Содержание
1 Введение 3
1.1 Актуальность проблемы............................ 3
1.2 Описание системы................................. 14
1.3 Постановка задачи................................ 19
1.4 Методика исследования. Научная новизна. Научная и
практическая значимость.......................... 19
1.5 Основные положения, выносимые на защиту.......... 21
1.6 Апробация результатов............................ 22
1.7 Структура и объем диссертации.................... 22
2 Инерционное нелинейное преобразование белого шума 26
2.1 Постановка задачи................................ 26
2.2 Уравнение Фоккера - Планка....................... 33
2.3 Приближенный метод для определения функции
корреляции и спектра нелинейной системы.......... 36
2.4 Примеры моностабильных систем, описываемых кусочно-
лннейнымн потенциалами........................... 43
3 Инерционное нелинейное преобразование аддитивной
смеси гармонического сигнала и белого шума 53
3.1 Постановка задачи................................ 53
3.2 Преобразование шумов и сигналов линейными системами .55 ц
3.3 Теория линейного отклика ............................... 57
3.4 Флуктуационно-диссипационная теорема............. 61
3.5 Выходные параметры на основе приближенного метода . . 63
3.6 Примеры моностабильных систем, описываемых кусочнолинейными потенциалами 64
3.7 Моностабильная система, описываемая гладким
потенциалом...................................... 90
4 Заключение 95
2
1 Введение
1.1 Актуальность проблемы
Одним из важнейших направлений современной радиофизики является исследование статистических характеристик случайных процессов в нелинейных инерционных системах. В этой области активно ведутся как теоретические, так и экспериментальные исследования. Актуальность подобных исследований обусловлена важностью большого числа приложений, возникающих в многочисленных разделах науки и техники.
В качестве простого примера нелинейной инерционной системы можно рассмотреть обычный детектор, простейшие схемы которого приведены на рис. 1. Напряжение на выходе данных систем ;г подчиняется дифференциальным уравнениям первого порядка (см., напр., [1]), а именно, для схемы рис. 1. а:
сіх х 1 .
м=~1с + ср{и-х)'
и для схемы рис. 1, б:
здесь F (:с) - нелинейная функция вольтамперной характеристики диода, и - входное напряжение. Связь между входной и и выходной х переменными является не только нелинейной, но и инерционной.
-с*
и{і) я у Су *(0 «(0 іДл')у Су а) б)
Рис. 1: Простейшие схемы детектора.
Представление любой сложной системы зависит от правильного учета информационного обмена между ее компонентами. Практически во всех естественных и искусственных системах информация о сигнале
3
смешивается с шумом. Традиционно считается, что воздействие шумов затрудняет обнаружение сигналов, так как, с точки зрения классической радиотехники, наличие флуктуаций в системе может только ухудшать се характеристики (см., напр., |1|). Широко известны проблемы, связанные с ограничением чувствительности усилителей и конечностью ширины спектральной линии генераторов, что обусловлено воздействием естественных и технических шумов |2|, [31. (4|. В силу дискретности строения материи флуктуационные явления присущи всем реальным системам и принципиально неустранимы [5].
Болес того, задача о влиянии шумов на поведение реальных электронных систем с каждым годом становится все актуальнее. Например, плотность размещения транзисторов на кристаллах микросхем в полном соответствии с законом Мура удваивается каждые 24 месяца. Одновременно с увеличением числа транзисторов снижается их напряжение питания, становясь сравнимым с уровнем шума. Таким образом, шумы оказывают все большее влияние на работу микросхем.
