Кинетика процесса диффузионной гомогенизации в порошковых металлических системах

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ........................................................ 4
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПРОЦЕССА ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОМПОНЕНТОВ В ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМАХ 8
1.1. Кинетика и механизмы процесса спекания порошковых систем...8
1.2. Методы математического описания диффузионного массопереноса в порошковых системах с неограниченной растворимостью компонентов... 11
1.3. Методы математического описания диффузионного массопереноса в порошковых системах с ограниченной растворимостью компонентов 31
1.4. Основные закономерности экспериментального исследования диффузионной гомогенизации в порошковых материалах...........35
Глава 2. МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ КОНЦЕНТРАЦИЙ......................... 42
2.1. Методика конечно-разностного решения задачи Коши и ее погрешность..................................................43
2.2. Методика определения и установление погрешности обратной интерполяции концентрационной кривой.........................52
2.3. Материалы и методики исследований.........................58
2.4. Методика получения и обработки данных рентгеноструктурного и
микрорентгеноспектрального анализа.............................59
Выводы по главе............................................... 67
Глава 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ДИФФУЗИОННОЙ ГОМОГЕНИЗАЦИИ В ПОРОШКОВЫХ СИСТЕМАХ С
НЕОГРАНИЧЕННОЙ РАСТВОРИМОСТЬЮ КОМПОНЕНТОВ........................69
3.1. Математическая модель перераспределения компонентов в локальнонеоднородных порошковых системах с неограниченной растворимостью 69
3
3.2. Экспериментальное изучение эволюции функции плотности вероятности в системах с неограниченной растворимостью компонентов. 90
3.3. Кинетические закономерности процесса перераспределения
компонентов в системах с неограниченной растворимостью .........98
Выводы по главе................................................111
Глава 4. ОСОБЕННОСТИ ДИФФУЗИОННОЙ ГОМОГЕНИЗАЦИИ В ПОРОШКОВЫХ СИСТЕМАХ С ОГРАНИЧЕННОЙ РАСТВОРИМОСТЬЮ КОМПОНЕНТОВ...,................................................. 112
4.1. Математическое описание процесса перераспределения элементов в порошковых системах с ограниченной растворимостью компонентов 112
4.2. Экспериментальное изучение эволюции функции плотности вероятности в системах с ограниченной растворимостью компонентов... 125
4.3. Кинетические закономерности процесса перераспределения
компонентов в системах с ограниченной растворимостью............131
Выводы по главе................................................ 138
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБЩИЕ ВЫВОДЫ.........................................139
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................................ 142
Приложение 1......................................................152
Приложение 2......................................................157
Приложение 3......................................................178
Приложение 4......................................................181
Приложение 5......................................................200
4
ВВЕДЕНИЕ
Развитие новых областей техники предъявляет высокие требования к конструкционным материалам и делает необходимой разработку мер для избежания нежелательных изменений в изделиях с течением времени, а также под действием повышенных и пониженных температур, напряжений, облучений и др. Эго требует углубленного изучения механизмов и основных закономерностей влияния перечисленных факторов на структуру и свойства материалов. Качество изделий, получаемых как литьем, так и методами порошковой металлургии, зависят от однородности структуры, которая достигается различными способами, в том числе и в процессе диффузионной гомогенизации.
Большое значение в решении проблемы определения рациональных температурно-временных режимов процесса диффузионной гомогенизации играет разработка методов его математического описания, поэтому выбор математических моделей, адекватно описывающих этот процесс, является актуальной научной задачей.
Основой процесса выравнивания составов и образования промежуточных фаз при получении сплавов и композиционных материалов в бинарных или многокомпонентных системах является диффузионный массоперенос. Диффузией в многокомпонентных системах занимались наушные школы Анциферова В.Н., Гегузина Я.Е., Гурова К.П., Криштала М.А., Мокрова А.П., [1,2]
и другие. Практическим методам исследования посвящены работы Радмана П.,Фишера Б.ДНиврина О.Н. [3] и др. Особый интерес представляет описание процесса гомогенизации в дисперсных системах. По сравнению с традиционно изучаемыми диффузионными процессами в сварных диффузионных парах диффузионные процессы в бинарных дисперсных системах являются более многообразными и сложными. Усложнение касается как движущих сил, так и "каналов" диффузии. Кроме тенденции к выравниванию химических потенциалов компонентов, существует тенденция к уменьшению общей площади свободной поверхности. Эти процессы могут приходить в противоречие вследствие различия парциальных коэффициентов диффузии компонентов. Диффузия может происходить по нескольким каналам - по объему, поверхности, через газовую фазу, по границам зерен и т.д., которые могут работать как последовательно, так и параллельно [4,5]. Скорость диффузии зависит в общем случае не только от температуры, состава, но и от множества других факторов, например, от степени дисперсности системы или степени хаотиза-ции порошковой смеси [6,7].
