Электромагнитные реакции с двумя нуклонами в релятивистском квазипотенциальном подходе

2
Содержание
Введение
Глава I. Взаимодействие нуклон-ну к лонной системы с электромагнитным излучением в точечной форме релятивистской квантовой механики
1.1. Описание системы свободных частиц
1.1.1. Преобразования группы Пуанкаре
1.1.2. Одночастичные и двухчастичные свободные состояния
1.1.3. Оператор электромагнитного тока системы двух нуклонов в спектаторном приближении
1.2. Взаимодействие между частицами. Поглощение и
испускание фотонов
1.2.1. Описание взаимодействия между двумя частицами в квазикоординатном формализме
1.2.2. Оператор электромагнитного взаимодействия в точечной форме релятивистской квантовой механики
1.2.3. Приближенное выражение оператора электромагнитного тока
1.2.4. Разложение оператора электромагнитного тока по неприводимым тензорным операторам
1.2.5. Расчет матричных элементов оператора электромагнитного тока
1.2.6. Оператор одночастичной передачи 4-импульса в спектаторном приближении
Глава II. Реконструкция потенциала нуклон-нуклонного взаимодействия
2.1. Нуклон-нуклонное взаимодействие
5
11
16
18
23
31
31
36
40
43
46
53
60
з
2.1.1. Параметризация потенциала 68
2.1.2. Асимптотика волновых функций 70
2.2. Оптический предел Глауберова приближения — взаимодействие типа Лакса 71
2.3. Восстановление действительной части потенциала 74
2.3.1. Уравнение Марченко 76
2.3.2. Аппроксимация 5-матрицы для одноканального случая 77
2.3.3. Восстановление действительной части потенциала для одноканального случая 78
2.3.4. Аппроксимация 5-матрицы для двухканального случая 80
2.3.5. Восстановление действительной части потенциала для двухканального случая 81
2.3.6. Суперсимметричный партнер Московского потенциала 84
2.4. Восстановление мнимой части потенциала 85
2.4.1. Одноканальный случай 85
2.4.2. Двухканальный случай 87
2.5. Анализ данных ММ- и тгА-рассеяиия 90
2.6. Восстановление оптического нуклон-нуклон ного потенциала Московского типа 100
Глава III. Реакция тормозного излучения при протон-протонном рассеянии рр —> рру
3.1. Обзор 116
3.2. Характеристики реакции 120
3.2.1. Амплитуда 120
3.2.2. Дифференциальное сечение 121
3.2.3. Анализирующая способность 122
3.3. Учет изобарных каналов
3.4. Обсуждение результатов расчетов
4
123
129
Глава IV. Реакция фоторасщепления дейтрона 7d —> пр
4.1. Обзор 164
4.2. Амплитуда и характеристики реакции 166
4.2.1. Амплитуда 166
4.2.2. Дифференциальное сечение 168
4.2.3. Поляризационные наблюдаемые 169
4.3. Обсуждение результатов расчета 173
Глава V. Реакция электрорасщепления дейтрона d{e, е'р)п
5.1. Обзор 187
5.2. Амплитуда и характеристики реакции 189
5.2.1. Амплитуда 189
5.2.2. Дифференциальное сечение 192
5.2.3. Калибровочные неоднозначности 194
5.3. Обсуждение результатов расчета 197
Заключение и благодарности 203
Приложение А 205
Приложение Б 208
Приложение В 212
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 214
5
Введение
Актуальность работы
Исследование электромагнитных двухнуклонных реакций является важной задачей теоретической ядерной физики. Теоретическое и экспериментальное изучение таких процессов позволяет получить важную информацию о динамике нуклон-нуклонного взаимодействия и об электромагнитных свойствах нуклонов. Эта информация, в свою очередь, является основой для описания свойств ядер и ядерных реакций. К настоящему моменту накоплен большой экспериментальный материал по нуклон-нуклонному рассеянию и по электромагнитным реакциям с участием двух нуклонов: тормозного излучения при нуклон-нуклонном рассеянии, электрорасщепления и фоторасщепления дейтрона. Основная принципиальная сложность при проведении теоретических исследований этих процессов состоит в том, что существующие в настоящее время теоретические подходы на основе квантовой хромодинамики и квантовой электродинамики позволяют проводить лишь оценочные модельные расчеты свойств простейших двухнуклонных систем.
