Кинетические явления в неоднородных средах

Содержание
1 Введение 4
1.1 Фракталы : метрическая и топологическая размерности ... 6
1.2 Проблемы описания диффузии и проводимости на фракталах
и в неупорядоченных системах.............................. 11
1.3 Причины немаксвелловской релаксации заряда в неоднородных средах..................................................... 16
1.4 Гетерофазные двумерные среды ............................. 18
2 ’’Аномальные” случайные блуждания: точно решаемые мо-
дели и обобщенные диффузионные уравнения 38
2.1 Рснорм-групповое описание диффузии на фракталах 39
2.2 Гребсшковая модель перколяционных кластеров 46
2.3 Многомерное обобщение гребешковой модели 51
2.4 Диффузия по гребешковой структуре с ребрами конечной
длины 55
2.5 Диффузия по случайным гребешковым структурам 61
2.6 Случайные блуждания в среде с непрерывным распределе-
нием времен захвата на ловушки -continious time random walks 73
2.7 Диффузия Леви по самоподобным кластерам 77
Проводимость и дрейф в средах с ’’аномальной” диффу-
зией 82
31 Соотношение Эйнштейна для обычной диффузии 82
3.2 Дрейф в модели гребешковой структуры 85
3.3 Нелинейная подвижность при диффузии Леви 87
3.4 Скэйлинговое описание нелинейной подвижности 91
3.5 Численное моделирование дрейфа при диффузии по самопо-
добным кластерам 95
3.6 Захват на перколяционных путях в ловушки, индуцирован-
ные электрическим нолем 98
4 Релаксационные процессы немаксвелловского вида в неод-
нородных средах 103
4.1 Релаксация заряда на фракталах 106
4.2 Растекание заряда на гребешковой структуре 109
4.3 Диффузия и релаксация взаимодействующих электронов . . . 112
4.4 Распределение электрического потенциала и растекание за-
ряда в бикристалле 116
4.5 Релаксация заряда в слоистых и случайно неоднородных двух-
фазных средах 119
2
4.6 Осцилляционный характер релаксации заряда в условиях квантового эффекта Холла.........................................131
5 Дуальная симметрия и эффективные характеристики двухфазных сред 136
5.1 Линейные преобразования поворота и эффективная проводимость двумерных двухфазных сред...............................138
5.2 Соотношения дуальности для эффективных характеристик двухфазных сред в магнитном поле .............................146
5.3 Линейный изоморфизм (взаимно-однозначное соответствие) между задачей проводимости без магнитного поля и задачей
о гальваномагнитных свойствах ...........................151
5.4 Линейные преобразования поворота как дробно-линейные конформные преобразования .......................................156
5.5 Соотношения дуальности для критических индексов задачи нелинейного протекания........................................166
5-6 Численное моделирование задачи нелинейного протекания . . 175
6 Макроскопическое описание квантового эффекта Холла в
гетерофазных средах 179
6.1 Устойчивость плато холловской проводимости в неоднородном случае....................................................180
6.2 Эффективная холловская проводимость многофазных сред . 188
6.3 Модель "шахматной” доски и проводимость многофазных без-диссипативных холлловских сред............................... 192
6.4 Локальное распределение токов в двоякопериодических структурах в условиях КЭХ..........................................194
6.5 Двоякопериодические среды с диэлектрическими и сверхпроводящими включениями .........................................199
7 Приложение: интегро-дифференцирование дробного иорядка210
7.1 История интегро-дифференцирования дробного порядка ... 211
7.2 Основные определения : интегралы Римана-Лиувилля. интегралы Вейля и их свойства.....................................213
7 3 Примеры вычислений........................................215
7.4 Дробное дифференцирования аналитических функций .... 218
7.5 Преобразования Фурье и Лапласа и дробное иитегродкффе-ренцированис ................................................ 218
Глава 1
Введение
Актуальность проблемы
В настоящее время наблюдается значительный интерес к исследованию неоднородных и неупорядоченных систем. К ним относятся аморфные и композитные материалы, сильно легированные и компенсированные полупроводники, гетерофазные среды со случайным и периодическим расположением фаз. Необходимость исследований обусловлена следующими обстоятельствами. Во-первых, развитие физики неупорядоченных материалов во многом определяет современный уровень развития физики конденсированного состояния вещества. Это связано как с использованием самых современных подходов и методов при их исследовании, так и необычностью физических процессов в этих средах. Во-вторых, широким применением таких материалов в микроэлектронике и других областях техники. В качестве примера укажем использование аморфного кремния в солнечных батареях , а также проблему повышения быстродействия интегральных схем за счет использования материалов с
4
малой диэлектрической проницаемостью к, что достигается путем применения пористых диэлектриков - проблема ”1<ш - /с” диэлектриков.
