Электронные свойства неупорядоченных и низкоразмерных систем в псевдощелевом состоянии

Содержание
1 ВВЕДЕНИЕ 7
2 КАЧЕСТВЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ПСЕВДОЩЕЛЕВОМ СОСТОЯНИИ. 22
2.1 Псевдощель, как “предчувствие” возникновения щели (сверхпроводящей или диэлектрической).......................................... 22
2.1.1 Основные экспериментальные факты о иссвдощслсвом состоянии ВТСП купратов..............................................23
2.2 Простая одномерная модель пссвдощелевого состояния.
Модель Садовского..............................................35
2.2.1 Предел бесконечной корреляционной длины флуктуаций ближнего порядка.................................................. 37
2.2.2 Конечная корреляционная длина............................41
3 МОДЕЛИ ПСЕВДОЩЕЛЕВОГО СОСТОЯНИЯ ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМ. 49
3.1 Псевдощель, вызываемая диэлектрическими флуктуациями ближнего порядка........................................................... 49
3.1.1 Модель “горячих точек”...................................49
3.1.2 Модель “горячих участков”................................61
3.1.3 Упрощенная модель псевдощелевого состояния.
Модель Бартоша и Копица..................................07
3.2 Псевдощель, вызываемая флуктуациями сверхпроводящего ближнего порядка........................................................... 72
3.3 Нефермижидкостнос поведение в псепдощслевом состоянии. От полюса
к нулю функции Грина.......................................... 76
3.3.1 Возможные варианты перенормировки функции Грина..........78
3.3.2 Модель флуктуирующей щели............................... 83
2
3.4 Комбинаторика фейнмановских диаграмм в задачах с гауссовым случайным полем 98
3.0 Основные выводы................................................. 99
4 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ В ПСЕВ ДОТ ДЕ ЛЕВОМ СОСТОЯНИИ. 103
4.1 Сверхпроводимость в модели “горячих участков”...................103
4.1.1 Предел бесконечной корреляционной длины....................104
4.1.2 Конечная корреляционная длина..............................115
4.2 Сверхпроводимость в точно решаемой модели псевдощели.
Эффекты несамоусредияемости сверхпроводящего параметра порядка. 132
4.2.1 Сверхпроводимость в точно решаемой модели псевдощели Бартоша и Копица....................................................132
4.2.2 Спектральная плотность и плотность состояний..............144
4.3 Сверхпроводимость в псевдощелевом состоянии в модели “горячих точек”.................................................................154
4.3.1 Разложение Гинзбурга-Ландау. .............................156
4.3.2 Уравнения Горькова. Температурная зависимость сверхпроводящей щели 178
4.3.3 Моделирование фазовой диаграммы...........................190
4.3.4 Выводы....................................................195
5 ПСЕВДОЩЕЛЬ В СИЛЬНО КОРРЕЛИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ. 197
5.1 Сильно коррелированные системы. Теория динамического среднего поля (Е>МГГ)...........................................................197
5.2 Введение масштаба длины в ИМЕТ. Е>МБТ-гЕ*.......................203
5.2.1 Построение к-зависящей собственно-энергетической части . . . 206
5.2.2 Результаты и обсуждение...................................209
5.2.3 Выводы....................................................221
5.3 Эволюция поверхности Ферми в псевдощелевом состоянии............224
3
5.3.1 “Разрушение'” поверхности Ферми псевдощелсвыми флуктуациями в сильно коррелированных системах.............................224
5.3.2 “Реконструкция” поверхности Ферми нсевдощелевыми флуктуациями............................................................230
5.4 Оптическая проводимость в псевдощелевом состоянии сильно коррелированных систем.......................................................238
5.4.1 Основные выражения для оптической проводимости.............239
5.4.2 Рекуррентные соотношения для собственно-энергетической и вершинной частей.....................................................244
5.4.3 Результаты и обсуждение....................................248
5.4.4 Выводы.....................................................255
5.5 Анализ реалистичных систем.......................................256
5.5.1 Купраты. LDA-î-DMFT—Е*.....................................256
5.5.2 Электронная структура и возможное псевдощелсвое поведение
в сверхпроводниках на основе железа........................271
6 ДРУГИЕ ТИПЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В СИЛЬНО КОРРЕЛИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ. ОБОБЩЕННЫЙ DMFT+E НОДХОД.280
6.1 Переход Мотта-Хаббарда и андерсоновская локализация..............280
6.1.1 Основы DMFT -Е подхода.....................................282
6.1.2 Оптическая проводимость в DMFT+E подходе...................284
6.1.3 Трехмерные системы.........................................289
6.1.4 Двумерные системы..........................................303
6.1.5 Выводы.....................................................315
6.2 Оптическое правило сумм в сильно коррелированных системах........316
6.2.1 Однозонное оптическое правило сумм.........................317
6.2.2 Оптическое ПС в обобщенном DMFT-rE приближении.............319
6.3 Электрон-фоноиное взаимодействие. Особенности электронной дисперсии...................................................................332
4
6.3.1 Детали ОМРГ+Е расчетов.................................334
6.3.2 Результаты и обсуждение................................337
6.3.3 Выводы.................................................343
7 ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Основные результаты 345
8 ПРИЛОЖЕНИЯ 349
А Анализ одномерной модели. 349
В Комбинаторика фейнмановских диаграмм в задачах с гауссовым случайным нолем. 354
В.1 Производящая функции числа “скелетных” диаграмм. Рекуррентное
соотношение..................................................355
В.2 Асимптотика для числа диаграмм при больших N.................361
В.З Электрон в гауссовом случайном поле с коррелятором типа “белого
шума”........................................................364
С Координатное представление. Нормальные и аномальные функции Грина. Модель “плоских участков”. 374
Э Комбинаторика диаграмм в модели гейзенберговских псевдощеле-вых флуктуаций. 377
Е Коэффициенты Гинзбурга-Ландау для анизотропного спаривания в отсутствие псевдощели. 382
Р Координатное представление. Нормальные и аномальные функции Грина. Модель “горячих точек”. 384
С Предел (I —> оо. Сведение модели Хаббарда к эффективной однонри-месной модели Андерсона. 387
(1.1 Масштабное преобразование в пределе (I —> оо......Г.........387
5
й.2 Локальность СЭЧ н пределе г/ —> оо..............................389
С.З Однопримесная модель Андерсона и со связь с ОМБТ................391
Н Обоснование обобщенного ОМГТ-ЬЕк подхода 392
I IV в модели Хаббарда. 395
Л Тождество Уорда 398
К Уравнение для релаксационного ядра 400
Ь Влияние двухплоскостного расщепления. 402
М “Затравочная” электронная дисперсия и скорость для зоны с полу-эллиптической 008 403
(>
1 ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Исследования сверхпроводимости продолжают оставаться в числе наиболее актуальных областей современной физики конденсированного состояния. Это по многом связано с открытием в 1986 году замечательного явления высокотемпературной сверхпроводимости (ВТСП) в соединениях медных оксидов (купра-тах). Несмотря на большие усилия как экспериментаторов, так и теоретиков, природа этого явления остается не вполне выясненной.
Главной проблемой остается последовательное теоретическое описание свойств нормального состояния, что требует выяснение природы так называемого псевдоше-левого состояния, наблюдающегося в области фазовой диаграммы, соответствующей концентрациям носителей заряда меньше оптимальной, которую обычно называют областью ,,недодоиироваш1ых"составов. В этой области в целом ряде экспериментов наблюдаются многочисленные аномалии электронных свойств как в нормальном, так и в сверхпроводящем состоянии, связанные с падением плотности одночастнч-ных возбуждений и анизотропной перестройкой спектральной плотности носителей заряда. Сложилось и продолжает укрепляться мнение, что без понимания природы и свойств псевдощелевого состояния невозможно найти подход к описанию сложной фазовой диаграммы ВТСП купратов и вряд-ли можно надеяться на установление микроскопического механизма высокотемпературной сверхпроводимости. С другой стороны, псевдощелевое состояние не является специфической особенностью только купратов. По-видимому нсевдощель наблюдаются также в новых ВТСГ1 на основе железа. Существенные псевдощелевые аномалии обнаружены также в дихалькоге-иидах ряда переходных металлов (Таб’ег, Аг65в2, -••)-
В ВТСП-системах наблюдается сильная анизотропия всех свойств (квазидвумер-ность). Роль квазидвумерности в реализации высокотемпературной сверхпроводимости в этих системах до сих пор остается не вполне выясненной, однако очевидно, что она может приводить к заметному расширению флуктуацнонной области различных фаз на фазовой диаграмме, способствуя формированию псевдощелевого состояния.
7
“Родительские” стехиометрические соединения купратов является аитиферромаг-нитными диэлектриками с хорошо определенной оптической щелью и антиферромагнетизмом, обусловленным упорядочением локализованных спинов на медных ионах, с температурой Нееля сотни градусов К. Такое диэлектрическое состояние быстро разрушается введением небольшого числа легирующих примесей. Таким образом, эти системы можно отнести в разряд легированных моттовских диэлектриков с сильными электронными корреляциями, которые сильно усложняют проблему описания нормального состояния, делая сомнительной стандартную зонную теорию и ферми-жидкостный подход. Описание псевдотцелевого состояния на фоне таких сильных электронных корреляций представляет достаточно сложную проблему.