Математическое описание диффузионных процессов сводится к решению дифференциальных уравнений второго порядка. Усложнения физической стороны процесса проводит к резкому усложнению математического аппарата, при этом трудность решения задачи Коши заключается в невозможности учета всех начальных условий. Необходимость наложения каких-либо ограничений или допущений на начальные условия предполагает создание работоспособных моделей. Вопросам математического моделирования процессов диффузии в дисперсных системах посвящены работы Райченко А.И., Огородникова А.Й., Хекеля Р.В. [8,9] и др. Выбор модели особенно важен, так как на разных стадиях работают различные механизмы массопереноса. На ранней стадии спекания при рациональных температурно-временных режимах решающую роль играет поверхностная диффузия. На последующих стадиях - массоперенос по механизму объемной диффузии [10,11], поэтому по-
строение математического описания, которое бы адекватно отражало кинетику диффузионной гомогенизации в бинарных порошковых системах, представляет серьезную научную проблему.
Математическое описание процессов диффузии в литых материалах достаточно широко изучено [12-14]. Что касается порошковых материалов, то при описании процессов спекания порошков используют либо уже известные теоретические зависимости, либо экспериментальные методики. Подбор математического аппарата особенно важен для прогнозирования кинетики и оптимизации процесса диффузионной гомогенизации.
В связи с этим целью исследований в дайной работе явилось изучение влияния структурных и геометрических факторов на диффузионные процессы в дисперсных системах, построение математических моделей и выявление основных закономерностей кинетики диффузионной гомогенизации в бинарных порошковых системах с ограниченной и неограниченной растворимостью компонентов.
На защиту выносятся следующие положения.
1. Математическая модель, основанная на применении диффузионных уравнений массопереноса в бинарной порошковой системе с использованием статистической функции распределения плотности вероятности в пространстве концентраций.
2. Результаты расчетов кинетики диффузионной гомогенизации в порошковых системах с неограниченной и ограниченной растворимостью компонентов, полученные с использованием уравнений диффузионного массопереноса, в которых учтены статистическое распределение частиц порошка по размерам, концентрационная зависимость коэффициента диффузии, изменение размеров частиц порошка с течением времени.
3. Значения функции плотности вероятности и данные о характеристиках однородности твердого раствора (степень сформированное™ и дисперсия) для различных стадий развития процесса диффузионной гомогенизации по-
рошковых систем М-Сг, №-Со, \V-Mo, полученные на основе обработки данных рентгеноструктурного и микрорентгеноспектрального анализов.
Выполненные исследования способствуют развитию представления о кинетике диффузионной гомогенизации неоднородных бинарных систем, се количественному описанию с использованием уравнений диффузионного массопереноса, основанных на применении функции распределения плотности вероятности в простанстве концентраций. Предлагаемый подход к изучению кинетики диффузионной гомогенизации показал, что в качестве параметров, характеризующих твердый раствор при проведении количественного анализа процессов диффузионной гомогенизации, следует использовать степень сформированности и дисперсию. Применение этих параметров может быть особенно перспективно для установления технологических режимов процесса спекания порошковых заготовок с заданными параметрами состояния твердого раствора.
Работа выполнялась по проблеме 01.03.02 "Порошковая металлургия" госбюджетной темы 09/95-99 'Диффузионный массоперенос в неоднородных материалах и их структура'', координируемой планом ТулГУ в рамках научных программ Минобразования РФ.
_ |
Автор выражает глубокую благодарность д.т.н., проф. А.П.Мокрову за
большую помощь и участие, проявленное на начальных этапах выполнения этой работы, научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Д.М. Левину и научному консультанту д.т.н., доц. В.В.Жигунову за консультации и постоянное внимание к работе, а также созрудникам кафедры физики ТулГУ за товарищескую помощь и дискуссии.
