Предельные теоремы для потоков на поверхностях и групп преобразований

ОГЛАВЛЕНИЕ
1
Оглавление
1 Введение 5
1.1 Предмет диссертации и её основные результаты........................... 5
1.1.1 Абелевы дифференциалы и потоки переноса................. 5
1.1.2 Асимптотика эргодических интегралов для потоков переноса. ... 7
1.1.3 Эргодические средние для перекладываний отрезков........ 9
1.1.4 Гиперболические свойства потока Тейхмюллера............. 11
1.1.5 Эргодические теоремы для действий свободных групп и полугрупп 11
1.2 Структура диссертации................................................. 16
2 Гёльдсровские коциклы и предельные теоремы для потоков переноса 18
2.1 Гельдеровские коциклы над потоками переноса........................... 18
2.2 Характеризация коциклов............................................... 19
2.3 Аппроксимация слабо липишцевых функций................................ 22
2.3.1 Пространство слабо липшицсвых функций................... 22
2.3.2 Коцикл, соответствующий слабо липшицсвой функции........ 23
2.3.3 Инвариантные меры с простым спектром Ляпунова........... 23
2.4 Голономно-инвариантные трансверсальные меры для ориентированных
измеримых слоений..................................................... 25
2.5 Консчио-аддитивиыс инвариантные меры для отображения перекладывания отрезков.......................................................... 27
2.6 Предельные теоремы дія потоков переноса............................... 29
2.6.1 Интегралы но времени как случайные величины..................... 29
2.6.2 Рост дисперсии.......................................... 29
2.6.3 Предельная теорема...................................... 31
2.7 Символическое кодирование для потоков переноса........................ 33
2.7.1 Отображение перекладывания отрезков как автоморфизм Всршика 33
2.7.2 Поток переноса как символический поток.................. 36
ОГЛАВЛЕНИЕ 2
3 Конечно-аддитивные меры на асимптотических слоениях марковского компакта 39
3.1 Марковские компакты................................................... 39
3.2 Асимптотические слоения............................................... 40
3.3 Конечно-аддитивные меры............................................... 40
3.4 Строгая эргодичность................................................ 41
3.5 Конечно-аддитивные меры с гёльдеровским свойством..................... 42
3.6 Конкатенация и уплотнение............................................. 43
3.7 Аппроксимация слабо липшицевых мер.................................... 44
3.8 Двойственность ....................................................... 46
3.9 Аппроксимация слабо липшицевых функций................................ 48
3.10 Сбалансированные, бирегулярные но Ляпунову и гиперболические марковские компакты.......................................................... 49
3.11 Расширение мер....................................................... 51
3.12 Упорядочение Вертпика................................................ 53
3.13 Гсльдсровскис коциклы................................................ 56
3.14 Слабо липшицевы функции............................................................................................... 59
4 Случайные марковские компакты. Предельные теоремы 61
4.1 Пространство марковских компактов..................................... 61
4.2 Коциклы и меры........................................................ 62
4.2.1 Ренормализующий коцикл........................................ 62
4.2.2 Транспонированный коцикл...................................... 64
4.2.3 Двойственность................................................ 64
4.2.4 Сбалансированные и гиперболические марковские компакты. ... 65
4.3 Поток ренормализации на пространстве взвешенных марковских компактов ...................................................................... 67
4.3.1 Пространство взвешенных марковских компактов ................. 67
4.3.2 Поток ренормализации и реиормализующий коцикл................. 67
4.3.3 Характеризация конечно-аддитивных мер......................... 69
4.3.4 Пространство специальных потоков.............................. 73
ОГЛАВЛЕНИЕ 3
4.4 Предельные теоремы................................................... 74
4.4.1 Главный член в асимптотике эргодичсского интеграла.............. 74
4.4.2 Рост дисперсии.................................................. 75
4.4.3 Формулировка и доказательство предельной теоремы................ 76
4.4.4 Атомы предельных распределний................................... 78
4.5 Эргодические средние автоморфизмов Вершика........................... 80
4.5.1 Множество односторонних марковских компактов ................... 80