Однако в отличие от высокого уровня качественного понимания и количественного описания явлений, происходящих в кристаллических твердых телах, физические представления о неупорядоченных материалах не столь развиты. Многие понятия и методы традиционной физики кристаллических твердых тел нельзя непосредственно применять для описания неупорядоченных сред, поскольку последние не обладают трансляционной инвариантностью.
Качественное понимание процессов переноса в сильно неоднородных средах : от движения электрона в случайном потенциале до исследования макроскопических характеристик - диффузии, проводимости, просачивания и фильтрации воды связаны с теорией протекания (percolation). Эта теория впервые была предложена при описании фильтрации воды в пористых средах [1]. Основой теории протекания являются представления о связности системы, такие как ”порог протекания”- критическая доля проводящего объема, при которой впервые возникает связность в системе, и ’’бесконечный кластер” как совокупность токонесущих путей, проходящих через всю систему. Поэтому теория протекания адекватно описывает критическое поведение и корреляции на больших масштабах вблизи порога протекания в системах с геометрическим фазовым переходом по связности. Иначе говоря, большой класс явлений, для которых связность играет решающую роль, можно изучать методами теории протекания. К ним относятся проблема ”андерсоновской” локали-
5
зации носителей в разупорядоченных средах [2], [3], прыжковая проводимость в аморфных твердых телах [4], распространение эпидемий, динамика популяций и др. Однако посредством теории протекания можно описывать также задачи и с некритическим поведением, такие как диффузия пассивной примеси в случайном иоле скоростей несжимаемой жидкости [5]. Отметим также, что задачи теории протекания легко моделируются на ЭВМ.
В последние годы для описания неупорядоченных и сильно неоднородных сред перколяционного типа широко используются понятия фрактальной геометрии. Фрактальная структура оказалась присуща многим физическим явлениям. В свою очередь, фрактальные размерности отражают симметрию фрактальных структур относительно масштабных преобразований и в силу своей универсальности могут служить характеристиками изучаемых систем. Согласно сложившейся точке зрения фракталы разделяют на два класса : регулярные и случайные, статистические [б]. Примерами регулярных фракталов могут служить разнообразные паркеты Серпинского. Перколяционные кластеры на пороге протекания относятся к статистическим фракталам.
1.1 Фракталы : метрическая и топологическая размерности
Впервые понятие фрактала в физике возникло в задаче об определении длины береговой линии [7]. Оказалось, что с уменьшением масштаба измерения длина береговой линии возрастает. Это связано с тем, что при уменьшении масштаба измерения
6
разрешается все более тонкая структура линии побережья, поэтому длина береговой линии возрастает. Расходимость длины при уменьшении масштаба измерения связана с неправильным представлением о данной кривой как одномерном объекте. На самом деле, береговая линия имеет более высокую, дробную размерность - промежуточную между размерностями прямой и плоскости. Поясним это на следующем примере [8]. Попытаемся описать двумерную область однопараметрической линией. Линия заполнит область, образуя что-то вроде решетки. Расстояние между полосами будет порядка Л, а число квадратов порядка Л“2. Сумма длин отрезков ломаной равна Л-1 и при уменьшении масштаба измерения расходится. Дело в том, что область двумерна и надо подсчитывать не длину, а площадь, т.е. суммировать квадраты длин. В случае извилистых кривых типа береговой линии, соответственно, надо суммировать дробные степени длин.
Рассмотрим свойства фракталов более подробно на примере паркетов. Простейший треугольный паркет получается следующим образом . Равносторонний треугольник делится на четыре равных треугольника: центральный треугольник выбрасывается. Аналогичная процедура проделывается с каждым из оставшихся треугольников и так до бесконечности - см. рис.
1. Как уже говорилось выше, фрактальные объекты описываются хаусдорфовыми размерностями. Опишем вкратце способ вычисления фрактальной размерности. Строится последовательность кружков радиуса Я , покрывающих фрактальный объект, и подсчитывается площадь объединения всех кружков. Площадь перекрытия нескольких кружков учитывается только
7
X
Рис. 1 Трсугольный паркет Серпинского
к
один раз. Показатель, описывающий убывание площади с уменьшением радиуса и определяет размерность структуры.
