2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ................................................................4
Глава 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И
СКОРОСТЕЙ В ОПТИКЕ...................................................12
1.1. Оптические методы измерения перемещений и скоростей................12
1.2. Основные схемы лазерной интерферометрии перемещений и доплеровской анемометрии.......................................................17
1.3. Применения лазерной интерферометрии перемещений и доплеровской анемометрии..........................................................24
1.4. Основные проблемы измерения малых перемещений и скоростей лазерными методами..........................................................31
Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ ПРОХОЖДЕНИИ ПРОТЯЖЕННОЙ АТМОСФЕРНОЙ ТРАССЫ........................39
2.1. Гетеродинная лазерная система для дистанционных фазовых измерений 39
2.2. Основы теории распространения света в турбулентной атмосфере......48
2.3. Изучение влияния турбулентной атмосферы на спектральную линию лазерного излучения с длиной волны Х=0.63 мкм......................52
2.4. Выводы............................................................63
Глава 3. ИЗМЕРЕНИЕ МАЛЫХ О ТНОСИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ НА
БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ В УСЛОВИЯХ ОТКРЫТОЙ АТМОСФЕРЫ 64
3.1.Экспериментальные исследования фазовых флуктуаций лазерного излучения в условиях открытой протяженной трассы.......................64
3.2.Испытания гетеродинных болынсбазовых С02 лазерных систем...........75
3.3.Возможности повышения чувствительности большебазовых измерений деформаций земной коры в условиях открытой атмосферы...............93
3.4. Выводы............................................................99
з
Глава 4. ПРЕЦИЗИОННЫЙ ГЕТЕРОДИННЫЙ ЛАЗЕРНЫЙ ДЕФОРМОГРАФ ДЛЯ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ В ШТОЛЬНЕ БАЙКАЛЬСКОЙ РИФТОВОЙ ЗОНЫ.......................................................102
4.1. Наблюдение земных приливов с помощью двухкоординатного лазерного деформографа...................................................102
4.2. Регистрация собственных колебаний Земли....................111
4.3. Наблюдение аномалий в поведении деформаций земной коры накануне землетрясений................................................. 119
4.4.11овый подход к измерению линейных перемещений и деформаций в присутствии атмосферы.............................................128
4.5. Выводы.....................................................138
Глава 5. ВЫСОКОРАЗРЕШАЮЩИЙ ЛАЗЕРНЫЙ СПЕКТРОМЕТР СВЕТОВОГО РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ С МАЛЫМИ СКОРОСТЯМИ............................139
5.1. Описание методики измерений и схемы спектрометра...........139
5.2. Спектрометрические исследования формы линии рассеяния света броуновскими частицами, включая микрочастицы крови человека...........143
5.3. Автоматизированный лазерный измеритель инфранизких скоростей в экспресс-диагностике физических параметров микрообъектов для целей медицины и биологии.............................................. 150
5.4. Выводы.................................................... 156
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................... 158
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
161
4
ВВЕДЕНИЕ
Актуалъностъ темы
Вопросы точного измерения перемещений и скоростей будут всегда занимать в науке и технике исключительно важное значение, поскольку движение является основой всех процессов, протекающих в окружающем нас мире. Существуют различные методы контроля и измерения указанных величин, однако наибольшей точностью обладают оптические, основанные на явлениях интерференции света и доплсровского сдвига частоты. Большие потенциальные возможности методов классической оптики но существу начали проявляться только после создания лазеров - источников когерентного, высокомонохроматического излучения. С их появлением в оптике, в частности, возникли новые направления - лазерная интерферометрия перемещений и лазерная доплеровская анемометрия. Исследования в этом направлении показали, что лазерные методы и средства позволяют бесконтактным способом и дистанционно измерять перемещения и скорости различных объектов с высокой точностью и в широком диапазоне измеряемых величин. Благодаря развитию универсальных фазочувст-витсльных лазерных методов достаточно быстро выросла сфера их научных и технических приложений. И настоящее время лазерные системы широко используются не только как метрологическая основа большого ноля измерительной техники, такой как дальномегрия, анемометрия, деформография, локация, спектрометрия светового рассеяния и т.д., но и являются мощным научным инструментом в целом ряде диагностических задач, например, в оптике атмосферы, химии, биологии, медицине и др. В зависимости от сложности решаемых задач адекватно возрастают и требования как к самим лазерным методам и средствам измерения и исследования, так и их совершенствованию. Прошло уже около 30 лег с тех пор, как лазерные методы измерения перемещений и скоростей начали свое бурное развитие.