Известно, что в исследуемых в настоящей работе реакциях могут играть роль механизмы, связанные с иенуклонными степенями свободы. Тео-регические расчеты показывают, что эффекты, связанные с ненуклонны-ми степенями свободы, с изобарными конфигурациями и с мезон мы ми обменными токами, по разному проявляются в различных электромагнитных двухнуклонных реакциях и для разных кинематических областей. Это позволяет, варьируя кинематические условия реакций, исследовать различные механизмы реакций. Во многих случаях правильный учет релятивистских эффектов более важен, чем явный учет ненуклонных степеней свободы. За последние годы появились экспериментальные данные для разных кинематических условий при промежуточных энергиях — экспериментально измерены дифференциальные сечения и некоторые поляризационные характеристики фоторасщепления дейтрона при энергиях фотона выше #7 ~ 1 ГэВ, получены данные электрорасщеиления дейтрона для кине-
6
матик близких к области к ваз иу пру го го выбивания протона при передачах 4-импульса <2 0.5 ГэВ/с, из данных по упругому е(1 рассеянию получены
зависимости формфакторов дейтрона при значениях переданного импульса до нескольких ГэВ/с. Для теоретического объяснения таких процессов в выделенном диапазоне энергий практически неприменимы методы, используемые для описания этих реакций при низких энергиях. Имеющееся теоретическое описание этих процессов во многих случаях плохо согласуется с экспериментом, а в некоторых случаях просто отсутствует. Не ясно при каких энергиях начинают проявляться кварковые степени свободы. Таким образом, настоящая работа относится к области исследований, где имеется постоянно растущий в объеме экспериментальный материал, но где до сих пор отсутствует последовательная единая теория, объясняющая эти экспериментальные данные.
Данная диссертация посвящена разработке единого релятивистского формализма описания нуклон-нуклонного рассеяния, реакций тормозного излучения при протон-протонном рассеянии, фоторасщепления и электро-расщепления дейтрона при промежуточных энергиях и исследованию на этой основе возможности правильного выбора между различными нуклон-ну клонными потенциалам и.
Построенный в настоящей работе в рамках точечной формы релятивистской квантовой механики и квазипотенциального подхода формализм позволяет проводить ковариантные расчеты реакций с двумя нуклонами без приближений (типа разложения по степеням скоростей частиц г/с) и исследовать зависимости наблюдаемых процессов от конкретного вида взаимодействия между нуклонами, что позволяет, в свою очередь, сделать выбор между различными моделями нуклон-нуклонного взаимодействия. Этот подход может быть обобщен для описания многонуклонных систем и реакций.
Цель работы
Весь комплекс выполненных исследований направлен на построение единого релятивистского формализма описания нуклон-нуклонного рассеяния, реакций тормозного излучения при нуклон-нуклонном рассеянии, фо-
торасщепления и электрорасщепления дейтрона. Для достижения поставленной цели решались следующие конкретные задачи:
• Разработка единого релятивистского формализма для описания нуклон-нуклонной системы и электромагнитных реакций с участием двух нуклонов при промежуточных энергиях.
• Применение разработанного подхода для численного расчета наблюдаемых реакции тормозного излучения при протои-протоином рассеянии, реакций фото- и электрорасщепления дейтрона.
• Развитие и подтверждение концепции Московского потенциала нуклон-нуклонного взаимодействия (глубокого потенциала притяжения с запрещенными состояниями), поиск подходящих кинематических условий для постановки эксперимента, который позволит сделать выбор меж;*у Московским потенциалом и потенциалами с отталкивающим кором.
Научная новизна и практическая значимость результатов
Полученные в работе результаты имеют фундаментальное значение для понимания элементарных электромагнитных процессов теории ядра и ядерных реакций.
• Подход, основанный на точечной форме релятивистской квантовой механики, в рамках которой ранее расчитывались лишь формфакторы составных частиц, впервые использован для исследования процессов тормозного излучения при протон-протон ном рассеянии, фото- и электрорас щеп лени я дейтрона.
• Разработанный в рамках точечной формы релятивистской квантовой механики единый квазипотенциальный формализм описания реакций тормозного излучения при нуклон-нуклонном рассеянии, реакций фото- и электрорасщепления дейтрона в целом хорошо описывает экспериментальные данные при промежуточных энергиях. Расчеты на основе этого формализма могут быть использованы для уточнения
8
нашего понимания как этих процессов, так и более сложных электромагнитных ядерных процессов при промежуточных энергиях, а также как ориентир для постановки новых экспериментов.