8
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПРОЦЕССА ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОМПОНЕНТОВ В ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМАХ
1.1. Кинетика и механизмы процесса спекания порошковых систем
Диффузионный массоперенос в порошковых системах является основой процесса гомогенизации при получении сплавов и композиционных материалов из бинарной или многокомпонентной смеси порошков.
Широкое применение порошковых материалов возможно при условии их высоких эксплуатационных свойств. Однако реальная структура таких материалов содержит множество дефектов [15]. В процессе спекания происходит изменение концентрации, формы и размеров зерен, пористости [16,17].
Процессы роста зерен и изменение геометрии пор при спекании тесно взаимосвязаны, так как поры являются эффективным препятствием движению межзеренных границ [18,19]. Используя различные способы воздействия на процессы собирательной рекристаллизации и формирование пористой структуры можно изменять структуру материала и добиваться высокого уровня физико-механических свойств.
Теоретическое описание процесса спекания к настоящему времени развито достаточно полно и многогранно, накоплен огромный экспериментальный материал, основные закономерности количественных изменений обобщены в ряде работ [20,21], однако многообразие факторов, влияющих на ход процесса, существенно затрудняют разработку методов математического описания процесса спекания.
В работах М.Ю.Бальшина [24,25] развита концепция спекания как процесса контактообразования между частицами. При этом автором предполагалось, что в ходе образования первичного контакта существенную роль играют процессы межзеренной и межчастичной рекристаллизации, а дальнейший
рост контактов при спекании осуществляется за счет поверхностной диффузии атомов [25,26].
Как было установлено Я.И. Френкелем, при спекании происходит течение твердых тел. Френкелем также впервые были предложены и описаны две модели спекания: припекание двух одинаковых сферических крупинок и заплываиие сферической поры в бесконечно вязкой среде [27].
Механизм спекания был впоследствии уточнен Набарро [28], который показал, что для того, чтобы металл обладал вязкостью, кристалл должен кроме вакантных узлов иметь мозаичную структуру и другие дефекты. Кроме того, предложенные Френкелем модели нуждались в уточнении, поскольку не бы-
. 4
ли предназначены для описания начальных моментов спекания, где зависимость ширины спаев от времени не прямолинейна.
Механизмы спекания однокомпонентных металлических систем были исследованы в работах Я.Е.Гегузина [1,28,29]. Как было показано, спекание тела, содержащего изолированные поры или являющегося ажурной конструкцией, в которой чередуются соприкасающиеся порошинки и пустоты, сопровождается развитием процессов ползучести вещества. При прочих равных условиях (объем пор, их форма и распределение по размерам и др.) кинетика уплотнения в существенных чертах будет зависеть от того, какой из меха-1 низмов пластического течения (ползучести) матрицы окажется определяющим.
В области высоких температур, когда диффузионная подвижность атомов и упругость паров достаточно велики, экспериментально наблюдаемый рост площади контакта может быть связан с самопроизвольным развитием молекулярных непороговых механизмов: вязкого течения, объемной и поверхностной диффузии, переноса вещества через газовую фазу, граничной диффузии или диффузии но дефектам и др. Все эти механизмы систематизированы и подробно описаны в работе [30].
Кинетику процессов спекания в зависимости от вклада различных меха-
10
низмов можно представить в виде таблицы 1.1.1.
Таблица 1.1.1.
Кинетика взаимного припекания твердых сфер, контактирующих в точке
Механизм припекания 1
Вязкое течение x^~t 1*0
Объемная диффузия 1 = 0
Объемная диффузия при наличии стока 1*0
Поверхностная диффузия 1 = 0
Перенос вещества через газовую фазу г5-/ 1 = 0
Припекание под влиянием прижимающих усилий 1*0
В табл. 1.1.1; введены обозначения: х - радиус контактного круга, / - изменение расстояния между центрами крупинок.
Следует заметить, однако, что приведенные данные не описывают кинетику спекания порошков, подвергшихся предварительному прессованию. Прессование как активизирующий процесс часто применяется в качестве предварительной обработки, поскольку этот процесс способствует увеличению начальной площади спекания и плотности материала.
