при любом распределении моментов по направлениям функция F(h) оказывается почти изотропной.
Таким образом, хорошим количественным приближением должна быть изотропная плотность распределения Fo(h), получающаяся при равномерном распределении моментов по сфере, которому отвечает Л(кт) = А «4,54. Трехмерное
распределение, следующее из ( 1.18), ( 1.20), имеет вид в области h « М] / К]
К± Л
лгсМ*[Аг +(К{ЫсМУ)
ЯЬ)—, 0-21)
а в области h « М] / К,
лЗ/2 rs »4
*/«*). (»-гг)
S
где
ф(о=
2’3,/2 + 1п(2 + 31/2), <"<1
)т
9 г V/2
2 • 3|/2 - Д4-2 -1)'/2 + ln „ J 1<С<2. (1.23)
2
При И > пмх/ЗК\ функция Г(Ь) обращается в нуль с точностью до членов второго порядка по концентрации. Среднее значение и дисперсия локального поля равны, согласно (1.9) и (1.10),
(Ь)=0, (и^) = ^0-баг!. (1.24)
Использование в дальнейшем при численных расчетах этого распределения означает, что статистические свойства локального поля не зависят от внешнего поля Н, а размагничивание игнорируется.
16
Таким образом, распределение локального поля имеет сложный вид и фактически является обрезанным со стороны больших полей лоренцевым распрсдслени-
1.4 Кривые неремагничивания с учетом взаимодействия
Для расчета петли гистерезиса ансамбля взаимодействующих частиц в приближении локального поля нужно подставить в интеграл (1.7) плотность распределения локальною ноля (1.21)-(1.23) и петлю гистерезиса невзаимодействующих частиц (1.6). При хаотической ориентации осей это приводит к выражению
На рис. 1.2 приведены петли гистерезиса для ансамблей с концентрацией с = 0,2 в отсутствие и при наличии взаимодействия. Из рисунка видно, что взаимодействие частиц уменьшает остаточную намагниченность и коэрцитивную силу.
В рассмотренном в разделе 1.2 ансамбле невзаимодействующих частиц с ориентацией легких осей, параллельной внешнему полю, моменты частиц не отклонялись от этого направления, изменяя только знак при переворотах, которые происходят одновременно у всего ансамбля при значении Н2= 1. Влияние случайных полей других частиц приводит к отклонению моментов от' оси гик разбросу значений поля, при которых переворачиваются моменты разных частиц.
Па рис. 1.3 приведены кривые неремагничивания ориентированного ансамбля с различной концентрацией частиц, полученные численно как свертка
трехмерной кривой перемагничивания ориентированного ансамбля, полученной из
(1.4) с учетом параллельности п оси г, с распределением случайного поля (1.21)-(1.23). Из рисунка видно, что, так же как и при хаотическом распределении осей, остаточная намагниченность и коэрцитивная сила уменьшаются под влиянием взаимодействия моментов.
- 2
ем. Оно имеет три характерных масштаба: иоле — cMs ! , создаваемое части-
1 3 ^ 2
ней на расстоянии порядка среднего (V/N)', поле ближайшего соседа h3 ~ Ms (К]
1 / ^ 2
и среднеквадратичное поле ~ с М5 / Ку.
(1.25)
M(II7)= jWz(h)F(h-H)ar3/!.
(1.26)
17
Рис. 1.2. Кривые псремагничиваиия ансамбля невзаимодействующих (сплошная линия) и взаимодействующих (пунктирная линия, объемная концентрация частиц с = 0,2) однодоменных частиц с хаотической ориентацией легких осей.
Рис. 1.3. Кривые перемагничивания ансамбля однодоменных взаимодействующих частиц с параллельной ориентацией легких осей для различных значений объемной концентрации частиц: 1-с = 0;2~<? = 0,02; 3 - с = 0,08.
18
Глава II. Модифицированный метод моментов
и расчет плотности распределения случайного поля
Разработан метод нахождения плотности распределения полей диполъ-диполъного взаимодействия случайно рассеянных магнитных частиц, применимый для ансамблей с любой концентрацией магнетика. Метод основан на разложении плотности в ряд Эджворта или Грама-Шарлье по моментам функции распределения. Получены аналитические выражения моментов для объема цилиндрической формы. Рассчитанные функции распределения находятся в хорошем соответствии с данными численного моделирования.
2.1 Моменты плотности распределения молей взаимодействия случайно рассеянных магнитных диполей
Для нахождения моментов плотности распределения полей взаимодействия случайно рассеянных диполей ЩИ) воспользуемся следующей моделью: N+1 одинаковых сферических частиц диаметром с1ц и магнитным моментом ш расположены случайным образом в обьсмс V. При достаточно большом N проекции поля Н,, наведенного на одной из частиц остальными N частицами, являются практически независимыми. Поэтому ЩЩ = 1У/НЭ ]¥у(Ну) 1У/Н/ где \УХ(НХ}> IV/Ну), 1У/1Р) - плотности распределения проекций ноля взаимодействия.
Рассчитаем начальные моменты плотности распределения и(Ь) поля И, создаваемого на размещенной в начале координат фиксированной частице некоторой пробной частицей, расположенной случайным образом в объеме образца. Поле, наведенное пробной частицей на фиксированной, есть
ч 3(шг )г ш _
Ь(га ,г) =-----;-------------------------(2.1)
г г
где П1 и г - магнитный момент и радиус-вектор пробной частицы.
