Содержание
Введение 5
Суперсимметричная квантовая механика........................................ 5
Пропагатор в квантовой механике............................................. 9
Задача рассеяния для многоканального уравнения Шредингера.................. 11
Структура диссертации...................................................... 14
1 Суперсимметрия уравнения Шредингера 10
1.1 Преобразование Дарбу стационарного уравнения
Шредингера............................................................ 10
1.1.1 Преобразование Дарбу первого порядка........................... 20
1.1.2 Преобразование Дарбу второго порядка........................... 22
1.1.3 Приводимые и неприводимые преобразования Дарбу
высших порядков................................................. 27
1.2 Преобразование Дарбу нестационарного
уравнения Шредингера.................................................. 31
1.3 Потенциалы, генерируемые преобразованием Дарбу ....................... 34
1.3.1 Потенциалы семитонного происхождения .......................... 34
1.3.2 Потенциалы с эквидистантным и квазиэкпидистантнмм
спектрами ...................................................... 36
2 Суперсимметричная функция Грина [120, 121] 39
2.1 Преобразования суперсимметрии первого и второго порядков для функции Грина 39
2.2 Функция Грина для суперпартнеров нулевого потенциала на конечном
интервале ............................................................ 43
2.3 Рассеивающие потенциалы,
связанные преобразованием Дарбу, следовая формула..................... 48
2.4 Преобразование нормировки функций непрерывного
спектра............................................................... 50
3 Суперсимметричный пропагатор [133, 134, 135] 52
3.1 Преобразование первого порядка для пропагатора........................ 53
3.2 Порождение уровней ................................................... 58
3.3 Удаление уровней...................................................... 59
3.4 Изоспектральные преобразования ....................................... 62
3.5 Полиномиальная суперсимметрия общего вида............................. 65
3.6 Нестационарные потенциалы ............................................ 66
3.7 Неэрмитовы суперпартнеры.............................................. 68
2
4 Явные выражения для пропагаторов 73
4.1 Пропагатор для суперпартнеров на конечном интервале ............ 73
4.2 Пропагаторы для потенциалов
с квазиэквидистантным спектром......................................... 74
4.3 Пропагаторы для солитопных потенциалов ................................. 7G
4.4 Пропагаторы для деформаций односолитониого
потенциала............................................................. 81
5 Преобразование суперсимметрии и обратная задача теории рассеяния
для многоканального уравнения Шредингера [108, 141, 142, 143] 83
5.1 Неупругос рассеяние .................................................... 86
5.2 Спектральные свойства АГ-каналыюго потенциала Кокса..................... 89
5.2.1 Число связанных состояний....................................... 91
5.2.2 Виртуальные состояния........................................... 93
5.2.3 Резонансы....................................................... 97
5.2.4 Приближение слабой связи ....................................... 98
5.3 Общие свойства двухканального потенциала Кокса......................... 101
5.3.1 Явное выражение для потенциала..................................101
5.3.2 Спектр двухкаиальиого потенциала Кокса .........................101
5.4 Матрица рассеяния для потенциала Кокса, N = 2...........................110
о.о Примеры потенциала Кокса................................................111
5.5.1 Один резонанс.................................................. 111
5.5.2 Два связанных состояния.........................................113
5.6 Точно-решаемая модель резонанса Феїнбаха .............................. 115
5.6.1 Магнитный резонанс Фешбаха..................................... 115
5.G.2 Взаимодействие между связанным состоянием и резонансом Фешбаха .................................................................. 118
5.6.3 Взаимодействие между виртуальным состоянием и резонансом
Фешбаха ........................................................ 121
5.7 Суперсимметрия многоканальной задачи с совпадающими порогами . . L24
5.7.1 Смешивающее преобразование .................................... 125
5.7.2 Асимптотика преобразованного потенциала на больших расстояниях .................................................................. 128
5.7.3 Матрица Поста, матрица рассеяния, фазовые сдвиги
и параметр смешения............................................. 130