Структурная и химическая неоднородность ВТСП- систем делает их существенно неупорядоченными. Поэтому встает вопрос о влиянии беспорядка, в том числе и сильного (локализации) на электронные свойства этих сильно коррелированных систем с пониженной размерностью. Описание андерсоновской локализации на фоне сильных электронных корреляций до сих пор остается не до конца решенной теоретической проблемой. Внутренняя неупорядоченность купратов ярко проявляется в данных сканирующей туннельной микроскопии (STM), ясно свидетельствующих о неоднородности локальной плотности электронных состояний и сверхпроводящей щели на микроскопических масштабах даже в практически идеальных монокристаллах BTC1I - купратов. Теоретическое описание таких неоднородностей представляет исключительно сложную задачу.
Все эти три аспекта (псевдощелевое состояние, сильные электронные корреляции, существенная внутренняя неупорядоченность), характеризующие купраты, в той или иной мере затронуты в диссертации, что и определяет актуальность се темы.
Цель работы состоит в теоретическом исследовании псевдощслевого состояния в рамках двумерных моделей и разработке практических методов расчета физических свойств сверхпроводников в таком состоянии (в том числе и в условиях сильных электронных корреляций и сильного беспорядка) как в нормальной, так и сверхнро-
8
водящей фазе.
Научная новизна.
• Предложена новая, основанная на представлении о “горячих точках” на поверхности Ферми, двумерная модель исевдощелевого состояния, вызываемого флуктуациями ближнего порядка с конечной корреляционной длиной, в которой можно просуммировать все фейнмановские диаграммы теории возмущений но взаимодействию с псевдощслевыми флуктуациями, что позволило получить рекуррентное уравнение для функции Грина и исследовать поведение одно-электронной плотности состояний и спектральной плотности.
• В рамках двух моделей исевдощелевого состояния, вызываемого флуктуациями ближнего порядка с конечной корреляционной длиной, впервые исследовано влияние псевдощели на свойства сверхпроводящей фазы:
Впервые, в таких моделях пссвдощели, проведен микроскопический вывод разложения Гинзбурга-Ландау, построена система рекуррентных уравнений Горькова для куперовского спаривания s- и (/-тина и изучено влияние псевдощели на температуру сверхпроводящего перехода, на основные свойства сверхпроводника вблизи Тс и на температурное поведение сверхпроводящей щели. Впервые выявлены два возможных типа взаимодействия сверхпроводящего параметра порядка с псевдощслевыми флуктуациями, приводящих к существенно различным энергетическим масштабам подавления сверхпроводимости иссвдо-щелыо.
В рамках наиболее “реалистичной” модели псевдощели с “горячими точками” на поверхности Ферми впервые исследовано влияние немагнитных примесей на сверхпроводимость в исевдощелевом состоянии и проведено полу количественное моделирование фазовой диаграммы ВТСП-купратов.
• В рамках двух точно решаемых моделей псевдощели впервые удалось точно исследовать эффекты несамоусредняемости сверхпроводящего параметра порядка в гауссовом случайном поле псевдощелевых флуктуаций и проанализировать
9
поведение усредненной по этому нолю сверхпроводящей щели и ее флуктуаций, а также сверхпроводящих особенностей в плотности состояний и спектральной плотности квазичастиц, которые демонстрируют существование сверхпроводимости (по-видимому, в отдельных областях - “каплях”) и в области температур выше среднеполевой температуры Тс однородного сверхпроводящего перехода во всем образце.
• Предложено новое обобщение DMFT+E теории динамического среднего поля (DMFT ), позволяющее рассматривать нелокальные корреляции (в принципе любого тина), оставаясь в рамках однопримесной картины DMFT и сохраняя неизменной самосогласованную систему ее уравнений, что позволило провести широкое исследование одночастичных электронных свойств сильно коррелированных систем в псевдощелевом состоянии.
• Обобщенный DMFT-гЕ подход развит для анализа двухчастичных свойств, что позволило впервые исследовать продольную оптическую проводимость сильно коррелированных систем в псевдощелевом состоянии.
• Впервые проведено теоретическое исследование эффективной картины “разру-шения” поверхности Ферми псевдощелевыми флуктуациями, в том числе и в условиях сильных электронных корреляций. Впервые предложена точно решаемая модель псевдощели, способная описать плавный переход от картины “дуг Ферми” при высоких температурах (типичных для большинства ARPES экспериментов) к малым “карманам” поверхности Ферми (наблюдаемым в экспериментах по магнитным квантовым осцилляциям) при низких температурах, и предложен качественный критерий наблюдаемости магнитных осцилляций в псевдощелевом состоянии.
• Предложена новая комбинированная расчетная схема LDA+DMFT-fE, позволившая ввести нелокальные псевдощелевые флуктуации в иервонринципнын подход LDA т-DMFT, что позволило рассмотреть электронную структуру ря-
10
да составов ВТСП купратов в пссвдощелевом состоянии и провести детальное сравнение с экспериментом.
• Предложена новая простая аналитическая модель многозонного электронного спектра вблизи уровня Ферми для новых ВТСП на основе железа, в рамках которой вперые теоретически исследовано влияние антиферромагнитных флуктуаций ближнего порядка и продемонстрировано возможное псевдощсле-вое поведение, связанное с частичным "разрушением"поверхности Ферми и перестройкой квазичастичиых зон.
• ПМРТ-гК подход развит для исследования сильно неупорядоченной модели Хаббарда (модели Андерсона - Хаббарда), что позволило наряду с анализом одночастичных свойств, впервые провести исследование оптической проводимости в такой модели и построить фазовую диаграмму модели Андерсона -Хаббарда.
• Исследована модель Хаббарда с взаимодействием между сильно коррелированными электронами проводимости и решеткой с дебаевскимн или эйнштейновскими фононами, что позволило впервые проанализировать взаимовлияние недавно открытых "кииков"чисто электронной природы и обычных фононных "кинк0в"в электронном спектре.
Практическая ценность. Псевдощелевое состояние приводит к ряду аномалий физических свойств, наблюдаемых экспериментально во всех высокотемпературных сверхпроводниках на основе оксидов меди в области недодопированных составов. Рассмотренные в диссертации модели и расчетные схемы позволяют получить качественное, а в отдельных случаях и полуколичествсннос согласие с экспериментальными данными. Понимание природы и свойств неевдощелевого состояния позволяет глубже продвинуться в понимании проблем описания сложной фазовой диаграммы ВТСІ1 оксидов.
Основные положения, выносимые на защиту:
11
1. Новая, основанная на представлении о “горячих точках” на поверхности Ферми, двумерная модель псевдощелевого состояния, вызываемого флуктуациями ближнего порядка с конечной корреляционной длиной. Рекуррентное уравнение для одноэлектронной функции Грина и результаты для плотности состояний и спектральной плотности, полученные в такой модели.
2. Система рекуррентных уравнений Горькова и микроскопический вывод разложения Гинзбурга-Ландау для купсровского спаривания и (I типа, полученные в двух моделях (“горячих точек” н “горячих участков” на поверхности Ферми) псевдощелевого состояния. Результаты по влиянию пссвдотцсли на температуру сверхпроводящет перехода, на основные свойства сверхпроводника вблизи 7е и на температурное поведение сверхпроводящей щели, а так же результаты по влиянию немагнитных примесей па сверхпроводимость в нсев-дощелевом состоянии и моделированию фазовой диаграммы ВТСП-куиратов, полученные в таких моделях.
3. Результаты для усредненной по нолю псевдошелевых флуктуаций сверхпроводящей щели, ее флуктуаций и сверхпроводящих особенностей в плотности состояний и спектральной плотности, полученные в двух точно решаемых моделях псевдощели и демонстрирующие существование сверхпроводимости в отдельных областях - “каплях”) и в области температур выше средненолевой температуры Тс однородного сверхпроводящего перехода во всем образце, и ВЫВОД об отсутствии полной самоусредняемости сверхпроводящего параметра порядка в псевдощелевом состоянии.
4. Новое обобщение ОМПЧ-Е теории динамического среднего поля (ЭМГТ), позволяющее включать нелокальные корреляции или дополнительные ( по отношению к хаббардовскому) взаимодействия (в принципе любого типа), оставаясь в рамках однопримесной картины ОМГТ и сохраняя неизменной самосогласованную систему ее уравнений.
12
5. Результаты для одночастичных электронных снойс/гв (плотность состояний, спектральная плотность, ARPES спектры, эффективная картина “разрушения” поверхности Ферми псевдощелью) сильно коррелированных систем в ПСЄВД01ДС-лсвом состоянии, полученные в обобщенном DMFT-f >J подходе.
6. Вывод о возможности в рамках точно решаемой модели псевдощели описать плавный переход от картины “дуг Ферми” при высоких температурах (типичных для большинства ARPES экспериментов) к малым “карманам” поверхности Ферми (наблюдаемым в экспериментах по магнитным квантовым осцилляциям) при низких температурах и качественный критерий наблюдаемости магнитных осцилляций в псевдощелевом состоянии.