4.5.2 Автоморфизмы Вершика............................................ 83
1
5 Пространство Вича зашнурованных прямоугольников 84
5.1 Абелевы дифференциалы и марковские компакты.......................... 84
5.2 Отображение в когомологии............................................ 84
5.3 Индукция Рози-Вича................................................... 86
5.4 Зашнурованные прямоугольники ........................................ 89
5.4.1 Конструкция зашнурованных прямоугольников....................... 89
5.4.2 Зашнурованные прямоугольники и абелевы дифференциалы ... 89
5.5 Пространство зашнурованных прямоугольников........................... 90
5.5.1 Соответствие между коциклами.................................... 92
5.6 Зашнурованные прямоугольники и марковские компакты................... 95
5.6.1 Основная лемма.................................................. 95
5.7 Кодирование Рози-Вича зашнурованных прямоугольников ................. 97
5.8 Марковский компакт, отвечающий зашнурованному прямоугольнику . . 98
5.9 Свойства символического кодирования.................................. 99
6 Поток Тейхмюллера 102
6.1 Введение.............................................................102
6.2 Напоминание: накрывающий поток {.Р*}.................................103
6.3 Символическое представление накрывающего потока......................107
6.3.1 Символическая динамика для отображения 0........................107
6.4 Символическая динамика для потока {Р1}...............................110
6.5 Свойства функции, порождающей специальный поток......................113
6.6 Переходные вероятности и свойство равномерного растяжения............115
ОГЛАВЛЕНИЕ 4
6.7 Зашнурованные прямоугольники и абелевы дифференциалы. Завершение доказательства теоремы 1.1.3 ..........................................117
7 Эргодичсские теоремы для групповых действий 124
7.1 Сходимость сферических средних для действий свободных групп...................124
7.2 Марковский оператор...........................................................126
7.3 Доказательство вспомогательных лемм...........................................129
7.4 Свойство Колмогорова..........................................................134
7.5 Эргодичсские теоремы для средних но Чезаро....................................138
7.6 Косые произведения и доказательство теоремы 7.5.1............................141
7.7 Эргодичсские теоремы для нескольких операторов................................152
7.8 Инвариантность предельного вектора............................................157
7.9 Эргодичсские теоремы для действий строго марковских полугрупп . . . 160
7.10 Эргодические теоремы для средних, полученных с помощью марковских
мер порядка к.................................................................161
Глава 1
Введение
1.1 Предмет диссертации и её основные результаты
1.1.1 Абелевы дифференциалы и потоки переноса
Основные объекты первой масти диссертации — это потоки переноса на плоских поверхностях. Напомним их определение. Пусть М — риманова поверхность рода р > 2, и) — абелев дифференциал на М, имеющий конечное число нулей Абелев
дифференциал и) задает на множестве М \ {рі, ...,рг} два слоения — первое обнуляется вещественной частью формы ы, второе — мнимой частью формы ш. Локальной заменой координат форму и можно представить в виде и = (1г\ по отношению к координате .г рассматриваемые слоения суть, соответственно, разбиения плоскости на вертикальные и горизонтальные прямые. Поэтому мы будем первое слоение называть вертикальным, а второе горизонтальным. Оба этих слоения ориентированы; движение с единичной скоростью вдоль листов слоения задает на проколотой поверхности М \ {рі,...,рг} два потока, сохраняющих элемент площади т = і(и А и)/2; эти потоки мы и будем называть вертикальным и горизонтальным потоками переноса, отвечающими абелеву дифференциалу ш.
Исследование глобальных динамических свойств потоков па плоских поверхностях восходит к нижегородским работам 40-х годов А.Г. Майера (см. [38]). Б современных терминах теорему Майера можно сформулировать так: если абелев дифференциал на компактной римановой поверхности не допускает вертикальных седлосвязок (то есть
5
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 6
траекторий вертикального потока, идущих из одного нуля абелева дифференциала в другой), то всякий лист его вертикального слоения всюду плотен на поверхности; иными словами, его вертикальный поток — минимален. Для перекладываний отрезков аналогичное утверждение получил в 1968-м году В.И. Оселедец (|45|), а в 1974-м году результат Оселедца переоткрыл М. Кин.