5.8 Примеры точнорешаемых матричных потенциалов с разными парциальными волнами и совпадающими порогами........................................133
5.8.1 Связанные потенциалы с несвязанной 5-матрицей...................133
5.8.2 Связанные .9-5 каналы ..........................................135
5.8.3 Связанные s — р парциальные волны...............................137
3
5.8.4 Связанные .5 — (1 парциальные волны............................ 140
5.9 Преобразование суперсимметрии второго порядка ....................... 143
5.9.1 Смешивающее преобразование, сохраненяющее фазовые сдвиги . 143
5.9.2 Феноменологический нейтрон-протонный
потенциал взаимодействия....................................... 147
6 Заключение 154
4
Введение
В настоящий момент, в основном благодаря экспериментальному прогрессу в таких областях, как физика конденсированного состояния (исследование сверхохл аж денных газов, получение Бозе-Эйнштейновского конденсата |1, 2, 3, 4, 5|), ядерная физика (низко-энергетические ядерные столкновения, исследование структуры экзотических ядер [б, 7, 8, 9]), квантовая оптика [10], квантовые вычисления [11], возрос интерес к изучению низко-энергетических квантовых систем, в основном, многочастичных. Исследование таких систем зачастую требует решения вспомогательных двухчастичных задач, причем взаимодействующие частицы могут обладать сложной внутренней структурой. Поскольку в рассматриваемой области релятивистские эффекты малы, для описания двухчастичного взаимодействия может быть использовано уравнение Шрсдниге-ра. Внутренняя структура взаимодействующих частиц приводит к различным асимптотическим (в пределе отстутствия взаимодействия) состояниям, или каналам [12, 13). При низких энергиях, лишь несколько каналов (в частном случае - один) и парциальных волн существенны. Динамика таких систем описывается системой N уравнений Шредингера 112. 13].
Одна из важных теоретических задач - описание эволюции квантовых систем из заданного начального состояния, например эволюции волновых пакетов [14, 15], которое сводится к решению задачи Коши для нестационарного уравнения Шредингера, или к вычислению пропагатора [16. 17]. Иногда столь детальное описание излишне, достаточно знать решение прямой задачи рассеяния, которое дается матрицей рассеяния [12, 13]. Другая важная задача - обратная задача рассеяния, возникающая при анализе экспериментальных данных, заключается в восстановлении характера взаимодействия но имеющимся данным рассеяния [18]. Отметим также, что для существующих численных методов решения подобных задач [19, 20], аналитические результаты представляют значительный интерес с точки зрения тестовых моделей [21], особенно в многоканальном случае.
Таким образом, получение новых точных аналитических результатов, связанных с задачей Коши и задачей рассеяния для (многоканального) уравнения Шредингера, является весьма актуальной задачей. Одни из бурно развивающихся методов исследования уравнения Шредингера связан с преобразованием Дарбу [22] и суперсимметричной квантовой механикой [22]-[46].
Суперсимметричная квантовая механика
Суперсимметричная квантовая механика была предложена Виттеном [27] как тестовая модель для изучения спонтанного нарушения суперсимметрии в квантовой теории поля. В наиболее непосредственной форме суперсимметрия проявляется при формулировке теории в суперпространстве К1*2, которое параметризуется одной бозонной пере-
5
мснной 1, и двумя фермионными переменными в,0 (см. например [28. 29]). Отметим, что данный подход позволяет строить многомерные обобщения суиерсимметричной квантовой механики [30, 31].
Как известно, суперсимметричная квантовая механика [32] тесно связана с преобразованием Дарбу [22] и методом факторизации [31, 33, 34, 36). Цепочки преобразовании Дарбу позволяют конструировать модели с полиномиальной алгеброй суперсимметрии [36, 37, 38, 39]. Метод суперсиммстрнчной квантовой механики привел к целому ряду новых точно решаемых квантовых моделей [36, 40, 41]. Отметим также работы, посвященные различным деформациям алгебры суперсимметрии в контексте суперсиммет-ричной квантовой механики [42, 43. 44, 45|.
Преобразования суперсимметрии сохраняют форму уравнения Шредингера, изменяя потенциал. Дополнительные условия, ограничивающие возможное изменение потенциала. приводят к концепции форм-инвариантпых потенциалов, которая была введена Гендешптейном в 1983 г. [46]. Потенциал Уц(х} а0) является форм-инвариантным, если его суперпартнер У^(х) (потенциал, связанный с исходным преобразованием суперсимметрии) точно так же зависит от пространственных координат1, входящих в выражение для потенциала, и отличается лишь сдвигом параметров У,\(х) — Уо(х, адг). В настоящее время известно десять форм-ипиариаитиых потенциалов [28].