7. Общая схема исследования двухчастичных электронных свойств в DMFT—E подходе и результаты для продольной оптической проводимости сильно коррелированных систем в псевдощелевом состоянии, полученные в таком подходе.
8. Новая комбинированная расчетная схема LDA+DMFT-f Е, позволяющая ввести нелокальные псевдощелевыс флуктуации в первоприицшшый подход LDA— DMFT, и результаты для электронных свойств (плотность состояний, спектральная плотность, квазичастичиыс зоны и затухание, карта поверхности Ферми, оптическая проводимость) в их сравнении с экспериментом дли ряда ВТСП купратов (ВігЗгаСаСизОи-а, Laj_*Sr*Cu04, Nd2-iCe,Cu04, Ргг-хСе^СиОд) в псевдощелевом СОСТОЯНИИ.
9. Простая аналитическая модель многозонного электронного спектра вблизи уровня Ферми для новых ВТСП на основе железа и результаты для квазичастичных зон и карт поверхностей Ферми в условиях антиферромагнитного рассеяния как в случае дальнего порядка в стехиометрическом случае, так и в области возможных флуктуаций антиферромагнитного ближнего порядка в допированных составах.
10. Общая схема DMFT-f-Е подхода для исследования модели Андерсона- Хаббарда
13
(сильные корреляции учи тываются с помощью DMFT, а сильный беспорядок - путем подходящего обобщения самосогласованной теории локализации) и результаты для плотности состояний, оптической проводимости, радиуса локализации и фазовой диаграммы трехмерной и двумерной сильно коррелированной и сильно неупорядоченной парамагнитной модели Андерсона-Хаббарда в таком подходе. Вывод о возможности восстановления металлического состояния из диэлектрика Мотта-Хаббарда с ростом беспорядка. Вывод о возможность существования эффективного андерсеновского перехода металл-диэлектрик для конечных двумерных систем.
11. Вывод о том, что общее однозонное правило сумм Кубо выполняется в DMFT+ 2 подходе (как в модели “горячих точек5’ для псевдощслевого состояния, так и модели Андерсона-Хаббарда), однако сам оптический интеграл в общем случае зависит от температуры и характерных параметров моделей, таких как ширина псевдощели, корреляционная длина, примесное рассеяние, приводя к эффективному “нарушению” оптического правила сумм, и результаты для таких зависимостей оптического интеграла.
12. Результаты для плотности состояний и переломов (“кийков”) в энергетической дисперсии, полученные в DMFT ; Е подходе для модели Хаббарда с взаимодействием между сильно коррелированными электронами проводимости и решеткой с дебаевскими или эйнштейновскими фонолами.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались па Международных школах-симпозиумах физиков-теоретиков “Коуровка” (Кунгур, 2002 г.; Челябинск, 2004 г.; Челябинск, 2006 г.; Ыовоуральск, 2008; Новоуральск, 2010), на 33-м всероссийском совещании по физике низких температур НТ-33 (Екатеринбург, 2003 г.), на VTI и VTIT школе-семинаре молодых ученых “Проблемы физики твердого тела и высоких давлений” (Сочи, 2002 г., 2004 г.), на международных конференциях “Materials and Mechanisms of Superconductivity High Temperature Superconductors” M'2S - HTSCV1 (Хьюстон, США, 2000), M2S - I1TSCVIII (Дрезден, Германия,
14
2006 г.); на международнных конференциях “Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости” ФПС’04 (Звенигород, 2004 г.), ФПС’Об (Звенигород, 2006 г.), ФПС’08 (Звенигород, 2008 г.); на международнных конференциях “Spectroscopies in Novel Superconductors” SNS2004 (Sitges, Испания), SNS2007 (Sendai, Япония), SNS2010 (Шанхай, Китай); на международнных конференциях "Gordon Research Conferences"GRC’01 (Оксфорд, Великобритания, 2001 г.), GRC’04 (Оксфорд, 2004 г.), GRC!07 (Les Diablerets, Швейцария, 2007 г.).
Личный вклад автора. Автор лично принимал участие в постановке всех задач, отраженных в диссертации, разработке моделей и методов их решения , анализе и интерпретации полученных результатов. Основная часть аналитических вычислений, а также разработка и тестирование основной части расчетных программ выполнены лично автором или при его непосредственном участии.
Основная часть результатов диссертации получена совместно с М.В.Садовским. Часы» результатов Глав 4 и б получена при участии Н.А.Кулеевой (Стригиной). Часть результатов Глав 5 и G получена совместно с И.А.Некрасовым. Часть результатов раздела 5.5 получены с участием З.В.Пчелкиной, Е.Б.Кокориной, И.О.Павлова, а также в сотрудничестве с экспериментальными группами Institute for Solid State Research, Dresden, Germany и Graduate School of Engineering Science, Osaka University, Japan.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 30 научных работ, приведенных в списке литературы под номерами [23, 57, 58, 59, 64, 66, 67, 68, 71, 87, 101, 111, 112, 122, 123, 124, 183, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 214, 247, 257, 267, 283, 284|.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и тринадцати приложений. Она изложена на 442 страницах, включая 173 рисунка и список литературы из 312 наименований.
Краткое содержание диссертации.
ВО ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность темы диссертационной работы, кратко раскрывается содержание рассматриваемых в ней задач, формулируется цель
15
работы, а также научная новизна и практическая ценность результатов исследования.
ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ дается качественное представление о псевдощелевом состоянии. Проводится обзор основных свойств ВТСП купратов и экспериментальных результатов, демонстрирующих наличие псевдощели в широкой области фазовой диаграммы. Приводятся теоретические соображения о природе исевдощели. Дается обзор, предложенных ранее другими авторами одномерных моделей псевдощелевого состояний, которые служат фундаментом для дальнейших двумерных обобщений, рассматриваемых в диссертации.
В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ рассмотрен ряд точно или “почти точно” решаемых двумерных моделей псевдощелевого состояния, вызываемого как “диэлектрическими” (8Е)\У,СО\У) , так и сверхпроводящими флуктуациями ближнего порядка. Продемонстрировано, что “диэлектрический” сценарий формирования псевдощели в куп-ратах является предпочтительным. В рамках рассматриваемых моделей получены выражения для одночастичных функций Грина, исследовано поведение одноэлектронной плотности состояний и спектральной плотности, демонстрирующей нефер-мижидкостиой характер, обусловленный сильным рассеянием электронов на флуктуациях ближнего порядка.
Па широком классе одно и двумерных моделей флуктуирующей щели, служащих для описания исевдощели, исследована квазичастичная перенормировка ('/, -фактор) одночастичной функции Грина, демонстрирующая пефермижидкостпое поведение, характерное для “маргинальной” ферми жидкости или латтинджеровской жидкости. Исследована эффективная картина “разрушения” поверхнос ти Ферми, как в модели “горячих точек” для диэлектрических (80\У, СО\У) псевдощелевых флуктуаций, так и в качественно отличном случае сверхпроводящих г/ - волновых флуктуаций.
Построен алгоритм вычисления производящей функции для числа “скелетных” графиков неприводимой собственно-энергетической и вершинных частей в диаграмм-
16
ной технике для задач с гауссовским случайным полем. Найдено точное рекуррентное соотношение, определяющее число графиков в любом порядке теории возмущений и асимптотика в пределе высоких порядков. Полученные результаты применяются к анализу задачи об электроне в гауссовом случайном поле с коррелятором типа “белого шума”.
В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ с использованием ряда двумерных моделей пссвдощеле-вого состояния, рассмотренных в третьей главе, исследовано влияние псевдощсли на свойства сверхпроводящей фазы. Во всех моделях пссвдощсль подавляет сверхпр<ь водимость, а уменьшение корреляционной длины ближнего порядка, замывая псевдощель, способствует росту критической температуры Тс.
В простой точно решаемой модели псевдощелевого состояния, вызываемого флуктуациями ближнего порядка с бесконечной корреляционной длиной, основанной на модели поверхности Ферми с “горячими участками”, исследованы особенности сверхпроводящего состояния (.ч и ^-спаривание). Показано, что усредненная по этим флуктуациям сверхпроводящая щель отлична от нуля и в области температур выше срсд-нсиолсвой температуры Тс сверхпроводящего перехода во всем образце, что является следствием иосамоусредняемости сверхпроводящего параметра порядка по случайному полю флуктуаций (т.е. следствием нарушения стандартного предположения о самоусредняемости щели , которое позволяет независимо усреднять (по конфигурациям случайного поля) параметр порядка А и различные комбинации электронных функций Грина, входящие в основные уравнения теории сверхпроводимости). В области температур Т > Тс сверхпроводимость существует, по-видимому, в отдельных областях - “каплях”. Изучены спектральная плотность и плотность состояний, сверхпроводящие особенности в которых существуют и в области Т > Те, тогда как температура Т = Тс, в этом смысле, ничем не выделена. Аналогичное исследование, проведенное в другой точно решаемой модели псевдощелевого состояния, позволяющей рассмотрение конечных корреляционных длин ближнего порядка подтверждает эти выводы. С уменьшением корреляционной длины £ эффекты несамоусред-
17
няемости ослабевают, исчезая при £ —> 0. однако при конечных значениях £ полная самоусредниемость отсутствует. Полученные аномалии находятся в качественном согласии с рядом экспериментов на недодопированных ВТСП-купратах, в частности, возможна прямая связь с картиной неоднородной сверхпроводимости, наблюдаемой в STM экспериментах.