В 1982-м году Мазур [41) и Вич [54] одновременно и независимо доказали строгую эргодичность перекладывания общего положения, а также потоков переноса, отвечающих абелевым дифференциалам общего положения. Общность положения понимается в смысле некоторой естественной меры, называемой мерой Мазура-Вича, на пространстве модулей абелевых дифференциалов (точное определение меры Мазура-Вича будет дано в следующем подразделе). Из теоремы Мазура-Вича и эргоди ческой теоремы Биркгофа-Хинчина вытекает, что для вертикального потока, отвечающего абелеву дифференциалу общего положения, эргодическое среднее непрерывной функции равномерно сходится к сё пространственному среднему. Вопрос о скорости сходимости и эргодической теореме исследовался A.B. Зоричем (68) для перекладываний и Дж. Форни [211 для потоков переноса.
Один из основных результатов диссертации — асимптотическая формула для эрго-дических интегралов потоков переноса. Главную роль играет введённый автором новый объект, сопоставляемый абелеву дифференциалу на компактной римановой поверхности — пространство гёльдеровских коциклов над вертикальным потоком абелева дифференциала, инвариантных относительно голономии вдоль горизонтального потока абелева дифференциала (точное определение пространства коциклов дано в следующем подразделе). Пространство *В+ конечномерно (для почти всякого абелева дифференциала по мере Мазура-Вича его размерность равна роду поверхности), и теорема
1.1.1 утверждает, что эргодический интеграл лишиицевой функции равномерно приближается некоторым коциклом из 23+ с точностью до ошибки, растущей медленнее любой степени времени. В терминах пространства 23+ автором дано также новое явное описание инвариантных распределил в смысле Дж. Фории для вертикального потока абелева дифференциала общего положения.
Асимптотическое разложение, даваемое теоремой 1.1.1, позволяет также получить предельные теоремы для потоков переноса, отвечающих абелевым дифференицалам
ГЛАВА L ВВЕДЕНИЕ 7
общего положения (теорема 2.6.1). Оказывается, что предельные распределения в этом случае имеют компактный носитель. Автор предполагает, что аналогичные явления могут иметь место и для других динамических систем параболического типа.
1.1.2 Асимптотика эргодических интегралов для потоков переноса.
Пусть, как и раньше, М — поверхность рода р > 2, со — абелев дифференциал на М, m = i(wAu7)/2 - элемент площади формы о;, причем т(М) = 1. Пусть hf, /if — отвечающие и вертикальный и горизонтальный потоки на М. Пусть х € М, t\, £2 С R+. Прямоугольник П(х, t\,t2) = 0 < Т\ < ^,0 < г2 < £2} назовем допусти-
мым, если его замыкание не содержит нулей формы и. Определим пространство ' непрерывных аддитивных коциклов Ф+(х,1) над потоком h? таких, что при всяком х Є М функция Ф+(т,£) гельдерова rio t, а если прямоугольник П(я,іі,$2) допустим, то Ф+(гс,$і) = Пусть 23 ~ — аналогичное пространство над 1ц . Например,
если t) = t, то іА 6 23і. Для Ф+ <Е 23+, Ф” Є 23“ введем конечно-аддитивную меру Ф+ х Ф“ на М формулой Ф+ х ‘I>“(n(x,t1,t2)) = Ф+(ж, t{) • Ф“(х, £2) (здесь предполагается, что прямоугольник ІЦхуІ\уІ2) допустим). Определим спаривание между пространствами 23+. 33" формулой (Ф+,Ф~) = Ф+ х Ф”(М).
Для явного описания пространств 23+, 23“ нам понадобится рассмотреть поток Тейх-мюллсра на пространстве модулей абелевых дифференциалов и коцикл Концевича-Зорича над потоком Тейхмюллера. Напомним их определения.