• Разработанная в рамках точечной формы релятивистской квантовой механики техника расчета матричных элементов оператора электромагнитного тока нуклон-нуклонной системы может быть использована при расчете других реакций с двумя нуклонами.
• В настоящее время существует и продолжает увеличиваться большой объем данных рассеяния и их фазового анализа для различных двухчастичных систем, как ядерно-ядерных, так и адрон-адронных. Разработанный аналитический метод решения обратной задачи теории рассеяния на основе уравнения Марченко и фазового уравнения метода переменной фазы позволяет восстанавливать эффективные оптические потенциалы взаимодействия таких частиц с учетом связи парциальных каналов, а также эффективно описывать поглощение выше порогов неу пру гости в оптическом пределе Глауберова приближения.
• Восстановленные нуклон-нуклонные потенциалы, описывающие упругое нуклон-нуклонное рассеяния до энергии 3 ГэВ в лабораторной системе отсчет и свойства дейтрона, могут быть использованы в расчетах более сложных ядерных систем и ядерных реакций.
Первая глава посвящена описанию взаимодействия нуклон-нуклонной системы с электромагнитным излучением в рамках точечной формы релятивистской квантовой механики. Изложен формализм описания двухчастичной системы в рамках точечной формы релятивистской квантовой механики |1, 2], приведена параметризация оператора электромагнитного тока для системы двух нуклонов в рамках точечной формы релятивистской квантовой механики в спектаторном (импульсном) приближении (3).
В рамках точечной формы релятивистской квантовой механики рассмотрен оператор электромагнитного взаимодействия и получены соответ-
9
ствующие выражения для матричных элементов испускания и поглощения фотона через матричные элементы оператора электромагнитного тока. Получены разложения спектаторного приближения оператора электромагнитного тока двухнуклонной системы по неприводимым тензорным операторам. Введен оператор передачи 4-импульса и получено выражение этого оператора для двухчастичной системы в рамках точечной формы релятивистской квантовой механики. В квазикоординатном представлении получены расчетные выражения матричных элементов спектаторного приближения оператора электромагнитного тока в случае переходов между состояниями рассеяния для расчета характеристик тормозного излучения при протон-протон ном рассеянии и в случае переходов из связанного состояния в состояние рассеяния для расчета характеристик фото- и электрорасщепления дейтрона.
Во второй главе обсуждаются модели нуклон-нуклонного взаимодействия. Предложена квазипотенциальная оптическая модель нуклон-нуклонного взаимодействия, описывающая одновременно низкоэнергетическую область и, на основе оптического предела Глауберова приближения, область промежуточных энергий. На основе уравнения Марченко и фазового уравнения метода переменной фазы, используя радиальную аппроксимацию 5-матрицы упругого рассеяния, получено аналитическое решение обратной задачи теории рассеяния для предложенной квазипотенци-альной оптической модели нуклон-нуклонного взаимодействия. Полученное решение использовано для восстановления нуклон-нуклонного оптического потенциала на основе современных данных фазового анализа нуклон-нуклонного рассеяния.
В третьей главе диссертации на основе разработанного в главе 1 формализма рассчитываются наблюдаемые реакции тормозного излучения при протон-иротонном рассеянии.
В четвертой главе диссертации на основе разработанного в главе 1 формализма получены выражения для расчета наблюдаемых реакции фоторасщепления дейтрона, приведены и обсуждаются результаты расчета дифференциального сечения реакции и некоторых поляризационных на-
10
блюдаемых.
В пятой главе диссертации на основе разработанного в главе 1 формализма получены выражения для расчета наблюдаемых реакции электрорасщепления дейтрона, приведены и обсуждаются результаты расчета дифференциального сечения реакции.
По теме диссертации опубликованы работы [4-33).
Личный вклад автора
Личный вклад автора заключается в активном участии в постановке задач и интерпретации результатов расчетов. Лично автором детально разработаны формализм для расчета всех процессов и численный метод решения обратной задачи рассеяния, разработаны и написаны программы соответствующих расчетов, спланированы и проведены все расчеты, включенные в диссертацию. Результаты, вошедшие в диссертационную работу, являются итогом исследований, проведенных автором в ТОГУ совместно с сотрудниками ТОГУ и НИИЯФ МГУ.