Впервые лазерный интерферометр для измерения механических колебаний был представлен в 1962 году в работе [1], а схема первого лазерного доплеровского измерителя скорости (ЛДИС) для локальных измерений жидкостных потоков в 1964 году в [2]. Чуть позднее появились лазерные интерферометры перемещений (ЛИП) 13,
5
4], предназначавшиеся для регистрации деформаций земной поверхности. В шестидесятые годы поток научных сообщений, посвященных измерениям перемещений и скоростей, был настолько велик, что уже через десять лет со времени первых публикаций начали появляться обобщающие обзоры и монографии [5, 6] с теоретическим и практическим обоснованием множества различных схем и применений. Однако, развитие лазерных методов измерения не ограничивалось анализом и применением известных интерферометров Фабри-Перо, Майкельсона, Жамена, Маха-Цандера и др. Например, в [7] и [8] для исследования слабого обратного отражения и рассеяния предложено в качестве гетеродина использовать сам лазер.
Постепенно расширялся и круг объектов, интересных для спектроскопии светового рассеяния. Гак, в [9] начали применять метод лазерной доплеровской анемометрии для изучения движения крови в артериях сетчатки глаза, а в [10] для внутреннего измерения скорости кровотока уже использовался световод. В свою очередь, чтобы повысить точность металлообработки и формообразования деталей машин и механизмов быстро росла сфера использования лазерных интерферометров перемещений в точном машиностроении [11].
Современные методы лазерной интерферометрии и доплеровской анемометрии постоянно развиваются и совершенствуются гто мерс решения одних и возникновения новых научно-технических проблем. Одной из нерешенных проблем, очень важной с точки зрения медико-биологических приложений, являлось измерение очень малых скоростей рассеивающих объектов У~ 1 мкм/с. Задача лазерного метода таких измерений, например в биомедицине, состоит в том, чтобы по регистрируемым физическим характеристикам (размер, форма, скорость, концентрация, молекулярный вес и др.) микронных и субмикронных частиц биологической, как правило, жидкой среды, определять патологические изменения в исследуемых объектах. Регистрировать напрямую низкие поступательные скорости микрообъектов, сопровождающие седиментацию, тепловое броуновское движение или собственную двигательную активность с помощью традиционного метода лазерной доплеровской анемометрии невозможно из-за низкого его спектрального разрешения (Дуя=5(Ы00 Гц).
6
Другая проблема, решение которой открывает большие возможности использования лазерных интерферометров, это - измерение малых относительных перемещений объектов на больших расстояниях в присутствии естественных атмосферных возмущений. Например, использование таких дистанционных наземных лазерных систем в геофизических измерениях малых деформаций земной коры позволяет более эффективно решать практические вопросы поиска и регистрации предвестников землетрясений, с целью прогноза сейсмособытий. Создаваемые же в последние годы у нас в с гране и за рубежом бесконтактные лазерные деформографы с базой до 1000 м, как правило, размешаются в подземных (естественных или искусственных) штольнях. При этом, для уменьшения влияния атмосферы на трассе распространения лазерног о луча, связанного с изменением температуры, давления и влажности воздуха, измерительное плечо интерферометра экранируют с помощью вакуумпровода или помещают его в герметичный лучевод с избыточным давлением газа. Несмотря на достаточно высокую относительную чувствительность таких систем, малая база измерений, дорогостоящая техника выработки протяженных искусственных тоннелей, необходимость применения вакуумных и герметичных лучеводов, отсутствие возможности реализовать многолучевые радиальные схемы измерения существенно ограничивают возможности их использования в геодииамическом мониторинге напряженно-деформированного состояния земной поверхности.
Данная диссертационная работа посвящена разработке физических решений, развивающих гетеродинные фазовые методы и средства с использованием высокостабильных лазеров, позволяющих реализовать сверхвысокую точность и чувствительность измерения малых перемещений и скоростей на качественно новом уровне.