С другой стороны, в последние десятилетия в литературе большое внимание стало уделяться флуктуационным явлениям в нелинейных системах, которые невозможно объяснить на основе классической теории, где шум является мало возмущающим фактором, приводящим лишь к отклонениям от среднеію. Множество накопившихся экспериментальных фактов указывает на наличие достаточно большого количества неравновесных систем, где источники шума могут не только мешать работе нелинейных устройств, но и, наоборот, играть конструктивную роль, например: существенно увеличивать чувствительность систем, увеличивать упорядоченность в системах и вызывать возникновение болсс регулярных структур (б), [7],
подавлять внутренние шумы с помощью внешнего шумового сигнала [8], синхронизировать фазу в системах с несколькими степенями свободы [9], синхронизировать хаотические колебания [10|, [11]
и хаотизировать периодические колебания (12), [13]. Шум может индуцировать некоторые режимы, которые в отсутствии флуктуаций принципиально нереализуемы. В частности, индуцированный шумом хаос представляет собой явление, при котором шум является причиной возникновения хаотического аттрактора, когда динамически связываются два инвариантных состояния: периодический аттрактор и неустойчивое шумовое состояние (см., напр., [14), [15|, [16|, [17|, [18], (19), |20), [21)). Изменение уровня шума может значительно
4
изменять (в том числе минимизировать и максимизировать) выходные характеристики нелинейной системы, на вход которой поступает слабый сигнал (см., напр., [5], [22], [23], [24], [25]). Шум может вызывать и оптимизировать временную регулярность динамической системы, невзирая на присутствие других внешних сил, так называемый когерентный резонанс (см., напр., [26]).
Также при определенных параметрах шум может выступать в роли переносчика информации [27], [30], [28], [29]. Существенна роль флуктуаций в процессах детектирования, кодирования, а также дальнейшей передачи информации по нейронным сетям (см. обзор |31|). Известно, что при квантовании амплитуды аналогового сигнала неизбежны искажения и потеря информации о форме сигнала. Для уменьшения искажений и восстановления формы сигнала еще с 1950-х годов перед квантованием к аналоговому сигналу подмешивали шум малой! величины. Данный технологический прием получил название “размывание” или подмешивание ггсевдослучайного шума [32|.
Одним из наиболее ярких примеров, иллюстрирующих конструктивную роль шума в нелинейных системах, является стохастический резонанс. Стохастический резонанс - это кооперативный эффект в нелинейных системах, при котором энергия шума, распределенная по широкому спектру, перекачивается в выходную энергию на частоте входного сигнала [33]. Эффект стохастического резонанса определяет группу явлений, в которых отклик нелинейной системы на слабый внешний периодический сигнал (обычно в бистабильной системе) может быть усилен аддитивным внешним шумом определенной оптимальной интенсивности [34]. То есть стохастический резонанс предоставляет возможность усиливать за счет шума сигналы с амплитудой существенно меньшей его интенсивности [33]. При этом интегральные характеристики на выходе системы имеют отчетливо выраженные максимумы при некотором оптимальном (“резонансном”) уровне шума [5].
Термин “стохастический резонанс” впервые был введем группой итальянских ученых в работах [22], [23], [24], [35] в 1981-1982 гг. при описании периодичности глобальных оледенений на Земле на основе модели бистабильного осциллятора [5]. Качественно исследовалось явление смены эпох оледенения, используя уравнение для температуры поверхности Земли, которое имеет вид сверх вязкого движения легкой частицы в симметричном бистабильном потенциале под действием
5
слабой внешней периодической силы. Устойчивые положения потенциала соответствовали ледниковому и нормальному периодам. Колебаниям эксцентриситета Земной орбиты соответствовала периодическая сила. Реальная амплитуда периодической силы не в состоянии обеспечить переход из одного устойчивого состояния системы в другое. Подобные переходы стали возможными только после введения в модель случайной силы. Таким образом, именно наличие шума обеспечивает смену устойчивых состояний в данной модели.
Впервые экспериментальное наблюдение явления стохастического резонанса имело место в бистабильной электронной цепи (триггер Шмитта) [36] и двунаправленном кольцевом лазере [37]. Триггер Шмитта может быть реализован на основе операционного усилителя (см., напр., [31]) (рис. 2). В работе [36] установлено, что имеет место эффект захвата частоты, то есть внешний периодический сигнал в определенном диапазоне интенсивностей шума синтезирует стохастическую динамику процесса. Впервые попытка теоретического описания эффекта через приближенные уравнения для населенностей устойчивых состояний предпринята в работе [37]. Для описания явления было использовано отношение сигнал-шум на выходе системы. Как показали измерения, шум на входе может привести к заметному увеличению отношения сигнал-шум па выходе, а зависимость этого отношения как функция интенсивности входного шума имеет ярко выраженный максимум. Следовательно, в системе существует оптимальный уровень шума, при котором периодическая компонента сигнала усиливается максимально
Рис. 2: Электрическая схема трипера Шмитта на основе операционною усилителя.