Участие соавторов публикаций заключалось в следующем: д.ф.-м.н., профессор Б.А. Кныр и д.ф.-м.н., профессор Б.Г. Неудачин участвовали в постановке задач, обсуждении и интерпретации результатов, опубликованных в совместных работах.
11
Глава I.
Взаимодействие нуклон-нуклонной системы с электромагнитным излучением в точечной форме релятивистской квантовой механики
1.1. ОПИСАНИЕ СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ ЧАСТИЦ
Большая часть задач, связанных с сильным взаимодействием, описывается в рамках феноменологических моделей, что связано с невозможностью построения сходящихся аппроксимаций квантовой хромодинамики при невысоких энергиях. Более того, численное описание связанных адронных систем возможно в настоящий момент лишь на основе феноменологических моделей, практически без непосредственной опоры на фундамент квантовой хромодинамики, поскольку применение методов теории возмущений здесь невозможно, а методы непосредственного решения уравнений квантовой хромодииамики еще недостаточно точны [34]. Используемые феноменологические модели должны быть достаточно точно решаемыми, и они должны давать реалистическое описание физических систем. Многие такие модели предполагают описание ядерных реакций с микроскопическим учетом только нуклонных степеней свободы. Возможность эффективного учета лишь нуклонных степеней свободы при низких и промежуточных энергиях предполагается во многих ядерных расчетах [2, 35]. В то же время требования специальной теории относительности необходимо учитывать при описании реакций с передачами энергии и импульса сравнимыми с характерными массами системы. Неунругости начинают проявляться в ЛГДГ-рассеянии лишь начиная с энергий £л.с. — 1.5 ГэВ, причем фазовые кривые ведут себя достаточно гладко по меньшей мере до £л.с. ~ 3 ГэВ. Это значит, что при этих энергиях учет эффектов релятивистской кинематики более важен для нуклон-нуклогшого взаимодействия, чем явный учет
Глава 1
12
неупругих каналов [36]. Последования реакций А(с1,р)Х в рамках динамики светового фронта [37] показало, что эти реакции хорошо описываются до поперечных импульсов протонов 0.5 — 1 ГэВ/с с использованием нерелятивистских волновых функций дейтрона (соответствующим образом преобразованных в систему движущегося дейтрона). Т.е. нуклоны сохраняют свою индивидуальность в области перекрывания. Существуют также точно решаемые реалистические модели, которые показывают возможность исключения неиуклонных степеней свободы при описании мпогонуклонных систем и с сохранением релятивисткой инвариантности описания [38, 39]. Область применения таких приближений на настоящий момент не ограничена достаточно четко со стороны высоких энергий.
Таким образом, в области малых и промежуточных энергий феноменологическое описание в рамках релятивистских моделей является в настоящее время единственным подходом, дающим согласующиеся с опытом результаты при расчете характеристик ядерных систем и реакций. Требования микроскопической локальности и ковариантности относительно преобразований Пуанкаре приводят к локальной релятивистской квантовой теории поля [40], к системам с несохраняющимся числом частиц, то есть к квановой хромодинамике для систем адронов.
Получить приближение к этому фундаментальному описанию можно двумя различными способами [2]. Можно исходить из уравнений локальной релятивистской квантовой теории поля и получить приближение к ней, оставляя лишь конечное число степеней свободы. В этом случае в теории могут явно сохраняться античастицы. Таким образом, для двухчастичной системы мы приходим к уравнению Бете-Солпитера [41] к трехмерным квазипотенциальным уравнениям Кадышевского [42], Гросса [43], Бланкенбеклера-Шугара [44], к другим подобным уравнениям. В таком подходе, как правило, трудно контролировать релятивистскую инвариантность, локальность окончательного приближения и другие необходимые требования к описанию многочастичных систем. Можно с другой стороны, строго соблюдая ковариантность относительно преобразований Пуанкаре, отказаться от требования микроскопической локальности, заменив его
Глава 1
13
менее жестким требованием макроскопической локальности. Такой подход приводит к описанию в рамках релятивистской квантовой механики с фиксированным числом частиц и гамильтоновой динамикой (далее РКМ) [2].