В моделях псевдоїцелевого состояния с “горячими участками” и “горячими точками" на поверхности Ферми в стандартном предположении о самоусредняемости сверхпроводящего параметра порядка дан микроскопический вывод разложения Гинзбурга - Ландау для куперовского спаривания s и d-типа и изучено влияние псев-дощелсвых флуктуаций на температуру сверхпроводящего перехода и на основные свойства (глубина проникновения , длина когерентности, наклон верхнего критического ноля, скачок теплоемкости) сверхпроводника вблизи Те. Построена система рекуррентных уравнений Горькова для упомянутых типов спаривания. Проанализировано влияние псевдощели на температуру сверхпроводящего перехода и на температурное поведение сверхпроводящей щели. Выявлены два возможных типа взаимодействия сверхпроводящего параметра порядка с псевдощелевыми флуктуациями, приводящих к существенно различным энергетическим масштабам их влияния на сверхпроводимость. В наиболее “реалистичной” модели “горячих точек” также проанализировано и влияние немагнитных примесей на эти сверхпроводящие характеристики. Показано, что в рамках этой модели удается провести нолукол и честнейное моделирование фазовой диаграммы ВТСП купратов.
В ПЯТОЙ ГЛАВЕ дастся краткое введение в проблематику сильно коррелированных систем и теорию динамического среднего поля (DMFT), как вершину современного теоретического описания таких систем.
Предложено новое обобщение DMFT, включающее в ее уравнения характерный масштаб длины через зависящую от импульса “внешнюю” собственно-энергетическую часть Ек, вызванную нелокальными поправками от флуктуаций “диэлектрического” (SDW,CDW) ближнего порядка. Такой DMFT-rE подход, включая в рассмотрение
18
нелокальные корреляции (в принципе любого типа), позволяет сохранить неизменной самосогласованную систему уравнений DMFT. Плотность состояний, спектральная плотность и ARPES спектры, полученные в таком DMFT+E подходе для двумерных сильно коррелированных систем, демонстрируют формирование псевдощели вблизи уровня Ферми квазичастичной зоны.
В DMFT-rE подходе исследуется влияние пседощели на поверхность Ферми в сильно коррелированных системах с демонстрацией частичного се “разрушения” и формирования “дуг Ферми", наблюдаемого в ARPES экспериментах на купратах.
Предложена точно решаемая упрощенная модель псевдощели, которая способна описать плавный переход от ктцпины “дуг Ферми” при высоких температурах (типичных для большинства AR.PES экспериментов) к малым “карманам" поверхности Ферми (наблюдаемым в экспериментах но магнитным квантовым осцилляциям) при низких температурах. Предложен качественный критерий наблюдаемости магнитных осцилляций в псевдощелевом состоянии.
DMFT+E подход развит для расчетов двухчастичных свойств, таких как оптическая проводимость, что позволило исследовать нсевдощелевые эффекты в продольной оптической проводимости двумерных сильно коррелированных систем.
Предложена новая комбинированная расчетная схема LDA-rDMFT-f £, в которой LDA(DFT) (теория функционала электронной плотности в приближении локальной плотности) обеспечивает получение модельных параметров для однозонной модели Хаббарда, решаемой (для учета нелокальных нсевдощелевых флуктуаций) в DMFT-fE подходе. Такой обобщенный LDA * DMFT+E подход использован для описания электронной структуры в псевдощелевом состояний нескольких прототипов высокотемпературных сверхпроводящих составов: дырочно (I^S^CaCi^Os-jj La2-xSrxCu04) и и электронно (N(l2_xCexCu04, Рг2_хСехСи()л) допированных.
Предложена простая аналитическая модель многозонного электронного спектра вблизи уровня Ферми для новых высокотемпературных сверхпроводников Eia основе железа, в рамках которой исследовано влияние антиферромагнитного рассеяния, как
19
в условиях дальнего порядка в стехиометрическом случае, так и в области возможных флуктуаций антиферромагнитного ближнего порядка в допированных составах. Продемонстрировано возможное псевдощелевое поведение, связанное с частичным мразрушс1[ием"поверхиости Ферми и перестройкой квазичастичиых зон.
В ШЕСТОЙ ГЛАВЕ обобщенный БМПЧ-Е подход развит на учет других видов дополнительнмх взаимодействий: фононов, примесей и т.д.
В таком БМПЧ Е подходе исследована модель Андерсона-Хаббарда, позволяющая учесть как электронные корреляции, приводящие к мотовскому переходу металл-диэлектрик, так и эффекты сильного беспорядка, приводящие к андерсонов-скому переходу металл-диэлектрик. Сильные корреляции учитывались посредством Б МЕТ, а сильный беспорядок - путем подходящего обобщения самосогласованной теории локализации. Рассчитаны плотность состояний, оптическая проводимость, радиус локализации и фазовая диаграмма как трехмерной, так и двумерной сильно коррелированной и сильно неупорядоченной парамагнитной модели Андерсона-Хаббарда. Продемонстрирована возможность восстановления металлического состояния из диэлектрика Мотта-Хаббарда с ростом беспорядка. Показана возможность существования эффективного андерсоновского перехода метал л-диэлектрик для конечных двумерных систем.
Исследовано оптическое правило сумм в сильно коррелированных системах. Показано, что в рамках БМЕТч Е подхода общее однозопиое правило сумм Кубо выполняется как в модели “горячих точек” для нсевдощелевого состояния, так и модели Андерсона Хаббарда, однако сам оптический интеграл в общем случае зависит от температуры и характерных параметров моделей, таких как ширина псевдощелн, корреляционная длина, примесное рассеяние, приводя к эффективному “нарушению” оптического правила сумм, которое может наблюдается в экспериментах.
В БМЕТ : Е подходе исследована модель Хаббарда с взаимодействием между сильно коррелированными электронами проводимости и решеткой с дебаевскими или эйнштейновскими фононами. Представлены результаты для плотностей сосгоя-
20
пий и изломов ("кинков") в дисперсионных кривых электронного спектра при различных параметрах модели. Проанализировано взаимовлияние недавно открытых "кинков"чисто электронной природы и обычных фонониых "кинков"в электронном спектре.
В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулированы основные результаты и выводы, полученные в диссертации.
Некоторые технические расчеты, во избежание загромождения основного текста, вынесены в ПРИЛОЖЕНИЯ.
21
2 КАЧЕСТВЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О 11СЕВ-ДОЩЕЛЕВОМ СОСТОЯНИИ.
2.1 Псевдощель, как “предчувствие” возникновения щели (сверхпроводящей или диэлектрической).
Прежде чем переходить к систематическому изложению материала необходимо ответить на два основных вопроса:
Что такое псевдогцель?
Понятие исевдощели было впервые сформулировано Моттом в качественной теории неупорядоченных (некристаллических) полупроводников [1]. Псевдощель по Мотту представляет собой область пониженной плотности электронных состояний в интервале энергий, соответствующих запрещенной зоне идеального кристалла, и представляет собой “воспоминание” об этой зоне, сохраняющееся и при сильном разу-норядочении (аморфизации, плавлении и т.п.). К сожалению, достаточно часто в обширной литературе по ВТСП купратам слова псевдощель и исевдощелевое состояние используют в слишком широком смысле, употребляя их и в ситуации, когда есть щель в энергетическом спектре, связанная с некоторым видом дальнего порядка, но она в силу тех или иных причин достаточно размыта. Сразу скажем, что в данной диссертации под этими словами мы будем понимать, следуя Мотту, совсем другую ситуацию - когда дальнего порядка и связанной с ним щели в системе нет, а есть развитые флуктуации этого ближнего порядка и псевдощсль, как предчувствие будущего возникновения щели.
Почему именно псевдощель?
Сверхпроводимость по сей день остается одной из самых актуальных и притягательных физических проблем. Открытие в 1986 г. Беднорцем и Мюллером [2] высо котемпературной сверхпроводимости вызвало огромный энтузиазм и колоссальный всплеск исследований. Довольно скоро выяснилось, что на фазовой диаграмме куп-ратов (Рис. 1) есть область, лежащая между антиферромагнитной и сверхпроводящей фазами, где почти все свойства системы имеют существенные аномалии. Это
22
область так называемого псевдощелевого состояния (псевдощели). За прошедшие годы сложилось и продолжает укрепляться мнение, что понимание физики происходящего в этой области есть ключ к пониманию всей природы ВТСП. Этому состоянию посвящены уже тысячи экспериментальных и теоретических работ. Достаточно сказать, что на одной из основных конференции по высокотемпературной сверхпроводимости М2Б — НТвСУ! в г. Хьюстон (2000) почти половина докладов в той или иной мере касались исследования псевдощелевого состояния. Конечно за последнее десятилетие появился большой круг новых интересных проблем, синтезированы новые высокотемпературные системы, однако исследования псевдощели продолжают играть заметную роль и в последние годы.