Как говорилось выше, добавление шума при квантовании амплитуды аналогового сигнала позволяет уменьшить ошибки квантования. При
15|.
и(і)
г
г
I
6
определенном уровне шума данная ошибка становится минимальна, а, следовательно, аналого-цифровое преобразование наилучшее, то есть наблюдается явление, похожее на эффект стохастического резонанса, которое фактически впервые описано в работах |38], [39] и используется но сей день.
В работах [40], [41], [42] теоретически и экспериментально
рассмотрена модель однобитного запоминающего элемента, созданного с использованием явления стохастического резонанса. Схема состоит из кольца двух идентичных сверхвязких бистабильных осцилляторов (два объединенных в кольцо триггера Шмитта) (рис. 3). Показано, что существует оптимальный уровень шума, эффективность работы данной системы при котором максимальна, то есть наблюдается эффект стохастического резонанса.
Рис. 3: Структурная схема однобитного элемента памяти, выполненного на основе кольца двух идентичных триггеров Шмитта (Till).
За прошедшие 30 лет с момента открытия данного явления количество работ по проблеме стохастического резонанса достигло большого числа и продолжает с каждым годом увеличиваться весьма быстрыми темпами (в настоящее время более 4000 журнальных статей) [33]. По проблеме стохастического резонанса кроме международных конференций и рабочих совещаний изданы монографии [43], [44], [45], специальные выпуски научных журналов и опубликованы обзорные статьи [5], [31], [46], [47], [48], [49], [50], [51], [52]. Состоялись международные форумы, целиком посвященные данному явлению в г. Сан-Диего (США, 1992 г.), в г. Эльба (Италия, 1994 г.), в г. Дрезден (Германия, 2004 г.), в г. Перуджа (Италия, 2008 г.) (см. обзор [33]). Неослабевающий интерес объясняется существенным расширением области приложения эффекта, а также одновременным возникновением множества разновидностей
явления, таких как двойной стохастический резонанс, когерентный стохастический резонанс, апериодический стохастический резонанс, адаптивный стохастический резонанс, стохастический резонанс, возникающий при изменении размеров системы и др.
Характеристики стохастического резонанса как качественные, так и количественные во многом определяются свойствами конкретных нелинейных систем. К настоящему времени явление стохастического резонанса обнаружено и исследовано во многих бистабильных динамических системах [22], [53]: в лазерах [37], [54], в электронных системах [36], [55], [56], в магнитных системах |57], в системах магнитных субмикронных частиц [58], в пассивных оптических бистабильных системах [59], в системах с электронным парамагнитным резонансом [25], в экспериментах с броуновскими частицами [60], в экспериментах с магнитно-упругой лентой [61], в туннельном диоде [55], в сверхпроводящих квантовых интерферометрах [62], в ферромагнетиках и сегнетоелектриках [63], [64], [65] в Джозефсоновских переходах [66], в связи и обработке сигналов [67], [68], [69], [70], [71], [72], в теории информации [73], [74] и др.
Эффект стохастического резонанса наблюдается также в биологии (см. обзор [52], [75]), медицине [76], [77|, химии [78], [79|, [80], социологии [81], [82], [83]. В частности, это явление было обнаружено в моделях одиночных нейронов [49|, [84], [85], [86], [87], [88], [89] и нейронных сетах (см. обзор [90]). Кроме этого стохастический резонанс наблюдается в человеческом восприятии [91] и случайно-связанных потенциалах мозга [921, |93|.
Среди актуальных систем встречается много моностабильиьтх, описывающих физические, химические, электронные и биологические системы [51], [58], [94], [95], [96], [97], [98], [99], [100], [101]. Кроме бистабильных и моностабильиых динамических систем, стохастический резонанс был обнаружен и исследован в нединамических или, так называемых, пороговых системах |27], [38], [39], [102], [103], [104], [105], [106], [107]. Пространственно-временной стохастический резонанс в легковозбудимой среде имеет множество применений в биологии и медицине [31]. Эффект стохастического резонанса наблюдался в пространственно-распределенных системах под общим названием пространственно-временной стохастический резонанс [105], [108], например, в цепях диффузионно связанных стохастических бистабильных осцилляторов [109], [110], решетках связанных
8
- Київ+380960830922