РКМ является непосредственным обобщением нерелятивистской квантовой механики, сохраняя все положения последней кроме одного — группа инвариантности в РКМ не группа Галилея, а группа Пуанкаре. В работе [1], посвященной релятивистскому гамильтонову описанию систем в классической динамике, Дирак заметил, что в общем случае все генераторы группы Пуанкаре могут содержать взаимодействие, сохраняя при этом алгебру Ли свободных генераторов, в то же время наличие подгрупп у группы Пуанкаре позволяет упростить задачу релятивистского гамильтонова описания. Предположив, что генераторы одной из таких подгрупп свободны от взаимодействия, Дирак свел задачу к включению взаимодействия в оставшиеся генераторы с условием сохранения алгебры Ли генераторов группы Пуанкаре. Эти оставшиеся генераторы (гамильтонианы) определяют динамику системы, в то время как генераторы, свободные от взаимодействия, являются кинематическими. Дираком были рассмотрены три возможности включения взаимодействия, соответствующие трем подгруппам группы Пуанкаре рассматриваемым как кинематические. 11озже были рассмотрены две другие формы динамики [45]. Из классического гамильтонова описания квантовое описание системы получается в результате процедуры канонического квантования. В настоящее время РКМ рассматривается как допустимый формализм описания многочастичных систем Пуанкаре-инвариантным образом.
Таким образом, Дирак показал, что релятивистская система может быть описана в рамках разных форм релятивистской динамики. Коммутационные соотношения, которым должны удовлетворять генераторы группы Пуанкаре, могут быть записаны в виде
[рк, Р") = О, [Мр,\ Рр] = —1{д,1рРи - дирР%
\МР\ М<") = -{{д^М™ + диаМрр - дроМир - дирМ^), (1.1)
где д, и, р. а = 0.1,2, 3; — генераторы однородной группы Лоренца; а
Глава 1
14
— генераторы трансляций пространства-времени. Здесь и далее принята
4-метрика с сигнатурой -I-------, метрический тензор д00 = -дп = ~д22 =
—= 1. Произвольный 4-вектор записываем в виде а = (а0, а), где а0 временная часть, а = (аь«2>&з) = (ах,ау,аг) — пространственная часть. Мы используем релятивистскую систему единиц, в которой Н = с = 1. Из соотношений (1.1) следует, что в отличие от нерелятивистской квантовой механики, где все взаимодействия могут присутствовать только в операторе энергии, в РКМ необходимо, чтобы по меньшей мере три генератора содержали взаимодействие.
При описании в мгновенной форме пространственные компоненты оператора 4-импульса Р и операторы углового момента М = (А/23, М31, Мг2) не содержат взаимодействий. Таким образом, взаимодействия могут присутствовать лишь в операторе энергии Р° и в генераторах Лоренцевых бу-стов N = (М01, М02, АҐ03). В динамике на световом фронте вводятся + и — компоненты 4-векторов импульса Р+ = (Р° + Рг)/\/2, Р~ — (Р° — Рг)/\/2. Операторы Р+, Р], Р2, М12, М+~у М+1, А/2 не содержат взаимодействий и взаимодействия могут присутствовать лишь в операторах А/“1, А/2 и Р". При описании в рамках точечной формы генераторы АР" не содержат взаимодействий, и таким образом взаимодействие могут присутствовать только в операторе 4-импульса системы Р" {и = 0,1,2,3).
Геометрически динамика на световом фронте означает, что преобразования кинематической подгруппы оставляют инвариантным световой фронт х+ = х°4-т3 = 0. В мгновенной форме динамики преобразования кинематической подгруппы оставляют инвариантной мгновенную гиперплоскость і = В работе Дирака [1| была предложена точечная форма РКМ, в которой преобразования кинематической подгруппы оставляют инвариантной верхнюю ветвь гиперболоида: х{1х^ = т2. Используемая нами точечная форма динамики была получена в работе Бакамджана [46] контактным унитарным преобразованием из мгновенной формы динамики. В этом варианте точечной формы преобразования кинематической подгруппы оставляют инвариантной гиперплоскость ортогональную 4-скорости системы С: С= г, где т — собственное время |47).