2.1.1 Основные экспериментальные факты о псевдощслевом состоянии ВТСП кулратов.
Высокотемпературные сверхпроводники па основе оксидов меди (ВТСГІ) изучаются уже более 20 лет. За прошедшие годы достигнут несомненный прогресс в понимании природы ВТСП-систем и их основных физических свойств, несмотря на то, что эти системы обладают достаточно сложной фазовой диаграммой (Рис. 1), содержащей практически все основные явления, изучаемые в физике твердого тела.
Собственно сама сверхпроводящая фаза в ВТСП купратах имеет, по-видимому, достаточно обычную природу. Большинство исследователей не сомневается. что в ВТСП - оксидах реализуется куперовское спаривание по более или менее стандартному “сценарию” теории ВКШ1. Однако, вопрос об основном взаимодействии, приводящем к такому спариванию, до сих пор вызывает горячие дискуссии. В стандар тном электрон - фононном механизме [3, 4] куперовского спаривания достаточно сложно получить в. - симметрию куперовских пар, наблюдающуюся в купратах. однако такие попытки продолжают предприниматься |5|. Большее развитие получил спин -флуктуационный [6, 7, 8, 9]механизм в рамках которого было предсказано д - спа-
*Из специфических особенностей данных систем следует отметить: спаривание її - типа и относительно малый размер пар 4о ~ 5 — 10а, так что купраты оказываются в переходной области от “больших и рыхлых” пар теории БКШ к картине “компактных5' бозонов.
23
Рис. 1: Схематическая фазовая диаграмма ВТСП-купратов. В области температур Т < Т* в системе существуют развитые флуктуации ближнего АЕМ-порядка. При Т' < Т < Т* эти флуктуации можно рассматривать как статические.
ривание в ВТСП - оксидах. Последующее экспериментальное подтверждение этого факта и возможность полу количественного объяснения многих свойств этих систем, по-видимому делают этот подход наиболее конкуреытноспособным среди множества других предложенных механизмов2. Следует сразу отметить, что в этой диссертации мы нигде не будем конкретизировать микроскопический механизм спаривания, оставаясь в рамках общего феноменологического подхода БКШ и анизотропною обобщения стандартной теории Гинзбурга - Ландау, наиболее естественных и полезных с точки зрения описания эксперимента.
Основные же трудности в описании купратов связаны с весьма необычными свойствами этих систем в нормальном (несверхпроводящем) состоянии, без понимания природы которых сложно расчитывать на окончательное выяснение микроскопического механизма ВТСП. Ниже приведены характерные особенности нормального состояния ВТСП купратов, которые в той или иной мере используются или обсуждаются в диссертации.
В ВТСП-систомах наблюдается сильная анизотропия всех свойств (квазидвумер-
2Чаще всего обменных - ЯУВ [10), 50(5) 1111 и т.д.
24
ность). Носители тока достаточно свободно распространяются в плоскостях СиС>2 (направление аЬ в кристалле), тогда как движение в поперечном к плоскости направлении (кристаллическая ось с) сильно подавлено. Роль к ваз и дву мерности в реализации высокотемпературной сверхпроводимости в этих системах до сих пор остается не вполне выясненной, однако очевидно, что она может приводить к заметному расширению флуктуационной области различных фаз на фазовой диаграмме.
В этих соединениях при допировании (изменении числа носителей тока легированием) происходит фазовый переход металл-диэлектрик. Например, “родительское” стехиометрическое соединение Ьа^СиОл является антиферромагнитным диэлектриком с температурой Нселя порядка 400К. В нем существует хорошо определенная оптическая щель, а антиферромагнетизм обусловлен упорядочением локализованных спинов на ионах меди и хорошо описывается двумерной моделью Гейзенберга. Это диэлектрическое состояние быстро разрушается введением небольшого числа (порядка нескольких процентов) легирующих примесей. Такая ситуация типична в ВТСП-оксидах, которые, в этом смысле, являются сильно коррелированными системами.
Структурная и химическая неоднородность ВТСП- систем делает их существенно неупорядоченными. Поэтому понимание их природы невозможно без детального исследования роли беспорядка в формировании электронных свойств этих сильно коррелированных систем с пониженной размерностью. В частности, в них весьма существенно проявляются эффекты локализации [12). Внутренняя неупорядоченность куиратов ярко проявляется в данных сканирующей туннельной микроскопии, ясно свидетельствующих о неоднородности локальной плотности электронных состояний и сверхпроводящей щели на микроскопических масштабах даже в практически идеальных монокристаллах ВТСП - купратов [13, 14].
Эксперименты по фотоэмиссии с угловым разрешением (АПРБ$) [15, 16) демонстрируют наличие понерхности Ферми в этих системах. С этой точки зрения куп-раты несомненно являются металлами, хотя и довольно “плохими”. На Рис. 2 прн-
25
Рис. 2: Экспериментально установленный вид поверхности Ферми системы La2-xSrxCu04 с х = 0.063. Пунктиром показаны границы антиферромагнитной зоны Бриллюэна, которые возникают при возникновении дальнего антифсрромагнитного порядка (удвоении периода). Точки пересечения этой границы с поверхностью Ферми называются “горячими” точками.
веден характерный вид экспериментально определенной поверхности Ферми системы La2-xSrxCu04 для состава с х = 0.063 Jl7j. Обратим внимание на наличие у этой поверхности Ферми характерных “плоских” участков. Такой вид поверхности Ферми в ARPES экспериментах достаточно типичен для большинства ВТСП куп-ратов в области фазовой диаграммы, где реализуется сверхпроводимость, и неплохо описывается приближением сильной связи для энергетической дисперсии электронов на квадратной решетке меди с перескоками на первых и вторых ближайших соседей. Недавние эксперименты но квантовым магнитным осцилляциям (осцилляции холловского сопротивления [18], Шубников - де Гааз |19|, до Гааз-ван Альфен |19, 20|) свидетельствуют о достаточно маленьких [21) дырочных или электронных “карманах” поверхности Ферми, что кажется находящимся в противоречии с хорошо установленными ARPES данными о поверхности Ферми в купратах. Одно из качественных объяснений этого явного противоречия было дано в работах |22, 23| (см. также раздел 5.3.2).
Как видно из фазовой диаграммы, показанной на Рис. 1, в зависимости от концентрации носителей заряда плоскости С11О2 в ВТСП - оксидах наблюдается целый
ряд фаз и областей с аномальными физическими свойствами. В области малых концентраций дырок все известные ВТСП - купраты являются антиферромагнитными диэлектриками. С ростом допирования, температура Нееля Тц быстро падает от величии порядка сотен градусов К. обращаясь в нуль при концентрации дырок р ~ 0.05 и система становится металлом. При дальнейшем допировании система становится сверхпроводником. Температура сверхпроводящего перехода растет с ростом концентрации носителей, проходя через характерный максимум при « 0.15-0.17 (оптимальное допирование), а затем умепыпается и исчезает при р % 0.25 — 0.30, хотя в этой (передопированной) области металлическое поведение сохраняется. При этом в области р > Ро металлические свойства являются достаточно традиционными (фсрмижидкостное поведение), тогда как при р < р0 система является аномальным металлом, не описываемым, по мнению большинства авторов, теорией ферми - жидкости.
Большинство аномалий нормального состояния ВТСП - купратов связано с формированием гак называемого псевдощелевого состояния. Это состояние реализуется в широкой области фазовой диаграммы Рис. 1, соответствующей, в основном, “недодо-пированным” составам, и определяемой неравенством Т < Т\ Нужно подчеркнуть, что линия Т* на Рис. 1 , по - видимому, по является линией какого - либо фазового перехода. Фактически, в области Т ~ Г* происходит плавный “кроссовер” в область развитых исевдощелевых аномалий. Многочисленные эксперименты [24, 25| указывают на то, что в области Т <Т* в системах, находящихся в нормальном (несверхпроводящем) состоянии, появляются признаки наличия щели в энергетическом спектре. Речь идет не об истинной щели, а о некотором “предчувствии” ее появления в спектре. Величина Т' определяет характерный масштаб температуры (энергии) ниже которой проявляются пссвдощелевые аномалии и просто пропорциональна энергетической ширине псевдощели.
Из вида фазовой диаграммы ясно, что щель в спектре может быть либо сверхпроводящей, либо диэлектрической. Соответственно существует два основных тео-
27
ретических сценария для объяснения псевдощелевых аномалий ВТСП - куиратов. Первый основан на модели формирования куперовских пар уже выше температуры сверхпроводящего перехода, с последующим установлением их фазовой когерентности в области существования сверхпроводящего состояния при Т < Тс. Второй предполагает, что происхождение исевдощелевого состояния связано с флуктуациями ближнего порядка “диэлектрического” типа, существующими в области недо-доиированных составов на фазовой диаграмме. При этом наиболее популярной является картина антиферромагнитных (АГМ) флуктуаций, хотя нельзя исключить аналогичную роль флуктуаций воли зарядовой плотности (СП\У). В последнее время появился целый ряд экспериментов, но мнению автора, достаточно убедительно свидетельствующих в пользу именно второго сценария3. Поэтому основная часть диссертации сконцентрирована на рассмотрением именно таких моделей, но большей части имеея ввиду модель антиферромагнитных флуктуаций.