Цель и задачи работы
Цель настоящей работы состоит в проведении физических исследований фазочувствительных гетеродинных лазерных методов измерения улырамалых перемещений и скоростей, разработка на их основе прецизионной принципиально новой лазерной аппаратуры:
а) лазерного измерителя перемещений для экспериментальной геофизики и сейсмологии, способного с высокой чувствительностью и в широком частотном диапазоне ре-
7
гистрировать малые деформации земной коры в условиях открытой атмосферы с целью непрерывного геодинамического мониторинга и поиска предвестников землетрясений;
б) высокочувствительного лазерного спектрометра светового рассеяния, пригодного для диагностики низкоскоростных микрообъектов в биомедицине.
В задачи работы входило:
- Разработка гетеродинного метода регистрации малых перемещений на основе синхронизованных по фазе лазеров и исследование возможности его применения для дистанционных измерений на открытых протяженных трассах.
- Проведение исследований по разработке методики измерения инфранизких скоростей и изучение возможности се применения для определения физических параметров движения микрообъектов в биологических жидкостях.
Научная новизна Научная новизна диссертационной работы определяется следующими результатами, полученными впервые.
• Предложен и экспериментально обоснован гетеродинный фазочувствительный метод измерения малых перемещений на больших расстояниях в условиях открытой атмосферы с использованием синхронизованных по фазе лазеров. Показано его существенное преимущество в условиях протяженных трасс и слабого отраженного сигнала по сравнению с известными интсрферометричсскими системами регистрации деформаций земной коры.
• Экспериментально показано, что вследствие частотно-фазовых флуктуаций лазерного излучения в атмосфере, относительная чувствительность разработанных лазерных методик непрерывного измерения деформаций земной поверхности на базах Ь>1 км ограничена в диапазоне периодов собственных и приливных колебаний Земли величиной ~10'7. Теоретическими оценками обоснована барометрическая схема большебазового лазерного деформографа, позволяющая в приливном диапазоне колебаний земной коры повысить относительную чувствительность к измеряемым перемещениям до уровня 10'8 - 10'9.
• С помощью гетеродинной лазерной системы на базе 1 км зарегистрированы детерминированные колебательные перемещения порядка 1 мкм на частоте -1 Гц.
8
Разработанными СО2- лазерными дифференциальными методиками в режиме непрерывных фазовых измерений на базе ~1.7 км зарегистрированы приливные деформации горных пород в условиях разломов земной коры с амплитудой ~2 мм.
• Выявлены два вклада в уширение спектральной линии лазерного излучения при прохождении его в турбулентной атмосфере вследствие частичной потери пространственной и временной когерентности. Установлено, что ширина линии излучения зависит от метеоусловий на трассе и в среднем подчиняется зависимости Г ~4ь, что хорошо согласуется с известными теоретическими выводами. Экспериментально подтверждено наличие на высоких частотах асимптотической зависимости /~*3 для спектральной плотности частотных флуктуаций.
• Гетеродинным Не-Ме-лазерным деформографическим комплексом, специально разработанным для измерений в присутствии атмосферы с высокой относительной чувствительностью КГ9 - Ю'10 на базах до 100 м, получены длинные ряды наблюдений (длительностью от одного месяца до одного года) по регистрации деформаций земной коры в штольне Байкальской рифтовой зоны (ЬРЗ).
• С помощью лазерных наблюдений в штольне БРЗ обнаружены особенности в поведении деформационного процесса накануне ряда сильных далеких и региональных землетрясений, проявляемых в виде значительных вариаций скорости деформации земной коры за несколько суток до сейсмического события. Использование таких высокочувствительных непрерывных наблюдений в геофизической практике позволяет эффективно исследовать закономерности проявления предвестников землетрясений.
• Теоретически и экспериментально показано, что линия рассеяния на ансамбле сферических броуновских частиц одинакового размера, регистрируемая созданным спектрометром светового рассеяния с разрешающей силой Я>1015, определяется лоренцевым спектральным контуром, полуширина которого не зависит от направления и угловой апертуры регистрируемого рассеянного излучения и равна произведению коэффициента трансляционной диффузии на квадрат разностного волнового вектора между зондирующими монохроматическими излучениями.