Некоторые свойства преобразования суиерсимметрии в квантовой механике [48, 49] могут быть установлены при рассмотрении когерентных состояний |47|. Связь между когерентными состояниями исходной и преобразованной систем была установлена в работе [48]. Кроме того, для конкретных систем (солитонные потенциалы, сингулярный осциллятор) была вычислена мера, реализующая разложение единицы по когерентным состояниям. Наличие разложения единицы по когерентным состояниям позволяет получить голоморфное представление пространства состояний и операторов, действующих в нем. Далее используя технику ковариантных символов Березина [50], можно получить классическую механическую систему, соответствующую данной квантовой системе (см., например, [47]). Эти результаты позволяют построить классические аналоги квантовых систем генерируемых преобразованием суперсимметрии.
В последнее время возрос интерес к изучению квантовых моделей с неэрмнтовыми гамильтонианами [51]. Комплексные потенциалы находят применение в различных моделях ядерной физики (оптические потенциалы) в качестве эффективных потенциалов [52]. С другой стороны, нсэрмитовы гамильтонианы с вещественным спектром используются в так называемом комплексном расширении квантовой механики [51, 53, 54).
Спектральная задача для несамосопряженных дифференциальных операторов интенсивно исследовалась советскими математиками в период между 50-и и 70-и годами прошлого века. Результаты этих исследований содержатся в монографиях [55, 56). В частности, там можно найти строгое определение спектра, собственных функций, присоединенных функций, областей определения операторов, порожденных неэрмитовым дифференциальным выражением, и много других свойств дифференциальных уравно-
6
ним связанных с неэрмитовымн операторами.
Один из первых существенных результатов в данной области, заключающийся в доказательстве полноты набора собственных и присоединенных функций для несамо-сопряженного оператора, был получен Келдышем [57]. Лидский [58] провел детальный анализ условий на потенциал Ус, при которых оператор Нс единственным образом определяется своим замыканием и имеет полностью дискретный спектр, а набор собственных и присоединенных функций является ПОЛНЫМ.
Особую роль среди всех нссамосоиряжениых операторов играют псевдо-эр.мнтовы операторы, введенные Дираком и Паули, и позднее используемые в работах Ли и Вика [59] для того, чтобы обойти трудности, связанные с использованием гильбертовых пространств с индефинитной метрикой. Современные обобщения (слабая псевдо-эрмитовость) |60| связаны с неэрмитовымн расширениями квантовой механики (60, 61]. Более подробно познакомиться с использованием биортогональных систем для изучения свойств псевдо-эрмитовых гамильтонианов можно в [59, 60, 61] и |63|.
Метод преобразования суперсимметрии оказался весьма эффективным для генерации неэрмитовых гамильтонианов с вещественным спектром |65, 66, 67, 68|. Более того, в некоторых случаях преобразование суперсимметрии позволяет устранить особенности, присутствующие в спектрах неэрмитовых гамильтонианов, например, спектральные сингулярности. В частности, возможно преобразование суперсимметрин между недиагонализусмыми и диагонализуемыми гамильтонианами [66, 69, 70, 71|.
Преобразование суперсимметрии оказалось чрезвычайно мощным инструментом в квантовой теории рассеяния [12, 13], поскольку преобразование матрицы рассеяния, индуцированное преобразованием суперсимметрин, заключается в умножении исходной матрицы рассеяния на соответствующую рациональную функцию импульса |72, 73, 74, 75]. Таким образом возможно управление не только положением связанных состояний квантовой системы, но и ее свойствами рассеяния. Столь простой вид преобразования матрицы рассеяния, а также возможность итераций преобразований суперсимметрин открывает интересную возможность для применения суперсимметрин в обратной задаче рассеяния. Впервые эта возможность была рассмотрена в работах Суку мара |72]. Идея заключается в том, чтобы приблизить заданную матрицу рассеяния рациональной функцией, которая может быть получена последовательным применением преобразований суперсимметрин. Эффективность этого метода в применении к конкретным физическим моделям была продемонстрирована в [74, 75]. Применение метода суиер-симметричных преобразований к многоканальным задачам, более интересным с точки зрения приложений в атомной и ядерной физике практически не рассматриваюсь (более подробное обсуждение см. ниже ).
Отправной точкой для изучения многоканальных задач естественно рассматривать метод преобразования Дарбу, применяемый к системам дифференциальных уравнений. Например в работе [76] изучаюсь преобразование Дарбу системы типа Дирака, а в [77] цепочки преобразований Дарбу для матричного уравнения Шредингера.
