Содержание
1 Тороны т’ Хоофта и многомерные О - функции 18
1.1 Граничные условии и топология калибровочных полей на торе.............. 20
1.2 Тороны на решетке...................................................... 22
1.3 Экстремумы твистованного действия Игу чи- Каван
и представлении конечной группы Гейзенберга............................ 26
1.4 Антисимметричные формы и пфпффианы .................................... 28
1.5 Конечная группа Гейзенберга н экс гремумы действия..................... 29
1.6 Представ чення ІпсІ^ЛГ................................................. 30
1.7 Экстремумы действия и представлении О.................................. 32
2 Нелокальный аналог теории Гельфанда- Дикого 36
2.1 Теория нелокальных интегрируемых уравнений в бесконечной полосе . . 36
2.2 Билинейный формализм Хироты для нелокальных уравнений ................. 39
2.2.1 Билинейный формализм для Кс1У£.................................. 39
2.2.2 Билинейный формализм для МКс1У£................................. 42
2.2.3 Нелокальное обобщение двумеризованной решетки Тоды в
билинейном формализме........................................... 44
2.2.4 ІУ-солитонньїе решения.......................................... 46
2.3 Теория нелокальных интегрируемых уравнений на окружности............... 48
2.3.1 Вещественность оператора Т...................................... 49
2.3.2 Оператор Т и граничная задача па торе............................ 49
2.3.3 Операторная форма уравнения РКсІУ]............................... 50
2.3.4 Теорема о приведении к каноническому виду.................... 51
2.3.5 Вариационные производные ....................................... 52
2.3.6 Высшие уравнения РКсіУ^......................................... 53
2.3.7 Гамильтонов вид высших РКсіУ^ .................................. 53
2.3.8 Иерархия РКсІУ* ................................................ 55
3 А9 В* С, П-алгебры Ли квантовых торов 56
3.1 Серия Ап, /г = (/?і_уИк)............................................ 56
3.2 Серия В г, у // = (/? і—уИк)........................................... 58
3.3 Серия С\г, и = (Ьі,, Ьк).............................................. 58
3.4 Серия О и, к = (И.\у... уНк).......................................... 59
2
4 Квантование пространства модулей (7-монополей 59
4.1 Различные реализации Япгиаиа Уй)..................................... 59
4.2 Построение представления У(д) и У(Ь)................................. 63
4.3 Симплектическис листы Янгиана
и пространство модулей монополей...................................... 67
4.4 Представление С/<Д0)г=о.............................................. 72
4.5 Представление ия(д).................................................. 75
4.6 С74(0(„) в терминах квантового гора.................................. 77
4.7 </чЙ) ® Г**Й)-бимодуль............................................... 78
5 Квантовый метод разделения переменных и
теория представлений 82
5.1 Интегрируемые структуры на Т*СЬ^).................................... 82
5.2 Сне кт рал [.пая башня ассоциированная с Т'О,(М)..................... 88
5.3 Обобщенный метод Гельфанда-Цейтлина ................................. 90
5.3.1 Метод орбит для 6Т£(;У, К) и представление Гельфанда-Цсйтлика 96
5.3.2 Янгиан УйЦ.У)) и иредегавление
Гсльфандв-Цсйтлина............................................ 101
5.4 Применение к квантовым интегрируемым системам .......................104
5.4.1 Открытая цепочка 'Годы......................................... 104
5.4.2 Гиперболическая модель Сазерленда...............................106
5.5 Связь с КМОЗ.........................................................108
О Заключение 111
3
Введение
В конце семидесятых годов были сформулированы два базовых подхода к квантовым интегрируемым системам. Олыпаноцкий и Переломов открыли явную связь между теорией представлений некомпактных полупростых групп Ли и системами Сазерленда-Калоджеро-Мозсра (СКМ) |1|-|3|. Методами теории представлений удалось решить классические (квантовые) системы СКМ. Вскоре Костант и Каждая реализовали этот проект для более общих классов интегрируемых систем включая открытые квантовые цепочки Года |4|, |5|. Волновые функции СКМ и открытых цепочек 'Года оказались зональными сферическими функциями |6), [7| и функциями Уиттекера |8|-|10|, соответственно. Существует обобщение этого метода на более широкие классы интегрируемых систем, отвечающих аффинным алгебрам Ли и аффинным квантовым группам (см. (11], |]2] н ссылки в них). Однако до сих нор этот подход не достаточно эффективен для построения явных представлений волновых функций в силу аналитических трудностей соответствующей теории представлений.