На кинетику спекания оказывает влияние ряд факторов: время и температура спекания, концентрационный состав, геометрический фактор и др. [31-33]. При спекании предварительно спрессованного образца пористость непрерывно уменьшается, достигая или стремясь к определенной величине. При этом минимальная пористость достигается в течение нескольких часов. Дальнейшая выдержка не дает сколько-нибудь заметного уменьшения пористости. Пористость также зависит от температуры, при которой выдерживается образец: чем выше температура спекания, тем меньше минимальная пористость и тем быстрее она достигается [34-37].
Уменьшение пористости при спекании сопровождается рядом явлений. Например, при спекании получает развитие процесс коалесценции, сопрово-
ждающийся исчезновением мелких пор и ростом крупных, образованием в поверхностной зоне беспористого слоя, отмечается сосредоточение пор у границ зерен. Поведение пор, форма и ее изменение, явление коалесценции и сфероидизации, а также механизмы уплотнения достаточно полно исследованы в работах [28,29,38].
Скорость спекания зависит также от размера частиц порошка: разнородные порошинки спекаются быстрее, чем однородные. Кроме того, отмечается лучшее качество изделий, спеченных из "свежеприготовленного" порошка, что, по-видимому, можно объяснить пониженным содержанием окисных пленок.
Однако, как показал Анциферов [5], на процессы гомогенизации практически не влияет пористость. Кроме того, при параллельном протекании спекания и гомогенизации, процессы гомогенизации являются определяющими и в большей степени влияют на структуру порошка.
Существует множество факторов, влияющих на скорость и качество процесса гомогенизации. Поэтому в каждом конкретном случае приходится выбирать наиболее существенно влияющие факторы, и пренебрегать или накладывать ограничения на другие.
1.2. Методы математического описания диффузионного массопереноса
в порошковых системах с неограниченной растворимостью компонентов
Основным макроскопическим уравнением, определяющим перераспределение вещества в пространстве и во времени, является гидродинамическое уравнение непрерывности среды
I), (1.1.1)
ш
где р(г,/) и ./(г,/) - плотность вещес тва и величина плотности потока в момент времени I в точке с радиус-вектором г. Это уравнение описывает достаточно широкий круг явлений. Задача физической теории взаимной диффузии за-
12
ключается в нахождении плотности потока У(г,/), зависящего только от диффузионных процессов.
Одной из первых работ по теоретическому описанию диффузионной гомогенизации является, работа Гегузина [28], который нашел, что время диффузионной гомогенизации находится в прямой зависимости от расстояния г между центрами частичек разнородных порошков и в обратной зависимости от величины контактной поверхности
г2
т = — ; т =
А
2 5(о;,2+о;'2)
(1.2.1)
где йг- коэффициент гетеродиффузии; У0 - объем порошинки; Ол, Ов - парциальные коэффициенты диффузии компонентов смеси.
В работе [5] задача о диффузионной гомогенизации в порошковых системах с неограниченной растворимостью компонентов решалась с использованием такой характеристики твердого раствора как функция плотности вероятности распределения элемента в объеме материала р(с,/). При этом функцию распределения р определяли следующим соотношением
с1У
р (С,0 =----,
. Ус1с
где У - общий объем твердого раствора с неоднородным распределением компонентов, с1У-суммарный объем всех микрозон (микрообъемов), в которых концентрация компонента находится в интервале (с, с+с1с). В работе было предположено, что на поздних стадиях сплавообразования функции плотности вероятности совместного распределения легирующих элементов р(с,/) имеет логарифмически нормальный вид. Более того, в работе [5] было показано, что именно процессы взаимной диффузии обусловливают логарифмически нормальный вид функции распределения по концентрации р(с,/), который очевидно возникает не скачком, а путем непрерывной трансформации исходной функции статистического распределения в соответствии с тем, насколько диффузионные процессы «стерли» следы начальной функции рас-
13
пределения. Начальное распределение в работе [5] характеризуется двумя масштабами: / - средним расстоянием между порошинками легирующих элементов и II - их средним радиусом. В силу низколегированности материала в первом приближении гомогенизацию считали протекающей из точечных источников. Характерное время перераспределения («стирания») концентрации на расстоянии х от порошинки легирующего элемента оценивалось с использованием выражения х1141)1 « 1. После подстановки вместо х среднего радиуса области, содержащей одну частицу порошка легирующего элемента, Т.е. //2, авторы получили оценку времени т установления логарифмически-нормального распределения но значениям концентрации
2чЯ)т*//2.
