Стохастическое туннелирование в барьерах со слабым структурным беспорядком

2
СОДЕРЖАНИЕ Стр.
ВВЕДЕНИЕ................................................... 6
НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ......................................... 1В
1. ТУННЕЛИРОВАНИЕ В КВАЗИОДНОМЕРНЫХ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМАХ................................ 29
1.1. Постановка задачи и общий подход.........................29
1.2. Нерезонансное туннелирование. Вывод и решение “подбарьерного кинетического уравнения”...................35
1.3. Резонансное туннелирование. Общий подход. Основные уравнения. 44
1.4. Туннельная прозрачность в окрестности основного изолированного локального уровня е = 0....................47
2. ВЛИЯНИЕ НЕУПРУГОГО ПОДБАРЬЕРНОГО ПРИМЕСНОГО РАССЕЯНИЯ НА НЕРЕЗОНАНСНУЮ ТУННЕЛЬНУЮ
ПРОЗРАЧНОСТЬ КВАЗИОДНОМЕРНОГО ТУННЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА СО СЛАБЫМ СТРУКТУРНЫМ БЕСПОРЯДКОМ............... 61
2.1. Введение................................................ 61
2.2. Модель. Основные соотношения.............................61
2.3. Вывод “подбарьерного кинетического уравнения”............66
2.4. Уравнение Фоккера-Лланка.................................70
2.5. Туннельная прозрачность..................................72
2.6. Оценки.................................................. 75
3. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРНОГО БЕСПОРЯДКА НА ВОЛЬТ-
АМПЕРНУЮ ХАРАКТЕРИСТИКУ КВАЗИОДНОМЕРНОГО ТУННЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА...................................78
3.1. Введение................................................ 78
3.2. Модель. Основные соотношения............................ 79
3.3. ВАХ квазиодномерного барьера при нерезонансном туннелировании.
Мезоскопические флуктуации нерезонансного туннельного кондактанса................................................ 83
3.4. ВАХ квазиодномерного барьера при резонансном туннелировании. Мезоскопические флуктуации резонансного туннельного
кондактанса.....................................................85
4. ТУННЕЛИРОВАНИЕ В ТРЕХМЕРНЫХ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМАХ.................................... 94
4.1. Нерезонансное туннелирование. Вывод “подбарьерного кинетического уравнения”...................................... 94
4.2. Решение “подбарьерного кинетического уравнения”..............100
4.3. Резонансное туннелирование. Общие уравнения..................105
4.4. Туннелирование вдоль простейшей резонансно-перколяционной траектории, проходящей через один центр рассеяния. ...........106
4.5. Общий случай резонансно-перколяционной траектории............108
5. РЕЗОНАНСНАЯ ВОЛЬТ-АМПЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ТРЕХМЕРНОГО ТУННЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА СО СЛАБЫМ СТРУКТУРНЫМ БЕСПОРЯДКОМ..........................................115
5.1. Введение..................................................... 115
5.2. Модель. Основные соотношения.................................116
5.3. Резонансный туннельный ток как сумма по квантовым рсзонансно-перколяционным траекториям.........................118
5.4. Вычисление £>'"(£,</,р, м)...................................121
5.5. Вольт-амперная характеристика. Мезоскопические флуктуации резонансного туннельного кондактанса.......................... 126
6. РЕЗОНАНСНОЕ ТУННЕЛИРОВАНИЕ В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ
£-/-5 КОНТАКТАХ............................................... 131
6.1. Мезоскопические флуктуации джозефсоновского тока малого 3-1-3 контакта, со слабым структурным беспорядком в /- слое ...........131
4
6.1.1. Введение....................................................... 131
6.1.2. Модель. Основные соотношения...................................132
6.1.3. Оценки..........................................................136
6.2. Влияние резонансного туннелирования на нижнее критическое
поле длинного джозефсоновского 3-1-3 туннельного контакта со слабым структурным беспорядком в I- слое......................139
6.2.1. Введение........................................................139
6.2.2. Модель. Основные соотношения....................................140
6.2.3. Вычисление средних..............................................144
6.2.4. Оценки..................;.......................................148
6.3. Влияние туннельных резонансов на динамику флуксона в длинном
3-1-3 туннельном переходе со слабым структурным беспорядком в/- слое........................................................ 152
6.3.1. Введение........................................................152
6.3.2. Основные соотношения............................................153
6.3.3. Вычисление средних..............................................157
6.3.4. Плотность тока “смещения”.......................................158
6.3.5. Сила пиннинга флуксона на квантовых резонансно-перколя-
ционных траекториях..............................................162
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Унимодулярность подбарьерного пропагатора
одномерной неупорядоченной системы.................167
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Асимптотики интегралов по фазовому
пространству неупорядоченной системы..............168
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Оператор и амплитуда подбарьерного
рассеяния.........................................172
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Пространственная корреляционная функция флуктуаций туннельной проводимости в области резонансных энергий..............................................180
5
ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Вычисление плотности тока смещения б(р)
при р «1..............................186
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.........................................188
ЛИТЕРАТУРА.........................................189
6
Введение
Структура и свойства неупорядоченных конденсированных систем в последнее время становятся предметом все более интенсивных исследований как физиков, так и представителей смежных наук. Основная причина этого заключается в том, что именно неупорядоченные системы (кристаллы с примесями, аморфные тела, жидкие металлы и т.п.) являются “системами общего положения”, а упорядоченные структуры типа совершенной кристаллической решетки представляют собой, строго говоря, идеализированные объекты. Современная физика неупорядоченных систем представляет собой в настоящее время обширную и уже весьма разветвленную область физики конденсированного состояния.