Глава 1
15
Идеи Дирака, получив дальнейшее развитие, легли в основу РКМ. Так в работе Бакамджана и Томаса [48] был предложен простейший способ введения взаимодействия для системы двух частиц. В работах [47, 49] была показана унитарная эквивалентность различных форм РКМ (были в явном виде построены унитарные операторы, связывающие три формы РКМ Дирака) и таким образом было показано, что использование той или иной формы РКМ не принципиально. В работе [50] было показана необходимость замены принципа микроскопической причинности более слабым принципом макроскопической причинности. В работах [51-54] метод Бакамджана и Томаса был обобщен для трехчастичных систем. Соколовым [51] был разработай метод пакующих операторов, который дает процедуру включения взаимодействия в генераторы представления для любого фиксированного числа частиц, а также был рассмотрен с общих позиций принцип кластерной разделимости [55]. Формализм РКМ был обобщен на случай систем с рождением-уничтожением частиц [56, 57]. Проблема построения оператора электромагнитного тока / в рамках РКМ рассматривалась в работах [58— 61], где были определены общие свойства этого оператора, именно: это релятивистский 4-векторный оператор, удовлетворяющий уравнению непрерывности, условию кластерной разделимости, кроме этого, взаимодействие между частицами системы не должно менять значение электрического заряда системы. Было также отмечено, что эти условия недостаточны для однозначного определения оператора J. В работах [3, 62] был разработан формализм построения оператора Л для систем частиц в трех формах динамики Дирака.
Более подробный обзор РКМ и необходимые ссылки можно найти в работе [2]. Далее мы более подробно рассмотрим точечную форму (ТФ) РКМ используемую в настоящей работе.
Большая часть исследований в рамках РКМ в ядерной физике проводилась в рамках динамики на световом фронте и в рамках мгновенной динамики. Точечная форма предложенная Дираком практически не используется [63]. Расчеты в рамках точечной формы Бакамджана [46] появились лишь в последнее время. Так, в работах [64-69] были рассчитаны форм-
Глава 1
16
факторы различных составных частиц в рамках точечной формы РКМ. Как отмечено в работе [70], у этой формы РКМ есть несколько важных преимуществ по сравнению с другими формами. Во-первых, генераторы группы Пуанкаре, в которые входит взаимодействие — это операторы 4-импульса. Они коммутируют друг с другом и, следовательно, могут быть диагонализированы одновременно. Генераторы группы Лоренца не содержат взаимодействия, поэтому теория Лоренц-ковариантна в явной форме. Во-вторых, спины частиц и орбитальные моменты в с.ц.м. складываются в полный угловой момент системы точно также, как и в нерелятивистском случае. В-третьих, когда скорости частиц много меньше скорости света, взаимодействие в операторе 3-импульса становится пренебрежимо малым и ТФ РКМ непосредственно переходит в нерелятивистскую квантовую механику [70]. Так как такое описание в явной форме Лоренц-иивариантно, то сохраняется спектаторный характер операторов перехода в любой системе отсчета [3, 71, 72]. Спектаторное приближение операторов перехода предполагает, что оператор перехода для системы частиц равен сумме соответствующих операторов для отдельных частиц системы. Наконец, оператор тока (например, электромагнитного) в произвольной точке пространства Минковского может быть получен из оператора тока в произвольно выбранной точке пространства Минковского сдвигом посредством зависящих от взаимодействия операторов 4-импульса. В результате полученный таким образом оператор тока обладает требуемыми трансформационными свойствами относительно преобразований Пуанкаре ”по построению” [3, 70] и составные частицы со спином имеют правильное число независимых формфакторов [70].
1.1.1. Преобразования группы Пуанкаре
Формализм релятивистского описания систем частиц в релятивистской квантовой механике (РКМ) подробно изложен в работах [2, 62, 70], отметим также более общую работу [73]. Кратко изложим необходимый нам математический аппарат для описания релятивистской системы частиц в ТФ
Глава 1
17
РКМ, используя в основном систему обозначений работы [62].
В соответствии с общими принципами релятивизма и квантовой механики при преобразованиях группы Пуанкаре пространства-времени волновая функция частицы должна преобразовываться по унитарному неприводимому представлению группы Пуанкаре, а волновая функция релятивистской системы должна преобразовываться по унитарному представлению V группы Пуанкаре в некотором Гильбертовом пространстве Н [73].
Многообразие пространственно-временных координат хм (р = 0,1.2, 3) составляет четырехмернос вещественное пространство (пространство Минковского). При этом х° = I — временная компонента 4-вектора х, (х1,х2>хг) = х — пространственная часть этого 4-вектора. В этом пространстве определяем скалярное произведение
Здесь и далее по повторяющимся вверху и внизу греческим индексам проводится суммирование т.е. а^Ь(1 = аиЬц.