9
Осуществлено прямое наблюдение уширения спектральной линии рассеяния, обусловленное броуновским движением микрочастиц размером >10 мкм.
• В спектре рассеяния на частицах латекса в воде с размерами d=0.12 мкм обнаружен пьедестал, спектральная ширина которого подчиняется линейной зависимости от разностного волнового вектора. Выявлено дополнительное уширение узкой ло-ренцевой части линии рассеяния при концентрациях латекса выше 10й см'3, когда период интерференционного поля становится больше среднего расстояния между частицами.
• Зарегистрированы в динамике скорости оседания эритроцитов в физиологическом растворе порядка нескольких микрометров в секунду, как в единичном режиме седиментации клеток, так и в условиях конгломерации. Обнаружены специфические особенности собственного движения бактериальных клеток Escherichia coli в водных суспензиях. Последними исследованиями показано, что детектирование отличительных динамических характеристик собственной подвижности различных видов микроорганизмов может быть положено в основу экспресс-метода их идентификации без привлечения трудоемких биологических методик.
Практическая ценность
Разработан, экспериментально исследован и внедрен лазерный гетеродинный измеритель малых перемещений для систематических геофизических наблюдений за деформациями земной коры на полигонах Института земной коры СО РАН, Ташкентского государственного университета и Института лазерной физики в Горном Алтае.
Разработан и экспериментально исследован прецизионный спектрометр светового рассеяния со спектральным разрешением Av/v ~10"15 на основе синхронизованных но фазе лазеров для автоматизированных измерений физических параметров микрочастиц (скорость, размер, концентрация) и осуществлено его внедрение в биомедицинские исследования. Планируется внедрение спектрометра в практику экологического мониторинга и порошковых технологий.
Разработки по созданию лазерного деформографа и спектрометра светового рассеяния защищены патентами на изобретения: №1362923, №1748058, №2082085.
10
Основные положения диссертации, выносимые на защиту
1. Предложенные ф&зочувствительные гетеродинные системы измерения малых линейных перемещений па основе использования синхронизованных по фазе лазеров позволяют на километровых базах в открытой атмосфере регистрировать естественные деформации земной коры в приливном диапазоне частот с относительной чувствительностью ~10‘7 и детерминированные колебательные смещения в секундном диапазоне периодов на уровне 10"9.
2. Разработанный Не-Ке-лазерный деформограф с коротким компенсациошшм ин-терферомстрическим плечом длиной ~1м обеспечивает на базах до 100 м в присутствии атмосферы в условиях штольни проведение измерений деформаций гор-
7
пых пород в диапазоне периодов колебаний 10 - 10' с с относительной амплитудой на уровне 10’9 - 10'10 и позволяет регистрировать особенности деформационных процессов сейсмической зоны в земной коре накануне землетрясений, как предвестники ссйсмособытий.
3. Созданный спектрометр светового рассеяния на основе синхронизованных гю фазе лазеров с длиной волны А,=0.63 мкм обладает разрешающей силой 1< > 1015 и позволяет по регистрируемым доплеровскому сдвигу частоты и ширине линии рассеяния измерять инфранизкие скорости V < 1 мкм/с и характеристики броуновского движения микрообъектов живой и неживой природы в диапазоне размеров
0.01<(1<100 мкм.
4. Теоретически и прямыми экспериментальными наблюдениями установлено, что в дифференциальной схеме лазерного спектрометра форма линии рассеяния броуновскими сферическими частицами одинакового размера имеет лоренцев спектральный контур с полушириной, определяемой произведением коэффициента поступательной диффузии на квадрат разностного волнового вектора между зондирующими полями (Г = /V), независимо от направления и угловой апертуры регистрируемого рассеянного излучения.