Настоящая диссертационная работа посвящена одному из новых разделов одночастичной теории неупорядоченных систем [1,2], а именно, исследованию стохастического туннелирования в структурно-неупорядоченных барьерах, начало которому было положено в «пионерской» работе [33].
Процессы прохождения потока частиц или распространения волн через слои случайно-неоднородных сред представляют собой важный и интересный класс физических явлений в неупорядоченных системах. Задачи исследования этих явлений весьма близки с точки зрения применяемого математического аппарата и потому, хотя всюду ниже рассматриваются квантовомеханические задачи, все основные соображения и выводы будут относиться и к волновому случаю [2].
В квантовой механике давно и хорошо известно решение задачи о туннелировании квантовой частицы в поле макроскопически гладкого потенциального барьера конечных размеров, либо аналогичной задачи о полубесконечном барьере [3]. Существенным фактором при этом является когерентность волновой функции туннелирующей частицы, обусловленная
7
гладкостью барьерного потенциала. Однако довольно часто возникает ситуация, когда указанная когерентность нарушается вследствие процессов рассеяния, происходящих в подбарьерной области. Так, в ряде физических задач возникает вопрос о туннельном прохождении через макроскопически гладкий потенциальный барьер, в котором туннелирующие частицы испытывают подбарьерные столкновения со случайными рассеивающими центрами. Такое подбарьерное рассеяние может быть как упругим, так и неупругим. В качестве примера можно привести туннельный переход электрона через диэлектрическую пластину, содержащую атомы примеси в сэндвичах типа металл-изолятор-полупроводник, сверхпроводящий металл-изолятор-нормальный металл, туннельное просачивание элементарных возбуждений через гомополимерную молекулу с примесями и т.д.
Теоретическое рассмотрение туннелирования с учетом иодбарьерного рассеяния, кроме всего прочего, стимулировалось и тем фактором, что туннельные эксперименты являются достаточно удобным и тонким методом получения информации о плотности состояний квазичастиц, энергетических спектрах элементарных возбуждений в твердых телах и т.п. [4-7]. При этом оказывается, что простые представления о туннелировании как о процессе, происходящем в гладком барьере, оказываются грубыми и необходимо учитывать подбарьерные взаимодействия, в которых участвуют туннелирующие частицы.
В работах [8, 9] впервые были заложены основы гамильтонова подхода для задач туннелирования с учетом рассеяния - метод туннельного гамильтониана. Суть этого метода, который представляет собой один из вариантов теории возмущений, коротко состоит в следующем. Полный гамильтониан системы представляется в виде суммы
Н = Но+Нг, Но=Нц + Нь, (В.1)
л
где Н к - гамильтониан правой стороны;
//1 - гамильтониан левой стороны;
Н т - туннельный гамильтониан, описывающий переходы частиц через барьер, то есть между собственными состояниями “невозмущенного”
гамильтониана И о.
йг-1
к.р Ь
а*
л« Л*
ТкГр С* С?+Тг.з С*Р Ск
к.р
(В.2)
л^; л? л ^ л*
Ску Ср у с к, Ср - операторы рождения и уничтожения частиц слева и справа от барьера;
к, р - квантовые числа;
матричный элемент перехода через барьер;
Т--
к.р
- пропорционально прозрачности барьера.