В тоже самое время был разработан другой подход для решения и исследования квантовых интегрируемых моделей. В работах Фаддеева. Кулиша, Склянина и Тах-гаджана [13|-[Ш| был сформулирован квантовый метод обратной задачи рассеяния (КМОЗ). Этот мопшый метод был успешно применен для исследования широкого спектра интегрируемых моделей [18|. Тесно связанный с КМОЗ квантовый метод разделения переменных был сформулирован в [19|, [20|. Неоспоримым достоинством этого метода является возможность применения в теориях связанных с бесконечномерными группами Ли, т.с. КМОЗ существенно оперирует с бесконечномерными структурами. В подходе, базирующемся на теории представлении вещественных полупростых групп Ли, такие структуры скрыты и поэтому он сталкивается с серьезными аналитическими трудностями при переходе к бесконечномерным группам.
Поэтому исследование взаимосвязей между вышеупомянутыми подходами является одним из приоритетных направлений современной теоретической и математической физики. Естественно ожидать, ч то любое продвижение в направлении от КМОЗ к теории представлений может открыть новые структуры в аналитической теории представлений и наоборот. Одним из главных результатов этой работы является описание связи КМОЗ, точнее метода квантового разделения переменных с теорией предс тавлений.
Начнем с неформального общего определения квантовой интегрируемой системы. Общая квантовая интегрируемая система может быть описана четверкой данных (Л, Я, тг, Я), где А является С'-алгсброй, гамильтониан Я является элементом Л, который определяет эволюцию квантовой системы, ТС определяет Гильбертово пространство состояний системы и тг есть некоторое представление алгебры А унитарными операторами, действующими в ТС. Под интегрируемой структурой динамической системы (Л, Я. л, Я) будем понимать максимальную коммутативную подалгебру I С А такую, что Я € /. В невырожденном случае, условие максимальности эквивалентно условиям на размерность подалгебры I равной половинной размерности А. В том случае, когда Л включается к гладкое семейство алгебр Лл таких, что Ло является коммутативной подалгеброй, последнее условие означает сйш(8рес(У)) = 5<Ит(8рес(Л0)). Подалгебра 1
‘об юр раннего периода развития метода см. [17].
4
является алгеброй интегрируемых гамильтонианов. С точностью до некоторых деталей. Гильбертово пространство Н может быть реализовано как подпространство функций на некотором конфигурационном пространстве X: И, ~ 1?(Х). Таким образом мы получим другую максимальную коммутативную подалгебру /о С Л - алгебру функций X. 13 интересных случаях, подалгебры / и /0 различны и в частности Н не совпадает с /о-Под решением квантовой интегрируемой системы обычно подразумевается некоторая явная конструкция общей волновой функции для коммутативной подалгебры /, действующей в Н. 1 Із условия максимальности для I следует, что собственные пространства одномерны для общей точки $рес(/). Ясно, что явное решение задастся некоторым преобразованием (типа преобразования Фурье) из подалгебры 1 в подалгебру /о- Выбор конкретного гамильтониана II Є I не будет для наг сейчас важен и мы будем описывать интегрируемую систему четверкой: (Д/,тг, ?і). Болес конкретно, мы ограничимся случаем квантовых интегрируемых систем, ассоциируемых с группами Ли.
В качестве основного примера квантовой интегрируемой системы рассмотрим систему ассоциированную с квантованием кокасагельного расслоения ТьСЬ(М) к группе Ли ОЬ(Х). Определим максимальную коммутативную подалгебру квантованной алгебры функций на Т*СЬ(Х). Напомним, кратко некоторые примеры квантовых редукций. Начиная с работ |1, 2, 3] конструкция интегрируемых систем связанных с группой Ли С с алгеброй Ли д следует, более или мепсс, одинаковой схеме. Рассматривая квантованную алгебру функций на Т'О мы имеем естественный выбор коммутативной подалгебры - центр универсальной обертывающей алгебры Z С (1(д). Однако функциональная размерность такой подалгебры слишком мала для определения интегрируемой структуры на Г'С. По стандартным соображениям, для того, чтобы определить интегрируемую систему необходимо рассмотреть редукцию относительно (правого/левого) действия группы С такую, что Z редуцируется к достаточно большей коммутативной подалгебре, чтобы задать интегрируемую структуру для редуцированной системы. С концептуальной точки зрения, это не вполне удовлетворительно. Интегрируемая структура появляется только на завершающем шаге и соображения размерности накладывают сильное ограничение на возможные редукции.