Псевдощелевые аномалии, в общем случае, интерпретируются как связанные с подавлением в данной области фазовой диаграммы плотности состояний (БОЗ) одночастичных возбуждений вблизи уровня Ферми. Такое подавление ООЭ в недо-допироваяных купритах наблюдается на целом ряде различных экспериментов: по электронному вкладу в теплоемкость ВТСП - куиратов [26, 27], из экспериментов по одночастичному туннелированию [28, 29, 30]. Коротко говоря, эти эксперименты свидетельствуют, что сверхпроводящая щель открывается при Т = Тс на фоне плавной псевдощели более широкой и существующей и при более высоких температурах. Псевдощель проявляется также в кинетических свойствах ВТСП - систем в нормальном состоянии, например, в сдвиге Найта и времени релаксации ЯМ Г (см. для обзора |31, 25|). Эти эксперименты также косвенно свидетельствуют о падении плотности состояний на уровне Ферми при Т < Т*. Образование псевдощели в области
3Во-перпых, псевдощелевые аномалии заметно усиливаются при приближении к области АРМ фазы, а дли оптимальных составов, где Тс, а значит и сверхпроводящие флуктуации максимальны, лсспдо!нелепые аномалии практически полностью подавлены. Во-вторых, АПРБЭ эксперименты на электронно донщюванных системах демонстрируют максимальное разрушение поверхности Ферми непосредственно в “горячих точках”, что является наиболее ярким свидетели-гном в пользу “диэлектрического” сценария.
28
нсдодопированных составов ВТСП - купратов четко проявляется также в многочисленных экспериментах по измерению оптической проводимости (см. для обзора |24|). Характерной особенностью здесь является появление для недодопированиых образцов “пссвдощслспого провала” и размытого максимума поглощения чсрс;з псевдощель на частотах порядка ширины пссвдощели А ~ Т* (см. Рис. 119 раздела 5.5.1).
Наиболее мощным инструментом исследования исевдощелевого состояния является фотоэмиссиониая спектроскопия с угловым разрешением (ARPES) [32]. В течении последнего десятилетня наблюдался огромный прогресс в экспериментальной технике ARPES. На сегодня, многие важные экспериментальные характеристики могут быть получены из ARPES данных, например, поверхность Ферми (FS), ква зичастичная дисперсия и затухание и даже поведение СЭЧ [16, 33]. Это позволило открыть целый ряд интересных физических аномалий в недодопированиой фазе купратов: формирование псевдощели, ‘'теневые” зоны, дуги Ферми и т.д. [16, 33]. В дальнейшем в диссертации мы будем достаточно часто ссылаться на ARPES данные, поэтому несколько подробнее остановимся на таких экспериментах.
Интенсивность AR.PES (энергетическое и импульсное распределение фотоэлектронов) фактически определяется как [16]:
где к - импульс в зоне Бриллюэна, ц; - энергия начального состояния, измеренная относительно уровня Ферми (химпотенциала)4, /о(к) включает в себя кинематические факторы и квадрат матричного элемента электрон - фотонного взаимодействия и, в достаточно грубом приближении, считается константой. Величина
где <7(к,ш) функция Грина, представляет собой спектральную плотность носителей. Функция распределения Ферми /(о,1) = \ехр(ш/Т) 4-1]'1 отражает тог факт, что в процессе фотоэмиссии участвуют электроны из занятых состояний. Таким образом,
4В реальных экспериментах и; измеряется относительно уровня Ферми хорошею металла типа Р1 или Ад, находящегося к электрическом контакте с образцом.
/(kcj) = ./о(к)/(и;)/1(кы)
(і)
/l(k, lo) = — — ImG(k,Lo -г
7Г
(2)
29
(а)
А{(о.к)
ч-°
О
О +УУ
к к
о»
-У/к О
Рис. 3: Качественная картина спектральной плотности, (а) - на поверхности Ферми (£к = 0) нормального металла (ферми-жидкость). (Ь) - два симметричных узких пика на поверхности Ферми (£к = 0), соответствующих “боголюбовским” квазичастицам в системе с диэлектрической щелью Д|< (при наличии дальнего порядка СВ\\; или ЭРХУ типа). Размытые максимумы - система без дальнего порядка (псевдощелевое поведение), (с) Тоже самое, что и в случае (Ь), но для £к > 0, т.е. над поверхностью Ферми. В этом случае возникает характерная асимметрия спектральной плотности.
в упомянутом грубом приближении, можно говорить, что в АИРЕБ экспериментах непосредственно измеряется произведение /(ы)А(к, со), и мы получаем прямую информацию о спектральных свойствах одиочастичных возбуждений системы.
В стандартной теории ферми - жидкости одноэлектронная функция Грина металла имеет вид:
где £к = £к -/* ~ энергия квазичастиц, отсчитанная от химпотенциала //, 7 - их затухание, 0 < /?к < 1 ” вычет в полюсе, СУгпсЫг ~ несингулярный вклад многочастичных возбуждений. Таким образом, хорошо определенным квазичастицам на поверхности Ферми (£к = 0) соответствует узкий (с шириной 7) лоренцовский пик спектральной плотности Л(кр,ы) при и) — 0 (см. Рис. 3(а)). При установлении дальнего порядка (например 50\\'(АРМ) или СО\\’ типа) в спектре элементарных возбуждений системы открывается (диэлектрическая) щель Л* и одноэлектронная функция Грина (в которую можно добавить и некоторое затухание Г) приобретает характерный горь-
тсок
(3)
30
Рис. 4: Корреляционная длина спиновых флуктуаций в купратах. (а) Nd‘2-xCexCuOJ^. зависимость от температуры для разных уровней допирования [34). (Ь) - Фазовая диаграмма &г(І2-хСехСиО* на которой цветом определена корреляционная длина £/а. Пунктир граница АГМ фазы (температура Нейля), штрих-точечная кривая граница псевдошеле-вой области (Тш). Вертикальные разрезы соответствуют уровням допирования для кривых на (а), (с) Зависимость от допирования в Ьа2~хЗгхСиО4 |35|(а=3.8А).
ковскнй вид:
<?(«, к) =------^ (4)
и? — + г Г ^ ш + Еу — п
где Еь = у/£% + - спектр возбуждений, а и£(ц£) = \ ^1 ± коэффициенты Бо-
голюбова. Тогда в спектральной плотности вблизи поверхности Ферми А(к ~ кр,ы) возникает два узких, в меру малости Г. пика, соответствующих “боголюбовским” квазичастицам (см. Рис. 3(Ь,с)). Есд и дальний порядок (ЯБ\У или С ЭХУ) отсутствует, но есть сильное рассеяние на флуктуациях соответствующего ближнего порядка, характеризуемого корреляционной длиной то в области импульсного пространства, где при наличии дальнего порядка открывается диэлектрическая щель, сохраняется ‘“воспоминание” о пей в виде характерной “двугорбой” структуры, как это качественно показано на Рис. 3(Ь,с). При этом ширина максимумов, естественно, определятся параметром г'р/£, т.с. обратным временем пролета электрона через область размером в которой эффективно сохраняется “диэлектрическое” упорядочение. Дальнейшее теоретическое рассмотрение полностью подтверждает такую качественную картину.
31
Отметим, что эксперименты по рассеянию нейтронов действительно подтверждают наличие развитых спиновых флуктуаций AFM ближнего порядка во всей области нссвдощелевых аномалий (34, 35]. На Рис. 4(а,Ъ) показана зависимость корреляционной длины таких флуктуаций от допирования и температуры в электронном ВТСП Nd,2~xCexC\iO\ [34]. Видим, что штрих-точечная кривая Рис. 4(Ь), соответствующая температуре исчезновения псевдощелевых аномалий (Т*), хорошо коррелирует с областью заметного уменьшения корреляционной длины, а во всей псевдощелевой области корреляционная длина спиновых флуктуаций составляет десятки и даже сотни параметров решетки а. Для сравнения па Рис. 4(с) приведена зависимость корреляционной длины от допирования для дырочной системы lM2-xSrxCuOA (35]. При оптимальном допирования корреляционная длина £ становится совсем малой, составляя лишь ~ 2а, да и для исдодопированных составов £ ~ 5а. Это подтверждает наблюдающуюся в экспериментах общую закономерность, что в электронно допированных купратах псевдощелевые аномалии выражены гораздо сильнее, чем в дырочных. Поэтому достаточно часто далее в диссертации как объект исследования и сравнения будут выбираться именно электронные купраты.