Геодезический поток Тейхмюллера {&}, впервые рассмотренный Г. Мазуром [41) и У. Вичем [54), действует на пространстве модулей римановых поверхностей, снабженных голоморфным диференциалом. Более точно, пусть S - замкнутая поверхность рода р > 2. Введем на S комплексную структуру а и голоморфный дифференциал и. Пара (сt,uj) считается эквивалентной другой паре (сгі,^), если существует диффеоморфизм поверхности St переводящий ((т,и) в (<Ji,(Ji). Пространство модулей Л4(р) состоит из классов эквивалентности, а поток {<?t} на М(р) порождается действием на парах (а, о;) по формуле gt.((r,u) = (o',а/), где о/ = e(Rc(a>) ■+• гс-іІш(а»), а комплексная структура & определяется требованием голоморфности а/. Если (сг,со) и (о\и') эквивалентны, то дифференциалы и и и/ имеют одинаковые порядки нулей и одинаковую площадь. Следовательно, эти порядки и площадь корректно определены на М(р). Кроме того,
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 8
они сохраняются потоком Тейхмюллсра {<&}• Возьмем произвольный неупорядоченный
набор к — где к{ е К, -------1- кт = 2д — 2, и обозначим символом МК
подпространство М(р), соответствующее дифференциалам единичной площади (т.е. (г/2) / и А й = 1) с порядками нулей г = 1,... ,г; такое подпространство МК называют стратом в М(р). Каждый страт является {//^-инвариантным множеством. Пространство Мк также допускает естественную топологическую структуру, относительно которой оно, вообще говоря, несвязно. Число его связных компонент не превышает трех и зависит от к (подробности см. в [36]). Каждая из компонент {^(}-шшариаитна. Естественная {ф}-инвариантная мера на Ж\ называемая мерой Мазура-Вича, строится следующим образом.
Пространство «^допускает локальное отождествление с пространством относительных когомологий Я1 (5, {рь..., рг}> С), где Рь... ,рг — нули дифференциала. Мера Лебега на Я^Я, {рь... ,рг}, С), нормированная так, чтобы решетка Я1(Я, {рь... ,рг}, йф iZ) имела кообъем 1, порождает глобально определенную ^-инвариантную меру на Ж. После нормировки она превращается в вероятностную меру рк (см. [41], [54]), которую мы и будем называть мерой Мазура-Вича.
Пусть Ш1(Ж) - расслоение над Ж, слой которого над точкой (М,и>) есть группа когомологий Н1(М}л). В расслоении Н2 (Ж) может быть задана связность Гаусса-Мапина, которая однозначно определяется тем требованием, что горизонтальными сечениями являются непрерывные целочисленные сечения расслоения И 1(Ж). Параллельный перенос но отношению к связности Гаусса-Манина вдоль орбит потока Тейхмюллсра задаёт коцикл над потоком Тейхмюллсра, называемый коциклом Концевича-Зорича и обозначаемый символом А = Аки-
Мы переходим к краткому изложению одного из основных результатов работы — теоремы 1.1.1, дающей асимптотику временных интегралов вертикального потока почти всякого абелева дифференциала по мере Мазура-Вича. Эта теорема — частный случай более общего результата, теоремы 2.3.1, доказываемой во второй главе.
Итак, пусть Ж — связная компонента пространства модулей абелевых дифференциалов с предписанными порядками нулей, д3 — поток Тейхмюллера на Ж, А(я, X) — коцикл Кон цени ча-Зорича над д$, действующий в когомологиях 1Р(М,Ж) поверхности М (под{>обпыс определения даны в [35]). По теореме Авилы-Вианы [6], липуновский
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
9
спектр коцикла А ПО отношению К мере прост И имеет ВИД 1 > 02 > * * • > вр >
О > —Ор > • • • > -02 > -1. Для X € Ж, X = (Af.w), пусть С Я1(М,К) -
устойчивое и неустойчивое ляпуновские подпространства коцикла А.