11
Апробация работы Результаты диссертационной работы докладывались на XI Всесоюзной конференции по когерентной и нелинейной оптике (Ереван, 1982); Всесоюзном семинаре "Применение лазерных интерфсрометрических систем для прецизионных измерений" (Тырныауз, 1986); Советско-американском симпозиуме "Лазерная оптика конденсированных сред" (Ленинград, 1987); Межотраслевом экспертном совете при СМ СССР (Москва, 1988); Всесоюзном совещании "Развитие сейсмологических и геофизических исследований в Сибири и на Дальнем Востоке (Иркутск, 1988); I Всесоюзном семинаре "Оптические методы исследования потоков" (Новосибирск, 1989); Международной конференции "Лазеры и медицина" (Ташкент, 1989); Всесоюзном семинаре "Лазерные стандарты частоты и времени" (Новосибирск, 1990); Школс-ссминаре-выставке "Лазеры и современное приборостроение" (Санкт-Петербург, 1991); XIV международной конференции по когерентной и нелинейной оптике (Санкт-Петербург, 1991); Международной конференции «Оптика лазеров» (Сашсг-Петербург, 1993); 2nd International Symposium “Modem Problems of Laser Physics” (Novosibirsk, 1997). В 1986 году "Лазерный измеритель малых перемещений на больших расстояниях" демонстрировался на Лейпцигской ярмарке, где был удостоен диплома и золотой медали.
Публикации
По теме работы диссертантом в соавторстве опубликовано 24 печатных работы.
12
ГЛАВА 1
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И СКОРОСТЕЙ В ОПТИКЕ
1.1.Оптические методы измерения перемещений и скоростей Традиционные недоплеровские методы
Оптические методы измерения скоростей и перемещений относят к бесконтактным, поскольку влиянием света на объект и характеристики его движения в подавляющем числе случаев можно пренебречь. Это является их неоспоримым преимуществом, например, при исследовании аэро- и гидродинамических потоков. Одним из методов, не требующим для своей реализации источников света с высокой временной и пространственной когерентностью является метод визуального или фотографического наблюдения за траекторией выделенных частиц [12]. В качестве частиц, вводимых в поток, обычно используют алюминиевую пудру или мелкие газовые пузырьки. Применение цифровых методов обработки трековой информации позволяет от наглядных качественных представлений о картине двумерного течения перейти к количественным оценкам поля скоростей. Основные трудности реализации метода - это сложный компьютерный анализ, поскольку требуется одновременно следить за движением в потоке нескольких сотен или тысяч частиц.
Для исследования трехмерной структуры нестационарных турбулентных течений и измерения мгновенного поля скоростей используют стереофотографирование трассирующих частиц, взвешенных в потоке [13]. Получаемые двумерные фотографии обрабатывают различными способами, однако, наиболее часто, скорости частиц определяют, используя заданные времена экспозиции, измеряя длину треков, соответствующих индивидуальным частицам.
Существуют оптические системы с так называемым теневым полем [14], применяемые для изучения неоднородных, стратифицированных потоков. В этом методе не требуется введение частиц, поскольку он основан на отклонении оптических лучей в потоке с градиентом показателя преломления. Отклонение проходящих через толщу
13
потока световых пучков приводит к изменению интенсивности в плоскости фогочув-ствительной пластинки.
Менее трудоемким по сравнению с фотографическими является кинематический метод, основная идея которого состоит в измерении времени пролета частицей одного или нескольких пучков [15, 16]. Фотоприемник, регистрирующий рассеянное излучение, вырабатываег импульс фототока при прохождении частицей светового пучка. При заданных размерах пучков, скорость определяется из измерений длительности импульса или времени между импульсами.
Существенными недостатками всех указанных методов является низкая точность и непригодность для локальных измерений. Это не позволяег использовать их, например, для исследования мелкомасштабной турбулентности, градиентных течений и т.д. Среди оптических устройств, не использующих для измерения скоростей эффект Доплера, следует отметить измерительную систему, основную на применении оптических решеток с прямоугольным профилем пропускания [17]. В ней решетка с переменным пропусканием, в плоскости которой формируется изображение движущейся частицы, позволяет модулировать световой ноток, попадающий на фотоприемник с частотой, прямо пропорциональной измеряемой скорости. Вращение двух решеток, ориентированных взаимно перпендикулярно, позволяет одновременно измерять величину и направление двух компонентов вектора скорости.