В случае точки получим размерность 0, для гладкой кривой или плоскости соответственно, имеем размерность 1 или 2. У фрактальной кривой суммарная площадь объединений кружков равна Rdr Если 1 < dj < 2 , то фрактальная кривая занимает положение, промежуточное между линией и плоскостью. Согласно Хаусдорфу, размерность такого объекта равна :
D = 1 - dj
Описанный выше способ введения фрактальной размерности соответствует нашему интуитивному представлению о том, что если фрактальный объект уложить полным компактным образом, без пустот , то он займет область меньших размеров, а именно, пространство дробной размерности.
Остановимся на основных предположениях, лежащих в основе понятия фракталов. Когда мы говорим о расходимости длины береговой линии, то ясно, что это некая математическая идеализация. На самом деле, принципиальная возможность изме-
■ рить длину, например, с точностью до атомных размеров суще-
/
[
ствует. Поэтому понятие ” монофрактал а” вводится для описания промежуточной области: характерный размер мал, но все еще много больше микроскопических размеров системы. С другой стороны, можно представить кривую со сложной иерархической структурой, состоящей из участков с разной степенью извилистости. При этом вероятность появления некоторых участков может быть различна. Тогда такую структуру не опишешь одной размерностью, для каждой системы участков потребуются свои размерности. Следовательно, необходимым условием
9
понятия "монофрактального” объекта является предположение о случайности фаз в соответствующих спектральных разложениях. В общем случае приходится вводить понятие ”мульти-фрактал” - объекта, описываемого системой фрактальных размерностей.
Помимо метрической хаусдорфовой размерности для любого множества точек евклидового пространства можно также ввести топологическую размерность множества. Она определяется следующим образом. Топологическая размерность любого конечного счетного множества точек равна нулю; топологическая размерность связного множества равна ф 4- 1, если это множество можно разрезать на две несвязные части исключением (1Г мерного множества точек (проведением ф - мерного разреза). С учетом вышесказанного определим: фракталы -это множества с различными метрической и топологической размерностями. Подробное обсуждение свойств фракталов см. [10],[11].
В математике такого рода объекты также известны. Это функции Вейерштрасса - непрерывные функции, не имеющие производных, кривые Пеано, плотно и без самопересечений заполняющие пространство, паркеты Серпинского. С современной точки зрения, странные свойства выше упомянутых функций и кривых объясняются тем, что эти объекты имеют дробную размерность.
Физика фрактальных объектов интересна и необычна. Наиболее удивительным представляется то, что многие физические законы, будучи применены к фрактальным объектам, теряют свою универсальность: одни и те же явления в евклидовом про-
10
странстве и на фрактальных объектах носят совершенно различный характер. Наиболее ярко необычные свойства фрактальных и неупорядоченных сред проявляются в кинетических явлениях. Как известно, к ним относятся процессы случайных блужданий, релаксационные процессы и процессы переноса. Итак, объектом настоящих исследований являются кинетические явления в неоднородных и неупорядоченных средах, а как будет показано ниже, наиболее адекватным оказывается метод обобщенных интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка. Основное внимание будет уделено выявлению новых физических закономерностей, обусловленных неоднородностью сред. Таким образом, в целом можно говорить о проблеме ^следования кинетики в неоднородных и неупорядоченных средах.
Ниже мы более подробно остановимся на проблемах, которые возникают при исследовании кинетики в неоднородных средах, а также о тех результатах, которые были получены к моменту начала исследований.
1.2 Проблемы описания диффузии и проводимости на фракталах и в неупорядоченных системах
Наиболее известным примером необычной кинетики на фракталах является изменение характера диффузии при случайном блуждании. Это явление получило название ’’аномальной” диффузии [12], [1,3] . Аномальность заключается в необычной степенной зависимости среднеквадратичного смещения от времени:
<х2(г) >~<2/<2+*> (1.1)
п
Отклонение от линейной зависимости по времени поначалу было неожиданным , поскольку эта зависимость считалась универсальной. Поэтому закон (1.1) многократно проверялся путем численного моделирования. Первые работы по моделированию диффузии на перколяционных кластерах были выполнены в 80-х годах г14],[15]. Расчеты проводились на решетках размера 50 * 50 и временем блуждания 103 . Были получены оценки для критического индекса аномальной диффузии. Случайное блуждание и поправки к скэйлинговому закону (1.1) изучались также в (16]. Наиболее полное численное моделирование аномальной диффузии для дву- и трехмерного случаев вблизи порога протекания было выполнено в исследованиях [17],[18]. Необходимость выполнения большого числа усреднений из-за неоднородности среды требует значительного времени, поэтому вычисления проводились на векторном компьютере.