7
Даже этот неполный обзор применения преобразования суперсимметрии в квантовой механике демонстрирует эффективность данного метода. Заметим, что хотя свойства преобразования су пер симметрии изучались многими авторами, ряд вопросов, связанный с фундаментальными решениями - функцией Грина стационарного и пропагато-ром нестационарного уравнений Шредингсра, оставался открытым, как для эрмитовых так н для неэрмитовых гамильтонианов. Отметим, что в случае неэрмитовых гамильтонианов, изучение эволюции таких систем [53] (зачастую открытых или диссипативных) приводит к задаче вычисления иропагаторов для нестационарного уравнения Щредингера с неэрмитовыми гамильтонианами.
Более существенные пробелы имеются в случае многоканальной задачи (матричное уравнение Шредингера). Во-первых, по существу, исходный потенциал всегда является диагональным, поэтому возникает вопрос - может ли преобразование суперсимметрии приводить к педиагональиому потенциалу? Во-вторых, поведение спектра многоканального уравнения Шредингера при преобразованиях суперсимметрии может существенно отличаться от одноканального случая. В-третьих, преобразования гак их важных объектов как матрица рассеяния и матрица Поста не были в достаточной степени изучены. Именно возможность управлять изменением матрицы рассеяния позволяет решать обратную задачу рассеяния с помощью преобразования суперсимметрии.
Целью данной диссертационной работы является исследование пропагаторов в одпоканальной суперсиммстричной квантовой механике и исследование многоканальной задачи рассеяния методами суперсимметричной квантовой механики.
8
Пропагатор в квантовой механике
Пространственно-временная эволюция квантовомеханической системы подчиняется уравнению Шредингера и в наиболее компактной форме содержится в пропагаторе. Пропагатор определяет амплитуду вероятности перемещения частицы из одной точки пространства в другую за фиксированное время. Отметим, что в фсйимаиовском подходе к квантовой механике, пропагатор, выраженный в терминах интеграла по траекториям, является фундаментальным объектом [1G, 17|.
Обширный список литературы, посвященной рассмотрению пропагаторов в квантовой механике, содержится например в [78], где представлены явные выражения для пропагатора одномерного уравнения Шредингера в случае, когда уравнение может быть сведено к гннергеометрическому дифференциальному уравнению. Метод суперсиммет-ричной квантовой механики приводит к более широкому классу точно-решаемых уравнений Шредингера. В этом случае решения, в частности, могут выражаться через линейную комбинацию гипергеометрических функций [40].
Ясно, что соотношения между гамильтонианами связанными преобразованном суперсимметрии (преобразованием Дарбу) должны индуцировать соотношения между соответствующими пропагаторами. Одна из целей данной работы заключается в получение н последующем анализе этих соотношений, а также в поиске наиболее удобного алгоритмического способа генерации новых классов точных пропагаторов.
Интерес к новым точным пропагаторам связан не только с возможностью их получения методами суперсимметричной квантовой механики, но и с конкретными физическими проблемами. Например, распространение лазерного импульса в параксиальном приближении формально может быть описано с помощью нестационарного уравнения Шредингера [79, 80]. Также, нестационарная функция Грина (пропагатор) используется для изучения явлений связанных с распространением света в метаматериалах [15|. В классических работах Манько и Додонова точные иронагаторы для квадратичных систем применялись к изучению эволюции многомерных систем и магнитных свойств идеальных газов заряженных частиц [81, 82].
Отметим, что хотя преобразование Дарбу и позволяет находить решения преобразованного уравнения но решениям исходного, задача вычисления пропагатора оказывает ся несколько сложнее. Действительно, ведь пропагатор, являясь матричным элементом (ядром) оператора эволюции, несет в себе максимально возможную информацию о поведении квантовой системы. Знание пропагатора позволяет решить задачу Коши для нестационарного уравнения Шредингера.
Переход в пропагаторе к мнимому времени /. —* г{3 приводит к статистической сумме для рассматриваемой квантовой системы. Кроме того, используя формулы, связывающие ядра и символы операторов для различных квантований могут быть получены pq, qp или вейлевский символ для оператора эволюции [50].