л*
Операторы Сру Ср вводятся через разложение полевого оператора
л
туннелирующих частиц по полному набору собственных функций
“невозмущенного” гамильтониана Но: {#■£]•
А Л~
+ *Цг)сГ
(В.З)
х\ - одночастичные собственные функции соответствующих гамильтонианов
А Л
Н я и НI, для “несвязанных” правого и левого электродов (т.е. при отсутствии туннелирования между ними, что соответствует нулевой прозрачности барьера).
9
Схематически вид функций приведен на рис.1. Учет конечной
л
прозрачности барьера приводит к появлению туннельного гамильтониана Нт, который и вызывает «переходы» через барьер.
Л л/" гг_
V V г и0
Рис.В. 1. Схематический вид функций % > X В отсутствие подбарьерного взаимодействия туннельный гамильтониан
л
Н т для достаточно высоких и длинных барьеров является “малым” и может быть учтен по теории возмущений. Тогда вероятность перехода через барьер согласно этой теории есть
(01Я -
2к
Л \ 2
(‘ Нт Г) 2п 1^, = ТІкГр
а квадрат матричного элемента
Т-
1ЬГр
(В.4)
был получен Харрисоном [10] в
предположении, что барьер удовлетворяет условиям применимости ВКБ -приближения и прохождение зеркальное
ф| -д)
I
-2
ч.
(В.5)
где ,р^ | - дельта-функция по компонентам импульса к, /?, параллельным
барьеру, соответствует зеркальному прохождению;
- одномерная плотность состояний электродов (Я, Ь) в направлении, перпендикулярном барьеру; х1> хк - классические точки поворота в поле потенциального барьера и(х);
х(Х) = ^[2ти{х)-р( . (в.6)
Если же туннелирующая частица испытывает взаимодействия в области
л
барьера, то туннельный гамильтониан Нт может быть разбит на две части
А Л 0 А Ш
Нт=Нт + Нг , (В.7)
где Нт - туннельный гамильтониан в отсутствие подбарьерного взаимодействия,
а Яг - учитывает взаимодействия туннелирующей частицы в области барьера.
Эффекты взаимодействия при туннелировании можно разделить на две категории:
1. Взаимодействия, происходящие слева и справа от барьера, либо непосредственно на его границах. Эти взаимодействия определяют плотность состояний туннелирующих частиц слева и справа от барьера, от которых зависит туннельный ток.
2. Взаимодействия, происходящие непосредственно в области барьера, они определяют вид матричных элементов
Для применимости метода туннельного гамильтониана, как варианта
л
теории возмущений, необходимо, чтобы оператор возмущения Я т был малым, а это означает, что помимо малости Я г (достаточно длинный и высокий барьер,
Л Ы'
слабая связь между Л и I электродами) должна выполняться малость Нт
11
(малость интегрального взаимодействия туннелирующей частицы с центрами рассеяния в переходе). Как следствие этого, метод туннельного гамильтониана был применен для решения многочисленных задач туннелирования в тех случаях, когда рассеяние происходит либо вблизи границ барьера, либо когда для матричных элементов 7^_ можно ограничиться использованием простейших
аппроксимаций типа (В.5).
Так, например, в рамках метода туннельного гамильтониана [11-20] изучались различные аспекты туннелирования с учетом рассеяния на примесях, локальных и квазилокальных колебаниях решетки, в работах [21-23] исследовалось туннелирование с участием плазмонов. При этом основное внимание уделялось рассеянию, происходящему вблизи границ барьера в левом и правом электродах, либо однократному рассеянию в области барьера. Электроды представляли собой различные попарные комбинации из нормального, сверхпроводящего металлов и полупроводника.
Однако, в тех случаях, когда интегральное взаимодействие туннелирующей
л ш
частицы в области барьера Н т оказывается не малым (многократное рассеяние, резонансные эффекты), использование (В. 5) становится неправомерным. Физически это очевидно, ибо даже при слабом взаимодействии туннелирующей частицы с индивидуальными центрами рассеяния многократное подбарьерное рассеяние существенно изменяет волновую функцию на больших расстояниях, а поскольку вероятность туннелирования определяется глубиной проникновения волновой функции внутрь барьера, то это приводит к существенному изменению вероятности туннелирования. Формапьно же это означает, что “невозмущенный”
А А Л / \
гамильтониан Но =Ня + Нь и соответствующий базис \х}\ оказываются в
этом случае плохими нулевыми приближениями, так как включение
. ш
А
подбарьерного взаимодействия II т (не являющегося малым) приводит к
12
существенному изменению спектра и волновой функции туннелирующей частицы на больших расстояниях.
Таким образом, несомненно актуальной является разработка методов учета многократного подбарьерного примесного рассеяния при туннелировании в неупорядоченных системах.