Функция статистического распределения логарифмически-нормального закона распределения зависит от двух параметров: средней концентрации элемента <с> и коэффициента вариации концентрации УС) равного отношению корня квадратного из дисперсии концентрации к среднему ее значению. Поскольку <с> не меняется в процессе спекания, то для полного описания гомогенизации на стадии, когда функция статистического распределения ло-гарифмически-нормальная, достаточно найти зависимость Ус от температуры Г, времени спекания I и неоднородности распределения, существующего в момент времени т.
Для коэффициента вариации концентрации Ус в работе [5] получили выражение
Ус = Ус0ех р(Ю0,
где Ь характеризует пространственную неоднородность распределения элемента и равно Ь ж /"2, а .Усо определяется как
Наиболее полное описание процесса гомогенизации включает в себя получение математического выражения для определения изменения концентра-
ции какого-либо компонента сплава со временем в любой точке порошкового тела. Решение диффузионных уравнений является необходимым промежуточным этапом для вычисления таких важных характеристик, как распределения по концентрациям.
В работе [30], исходя из предположения, что атомы растворителя лежат внутри сферы определенного радиуса, в то время как атомы растворяемого вещества - за пределами этой сферы, решено уравнение Фика в сферических координатах и получена оценка времени гомогенизации
х = _1_1п^0; (1.2.2)
пиг с
где с*о - исходная концентрация одного из компонентов смеси (в работе [30] с0 = 100 %); с - конечная концентрация в гомогенном твердом растворе.
Процесс гомогенизации локально неоднородного сплава, полученного спеканием порошков исходных компонентов, является диффузионно-контролируемым. Однако, описание кинетики этого процесса с помощью обычного аппарата теории диффузии (законов Фика) в г - пространстве не имеет смысла, поскольку начальное распределение концентраций является случайной функцией, меняющейся хаотически на расстояниях порядка размера исходных порошинок. Поэтому описание процесса диффузионной гомогенизации требует разработки нового математического аппарата. С этой целью, прежде всего, необходимо найти величины, характеризующие состояние неоднородного сплава, а затем построить уравнения описывающие изменения этих величин во времени.
В качестве величины, описывающей состояние локально неоднородного сплава в работе [41], по аналогии с работой [5], была введена функция статистического распределения микрообъемов порошка в пространстве концентраций р(с,/). Определение функции р(су) было основано на следующих соображениях.
Если разделить весь объем порошковой системы V на N малых ячеек объе-
мом dV = VIN и состав каждой из них изображать точкой в пространстве концентраций (для бинарных систем - это отрезок [0,1]), то Np(c,t)dc - число ячеек с концентрациями в пределах от с до c+dc, a Np(c,t) - плотность изобразительных точек в пространстве концентраций, которая подчиняется естественному условию нормировки
]
\Up{c,t)dc = N о
или
V .
. 1 — \p{c,t)dc = \. (1.2.3)
о
Функция р(с,0 соответствует экспериментально измеряемым в рентгеноструктурном анализе дифракционным профилям /(0), так как концентрация с соответствует параметру решетки а, а тот в свою очередь определяет брег-говский угол рассеяния 0. Если суммарную площадь под дифракционным профилем /(0) отнормировать к единице
К J I(Q)cJQ = 1,
то получим выражение
р(c)dc = K /(0)</0,
означающее, что число ячеек, рассеявших рентгеновское излучение в интервале брсгговских углов от 0 до 0+с/0 равно числу ячеек с концентрациями от с до c+dc. Предполагается, что стандартными методами [88] из общего уши-рения линии выделено уширение, обусловленное негомогенностью твердого раствора [42].
Это соотношение позволяет установить соответствие расчетных значений функции р(с) полученным экспериментально профилям дифракционных максимумов твердого раствора.
На начальной стадии спекания функция р(с) представляет собой два острых пика в точках с = 0 и с = 1 (если спекаются чистые компоненты). Площа-
ди под пиками относятся как объемные доли спекаемых компонентов. С течением времени пики исходных компонентов размываются и сглаживаются. Затем на фоне уменьшения пиков исходных компонентов начинает расти пик твердого раствора. При больших временах отжига ширина пика определяется только равновесными флуктуациями состава
где п - число атомов в ячейке объема 5Уу glг среднее значение химического
потенциала. Если число атомов в ячейке достаточно велико, то равновесными флуктуациями состава можно пренебречь.