Однако, вернемся к ARPES экспериментам которые, последнее время очень широко используют для исследования свойств купратов. Большое количество экспериментальных ARPES результатов будет с необходимыми пояснениями приведено в разделе 5.5.1 диссертации, а здесь мы коснемся только наиболее ярких. Как уже отмечалось хорошо определенным квазичастицам должен соответствовать достаточно узкий пик спектральной плотности Л(к/.>,о;) при ш = 0, в то время как для недо-допированных составов вблизи “горячих точек”, где рассеяние на АЕМ флуктуациях сильно, можно ожидать “двугорбое” поведение спектральной плотности, аналогичное Рис. 3(Ь), соответствующее размытому максимуму ARPES интенсивности I äs /(u;)yl(kf',6j), смещенному от уровня Ферми (ш = 0) в області, отрицательных частот. Это ярко видно, из данных работы (36), показанных на Рис. о, где четко прослежена эволюция такого пика при движении вдоль поверхности Ферми. Видим.
32
Рис. 5: Спектры ARPES, измеренные в различных точках на поверхности Ферми, по мере перехода от диагонали зоны Бриллюэна к окрестности точки (7Г,0): (а) - точки в которых проводились измерения; (Ь) - сравнение данных в “антннодальной” точке А (окрестность (тт. 0)) в оптимально допиров&нном и передопированном £*2201; (с) данные по оптимально донированному £г'2212 с Тс = 90А', полученные при Т = 140АГ; (d) такие же данные для псрсдопированного £»2201 с Тс = 0, измеренные при Т = 140К.
что квазичастичное поведение имеет место всюду для передопированных образцов и только в окрестности диагонали зоны Бриллюэна (направление (0.0) — (7г. 7г)) для оптимально допированных (и недодопированных). Квазичастичный пик в дпагональ-ном направлении сохраняется даже для сильно недодопированных образцов, находящихся на пороге перехода в диэлектрическое состояние |17|.
Особенно поразительно наблюдение в ARPES экспериментах на дырочных купра-тах “дуг Ферми”, т.е. частей “большой" поверхности Ферми вблизи диагоналей зоны Бриллюэна с более или менее хорошо определенными квазичастицами, в то время как части поверхности Ферми вблизи границ зоны Бриллюэна полностью “разрушены” |32, 16. 37) (см. левую панель Рис. 6), что часто интерпретируется в том смысле, что и псевдощель имеет dx2_y2 волновую симметрию, и имеет сверхпроводящую природу, переходя в истинную щель при Т < Тс. Однако имеются прямые экспериментальные данные, которые свидетельствуют о “диэлектрической" природе псевдощели. На правой панели Рис. 6 приведены ARPES данные о поверхности Фер-
33
Рис. 6: ARPES поверхности Ферми. Слева - дырочного сверхпроводника Bi^Sr^CaCu^Os * $ |38|. Справа - электронного сверхпроводника Nd\ ^Ceo 15С11О4 в одном квадранте зоны Бриллюэна [39]. Пунктир обозначает границу аитиферромагнитной зоны Бриллюэна.
ми электронного сверхпроводника Nd\&Ce.QibCuOi [39], которые демонстрируют, что “разрушение” поверхности Ферми за счет образования исевдощели происходит в окрестности “горячих точек”, возникающих при пересечении этой поверхности с границей “будущей” AFM зоны Бриллюэна. Соответствующая щель в спектре, очевидно имеет обычный “зонный” или “диэлектрический” характер, а куперовское спаривание с d симметрией тут не причем. Наблюдение именно “ду г Ферми” в большинстве ARPES экспериментов в ВТСП купратах связано просто с тем, что основная масса таких экспериментов проводится на дырочных системах, в которых расстояние от “горячих точек” до точки (0.7г) заметно меньше, чем в NdCe.CuO, и разрешающей способности ARPES просто не хватает для выделения отдельных “горячих точек”, находящиеся близко друг другу в окрестности (0,7г). По-видимому, результаты работы [39] однозначно решают вопрос в пользу “диэлектрического” сценария формирования псевдощели в ВТСП - купратах.
В различных экспериментах, обсуждавшихся выше, характерная температура ниже которой проявляются пеевдощелевые аномалии, несколько меняется, в зависимости от того, какая величина измеряется. Однако наблюдается очевидная универсальность Т* падает с ростом допирования, обращаясь в нуль при концентрации носителей слегка превышающей оптимальную. На Рис. 7 приведена обобщающая свод-
34
Рис. 7: Зависимость энергетической ширины псевдощели Ед в У ВСО от концентрации дырок по данным различных экспериментов.
ка данных (найденных из обработки самых разных экспериментов) по энергетической ширине псевдощелм Ед в системе У ВС() в зависимости от концентрации дырок |40]\ Псевдощель “закрывается” при критическом значении концентрации рг « 0.19. слегка превышающем оптимальную концентрацию носителей, что также указывает на несверхпроводящую природу псевдощели в ВТСП - кунратах.
В заключение отметим, что псевдощель свойственна не только ВТСП-купратам. В недавно открытых |41] высокотемпературных сверхпроводниках на основе железа (см. для обзора |42, 43]) также были обнаружены псевдощелсвые аномалии похожие на аномалии в кунратах |44|. Существенные псевдощелсвые аномалии обнаружены также в дихалькогенидах ряда переходных металлов (ТаБе2, NbSe2} ...), обладающих гексогоиальной структурой [45, 16, 47]. По-видимому, псевдощелевое состояние может оказаться достаточно распространенным в к вази дву мерных системах6 вблизи 8Г)\\* или СО\У переходов, что представляет большой интерес для дальнейших исследований.
2.2 Простая одномерная модель псевдощелевого состояния. Модель Садовского.
Как уже отмечалось выше далее мы будем предполагать “диэлектрический” сценарий формирования псевдощели и рассматривать рассеяние носителей заряда на псевдо-
5Здось принималось достаточно произвольное модельное соотношение Ед = 2.57’*
'’В которых можно ожидать достаточно широких флуктуационных областей.
35
щелевых флуктуациях БОШ или СО\\' типа. В условиях дальнего порядка когерентное поле рассеивает такие носители строго на вектор антнферромагнитизма (}, приводя к горьковской функции Грина (4). Если дальнего порядка кет. но есть развитые флуктуации соответствующего ближнего порядка, то имеется узкий пик рассеяния на импульсы вблизи С} с характерной шириной порядка обратной корреляционной длины флуктуаций к = 1/£. Флуктуации далее будем полагать гауссовыми и статическими7. Таким образом, будем рассматривать рассеяние носителей в гауссовом статическом (“замороженном”) случайном поле псевдощелезых флуктуаций.
Прежде чем анализировать “реалистические” двумерные модели, которые будут рассмотрены к следующей главе, весьма поучительно рассмотреть элементарную одномерную модель пссвдощелевого состояния, предложенную в 1974 г. Садовским в качестве модели для описания флуктационной области перехода Пайерлса жидких полупроводников и допускающую точное решение в аналитическом виде [48, 49). Несколько позднее такая модель была развита на случай конечных корреляционных длин флуктуаций [50, 51, 52].
В одномерном случае поверхность Ферми сводится к двум точкам ±рр. В результате, вектор антиферромагнитизма ф — ±'2рг, что сразу подразумевает рассмотрение несоизмеримых (с периодом обратной решетки) флуктуаций. Итак, пусть электрон совершает одномерное движение в случайном поле гауссовых флуктуаций, фурье - образ коррелятора которых, сопоставляемый линии взаимодействия (рассеяния) в соответствующей теории возмущений, имеет вид:
гКак будет показано в следующей главе, такое предположение является разумным лишь при достаточно высоких температурах.
КМч) = 21У2 |
(ч - а)2 + к2 + (<?+<?)2+к
к
к
36
2.2.1 Предел бесконечной корреляционной длины флуктуаций ближнего порядка.
Точное решение можно получить б предел £ —> оо (к —> 0), т.е. б асимптотике очень больших корреляционных длин флуктуаций ближнего порядка8. Интересующий нас предел следует понимать в смысле:
vfk = vFÇ_1 <§: Мах {27гТ, £р} (6)
В таком пределе можно просуммировать осе фейнмановские графики теории возмущений с “взаимодействием” вида (5), которое переходит б нем в:
УсМч) = 2*IV2{% - 2pf) + S(q + 2pF)} (7)
Действительно и графике т - го порядка по VcfJ{q) имеется 2т вершин, соединенных между собой линиями взаимодействия. При этом эти линии поочередно9 “уносят” и “приносят” импульсы Q = 2рг- В результате, вклады любых графиков в данном порядке имеют вид )^р)»>10 11 просто совпадают, а их суммарный вклад
определяется их полным числом т!, которое легко подсчитать из комбинаторных соображений. В самом деле, имеется 2т точек (вершин), куда “входят” или “выходят” линии взаимодействия. Из них т точек имеют “выходящую” линию, которая любым из т! способов может “войти” в оставшиеся “свободными” т вершин. Используя тождество (суммирование но Борелю):
оо 00 ГСЮ ГСО ,
£ m\zm = £ / dÇe-<(Çzr= dÇe-'-^r- (8)
тшО ni=Q Q 1
легко суммируем весь ряд для функции Грина:
С(епР) = J \iSn)2 2 çï ÇW* =
rdAp(A)(J'-V- a^<Gü(£-p)> (э)
8 Отметим, что переход к такому пределу не означает возникновения дальнего порядка. Электрон движется в гауссовом случайном поле со специфическим парным коррелятором, а не в периодической системе.