9
Задача вычисления пропагаторов для потенциалов, генерируемых преобразованием супсрсимметрии рассматривалась в [83], где приведено общее выражение, связывающее пропагаторы для двух квантовых систем, являющихся суперпартнерами. Однако, в связи с трудоемкостью вычислений, практическое применение этого выражения для вычисления пропагаторов, по-видимому, ограничивается случаем преобразования первого порядка. Приблсженные методы вычисления пропагаторов в су перси м метр и ч-иой квантовой механике, основанные на континуальном интегрировании, рассмотрены в |84, 85].
В данной работе будет предложен другой подход к вычислению пропагаторов для преобразованных систем. Предложенный подход также обобщается для нестационарных и неэрмитовых потенциалов, генерируемых преобразованием суперсимметрии. Полученные результаты могут представлять интерес для исследования распадающихся квантовых систем [86].
Пропагатор нестационарного уравнения Щредингера связан преобразованием Фуры; с функций Грина соответствующего стационарного уравнения, поэтому логично изучить также и суперсимметричное преобразование функций Грина. Кроме того, функция Грина задачи Штурма-Лиуввиля играет важную роль в ряде задач квантовой механики. Введение функции Грина связано с необходимость решения неоднородного уравнения Щредингера. К неоднородным уравнениям сводятся два очень важных класса задач. Во-первых, это задачи теории возмущений, когда ищутся поправки к волновой функции, возникающие из-за малого возмущения гамильтониана системы. При этом, неоднородный член в уравнении Щредингера пропорционален невозмущенной волновой функции. Во-вторых, это задачи связанные с реакциями, то есть с рождением частиц. Неоднородность в таких уравнениях играет роль источника (стока) частиц [87].
Для работы с неоднородными уравнениями существует хорошо разработанный аппарат функций Грина, который применяется и в более сложных задачах, нежели решение уравнения Щредингера, например для решения уравнений квантовой теории ноля. В настоящее время функции Грина широко используются во многих областях теоретической физики. В данной работе рассмотрение ограничено функцией Грина стационарного уравнения Щредингера.
Соотношения между функциями Грнна квантовых систем, связанных преобразованием суперсимметрии изучались ранее в работе Сукумара [88]. Основываясь на методе функции Грина, Сукумар [88] рассматривает главным образом условия, при которых определенные матричные элементы гамильтониана могут обратиться в нуль, связывая эго свойство с наличием суперсимметрии в системе. Вопрос о преобразовании функций Грина им не обсуждается, кроме того, при вычислении “следовой формулы” неправильно учтен вклад непрерывного спектра.
10
Задача рассеяния для многоканального уравнения Шредингера
Почти все низко энергетические процессы столкновения микрочастиц с внутренней структурой (то есть, атомов, ядер и т.д.) включают неупругое рассеяние, связанное с возбуждением внутренних степеней свободы или перестановками их составных частей. Такие процессы могут быть описаны с ноыощыо матричного (точнее, многоканального) уравнения Шредингера с локальным матричным потенциалом и различными (либо совпадающими) порогами каналов рассеяния [12, 13]. Решение прямой и обратной задач рассеяния для такого уравнения представляет интерес как с математической точки зрения, так и для различных приложений в атомной и ядерной физике [89|-|94].
Метод преобразования Дарбу нашел применение в решении обоих типов задач для одноканального уравнения Шредингера |72, 74, 73]. Обзор использования метода су-персимметричной квантовой механики для решения обратной задачи одноканального рассеяния можно найти в [75]. В многоканальном случае преобразование суперснммет-рии рассматривалось в работах |95, 96, 97, 98, 99]. Фазово-эквивалентные преобразования суперсимметрии для многоканального уравнения Шредингера были получены в [100, 101|. Однако все эти результаты не позволяют построить с помощью цепочки преобразований потешпиал с заданной матрицей рассеяния, то есть задача контролируемого управления (базовыми сдвигами и матрицей рассеяния с помощью преобразований суперсимметрии, для многоканального случая полностью не решена до сих пор. В данной работе получены некоторые новые результаты в этом направлении.
По сравнению с одноканальным случаем, число известных точно решаемых многоканальных потенциалов (которые могли бы выступать в роли исходных потенциалов) очень мало. Одна из причин этого связана с недостаточно развитым методом обратной задачи рассеяния (то есть, построения потенциала, исходя из данных рассеяния и спектра) [18]. В работе |102|, однако, был получен многоканальный аналог баргмановского потенциала и найдена соответствующая матрица Поста. Поскольку матрица Поста полностью определяет свойства дискретного спектра и состояний рассеяния [13, 103), такой точно решаемый потенциал, подобно баргмановским [104], является важным звеном в методе обратной задачи рассеяния.