Для того чтобы подправить ситуацию, хотелось бы определять интегрируемую структуру прямо па Т*С до редукции. Одна такая конструкция хорошо известна. В классическом пределе, т.е. когда рассматривается максимальное коммутативное семейство относительно скобок Пуассона, такая интегрируемая структура была рассмотрена Мищенко [25)(см. также (26), )27|). Позднее, подобная конструкция появилась в (28, 29, 30), где был использован центр алгебры петель для определения интегрируемой структуры на общих орбитах конечномерных групп.
Мы будем использовать другую возможность и определим различные коммутативные максимальные подалгебры в квантованной алгебре функций на Т*ОЬ(Х). Нашим основным объектом будет конструкция максимальной коммутативной подалгебры в и(д[Лг) Гельфанда-Цейтлина [211, |22, 23). Очевидно, что так определенная система тесно связана с теорией представлений групп Ли. В частности, матричные элементы в представлении Гельфанда-Цейтлина [24) задают явное описание волновых функций соответствующих интегрируемых систем.
Нетривиальные интегрируемые системы обычно ассоциируются с интересной СПЄК-
5
тральной геометрией. Их динамика реализуется па Якобиане соответствующей спектральной кривой. Будет показано, что обсуждаемая интегрируемая структура на Т*СЬ(і\т) и общих орбит коприсосднненного действия приводят к интересному обобщению спектральной геометрии - спектральной башне. Удивительно, что можно сопоставить спектральную геометрию самой группе (или точнее Т*СЦЛ')) а не ее специальным редукциям.
Подчеркнем, что подалгебра используемая нами для определения интегрируемой структуры, не содержится в центре алгебры петель. Было бы интересно скомбинировать предложенную конструкцию с подходом Мищеико-Фомеико для построения единого подхода для описания различных интегрируемых структур на кокосатсльных расслоениях групп (групп петель).
Обратимся теперь к конкретной интегрируемой системе - квантовой цепочке Тода. Начнем с нового метода дли вывода интегрального представления волновой функции С//(ІУ,І&) цепочки 'Года [31], где для построения рекурсивной формулы для волновой функции был существенно использован метод разделения переменных |19|. Связь с теорией представлений однако оставалась непонятной. Однако наличие двух подходов для построения волновой функции-методами теории представлений ( см. работу [32) и ссылки в ней) и КМОЗ [311 доставляет редкую возможность исследовать взаимосвязи между этими двумя подходами.
В этой работе мы представим рекурсивную формулу для волновой функции СГ(У,Е) цепочки Года [31) как матричный элемент. В качестве основного инструмента будет использовано обобщение метода Гельфанда-Цейтлина [21), [24) на случай бесконечномерных представлений дС(А^, Е). Это приводит к конструкции представления У(дІ(У, К)) в терминах разностных операторов, дает возможность построить явные формулы для Уиттекеровских векторов и воспроизвести интегральную формулу для Уиттекеровской функции полученной ранее в [31] с помощью КМОЗ.
Напомним, что в работах [33), [ 19] были построены разделенные переменные для классической цепочки Тода. Система может быть проквантована в этих переменных. В нашей работе, с помощью обобщения метода Гельфанда-Цейтлина для д1(У,К) будет построено большее множество разделенных переменных ( У (У — 1)/2 вместо (У — 1)). Идея использования увеличенного числа переменных восходит к работе Гельфанда и Кириллова о поле отношений универсальной обертывающей алгебры |34|. С другой стороны, построенные нами представления тесно связаны с представлениями Яиглана ^(0і(іУ)).
Далее мы обобщаем описанную конструкцию представлений на широкий класс квантовых групп включая квантовые группы, Янгианы и квантовые аффинные алгебры для произвольной полупростой алгебры Ли.
Так в секции 4.2 построен класс представлений Янгнана У(д) для произвольной алгебры Ли д. Этот класс представлений возникает при квантовании некоторых сим-плектических листов групп Пуассона-Ли Янгиан. Удивительным обстоятельством является совпадение этих симнлектических листов с. пространством мо;іулеП мононолей, наделенных специальной симплектической структурой. Явный вид для симплектиче-ской структуры на иространсве модулей С -монополей был указан Атьей и Хптчиным
6
|35| для С = Зи(2), в [36| для (? = 5ї/(.ЛҐ) и в [37] для общего случая. Таким образом построений класс представлений Янгиана задает квантование пространства модулей монополей как алгебры Хонфа и решает известную проблему Лтьи и Хитчппа.
Замечательная связь между переменными возникающими в контексте КМ03 с переменными возникающими при изучении монополей с использованием твиеторного метода |35) является яркой иллюстрацией глубокой связи между этими двумя объектами.