Группа Пуанкаре (группа неоднородных преобразований Лоренца) это группа всех преобразований пространства-времени вида
однородных преобразований Лоренца прострапствагвремени х' = Щ):г, оставляющих инвариантным скалярное произведение (1.2) и сдвигов пространства-времени х' = х 4- а. Таким образом, произвольный элемент группы Пункаре определяется нарой (а, I), где а — 4-вектор, определяющий 4-сдвиг, а Ь(1) — матрица поворотов 4-пространства вокруг начала координат, причем I 6 51/(2, С), где 5Ц2, С) — группа унимодулярных линейных преобразований в двумерном комплексном пространстве (квантовомеханическая группа Лоренца) [73].
Для 4-вектора р однородное преобразование Лоренца Щ)у соответствующее матрице I, определим следующим образом. 4-вектору р — (р°, р) ставим в соответствие матрицу
ху = х'Н/д^ = х°у° - ху.
(1.2)
х —> х' = Ьх + а,
(1.3)
р = М{р) =
(1.4)
Глава 1
18
Здесь (J0 — единичная (2 х 2) матрица, о = (<тх, (7y,az) — матрицы Паули. Так что обратное преобразование р = V(p) определено как
Р° = ^(Pll +Ря), Р1 = ^(Pl2 +P2l), (1-5)
Р2 = ^(Pl2 - P2l), Р3 = ^(Pll - Vll)-
Тогда
= (1.6)
4-вектор p' = L(l)p определим из (1.5):
p' = L(l)p = У(1РП (1-7)
Канонический безвращательный буст [70) — преобразование в систему отсчета, движущуюся с 4-скоростью д относительно исходной, для произвольного 4-вектора р определим следующим образом
р -> L[a(g))p, (1.8)
где
Q{9)=-^k€SL(2’c)' (L9)
Действие буста (1.6) можно записать как матричное преобразование
Р ->а(д)ра(д)+. (1.10)
Для д' = (1,0,0,0) выполняется соотношение
а{д)д'а{д)+=д- (1.11)
1.1.2. Одночастичные и двухчастичные свободные состояния
Для описания одночастичного состояния с массой m > 0 и спином s выберем следующую реализацию [62) унитарного неприводимого представления группы Пуанкаре [73-75).
Глава 1
19
Пусть р — 4-импульс частицы, тогда 4-скорость частицы определена выражением д = р/т. Выполняются соотношения:
р° = си(р) = (т2 + р2)1/2, д° = (1 + ё2)1/2, (1.12)
где са(р) — энергия частицы.
Преобразование пространства-времени группы Пуанкаре (а, /) генерирует преобразование И(а, I) в Гильбертовом пространстве одночастичных состояний
и(а,1)\д, о) = е^'Ю^а{дГ11а{д')\\д',а') =
= аЕ>{8;а(д)-Ча(д')и\дV), (1.13)
здесь д' = Ь[1]~1д. а |д,а) = \д) |а) — базисные состояния, нормированные релятивистски-инвариаитным образом как
(.9, о\д',<7') = 2l^;(mg)<J(m(g - (1.14)
т
О[5;?/.] — оператор (матрица) конечных вращений для представления с генераторами в, соответствующая элементу и £ 5(7(2). Можно показать, что а{д)-Чос{9') € 5С/(2).
Определив Лоренц-инвариантный фазовый объем как
, . . (Р р
№ ~ 2^0 “ 2т2^ру (1Л5)
мы определяем скалярное произведение в пространстве одночастичиых функций следующим образом
(/УЪ'.О = тф(9">а"\9,<7){9,°\9',<г'}- (1.16)
Генераторы этого представления можно записать в виде:
Р = тд, М = —г
д
+8, N - +£ц!. (и?)
д& 1 -Г д
где оператор £ определен как операция умножения на Эта точечная форма динамики была получена в работе Бакамджана [46) унитарным преобразованием из мгновенной формы РКМ. Нетрудно проверить, что для генераторов (1.17) выполняются соотношения (1.1).