Такая степенная зависимость (1.1) для систем вблизи порога связности является следствием масштабной инвариантности перколяционных систем. Отметим также, что в отличие от диффузии в евклидовом пространстве случайное блуждание на фракталах оказывается чувствительным к мерности пространства. Это связано в свою очередь с разной структурой перколяционных путей: в плоскости все протекательные пути сильно продублированы, в то время как в трехмерном пространстве пути, в основном, имеют одножильный характер. Изменение характера диффузии обусловлено сложной геометрией протека-тсльных путей. В него дают вклад и извилистость путей, и наличие тупиков. Влияние извилистости на случайное блуждание очевидно. Диффузионному смещению вдоль одномерной иэ-
12
вилистой кривой будет соответствовать существенно меньшее смещение в евклидовом пространстве. В работах [19],[20] рассматривалось изменение характера диффузии за счет тупиков -участков протекательных путей, прикрепленных одним концом к токонесущим участкам протекательных путей, в гребешко-вой модели. С помощью техники производящих функций изучалось асимптотическое поведение среднеквадратичного смещения от времени и было показано, что наличие тупиков бесконечной длины приводит к аномальной зависимости (1.1) с критическим индексом 9 = 2. Рассмотрение аномальной диффузии в этой же модели посредством производящих функций было выполнено также в работе [21]. Однако в этих работах не было получено уравнения для аномальных случайных блужданий, а для функции Грина было предложено неправильное экстраполяционное выражение в гауссовом виде.
Существует глубокая аналогия между критическими явлениями в фазовых переходах второго рода и поведением систем с геометрическим переходом по связности. Она основана на масштабной инвариантности, присущей обоим классам явлений вблизи точки перехода. Поэтому для описания перколяционных кластеров была сформулирована гипотеза подобия как и в теории фазовых переходов второго рода и установлены соотношения между критическими индексами теории протекания. Наиболее полное освещение статических свойств перколяционных кластеров дано в обзоре [9] и последующей книге [11]. Наряду со скэйлинговон гипотезой в теории неупорядоченных систем успешно используются ренорм-групповыс подходы. Широкое применение этих подходов в теории протекания связано с нали-
13
чием наглядных моделей типа паркетов Ссрпинского. Впервые необычные свойства этих моделей и транспорт на них рассматривался в [14]. В дальнейшем аномальный транспорт на фракталах изучался во многих работах [22], [23]. Отметим также еще две работы, интересные в идейном плане. В первой из них [24] было введено понятие о локальных колебаниях на фракталах - ’’фрактонах” и вычислена из скэйлинговых соображений плотность состояний. Используя аналогию между диффузией и локализацией, авторы [25] пришли к интересному выводу о локализации электронных состояний на фракталах. К сожагсе-нию, и скэйлинговая теория и ренорм-групповой подход применительно к задачам диффузии позволяют представить только качественную картину явлений.
При строгом описании проблемы "аномальной” диффузии возникает вопрос о методе описания. Как будет показано ниже путем исследования микроскопических моделей адекватным способом описания оказываются интегро-дифференциальные уравнения дробного порядка. Однако согласно обзору [7] аппарат обобщенных производных дробного порядка ранее не использовался для описания диффузии на фракталах. Поэтому возникают проблемы как обоснования применимости обобщенных уравнений дробного порядка, так и физической интерпретации производных по времени (пространству) дробного порядка. Помимо собственно уравнений диффузии значительный интерес представляют как явный вид функции распределения вероятности в задачах с аномальной диффузией, так и статистика аномальных блужданий.