Предложение. Для р-почти всех X Ж существуют естественные изоморфизмы
форму на ЯХ(М,К) (интеграл внешнего произведения соответствующих 1-форм). В частности, dim 23 J = dim 23% — p.
Для Ф~ е 23“ положим Шф- = и+ х Ф~. В частности, т„- = т. Для липшицевой функции / на М, интеграл / /dm*- = m*-(/) определен по Риману при всяком Ф” 6
Пусть теперь Ф/ = */+,Ф/,... ,Ф/ — базис в 23^, такой что вектор 2*(Ф^) имеет показатель Ляпунова 0»; пусть Ф^ = и~,, Ф” — двойственный базис в 23^ по отношению к спариванию (,).
Теорема 1.1.1 Для всякого є > 0 найдется Сс > 0, такое, что для цк-почти всякого-X Є Ж, X = (М,со), любой липшицевой функции / на М, любых х € М и Т > О выполнено
1.1.3 Эргодические средние для перекладываний отрезков.
Полученные результаты имеют приложения к перекладываниям отрезков. Пусть т <Е N. Пусть Ат_1 - стандартный симплекс
»=1
Пусть 7Г - перестановка {1,... ,т}, удовлетворяющая свойству неприводимости: равенство 1г{1,..., к) = возможно, лишь если к = т.
На полуоткрытом интервале I = [0,1) рассмотрим точки Рх = 0, в, =
Р\ = 0, и введём обозначения I, = [РиРцл), Ц = [/ЯГ»/?ц)' Длина /,
есть Аг-, в то время как длина // есть Л*-ц. Положим
-В$ - В*, при которых спаривание (,) переходит в каноническую билинейную
23-.
fohtwdt - гш(л - £>#Г(я ф?(*,т) < аил мі+п-
ТП
T(aiW)(®) = х + Pli - Pi for X Є /<.
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 10
Отображение Т(л т) называется отображением перекладывания отрезков, отвечающим (Л, 7г). По определению, отображение Т(д_) обратимо и сохраняет меру Лебега на /. Согласно теореме Мазура |41| и Вича |54|, для каждой неприводимой перестановки тг и для почти всех (по мере Лебега) Л Є Лт-ь соответствующее отображение перекладывания Т(д>7Г) строго эргодично: мера Лебега есть единственная инвариантная вероятностная мера для T(A>ff).
Операции Рози а и b определяются формулами
nj, если j < я~1т,
а7Г(Л = { ят, если j = я~1т+ 1,
я{] — 1), если я~1тп 4-1 < j < т\
яj, если яj < ят,
bn(j) = {nj + 1, если ят < яj < т,
ят -f L, если nrj = т.
»
Эти операции сохраняют неприводимость. Класс. Рози И(я) определяется как множество всех перестановок, которые могут быть получены из я применением операции из группы преобразований, порожденной элементами а и Ь.
Итак, пусть Т : [0,1] —* [0,1] — минимальное перекладывание с неприводимой подстановкой я. Пусть Ф(Т) — пространство непрерывных функций Ф на [0,1), таких, что Ф(0) = 0, а если Т непрерывно на [а, Ь], то Ф(ТЬ) - Ф(Та) = Ф(6) - Ф(а). Например, если Ф(£) = t, то Ф Є 3$(Т). Как и прежде, для Ф € ®(Т) и липшицевой функции / на [0,1] интеграл J /<М> определен по Римаиу-Стилтьссу.
Теорема 1.1.2 Найдется натуральное число р, зависящее лить от подстановки, такое, что по отношению к мерс Лебега в пространстве перекладываний для почти всякого перекладывания имеем dimQ3(T) = р. Более того, найдутся числа 1 = >
02 > • • • > вр > 00-и = 0, зависящие лишь от я, и базис Фі = Ф, Фг,..., Фр в 53(Т), такой, что при всяком є > 0 функция Ф* гельдерова с показателем 0Х —є, а для всякого х Є 0,1] и всякой липшицевой функции / па [0,1] выполнено
bg f^f°Tk(x)
k-0
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 11
где г(/) = шах{г: /= 0 при всех j < і].