В работе [41] было составлено уравнение диффузионной гомогенизации, которое позволяет вычислять функцию статистического распределения по концентрациям математическими методами для той или иной модели порошковых систем. В ходе решения этой проблемы, прежде всего, была установлена формальная связь между распределениями в пространстве концентраций и г - пространстве
г
где 8(с(/,г) - с) - дельта-функция в пространстве концентраций.
Соотношение (1.2.4) имеет смысл только в том случае, когда масштаб ин-
частности, следует, что среднеквадратичная ширина распределения р(с) совпадает со среднеквадратичным отклонением с от среднего состава <с>
(1.2.4)
тегрирования с? г много больше размеров ячейки ЪУ. Из этого соотношения, в
|(с- < с >)2р(с^)сіс =< (Ас)2 >,
(1.2.5)
Применяя закон Фика
—^ = сііу[П(с(і , г ))£«к/с(/, г)]
д!
(1.2.6)
17
и соотношение (1.2.4.), авторами было составлено кинетическое уравнение для р(сД Для этого обе части (1.2.4.) были продифференцированы по времени
гр = 7Кг|8(с(,’г)_с) =
а/ V ас
'1ЛМД)5(с(,,г)-с)
V 01
(1.2.7)
. В процессе решения задачи считалось, что процесс гомогенизации осуще-
дс(1 г)
ствляется путем объемной диффузии. Тогда, выразив —^— с помощью
а/
уравнения (1.2.6.), получим
1
ар а
д( дс
-\d'rdiv[D(c(l,r))gra^^c(t,r)]д(c(l,r) - с)
(1.2.8)
При выводе уравнения (1.2.7) предполагалось, что объем системы слабо
дУ л ^
зависит от времени: —*0. Это означает, что из рассмотрения исключалась
начальная стадия процесса спекания - усадка. После усадки суммарная площадь образовавшегося контактного слоя между порошинками намного превышает площадь оставшихся пор.
Проинтегрировав уравнение (1.2.8) по частям и использовав равенство ну-
лю потоков через внешние границы системы (£^гас!с было получено
■|ЛО(с(/,г))^га*(Г,г)|‘5(с(/,г)-с) =
= 0), авторами
др = -Г
д( Уде21
1 д2
Уде2
У(с)\^г^гас{ф, г)|25(с(/, г) - с)
(1.2.9)
Далее, использовав свойства дельта функции и выражение для площади поверхности постоянной концентрации
5(1,с) = | с18 = \с1ъг^га(1с\Ь{с(.1,г)-с)у (1.2.10)
С(1Г)=С
выражение (1.1.10) было приведено к уравнению, названному в работе [41] уравнением диффузионной гомогенизации (УДГ)
др
61
д2
дг.
(1.2.11)
где / = К/5(/,с); 5(/,с) - площадь поверхности постоянной концентрации.
Для получения граничных условий для р(с,/) уравнение диффузионной гомогенизации трактовали как уравнение непрерывности в пространстве концентраций
- . ■> др(с,/))
dt
+ divjc = 0,
(1.2.12)
гдеjc - поток изобразительных точек в пространстве концентраций
л=—
дс
D(c)H:
(1.2.13)
Равенство нулю уравнения (1.2.12) соответствует условию сохранения числа ячеек (а, следовательно, и изобразительных точек), т.е. постоянству объема V. На границах пространства концентраций (в точках с - 0 и с ~ 1) поток изобрази тельных точек должен равняться нулю
6 " 0(c)//2" д ' 1)(с)П2~
дс Р % Р
= 0.
(1.2.14)
С=1
Уравнение диффузионной гомогенизации (1.2.11) совместно с граничными условиями (1.2.14) представляют собой нелинейную краевую задачу для функции р(с,/) на отрезке с € [0,1].
На начальной стадии процесса, когда усадка уже произошла (образовался контакт между' порошинками), а взаимная диффузия только началась и не захватила весь их объем, поверхности постоянных концентраций практически для всего набора концентраций совпадают с поверхностью образовавшегося контакта S(c,t)I ot«i~ = So = const.