Обсудим предварительно модель неупорядоченной системы и постановку задачи туннелирования в ней.
Мы будем рассматривать падение потока невзаимодействующих между собой частиц единичной интенсивности и энергии Е на слой неупорядоченной среды толщины I. Этот процесс описывается уравнением Шредингера, потенциал которого отличен от нуля лишь в области 0<г<Ь, занятой слоем
где і - координата вдоль нормали к слою, двумерный вектор г параллелен слою.
Однородному слою отвечает постоянный потенциал ио - высота макроскопически гладкого барьера (туннелированию отвечает случай Е <110), а неупорядоченность считается порожденной случайным примесным потенциалом вида
отвечающим модели структурного беспорядка, если считать, что координаты примесей гу- хаотически распределены по слою со средней плотностью п , а
(/г2 / 2т = /)
-Ау/ + и[г)у/ = Ец/,
г
(В.8)
(В-9)
у
функции
одинаковы и неслучайны и описывают, например
13
одинаковые потенциальные ямы, случайно расположенные в пространстве. Уравнение (В.8) должно быть дополнено граничными условиями при г = 0 и г = соответствующим постановке задачи о туннелировании квантовых частиц через слой.
Модель структурно неупорядоченной системы с потенциалом (В.9) допускает эффективный теоретический анализ в случае, когда, во-первых, потенциал отдельного примесного центра является короткодействующим, то есть радиус действия г0 потенциала и(г-/у) является самым малым параметром
размерности длины в задаче, много меньшим радиуса локализации однопримесного состояния а~! = ^ио - Ел (Ел - однопримесный локальный
уровень) и, во-вторых, когда радиус локализации а'1 мал по сравнению со средним расстоянием между примесями то есть в приближении малой
плотности примесных центров. Впервые такая модель неупорядоченной системы была изучена И.М.Лифшицем [1,2] и носит его имя. Именно в рамках этой модели (г0«а~{ «/) и будет рассматриваться одночастичная задача туннелирования.
Удобным и эффективным (с точки зрения вычислений) предельным случаем примесного потенциала является локальное возмущение, сосредоточенное в одной точке. Поэтому в качестве модели однопримесного потенциала в одномерном случае будет рассматриваться предельный случай локального возмущения, сосредоточенного в одной точке - функционное возмущение вида и[г - ~ Zj). Если же размерность пространства
больше единицы, то, как хорошо известно в квантовой механике [3], возмущение вида и(г-г^=/М[г-г,) приводит к расходимостям [2]. Поэтому в трехмерном
случае в качестве локального возмущения может быть рассмотрена либо трехмерная сферическая потенциальная яма конечной глубины и радиуса г0, либо весьма удобная в рассматриваемом круге вопросов модель однопримесного
14
возмущения, обобщающая 5- функционное возмущение, и представляющая собой оператор проектирования на быстро убывающую и нормированную
Возможность использования такой модели возмущения подробно обсуждается в [2], а здесь отметим лишь, что амплитуда рассеяния в определенном интервале энергии вблизи любого из уровней потенциальной ямы может быть смоделирована с помощью оператора вида (В.З) путем надлежащего выбора параметров (Приложение 3).
Нашей задачей является нахождение усредненной по всевозможным реализациям случайного потенциала (В.9) туннельной прозрачности слоя (р[ , представляющей собой отношение плотности потока ]1 (£) частиц с
энергией Е <и0, прошедших через слой неупорядоченной среды толщины I, к плотности падающего потока ]0{Е) = 1
Одна из основных трудностей, возникающих при решении этой задачи, обусловлена тем, что, как будет видно в следующих главах, прозрачность мультипликативно зависит от толщины слоя и вследствие этого не всегда является самоусредняющейся величиной.
Различие между самоусредняющимися и несамоусредняющимися величинами поясним, следуя [2]. Назовем типичными такие реализации случайного потенциала (конфигурации примесей), для которых значения рассматриваемой величины близки к своему наиболее вероятному значению,
определяемому максимумом ее ПЛОТНОСТИ вероятностей ). Те же
реализации, для которых находится в достаточно малой окрестности своего
среднего значения (01}, назовем репрезентативными. Для самоусредняющихся
функцию /(г)
(В. 10)
(В.11)
15
величин, представляющих собой отнесенные к объему системы величины, аддитивно зависящие от объема, все реализации при Ь -»ос являются одновременно и типичными, и репрезентативными, а соответствующая им плотность вероятностей имеет вид 5- функции, сосредоточенной в окрестности
Статистическая природа несамоусредняющихся величин, которые подобно прозрачности мультипликативно зависят от размеров, более сложна. Из-за такой зависимости от размеров основной вклад в их средние значения дают “хвосты” распределения вероятностей и потому для подобных величин множества типичных и репрезентативных конфигураций различаются. Статистическое описание таких величин должно включать в себя большое число моментов или другую эквивалентную совокупность параметров, задающих достаточно точно распределение вероятностей. Получение столь полной информации является весьма сложной задачей, поэтому нахождение (01) как простейшей статистической характеристики случайной величины безусловно, имеет
смысл, однако при этом необходимо помнить, что для экспериментальной реализации этого среднего значения могут понадобиться весьма специальные условия.