Основы теории доплеровского сдвига частоты
Для использования интерференционных оптических схем в задачах измерения перемещений и скоростей различных объектов необходимы источники с узкой спектральной линией излучения и малой расходимостью. Такими свойствами обладают непрерывные газовые лазеры, среди которых наибольшее распространение в указанных применениях получили гелий-неоновый и аргоновый. Поскольку в дальнейшем речь пойдет о конкретных интерферометрических системах и о соотношениях, связывающих параметры когерентных световых волн с характеристиками движения объектов, попытаемся обосновать единый подход к задачам измерения перемещений и скоростей. Целесообразность такого общего подхода к проблемам измерения харакгери-
14
стик механических движений различных объектов очевидна, не смотря на то, что схемы конкретных измерительных систем могут существенно отличаться.
В основе интерферометрических лазерных систем измерения перемещений и скоростей лежит эффект Доплера, физическая суть которого состоит в том, что при относительном движении источника и приемника между частотами воли, испускаемой источником и регистрируемой приемником возникает разность, которая зависит от величины и направления скорости относительного движения. Покажем, что это явление универсальным образом проявляет себя в задачах измерения, как скоростей, так и перемещений. Для этого рассмотрим следующий пример. Пусть монохроматический источник света испускает волну Eie'(kr_<i'/> с амплитудой Е;, круговой частотой
0)iy и волновым вектором kj (см.рис.1 .1а). Частица, движущаяся со скоростью V, рассеивает или отражает в направлении ks волну Es(r)e;(k,r~<v) с амплитудой Es(r) и частотой cos. Определим в заданной геометрии рассеяния соотношение между <у? и <у,-. Частотное рассмотрение Согласно эффекту Доплера найдем сначала частоту излучения, воспринимаемую частицей при условии, что се скорость много меньше скорости света (V/c« 1) [ 18, 19]:
где 01 - угол между направлением распространения падающей волны и направлением скорости частицы. Поскольку частица переизлучает волну в другом направлении, то частота ее после вторичного применения формулы (1.1), описывающей доплеровский сдвиг, будет:
Таким образом, с точностью до квадратичных по скорости членов сдвиг частоты Асо^=(0$-Ф1> обусловленный эффектом Доплера, однозначно определяется скалярным
(1.1)
(1.2)
Подславляя (1.1) в (1.2), получим:
со$ = 0){
«<у, 1 cos0,+ — cos^. = со, + V(ks - к,)
(1.3)
1 - — cos Оч.
15
произведением разности волновых векторов ц = к5 - к. падающей и рассеянной волн и вектора скорости V :
Квантовое рассмотрение. Достаточно просто получить доплеровский сдвиг частоты, описываемый выражением (1.4), если рассмотреть процесс рассеяния (см.рис.1.1б), как упругое соударение фотонов с частицей, в элементарном акте которого выполняются законы сохранения энергии и импульса:
Первый член в этом выражении есть известный доплеровский сдвиг частоты в согласии с (1.4), тогда как второй обусловлен квантовой природой света и описывает известный эффект отдачи. Для лазерной донлеровской анемометрии и спектроскопии рэлеевского рассеяния такое рассмотрение не является традиционным, хотя в атомной физике и физике элементарных частиц оно хорошо известно [20, 21]. Впервые такой подход использовал Комптон при изучении рассеяния жестких рентгеновских квантов на электронах. Им рассматривался случай, когда до столкновения с фотоном частица покоится и второй член в (1.6) является доминирующим. Нас интересует случай, противоположный комптоновскому, когда основной сдвиг частоты в рассеянном излучении определяется эффектом Доплера а вторым членов в выражении (1.6) можно пренебречь. Действительно, оценки показывают, что для классических частиц с плотностью р=1г/см3, рассеивающих излучение с длиной волны ХЮ,6 мкм назад, сдвиг
частоты, обусловленный эффектом отдачи, порядка 1 Гц, если се диаметр - 120 А.
Асоа = о)$ - (о, = цУ
(1.4)
Йк, + тУ = Йк5+/лУ'
(1.5)
где Ті - постоянная Планка, т-масса частицы, а V и V' - ее скорости соответственно до и после взаимодействия с фотоном.
Решая систему (1.5), получим:
Асо, = - со, = (к, - к, )У - А- (к, - к, )2 = ЧУ - д2
(1.6)
- Київ+380960830922