Коицевич и Зорич [36) сопоставили каждому классу Рози неприводимых перестановок некоторую связную компоненту пространства модулей абелевых дифференциалов. Величины 1 > $2(7£) > ••• > 0Р(71) в предыдущей теореме суть положительные показатели Ляпунова коцикла Концевича-Зорича потока Тейхмюллера по отношению к мере Мазура-Вича на связной компоненте страта в пространстве модулей абелевых дифференциалов, отвечающей классу Рози подстановки тт.
1.1.4 Гиперболические свойства потока Тейхмюллера.
Зафиксируем произвольную связную компоненту Ж и, как и раньше, обозначим символом рк меру Мазура-Вича.
Вич показал [58|. что {/7г} по отношению к мере цк является потоком Колмогорова с энтропией, определяемой формулой
Л^({&})“20-1 + г- (1-1-1)
Теорема 1.1.3 Мера рк — единственная мера максимальной энтропии длл потока {#} па Ж.
Теорема 1.1.3 выводится из теоремы 2.1 в [13).
С помощью конструкций Рози [47), Вича |54| и Зорича [68] (см. также [66]) построим специальный поток {Р*} (поток Вича), накрывающий поток Тейхмюллера .
Затем мы рассмотрим (в главе 6) символическое представление потока {Р*} и покажем, что он, с точностью до изоморфизма, является специальным потоком над топологическим сдвигом Маркова со счетным алфавитом. Эта конструкция сводит Теорему
1.1.3 к её символическому аналогу, полученному автором совместно с Б.М. Гуревичем (теорема 2.1 в [13], [14]).
1.1.5 Эргодические теоремы для действий свободных групп и полугрупп Сходимость сферических средних для действий свободных групп
Седьмая глава диссертации посвящена исследованию эргодических теорем для сохраняющих меру свободной группы. Как и в предыдущих главах, ключевую роль здесь
ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ
12
играют методы символической динамики.
Другая аналогия состоит в том, что задача описания предельного поведения равномерных сферических средних для сохраняющего меру действия свободной группы сводится к нахождению хвостовой сигма-алгебры некоторого специального марковского оператора.
Первые эргодические теоремы для действий произвольных счетных групп были получены В.И. Оселедцем в следующих предположениях.
Пусть Г - счетная группа, которая действует измеримыми сохраняющими меру преобразованиями на вероятностном пространстве (X, и), и для g G Г пусть Тд - соответсву-ющее преобразование. Пусть /г - вероятностная мера Fia Г, удовлетворяющая условию д(#-1) = /*(.<?)• Пусть - это n-ая конволюция д. Эргодическая теорема Оселедца утверждает, что для (р Є Llog L(X, и) средние
сходятся почти наверное. Доказательство основано на рассморении самосопряженного марковского оператора = ЗС^егМ#)^»*
Пусть Ещ - свободная группа, а - подгруппа элементов четной длины по отношению к данной системе свободных образующих.
В 1969-ом году Гиварш (основываясь на работе Арнольда и Крылова) рассмотрел равномерные сферические средние на свободной группе, то есть,
и доказал, что для <р 6 П2(Х, и) последовательность в-щТ сходится в Ь2 к Р?п-инвариантной функции.
В 1986-м году Р.И. Григорчук получил поточечную сходимость для средних
A2n‘P = '£2li{2n){g)Tgip
де Г
(1.1.2)
N-1
В 1994 Нево и Стейн доказали следующую теорему.
Теорема 1.1.4 Пусть р > 1. Тогда для всех <р € Гр(Х,и) помсдоватслъностъ Я2п<р сходится при п —> оо как и-почти везде, так и в Ьр к Е?п-иивариапт)юй функции.