9Поочередност1> важна, чтобы электрон “не уходил” далеко от поверхности Ферми (точек rbp/т). Это не так для случая соизмеримых флуктуаций (с Q соответствующему удвоению периода), когда “приход” или “уход" любого числа импульсов Q оставляет электрон вблизи уровня Ферми. Соответственно, для этого частного случая возникает несколько иная комбинаторика диаграмм (53).
,03десь £п = (2п -г 1)ягТ и мы воспользовались всегда справедливым в одномерна условием “нсстннга” = -£р-
37
Рис. 8: Спектральная плотность (слева (1)—= 0; (2) = 0.1 (3)—£р = 0.5И') и
плотность состояний (справа) в одномерной модели нсевдощелевого состояния.
где возникла “нормальная” функция Грина диэлектрика (найерлсовского типа):
ъ(*р>=(1о>
иод знаком усреднения с так называемым распределением Релея11:
2Д а 2
Р(Д) = (11)
Нетрудно показать (доказательство можно найти в |55|), что (9) представляет собой функцию Грина электрона, движущегося во внешнем поле вида Дсоз(2рг;г + о), амплитуда которого “флуктуирует” с распределением Рэлея, а фаза ф распределена однородно на интервале от 0 до 2п.
Выполняя аналитическое продолжение ге„ —► е ± гб, из (9) получаем , что спектральная плотность:
М^р) = ~~ІтСн(єр) = + ф0(є2 - фс и'*'
7Г
(12)
имеет “нефермижидкостный" вид, показанный на левой панели Рис. 8. Таким образом, полученная функция Грина не обладает особенностями полюсного вида на действительно оси є, которые соответствовали - бы одночастичным возбуждениям квазичастичного типа.
"Это распределение хорошо известно в статистической радиофизике, см. например [54].
38
Плотность состояний электронов имеет вид:
_ Г 1 при \е\ -> оо - 1 & при |е| -+О (13)
где Лго(0) - плотность состояний свободных электронов на уровне Ферми, а Ег/г{х) ~ /д (1хех‘ - интеграл вероятностей от мнимого аргумента. Вид этой ПЛОТНОСТИ состояний. показанный на правой панели Рис. 8, демонстрирует наличие размытой псевдощели в окрестности уровня Ферми. По сути дела, эго есть плотность состояний одномерного диэлектрика со щелью шириной 2Д, усредненная но флуктуациям этой щели, определяемым распределением (11).
Замечательной особенностью рассматриваемой модели является возможность получить точное решение (просуммировать осе диаграммы) и для функции отклика на внешнее электромагнитное поле |48, 49, 55). Произвольная диаграмма для ве!>-шинной части, описывающей такой отклик, может быть получена из произвольной диаграммы для функции Грина “вставкой” в любую из электронных линий линии внешнего поля. Проводя такие “вставки” во всех диаграммах ряда для одночастичной функции Грина (9) можно просуммировать весь ряд для вершинной части и получить замкнутые выражения для функций отклика (например для поляризационного оператора) (48, 49, 55)). Однако, структура ответа понятна и без вычислений — нужно просто рассчитать отклик диэлектрика с фиксированной (целью Д. а потом усреднить результат но флуктуациям щели с распределением Релея (11). В частности, для поляризационного оператора возникает следующее изящное выражение (ч*)т = 2-птТ):
П(ча>т) = ^ (1А'Р(А)2Т X) / ^ {<3д(е„р)<?д(£п + ^тр + ч) +
+^д(*пР)*д(£п + штр + я)} =< Нд(ч^т) > (14)
где автоматически возникает произведение двух “аномальных” функций Грина:
'У(0
Аго(0)
Рис. 9: Частотная зависимость действительной части проводимости в псевдощелевом состоянии. Проводимость дана в единицах 4^7.
описывающих процессы переброса в системе с дальним порядком |55). Ввиду отсутствия дальнего порядка в рассматриваемой задаче, среднее значение (15) обращается нуль при усреднении по фазе, тогда как среднее от парного произведения в двухчастичном отклике (14) отлично от нуля. В итоге, иод знаком усреднения но флуктуациям щели здесь стоит просто поляризационный оператор диэлектрика (пайерлсовского типа).
Соответственно, для получения, например, действительной части проводимости в такой модели псевдощели достаточно усреднить выражение для действительной части проводимости одномерного диэлектрика со щелью Д [55|:
АягДи) = / -Р» М > 2Д (16)
0 при |са) < 2Д по флуктуациям амплитуды этой щели с распределением Релся (11):
(17)
где О/р = - квадрат плазменной частоты. Соответствующая частотная зависи-
мость показана на Рис. 9, где мы видим характерный размытый максимум поглощения через псевдощель.
Рассмотренная элементарная модель псевдощелевого состояния оказывается весьма полезной при решении целого ряда задач. Как будет показано в следующей главе.
40
она легко обобщается на двумерный случай в варианте модели “горячих участков” на поверхности Ферми |56]. Это позволяет (см. главу 4) проанализировать целый ряд вопросов, связанных с формированием сверхпроводящего состояния “на фоне” такой (диэлектрической) псевдощели [56, 57, 58, 59, 60|. Благодаря возможности точного аналитического решения, удается проанализировать тонкие вопросы отсутствия самоусредняемости сверхпроводящего параметра порядка в случайном поле псев-дощеленых флуктуаций [57, 59|, что указывает на возможный механизм образования локальных неоднородностей (“сверхпроводящих капель”) при температурах выше среднеполевой температуры сверхпроводящего перехода. Это может объяснить, в частности, экспериментально наблюдаемые 12 проявления сверхпроводимости в этой области, которые обычно интерпретируются в сценарии сверхпроводящей псевдощели. Возможна и прямая связь с картиной неоднородной сверхпроводимости, наблюдаемой в STM экспериментах [13, 14].
Наряду с очевидными достоинствами модели заметны и ее существенные недостатки. В частности, совершенно нереалистической является асимптотика бесконечной корреляционной длины псевдощелевых флуктуаций.
2.2.2 Конечная корреляционная длина.
Учет эффектов конечности корреляционной длины представляет собой весьма сложную задачу. Для одномерной модели такое обобщение было впервые предложено в работе [50]. К сожалению, эту задачу нельзя решить точно, однако можно сформулировать некоторый весьма эффективный приближенный Ansatz, позволяющий выписать явное выражение для любой диаграммы произвольного порядка. Итак, будем рассматривать рассеяние электронов с линеаризованным спектром = ^f(IpI ”Рг) в гауссовом случайном поле с коррелятором (5). С ростом порядка теории возмущений интегрирования становятся все более громоздкими, однако ситуация заметно упрощается, если при проведении интегрирований пренебречь вкладом вычетов от всех полюсов, кроме полюсов лоренциаиов Vcfj{q) (о). Отметим, что такое приближение ,2Например, аномальный эффект Иернста
41
f
Рис. 10: Пример диаграммы для СЭЧ 1-го порядка (а) и равной ей диаграмме без пересечения линий взаимодействия (Ь) с расставленными “начальными” (г) и “конечными” (/) вершинами, числами п3 и комбинаторными множителями «(/:).
становится просто точным, когда вектор рассеяния (^ < рг и рассеяние электронов происходит только на одной (“правой” или “левой ') ветви линеаризованного спектра. Это связано с тем, что для электрона, рассеивающегося в пределах одной ветви спектра, скорость не меняет знак и все полюса электронных функций Грина лежат в одной комплексной полуплоскости. В интересующем нас сейчас случае С} = 2р? это конечно не так, однако такое приближение является весьма эффективным и в этом случае ( см. Приложение А) и позволяет просуммировать все диаграммы теории возмущений. Действительно, в таком приближении любая диаграмма т-го порядка для собственно - энергетической части (СЭЧ) сводится к виду:
где п, число линий взаимодействия, охватывающих j-ю функцию Грина в данной диаграмме. В этом и состоит смысл предложенного Ansatz а! Фактически, он является точным в пределе £ —>■ оо (или к —> 0), что очевидно из прямого сравнения с результатами рассмотрения этого предела, проведенного выше. Таким образом, для Q = 2рр точно учитывается рассеяние назад (с одной ветви спектра на другую) на вектор Q, а приближенно учитываются только малые (при больших £) “отклонения” от вектора рассеяния Q = 2рр. Отметим также, что Ansatz становиться точным и в обратном “тривиальном” предельном случае к —> оо, когда эффективное взаимодействие (5) просто пропадает. В результате, Ansatz (18) обеспечивает эффективную интерполяцию между двумя точными пределами.
Обозначим, как показано на Рис. 10, буквами і и / “начальные” (слева на диаграмме) и “конечные” (справа) вершины, принадлежащие любой линии взаимодействия.
2m —1
(18)
42