Другой важной проблемой является исследование связи между
14
диффузией и проводимостью при аномальном характере случайного блуждания. Впервые этот вопрос для обычной диффузии рассматривался Эйнштейном и было получено известное соотношение:
ц = ЯП/кТ (1.2)
Здесь /л - подвижность частицы, О - коэффициент диффузии, <7 - заряд электрона, Т - температура, к - постоянная Больцмана. Эти же рассуждения можно повторить и для перколяционных кластеров выше порога протекания. Как известно, проводимости выше порога протекания приписывается свой критический индекс [26]:
(т(х)~<тъ\х-хс\' (1.3)
Поскольку в проводимости могут участвовать только носители, попавшие на бесконечный кластер (БК), постольку проводимость должна быть пропорциональна плотности БК Р(х) ~ |х — хс\р. Но, как показали многочисленные исследования, большая часть БК не проводит, поэтому для описания сложной геометрической структуры протекательных путей было введено представление об эффективном коэффициенте диффузии:
0(х) = а(х)!Р(х) гг А>|* - хсГ (1.4)
Критический индекс коэффициента диффузии связан с индексами проводимости и плотности соотношением:
1-Р = 0и (1.5)
Аналогичная связь между критическими индексами была получена при случайном блуждании на фракталах [13], [22]. В этих работах заранее предполагается справедливость линейного отклика в средах с аномальным характером диффузии. Это так
15
при обычной диффузии, но совсем неочевидно в общем случае. Ниже будет показано, что вследствие аномальной диффузии в сколь угодно слабых полях возможен нелинейный отклик системы.
Подчеркнем также, что введение электрического поля в задачу о диффузии в неоднородной среде сильно усложняет проблему и это связано с двоякой ролью поля в неоднородных средах. С одной стороны, оно индуцирует дрейф в направлении поля. С другой, электрическое поле порождает ловушки. Ими являются тупики и участки на токонесущих путях, направленные против поля. Согласно работам [27],[28] конкуренция указанных эффектов может привести к немонотонной зависимости скорости от поля.
1.3 Причины немаксвелловской релаксации заряда в неоднородных средах
Задача исследования релаксационных процессов в аморфных и стеклообразных материалах имеет достаточно долгую историю. Во многих экспериментах в этих материалах наблюдается не-максвелловский характер релаксационных процессов, а для описания используются эмпирические законы, например, дробно-экспонснциалытый закон Кольрауша. Тем не менее, физическая природа немаксвелловских релаксационных процессов остается невыясненной до конца. Кроме того, можно поставить более общий вопрос о влиянии неоднородности на релаксацию заряда в проводящих средах. Сохранится ли вообще максвелловское поведение в неоднородных средах и на фракталах, а если изме-
16
нится, то каким образом? Казалось бы, релаксация в неоднородных средах может быть описана максвелловским законом
р(0 = ро ехр(-4тг<71) (1.6)
с заменой проводимости среды <7 на эффективную проводимость ас. Однако точное рассмотрение задачи показывает, что на самом деле это не так и неоднородность среды приводит к существенно немаксвелловскому поведению. Например, на регулярных фракталах и в смеси металл- диэлектрик на пороге протекания заряд релаксирует степенным образом. Согласно выполненным исследованиям немаксвелловскал релаксация обусловлена следующими причинами. Первая состоит в том, что смещение частиц в сильно неоднородных средах и на регулярных фракталах возможно только вдоль некоторых проводящих линий, в то время как электрическое поле существует во всем пространстве. Впервые на такую причину немаксвелловского поведения было указано при исследовании релаксационных процессов в системах пониженной размерности в работах [29],[30]. В гетерогенных многофазных средах немаксвелловское поведение обусловлено появлением частотной дисперсии эффективной проводимости многофазных сред, состоящих исходно из бсздис-персных фаз. В свою очередь частотная дисперсия является следствием возникновения поверхностного заряда на границе раздела фаз в гетерогенных многофазных средах, который и отслеживает изменение электрического поля со временем. В условиях квантового эффекта Холла в однородной среде смещение заряда невозможно - заряд ” замораживается”. И только учет неоднородности приводит к растеканию заряда вдоль пространственных неоднородностей. На возможность немаксвел-
17
>
ловского поведения вследствие появления частотной дисперсии эффективной проводимости неоднородных сред, по-видимому, впервые указано в работах автора.