19
Чтобы найти начальные моменты <Нк> (к = х,у,г\ п - 1,2,3,...) плотности Ції), нужно усреднить /?Дт,г) по всем значениям магнитных момен тов и радиус-векторов. Так как плотность распределения пробной частицы по координатам равна 1/У, то
Здесь первый интеграл берется по всем возможным ориентациям магнитного момента в пространстве, а со(0) - плотность распределения ориентаций магнитного момента пробной частицы; {V} - объем образца за исключением области диаметром 2^0 с центром в начале координат, внутри которой пробная частица оказаться не может. Таким образом, при задании конкретного вида со(0) и {К}, формула (2.2) вместе с (2.1) представляет собой выражение для начальных моментов распределения ЦЬ).
Случайная величина Н является суммой N независимых случайных величин И, поэтому каждая из плотностей ЩН,) (здесь и далее для удобства записи опускаем индекс к) является Л-кратной сверткой соответствующей плотности м>(И) [73]. После несложных вычислений получаем, что при условии достаточно большого N (> 103) моменты плотности распределения равны:
где ^ - проекции среднего поля взаимодействия; ц2> /*3, ... - центральные моменты соответствующих плотностей ЩЩ.
2.2 Асимптотические ряды Эджворта и Грама-Шарльс для плотности распределения
Пусть (р(4) - плотность распределения нормированной случайной величины £. Разложением, позволяющим выразить функцию распределения через ее моменты, является асимптотический ряд Эджворта [47, 73]. В частности, ограничиваясь первыми четырьмя членами разложения, имеем:
{и}
(2.2)
Мп = К<кп>,
(2.3)
(2.4)
где <ри (£)= ехр(-£ 2/2)/(2тг)|/2; у1 и у2 - коэффициенты асимметрии и эксцесса функ-
20
ции (р(<%). В нашем случае для выбранной к-ои проекции поля взаимодействия нормированная случайная величина С = (#, - <Н1>)1В. Тогда <#,> = //, и В - (/л2)и2 ~ среднее и среднеквадратичное поля соответственно, а ЩЩ = (УВ) [(#, - <Н,>)/В\. Подставив найденные параметры функции распределения в формулу (2.4), получим плотность распределения любой выбранной проекции поля взаимодействия.
Аналогичные результаты получаются в случае представления распределения асимптотическим рядом Грама-Шарльс [47]:
= т^)’ где А» =<-')* )нп(£Ш№. (2.5)
ТА и!
Здесь Ни(4) - полиномы Эрмита, удовлетворяющие следующему соотношению: Яи(^и(^)-(-1)>Г(^). Воспользовавшись выражением для полиномов Эрмита
Ь/2]
Н„(<Г) = Г+£ (-0 • (2А - 1)!!-С"'2* -Г’2* , (2.6)
можно получить ^(£). Оіраничиваясь моментами до четвертого порядка, имеем:
?>(#) - «*.«)■
1 + 2ТНз(£)+^Н4(£) + -^-Н6(#)
(2.7)
2.3. Метод моментов для объема цилиндрической формы и условия удовлетворительности аппроксимации
Выберем объем V в виде цилиндра высотой d и радиусом основания R (рис.2.1). Введем сферическую систему координат с началом в центре цилиндра и рассчитаем /ип. Координаты пробной частицы - (г, Э, ф), ее магнитного момента - (/я, у, е)\ 0)(Cl)dQ = й)(у, є) sin ydyde. Рассмотрим два варианта ансамблей одноосных частиц,
оси которых параллельны друг другу (аналог модели Изинга):
1) легкие оси и магнитные моменты частиц параллельны оси OZ:
со(у, е) = — [aS(y) + (35(у - ;r)]tf (s), а + р = 1; (2.8)
sin у
21
Рис. 2.1. Цилиндрический объем с хаотически распределенными феррочастицами.
22
2) легкие оси и магнитные моменты частиц параллельны оси ОХ:
б)(у,е) = —— ]а6(е) + Р5(е -#)]£(/-яг/2), а + /? = !. (2.9)
БШ/
На основании этих предположений рассчитываются в явном виде (см. Приложение 1). Разложение (2.4) в совокупности с соответствующими моментами представляет собой рабочую формулу для вычисления плотности распределения поля взаимодействия ансамбля частиц, рассеянных случайным образом в объеме цилиндра.
Пусть первый неучтенный член ряда (2.4) имеет номер п. Тогда условие его малости будет выглядеть следующим образом:
Для оценки точности отбросим в выражениях для моментов члены порядка с1^/(1 и с1о/Я из-за малости. Для магнетика с концентрацией с и спонтанной намагниченностью М5
В частности, для выражения (2.4), в котором первый отброшенный член есть /*5, а
жворта плотности распределения полей взаимодействия будет выглядеть так:
Из условия (2.12) получается ограничение снизу на диапазон возможных объемных концентраций магнетика, при которых оставленное количество членов ряда (2.4) хорошо аппроксимирует ЩЩ, а именно, с » 0,003.
Таким образом, для меньших концентраций магнитных зерен приходится привлекать все большее количество моментов функции распределения. Данный результат хорошо согласуется с выводами других исследователей об отличии функции распределения полей взаимодействия от нормальной при малых концентрациях магнитного вещества (см., например, [20]).
//„« 1 или
(2.10)
(2Л1)
удовлетворительной аппроксимации рядом Эд-
( \5
ц5 « 12400 —М5 с5/2. чб У
(2.12)
23