Глава 1
20
Для случая спина 5 = 1/2, т.е. фундаментального представления группы БО(2), мы можем положить |73]
£>[в; а(з)~Ча(<?')] ■= а(д)~11а(д'), (1.18)
в этом случае оператор спина частицы можно связать с матрицами Паули
б = а/2. (1.19)
Рассмотрим систему двух частиц с массами га,-, 4-импульсами щ — т{д{. Обозначим 4-импульс г-й частицы как рг = гщди тогда 4-импульс системы
Р ЕЕ (Р°, Р) = ■р1 + Р2 = 7П\д\ + ГП292, (1 -20)
масса системы М = (Р° — Р2)1/2 и 4-скорость системы С = РМ~1. Импульсы частиц в с.ц.м., где Я) = —42, определены как
<7г = Р[а(С)]_1га^-, (1.21)
где 1[а(С)] есть преобразование Лоренца в систему отсчета., движущуюся с 4-скоростыо С. Эти выражения определяют 4-скорость системы в и относительный импульс (импульс одной из частиц в с.ц.м.) д = сц как функции 4-скоростей частиц gг (г = 1,2). Величины свою очередь,
однозначно определяют 4-скорости
пц& = я, + С ^г(я) + 1^1)) , (1.22)
где о;^) = (га2 + q^)1•/25 б?° = (1 4- С2)1/2. Таким образом, оператор массы системы
М = и!\(ц) + и>2(ц)- (1.23)
Пространство двухчастичных состояний — это тензорное произведение одночастичных пространств. Покажем как разделяются внутренние переменные системы и переменные движения системы как целого, используя
Глава 1
21
(1.14).
2
4=1
гЗ/-„' „ \гЗ/„'
= 4wi(pi)w2(P2)<5 (Р] - Pi)<5 (р2 - Рг^.сг'Аг^ =
2w2(q) г3/_/
M(q)
2wi(q)u’2(q)
M(q)
2G0(G')r3^; n,2ffii(q)w2(q)t3/_, _xr t „ ОЛЧ
~MW6 {G ~ G) M(q) 5 (q " 4) (L24^
= 2IV(P')<53(P' - ~ q)<WA^ =
= 2l4,(P')d’3(P' - p)^HqJU’2lqJ(53(q, _ 4)S S =
где
«Цр) = ^/m? + p2, M (q) = уА? + q2 + y/m? + q2,
W(P) = VM2 + P2, G0(G) = v/l + G2. (1.25)
Мы видим, что внешняя часть волновой функции в G’-представлении может быть определена как
9G о
(GIF') = -gr*3(G - G') (1.26)
со скалярным произведением
<Р"|Р') = J dp{G)(P"\G){G\P') = 2\/М"1 + Р'253(Р" - Р'),
(ft С*
MG) , 2G®(G) (L2?)
Внутренняя часть волновой функции характеризуется импульсом q = q! = —q2 одной из частиц в с.ц.м., для невзаимодействующих частиц ее можно определить как
(q,PbP2|x) = (q:PbP2|q',pi,/4> = 2Wlg:;(^3(q' _ (L28)
где мы перешли к представлению проекций Hi канонических спинов в с.ц.м. [3, 70]. Волновую функцию системы двух частиц с проекциями спинов ог
Глава 1
22
dp(gi)dp{g2) = dp(G)dp(q), ф(Ч) = 2, 2. (1.31)
на ось квантования (в системе отсчета, в которой частицы движутся с 4-скоростями gг) можно записать следующим образом:
2
= ЩР) ■ ІЧ»(1-29)
1=1
где унитарный оператор преобразования U определен выражением
2
U =U(G,q) = Y[D[si;a(giy-la{G)a{qi/mi)\. (1.30)
i=i
Из (1.24) и (1.27) следует, что фазовый объем в пространстве двухчастичных функций можно записать в виде
M(q)3d3q 2wi(q)w2(q)mfm|
Состояния [TiLi 19і>аі) образуют базис в двухчастичном пространстве и, как следует из (1.13), операторы двухчастичного представления действуют на них следующим образом:
U (а, I) П \9i, а) = П ü\Si- аОлГ'ВДМ, О (1-32)
1=1 1=1
Очевидно, что еслид\ = Ь(1)~1дг, то G' = G(g[,g'2) = L(l)~lG. Из (1.21)
следует, что 3-вектора q' = q^i,^) й Q = я(<7ъ<72) связаны трехмерным
вращением
q'= ZKGO^r'^GJJq, (1.33)
и -u = a(G")_1/-1a(G) €SU(2). Генераторами вращения (1.33), являются операторы l(q) = —г q х (d/dq)\. Таким образом получаем:
2 2
П і зі °'і) = и («> о П i^^i) =
г=і і=і
2
= l/eiMG'°J]D[sI;a(gi/mi)-1û(G)-1to(GX9'/mi)] х
1=1
2
x£»{lCq}; a(G)-1to(G'))W-1 |Л, «т,). (1.34)
1=1