Далее мы строим подобную реализацию для класса бесконечномерных представлений конечномерных квантовых групп О,дд) и аффинных квантовых алгебр бу(д)с=о с нулевым центральным зарядом с = 0 для произвольной полупростой алгеб|>ы Ли д. В качестве’ промежуточного шага, мы строим вложение квантовых групп в алгебру рациональных функций на квантовом многомерном торе. Подобно связи представлений Янгиана с квантованием пространства модулей монополей на К3 предложенное представление аффинных квантовых алгебр может быть связано с квантованием пространства модулей периодических монополей. 13 частности, классификация тригонометрических г-матриц соответствующих квантовым аффинным алгебрам £/Дд) отвечает классификации специального класса асимптотических граничных условий для монополей
Перейдем к описанию краткого содержание работы.
В Главе 1 описывается связь геометрии комплексных торов и торонов т’Хоофта. Первый пример самодуальных решений с постоянной кривизной на четырехмерном Евклидовом торе, удовлетворяющих нетривиальным твистованным граничным условиям, был построен в 1981 году т! Хоофтом [38]. Эти решения, называемые торонами, обладают дробным топологическим зарядом.
В этой главе, используя геометрию комплексных торов, получены наиболее общие решения уравнений самодуальности, отвечающие твистоваииым граничным условиям, обобщающие торонные решения т’Хоофта. В конструкции твиетонанных граничных условий существенную роль играет теория многомерных 0-фуикций. Построены также решеточные аналоги торонов.
К этой конструкции естественно примыкает классификация минимумов в твистован-ноп модели Игучи-Каваи (39|. Как показано в этой главе, эти минимумы описываются унитарными представлениями конечной груииы Гейзенберга, действующей в пространстве в - функций на комплексных (абелевых) торах.
Глава 2 посвящена построению алгебраической теории интегрируемых уравнений с нелокальной дисперсией. В ней строятся иерархии интегрируемых уравнений с неноли-номиальной дисперсией. Простейшим уравнением в иерархии является нелинейное уравнение |40, 411
па Е2 х 51.
и, + б 1их + 2 иих + Т[чхх) = О,
(0.1)
где И = 7г(.т, I), иі = ди/дь, их = ди/дх и
7
Уравнение (2.1) описывает распространение длинных волн на границе двухслойной жидкости (<£ - глубина слоя) и в пределе <5 —> 0 переходит в уравнение KdV
Щ + 2 и и - + -иххх = 0. (0.3)
Уравнение (2.1) является интегрируемой деформацией уравнения KdV (2.3). Мы будем обозначать его l\dVs.
Алгебраическая теория обобщенных уравнении KdV была построена И.М. Гельфан-дом и Л А. Диким [42. 13|. Алгебраическая теория нелокальных аналогов т.н. KdVA была построена в работе [L5|.
Пусть В дифференциальное кольцо комплекснозначных функций (гладких, убывающих вместе со всеми своими производными на ±сс). Такое кольцо снабжается диффо-ренцированием дх: В —> В. Обозначим через £((£-1)) кольцо формальных рядов Лорана
jV
X = пап. В с конечным числом положительных членов. В кольце £((£-1))
J=—44'
имеется два дифференцирования
д( = a/as и дт: ]Гх3(^У -52д*х№У-
Введем агсопиативное (некоммутативное) умножение
А' о V = J2 1/а! A'f’Vj“), (0.4)
а>0
где Х*4^ = д?Х, Уха) = dfv. С помощью умножения о (символьное умножение) кольцо )) наделяется структурой комплексной алгебры Ли (/ с коммутатором [в, 6] = о о 6 — b о а. Алгебра Ли Q разбивается в прямую сумму подалгебр Ли Q = + С ,
где Q+ = < f н Q- — s YL X}(i£,y >. Будем обозначать A", (XL) проекция
U-o J J
символа X на Q+(Q-). Пусть res ($^Xj(z£);) = X-j. Для любого X <S Б((£ ')) введем функцию t.r
оо
irX
= j resXdx. (0.5)
Основным свойством следа Ьг является свойство Ьг[х,у] — 0. Таким образом, на алгебре Ли О определено инвариантное, невырожденное скалярное произведение (т, у) = Ьг(ху).
п
Теорема 2.1 Пусть Ь0 = г с* € С[5, б-1], Сп = 1. Пусть щ(х), j =
к=о
0,..., п—1 являются функциями, убывающими вместе со всеми своими производными.