Так, например, экспериментальная ситуация одномерного туннелирования может быть реализована тогда, когда образец, толщиной Ь и площадью поперечного сечения £ набран из нитей (проволочек). Такая ситуация возможна также и в квазиодномерном случае за счет большой анизотропии эффективной массы. Наблюдаемой величиной в этих случаях является средний поток выходящих частиц, отнесенный к единице площади, равный
где сумма распространена на все нити. Относительное среднеквадратичное отклонение этой величины равно
Фс)-
(В. 12)
16
ЛГ-//2£, (В. 13)
где N - число нитей в образце, 8 — относительная среднеквадратичная флуктуация прозрачности отдельной нити, которая экспоненциально растет с длиной нити - толщиной слоя Ь.
Условие экспериментальной реализации среднего значения (В. 12)
означает малость параметра (В.13), характеризующего флуктуации
N''^8 « 1 . (В. 14)
Из (В. 14) видно, что для достаточной малости среднеквадратичного отклонения нужно, чтобы число нитей, а значит, и площадь поперечного сечения образца были весьма велики. Картина волнового поля на выходе из такого квазиодномерного слоя должна представлять собой в основном “темный” фон с весьма редкими и яркими “вспышками” в тех местах, где расположены нити с репрезентативными, но не типичными конфигурациями центров рассеяния. Если же площадь поперечного слоя, являясь макроскопической величиной, будет тем не менее недостаточно велика, то будут наблюдаться сильные флуктуации туннельной прозрачности при переходе от образца к образцу, то есть начнут проявляться мезоскопические эффекты, являющиеся следствием квантовой интерференции, характерной для заданной конфигурации рассеивателей в каждом конкретном образце. Предполагается, что выполнены условия, при которых эффекты квантовой интерференции при туннелировании не разрушаются эффектами неупругого рассеяния, например, на фононах. Для этого, в частности, необходимы достаточно низкие температуры.
Отмеченный выше мезоскопический эффект накладывает естественные ограничения снизу на геометрические размеры стандартных элементов, «работающих» на туннельном эффекте при низких температурах. Это обстоятельство должно учитываться, например, при производстве элементов компьютерной техники, где совершенствование идет по пути миниатюризации, а
17
для подавления тепловых флуктуаций и уменьшения тепловыделения используются все более низкие температуры.
Опишем теперь кратко общую картину туннелирования частиц через случайно - неоднородный слой.
Если энергия туннелирующей частицы Е гораздо меньше высоты барьера ио, так что выполняется неравенство а~!<< /, где а2 =ио / - среднее расстояние между примесями, то процесс туннелирования имеет в существенном одномерный характер, так как из-за сильного затухания в подбарьериой области траектории частиц будут практически сосредоточены внутри цилиндров радиуса а~1. При этом, если энергия частиц лежит ниже, чем энергия связанных состояний всевозможных примесных кластеров, то есть меньше, чем истинная граница спектра бесконечной неупорядоченной системы с тем же случайным потенциалом и барьером и0, то имеет место нерезонансное туннелирование. В этом случае амплитуды подбарьерного рассеяния как на отдельном центре, так и на всех кластерах не превосходят единицы, и при малых концентрациях примесных центров оказывается возможным получение декремента затухания средней прозрачности в виде ряда ио степеням «.
Если же энергия частиц лежит выше, чем истинная граница спектра соответствующей бесконечной системы, то может осуществляться резонансное туннелирование. В этом случае при каждой энергии существуют маловероятные конфигурации примесных центров (резонансно-перколяционные траектории
[33]), на которых прозрачность близка к единице. Однако, именно они при определенных условиях являются репрезентативными, так как на типичных конфигурациях прозрачность чрезвычайно мала, а потому вероятность резонансных конфигураций и их энергетические ширины и определяют в существенном среднюю прозрачность слоя.
Как уже было отмечено выше, для многих физически важных задач представляет интерес изучение туннелирования при учете многократного