К сожаленью, работа Кокса [102] не привлекла должного внимания, вероятно, но следующим причинам. Во-первых, способ получения потенциала выглядит весьма туманно. Статья в основном посвящена довольно трудоемкой проверке того, что предъявленное решение удовлетворяет уравнению Шредингера с данным потенциалом. Никакой информации о том, как это решение и потенциал получены не приводится. Вторая проблема состоит в том, что даже несмотря на довольно простой вид матрицы Поста, нахождение связанных состояний и резонансов является нетривиальной задачей даже для двух каналов. В частности, в работе [102] ошибочно утверждается, что в случае двух каналов, потенциал Кокса не имеет связанных состояний.
11
Что касается первой причины, недавно потенциал Кокса, для простейшего случая [ц — 1 в (102]), был получен с помощью преобразования суперсимметрии пулевого потенциала (105, 106). Как следствие, получено более простое выражение для потенциала и решений. Кроме того, данное преобразование супериммстрии может быть обобщено путем использования произвольного исходного потенциала.
Следует отметить, что в работах [105, 106] введен новый класс так называемых неконсерватмвных преобразований суперсимметрии, которые изменяют граничное поведение решений (в отличии от подхода, рассматриваемого в (95, 96]). Главное достоинство таких преобразований заключается в возможности генерации многоканальных потенциалов с нетривиальной связью между каналами из несвязанных потенциалов, в частности из нулевого потенциала.
Преобразования суперсимметрии нового типа, не сохраняющие граничное поведение решений, приводят к более сложной связи между дискретными спектрами и свойствами рассеяния суисриартнсров. В частности, спектры исходного и преобразованного гамильтонианов существенно отличаются. Исследование спектральных свойств и свойств рассеяния таких суперпартнеров, а также построение новых точно решаемых многоканальных моделей с заданными свойствами па их основе, в контексте возросшего интереса к многоканальным задачам является актуальной задачей, которая рассматривается в данной диссертации.
Для анализа состояний рассеяния используется 5-матрица, а для анализа спектра - матрица Поста, которая в нерелятивистской теории рассеяния играет фундаментальную роль, наравне с матрицей рассеяния [107]. Нули детерминанта матрица Поста (детерминанта Поста) определяют положение связанных/виртуальных состояний и резонансов [12, 13]. Аналитические выражения для матриц Поста и потенциалов, получаемых с помощью нскоисервативных преобразований суперснмметрии нулевого потенциала найдены в [105]. Спектральные свойства для таких потенциалов не были изучены до сих пор, несмотря на тот факт, что подобная матрица Поста хорошо известна 1102].
В данной диссертационной работе исследуется качественный характер спектра (число и взаимное расположение нулей детерминанта Поста в комплексной плоскости) для случая произвольного числа каналов, N. Даже для случая Лг = 2 полный анализ спектра является весьма сложной задачей [102, 108]. Основная причина заключается в чрезвычайно быстром увеличении порядка алгебраического уравнения, определяющего спектр, при увеличении числа каналов. Для случая двух каналов, построение потенциала Кокса, по заданному положению нулей матрицы Поста было выполнено в [108].
По-видимому, в частном случае совпадающих порогов можно обойтись лишь консервативными преобразованиями суперсимметрии |9С|.
Интересной задачей является получение недиагональных многоканальных потенциалов, являющихся суперпартнерами диагональных. В этом случае преобразование суперсимметрии ведет к возникновению связи между каналами. Эта связь может быть
12
•ч
тривиальной (потенциал диагонализустся преобразованием, не зависящим от координат) и нетривиальной. Кроме того, связь между каналами, возникшая благодаря недна-гональности потенциала взаимодействия, все еще может быть тривиальной на уровне матрицы рассеяния (диагональная, либо диагонализуемая преобразованием, не зависящим от энергии, матрица рассеяния). Оказывается, хотя однократные преобразования суперсимметрии позволяют получить нетривиальную связь между каналами, для случая разных парциальных воли преобразованный потенциал не всегда будет удовлетворять разумным физическим требованиям. В ходе исследования свойств консервативных преобразований в случае совпадающих порогов будет установлено, что существует особое двукратное преобразование, позволяющие внести связь между каналами без измене пия фазовых сдвигов. Это преобразование допускает итерации и, возможно, является ключевым ингредиентом для установления эквивалентности между суперсиммс1рич-ной квантовой механикой и методом обратной задачи рассеяния в многоканальном случае.