1.4 Гетерофазные двумерные среды
Как классическая модель для исследования процессов переноса в неоднородных средах двухфазная среда давно привлекает внимание исследователей. Например, проводимость этой системы в приближении эффективной среды рассматривалась еще в 1952 [31]. (Там же изложена и библиография по этому вопросу). Ск-эйлинговый подход для описания проводимости сильно неоднородных сред вблизи порога протекания был развит в (32]. Точный подход для изучения свойств двумерной двухфазной среды был предложен в работах [33], [34], [35]. Он основан на своеобразной симметрии двумерных уравнений постоянного тока относительно линейных преобразований поворота. Были получены точные выражения для эффективных характеристик среды на пороге протекания, в том числе и в магнитном поле. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах [36], [37], [38]. В частном случае шахматной структуры были определены не только эффективные характеристики, но и локальное распределение токов и полей в системе [39],[40]. При этом был выявлен и физический смысл преобразований Дыхне [41]. В последнее время метод Дыхне получил развитие и был использован для исследования протекания тока в режиме квантового эффекта Холла [42]. Были найдены макроскопические характеристики сред в условиях квантового эффекта Холла, изучено влияние
18
границы раздела фаз на свойства эффективных параметров.
Дальнейшим направлением исследований гстерофазных сред является изучение нелинейных свойств таких сред, поскольку сильно неоднородное распределение токов (полей) в многофазных средах ведет к отклонению от закона Ома даже не в очень сильных полях. В работах [43], [44] были определены эффективные нелинейные характеристики гетерогенных сред. Кроме того, в [45],[46] изучались высокие моменты электрического тока и поля, начиная с четвертого. Показана связь этих моментов с задачей о шумах в неоднородных средах [47],[48]. Однако, исследование нелинейных свойств неоднородных сред ведется или путем численного моделирования, или в приближении ээфек-тивной среды. Использование приближения эффективной среды для задач нелинейного протекания ,в свою очередь, требует дополнительного обоснования.
Цель и задачи работы
Целью данной работы является исследование кинетических явлений в неоднородных и неупорядоченных системах : случайных "аномальных” блужданий с субдиффузионным и су пер диффузионным поведением, релаксационных процессов немаксвелловского вида и протекания тока в двумерных гетерофазных средах в режиме квантового эффекта Холла и нелинейном случае. Для этого необходимо было на основе точно решаемых моделей с аномальным характером случайных блужданий разработать общий подход для описания "аномальной” диффузии, установить обобщенные законы немаксвелловского вида для релакса-
19
ционных явлений в различных гетерогенных средах, а также провести дальнейшее обобщение метода, предложенного академиком А.М. Дыхне для описания двухфазных двумерных сред, на нелинейный случай.
Для достижения общей цели работы ставились следующие задачи :
1. Разработать общий метод описания "аномальной” диффузии на основе обобщенных интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка, а именно, вывести и обосновать необходимость использования таких уравнений на основе рассмотрения микроскопических моделей с "аномальной” диффузией.
2. Исследовать связь между диффузией и проводимостью при ”аномальном” характере случайных блужданий, выявить влияние электрического поля на дрейф частиц и статистику аномальных блужданий .
3. Провести численное моделирование дрейфа частиц при диффузии Леви и на перколяционных кластерах с целью проверки развитых модельных представлений.
4. Изучить причины немаксвелловского релаксационного поведения на фракталах и гетерогенных средах и установить обобщенные релаксационные законы.
5. Исследовать задачу нелинейного протекания тока в среде, состоящей из фаз с различными нелинейными вольт-амперными характеристиками , а именно, вывести точные соотношения дуальности для критических индексов , описывающих отклик нелинейной неоднородной системы и установить значение индекса на пороге протекания.
6. Исследовать протекание тока в гетерофазных средах в
20
условиях квантового эффекта Холла, именно, изучить влияние неоднородности на. устойчивость плато холловской проводимости, определить эффективные характеристики и распределение локальных токов в многофазном случае.
Важность решения задач диссертации обусловлена тем, что это позволило бы продвинуться в построении теории ” аномальных” случайных блужданий на основе обобщенных диффузионных интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка, провести изучение связи диффузионной проблемы с задачами . проводимости в общем случае, предсказать новые эффекты -неомического нелинейного поведения в гетерогенных и фрактальных средах. Изучение релаксационных процессов в неупорядоченных системах дало бы возможность установить качественно иное - немаксвелловское поведение в этих средах и выяснить природу такого поведения. Исследование задач нелинейного протекания позволило бы найти эффективный отклик системы в нелинейном случае, именно, определить значение критического индекса, описывающего нелинейную зависимость тока от электрического поля. Решение поставленных задач также существенно помогло бы продвинуться в понимании специфики протекания тока и локальных распределений токов (полей ) в режиме квантового эффекта Холла.
Научная новизна:
Для описания аномальной диффузии предложены обобщенные интегро-дифференциальные уравнения дробного порядка. На основе рассмотрения микроскопических моделей обоснована не-
21