Тогда существует единственный символ -1
К = У) К3(г)({£У такой, что
оо
8
(1) коэффициенты К$(г) являются голоморфными (функциями, ограниченными и непрерывными вплоть до границы полосы —б < 1тг < 6;
(2)
(1 + к-)10(1 + к')~1 = 1,€д+, (о.с)
где коэффициенты Кф = К^{х — 18), К- = К^{х + М>) символов К' являются ог-
раничениями голоморфных функций на нижнюю (верхнюю) границы полосы По* = {г = х + 1у,-6 < у < 5};
(3) Т(К- - Л'+) := £ Т(К: - /\+)№У = г(К~ + *+);
Зш~~ оо
коэффициенты Кф символов К лежат в кольце, порожденном функциями и,(.т) и операторами (\ji\x и Т.
Уравнения
= ЬМ+ - Л/"!,, (0.7)
где X определен условием (2.6), а
м± = [(1 + л:±)л/„(1 + аг±)-1]+,
т
где Л/р = г Е т}№У' тз € С[&£”1] и /<" построен в теореме 1, называется иерархией
.7—0
обобщенных уравнений Хе/Р*.
Перепишем уравнение (2.7) в виде
1, = -г(Х(ХХ)+ - (ЬХ)+Ь), (0.8)
где А' = [(1 + Л'+)А'о(1 4- Хо := Мо/Х-о* Уравнение (2.8) указывает на то, что
обобщенные уравнения Кб\г* являются Гамильтоновыми уравнениями относительно второй скобки Гельфанда-Дикого (44) и, следовагельно, должны существовать нелокальные функционалы Яа, такие, что
Ша = у гез(1 + К1 )»(г^")(1 + К')П. (0.0)
Существует описание кольца нелокальных функционалов &к(ио»...ип-1)| па котором скобки Гельфанда-Дикого определены корректно [Ь5| и такие, что
7/0 е 3£аг(но> • • •
Напомним известную конструкцию Гельфанда-Дикого. Рассмотрим подпространство
/V с (/.)., определенное как N — < Ь = Д» + ? Е г- Для любого X 6 0- построим
I *=о ;
векторное поле Ух на N
УХ(Ь) - -НЦХЬ)+ - (£Х)+1).
9
Поля Ух образуют алгебру Ли относительно скобок
[Vx(L)>VyW\ — V\x\v],,i где [X,Y]L » i(X(LY)v(XL).Y - idY/dLVx(L))~ - (.V ^ Y).
Два форма ^j(Vx, Vy) = (VX(L),Y) на векторных полях Vx кососимметрична и замкнута.
Теорема 2.2 Обозначим через V = — i(K~—К), где символ К определен в теореме
2.1. Тогда
(1). Обобщенные уравнения KdVg являются гамильтоновыми относительно второй гамильтоновой структуры Гельфанда-Дикого и обладают бесконечной серией законов сохранения На в инволюции
{Л„,ЯЙ} = 0.
(2). Гамильтонианы Ип для а = 0,1 ... представимы в виде
2 k / г \ 2 к Ь1
Я„ = res
/ 1 \ { f \
(Но + LoJ26)i(iOn х £ ) (j vJ № + 1)
где бо,€ = ^L0(£).
(3). Эквивалентно, гамильтонианы На могут быть представлены в виде
На = J гк(Ио(\) - Lo,\(X}/2S)i(f А)"[]п{1 + К~(А)) - 1п(1 + Я’+(А)],
где 1 + К~{\) считаются рядами от коммутативной переменной Л и все члены в последней формуле умножаются как формальные ряды (а не как символы).
Следствие. Иерархия обобщенных уравнений KdV6 является интегрируемой де-
формацией иерархии обобщенных уравнений KdV.
В работе |L7| строятся интегрируемые деформации иерархий MKdV и обобщенных уравнений 2d Toda. В работе [L8] построенные иерархии описываются в терминах билинейных уравнений типа Хироты. В работе [L6| аналогично построена формальная теория обобщенных уравнений KdV*, отвечающая периодическим граничным условиям.
В Главе 3 вводятся алгебры Ли квантовых торов серий А, В, С и D.
Алгебраическая формулировка иитегро-дифференциальных интегрируемых систем, описанная в Главе 3, равносильна введению специальных неабелевых алгебр некоммутативного тора. Впервые такие алгебры возникли в работах Конна и Риффеля в связи с изучением двумерной теории Янга-Миллса на некоммутативных торах |4б|. В »той главе мы построим алгебры Ли некоммутативных торов типов А, В, С, D.
1. Серия Ад, h = (hi,..., ft*)-
k ^
Пусть a — (ai,...a*) € Zk и (ft,о) = a,-. Алгебра Ли Лл задается генерато-
i=l
рами Aatmt занумерованными индексами (ct,m) € (Zk х Z)/(0.-------0) и центральным
элементом с и определяющими соотношениями
10
- Київ+380960830922