На защиту выносятся следующие основные положения
Получены соотношения, связывающие пропагаторы и функции Грина двух одномерных уравнений Шредиигера, сплетаемых преобразованием суперсимметрии. Вычислены новые точные пропагаторы для серии многоямных потенциалов, а также для некоторых нестационарных и неэрмитовых потенциалов.
Для многоканального уравнения Шредиигера с различными порогами изучено неконсервативное преобразование суиерсимметрии. Найден спектр (связанные, виртуальные состояния и резонансы) неконсервативного суперпартнера нулевого потенциала.
Построена точно-решаемая модель резонанса Фешбаха. Модель апробирована на экспериментальных данных для ЛЬ85.
Для многоканального уравнения Шредиигера с совпадающими порогами изучены консервативные преобразования первого и второго порядков. Найдены условия, при которых преобразование суперсимметрии сплетает гамильтонианы с несвязанными и связанными каналами.
Для парциальных волн разной четности найдено смешивающее преобразование суиерсимметрии первого порядка, сохраняющее фазовые сдвиги. Для парциальных волн одной четности найдено преобразование второго порядка, сохраняющее фазовые сдвиги и установлены причины, по которым не существует преобразования первого порядка с у казан н ыми свойствам и.
С помощью цепочки преобразований суперсимметрии получен феноменологический нейтрон-протонный потенциал для 3£| —3 каналов.
13
Структура диссертации
Вторая глава посвящена обзору преобразований суперсимметрии (одноканального) уравнения Шрсдингера. Преобразование суперснммстрии вводится в рамках стандартного подхода, заключающегося в использовании дифференциальных операторов преобразования. Такой подход наиболее удобен при рассмотрении полиномиальных обобщений суперснмметрии, которые эквивалентны преобразованиям Дарбу высших порядков.
Преобразования первого и второго порядков являются базовыми элементами для преобразований высших порядков, поэтому эти два случая рассмотрены более подробно.
В заключении второй главы приводятся примеры точно решаемых моделей, генерируемых с помощью преобразования Дарбу, для которых в последующих главах будут вычислены пронагаторы.
Третья глава посвящена преобразованию суперсимметрии для функции Грина cia-ционарного уравнения Шредингера. Приводятся выражения для преобразовано« функции Грина в случае суперснмметрии первого и второго порядков. На основе полученных соотношений вычисляется ряд точных функций Грина. Для рассеивающих потенциалов (задача на всей оси) найдена поправка к “следовой формуле’’ Сукумара [88].
В четвертой главе в виде ряда теорем сформулированы и доказаны основные результаты данной работы, позволяющие вычислять пропагаторы для потенциалов (в частности нестационарных и комплексных), генерируемых преобразованием суперсимметрии.
В пятой главе приводятся примеры вычисления пропагаторов с использованием развитой техники. Вычислена серия пропагаторов для солитонных потенциалов, для ряда потенциалов с квазиэквидистантным спектром, для частицы в ящике. Предложенная методика позволяет вычислять также пропагаторы для неэрмитовых и нестационарных гамильтонианов, что и демонстрируется на примере комплексного, либо нестационарного солитопного потенциала и комплексной изоспектральной деформации потенциала гармонического осциллятора.
В шестой главе рассматриваются многоканальные потенциалы, генерируемые преобразованием суперсимметрии. Исследуется как случай разных порогов между каналами, так и случай совпадающих порогов. Во-втором случае рассматриваются произвольные парциальные волны. В основе анализа полученных многоканальных потенциалов лежит аналитическое выражение для преобразованной матрицы Иоста и матрицы рассеяния.
В заключении обсуждаются полученные результаты и возможные направления для дальнейших исследований.
Апробация работы
Результаты работы были представлены 6-ой международной конференции “Симметрия в нелинейной математической физике” (Киев, Украина, 2005), на международной конференции “Pseudo-Hermitian Hamiltonians in Quantum Physics”, (Istanbul, Turkey,
14
r
- Київ+380960830922