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 13
Пусть (Х,В\,и) — вероятностное пространство, и пусть измеримые отображения Ть... ,Тт : X —> X сохраняют меру и. Иными словами, задано действие свободной полугруппы с т образующими на пространстве (ХуВх,^) сохраняющими меру отображениями. Для таких действий в этой работе получены новые эргодическис теоремы.
Пусть (X, и) - вероятностное пространство и пусть - свободная группа с т образующими, действующая на (X, и) измеримыми, сохраняющими меру преобразованиями. Пусть 01,...,ат — образующие Рт, а 7\,... ,Тт : X —> X — отвечающие им преобразования. Положим Т_, = Т~1 для г = 1 ,...,т, А = {— т,1,1,...,т}. Действие Гт на Ь\(Х, и) определяется формулой Тд<р = о Тд-1, д € Г'т.
Рассмотрим множество V/а всех конечных слов в алфавите А:
IVл = {ю = гв1в;2... гвп| 6 А)
Обозначим символом |гв| длину слова щ. Для натурального 71, пусть У/л(п) = {ги € XVА, |гу| = тг}.
Для каждого ги € ги = .. . ггп, определим преобразование
Тш = ТУ}1ТШ2...ТЮп. (1.1.3).
Пусть П - стохастическая матрица формата 2тп х 2га, строки и столбцы которой занумерованы элементами из А, то есть, II = (рц),*,.; € А. Предположим, что П имеет единственное стационарное распределение
(Р-ТП) • • • >Р— Ь Рь • • • : Рт)>
причем такое, ЧТО все Р; > 0.
Для ги Е №д, и) = ги\... гтп, обозначим
р(ш) = Ри;пшп-1Ри1п-1 гкц-г Ргиъгии = Рад„р(*У).
Рассмотрим операторы
«5 = 53 ,ГМГ» (1л-4)
|и>|=п
В седьмой главе диссертации исследуется сходимость этой последовательности операторов.
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 14
Определение. Будем говорить, что матрица П порождает свободную группу, если щ = 0 эквивалентно І+ д = 0.
Нам будет нужно условие симметрии
Рі = Р-і, Р-і,-і = (1.1.5)
Уі
Равенство (1.1.5) эквивалентно тому, что все операторы самосопряженные.
Пусть Р?п - подгруппа слов четной длины Гт, то есть подгруппа, порожденная ащ, і, у Є {!,... ,т).
Теорема 1.1.5 Пусть (X. и) - лебегово вероятностное пространство. Предполоэ/сим, ■что ст.охаст.ичсская матрица II порооісдаст свободную группу и удовлетворяет условию (1.1.5). Тогда для каждого <р Є В 1о£ Ь(Х, и) последовательность сходится при п —> оо и и-почти везде, и в В\(Х, и) к /%„-инвариантной функции.
Замечание. Последовательность тожс сходится. Последовательность не
должна сходиться, потому что действие 7'ш может иметь собственную (функцию с собственным значением —1, то сеть, ненулевую функцию ф <Е В\(Х, н) такую что 'Гіф = —ф для всех і € А (по той же причине предел » теореме 1.1.5 должен быть /^-инвариантным но не обязан быть ^-инвариантным). Если действие не имеет собственных функций с собственным значением —1, то для всех р € Ыо^ЦХ, у) последовательность вЦр сходится при п —* оо как і/-почти всюду, так и в Ь\(Х,и) к Ет-инвариантному пределу.
Средние 52а сходятся при более слабых условиях на матрицу П, чем в теореме! .1.5.
Определение 1.1.1 Матрица П с неотрицателънъши элементами будет называться неприводимой, если для всех п> 0 все ненулевые элементы матрицы П + П2-К .. Пп полоо/сительпы (если П - стохастическая, то это эквивалентно тому, что в соответствующей цепи Маркова као/сдое состояние достиэ/симо из любого другого сото-япия).
Определение 1.1.2 Матрица П с неотрицательными членами будет называться строго неприводимой, если П неприводима и ПНГ неприводима (здесь Пу обозначает матрицу транспонированную к II.)