Анализ и механика на двухточечно-однородных римановых пространствах

Содержание
0.1 Введение........................................................... б
0.2 Указатель обозначений и соглашений.................................14
0.2.1 Множества................................................... 14
0.2.2 Пространства.................................................14
0.2.3 Алгебры и группы..............................................14
0.2.4 Операции.....................................................15
0.2.5 Разное.......................................................15
1 Двухточечно-однородные римановы пространства 17
1.1 Классификация .................................................... 17
1.2 Специальное разложение алгебры Ли инфинитезимальных изометрий
двухточечно-однородных римановых пространств........................19
1.3 Модели классических компактных двухточечно-однородных римановых
пространств.........................................................24
1.3.1 Модель пространства РП(И)....................................24
1.3.2 Модель пространства Р"(С)....................................26
1.3.3 Модели пространств в", Рп(1&) и НП(Е)........................27
1.4 Модель проективной плоскости Кэли..................................31
1.4.1 Алгебра Са...................................................32
1.4.2 Йорданова алгебра бз(Са) ....................................34
1.4.3 Октавная проективная плоскость Р2(Са)........................35
2 Дифференциальные операторы на гладких многообразиях 38
2.1 Инвариантные дифференциальные операторы
на группах Ли и однородных пространствах............................38
2.1.1 Основные обозначения ........................................39
2.1.2 Инвариантные дифференциальные операторы на группах Ли . . . 41
2.1.3 Инвариантные дифференциальные операторы на однородных пространствах......................................................44
2.1.4 Представление алгебры ЮТсДМ) образующими и соотношениями 47
2.2 Оператор Лапласа-Вельтрами в подвижном репере......................49
2.3 Самосопряженность гамильтонианов...................................52
2.3.1 Самосопряженность операторов в абстрактных гильбертовых
пространствах .............................................. 52
2.3.2 Самосопряженность операторов Шредиигера на римановых пространствах 57
2.4 Общая схема квантовомеханической редукции...........................61
з
3 Алгебры инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер над двухточечно-однородным римановым пространством 64
3.1 Инвариантные дифференциальные операторы
на пространстве ........................................................64
3.2 Алгебры ОиГ/(Ря(Н)з) и ШГ/(Н"(Н)8)......................................07
3.2.1 Образующие алгебр ІЗіАГ/(Р”(]НІ)з) и Оі(Т/(Н"(1НІ)з).............07
3.2.2 Соотношения в алгебрах Бі1Г/(Рп(НІ)8) и Пій“/(НП(Н)8)............71
3.3 Алгебры ШГ/(Ря(С)з) и ОіАГ/(НП(С)з).....................................77
3.3.1 Образующие алгебр ОіЙГ/(Рл(С)з) и БіА:/(Нп(С)8)..................77
3.3.2 Соотношения в алгебрах ]Зій7(Р”(С)8) и ІЗіІТ/(Нг*(0)з) ..........79
3.4 Алгебры ОКГ/(Рг*(К)5), ОііГ/(3|) и ВИГ/(НП(К)8).........................81
3.4.1 Образующие алгебр Г>іЯГ/(8§) и ОіАГ/(Нп(К)8).....................82
3.4.2 Соотношения в алгебрах ИііїДЗд) и ОіА7(Нп(К)8)...................83
3.5 Алгебры ОіАг/(Р2(Са)8) и І)ІАГ/(И2(Са)8)................................85
3.5.1 Образующие алгебр ОігГ/ (Р2(Са)8) и ОіЙ‘/ (Н2(Са)8)..............85
3.5.2 Соотношения в алгебрах ІЗіЙ’/ (Р2(Са)8) и І)іЯ7 (Н2(Са)8)........91
3.6 Ядро оператора Д> ......................................................94
4 Гамильтоновы системы с симметрией и их редукция 96
4.1 Основные факты гамильтоновой механики...................................96
4.2 Гамильтонова механика с симметриями....................................101
4.2.1 Пуассонова структура на алгебре 5(д)............................101
4.2.2 Пуассоноио действие и отображение момента.......................102
4.2.3 Некоммутативная интегрируемость и отображение момента .... 105
4.2.4 Метод гамильтоновой редукции....................................106
4.3 Гамильтоновы системы на кокасатсльных расслоениях......................107
4.3.1 Каноническая симплектическая структура на кокасатсльных расслоениях ..............................................................108
4.3.2 Инвариантные функции на кокасательных расслоениях...............109
4.3.3 Натуральные механические системы и декваптоваиис................113
4.3.4 Редукция кокасательного расслоения над однородным пространством .................................................................115
5 Двухточечный гамильтониан на двухточечно-однородных пространствах 121
5.1 Однородные подмногообразия в конфигурационном пространстве задачи двух тел..............................................................121
5.2 Двухточечный гамильтониан на компактном
двухточечно-однородном пространстве....................................124
5.3 Двухточечный гамильтониан на некомпактном двухточечно-однородном
пространстве ......................................................... 129
5.4 Связь двухточечного гамильтониана и алгебры Оі(Гс(М8)..................131
6 Материальная точка в центральном поле на двухточечно-однородных пространствах 134
6.1 Интегрируемость одночастичного движения в
центральном поле на двухточечно-однородных пространствах...............134
4
6.1.1 Движение на пространствах P2(Ca), P2(H), Р2(С).................135
6.1.2 Движение на пространствах S2,P2(K) и Н2(Е).....................136
6.2 Движение частицы в бертрановских потенциалах на пространствах постоянной кривизны .......................................................137
6.2.1 Задача Кеплера.................................................139
6.2.2 Изотропный осциллятор..........................................145
6.3 Квантовомеханическая одночастичная задача для бертрановских потенциалов в пространствах постоянной кривизны...............................149
6.3.1 Гиперболический случай.........................................149
6.3.2 Сферический случай ............................................155
7 Классическая механическая задача двух тел па двухточечно-однородных пространствах 161
7.1 Явно инвариантный вид гамильтоновой функции задачи двух тел на компактных двухточечно-однородных пространствах..........................161
7.1.1 Кватернионный случай .........................................162
7.1.2 Октавный случай ...............................................164
7.1.3 Комплексный случай.............................................164
7.1.4 Вещественный случай............................................165
7.2 Явно инвариантный вид гамильтоновой функции задачи двух тел на некомпактных двухточечно-однородных пространствах .......................166
7.2.1 Кватернионный случай...........................................166
7.2.2 Октавный случай ...............................................167
7.2.3 Комплексный случай.............................................168
7.2.4 Вещественный случай............................................169
7.3 Динамика двухчастичной системы и проблема столкновения частиц . . . 170
7.3.1 Проблема столкновения частиц...................................171
7.3.2 О поиске нетривиальных интегралов движения.....................174
7.4 Проблема центра масс на двухточечно-однородных пространствах .... 175
7.4.1 Существующие понятия центра масс на пространствах постоянной кривизны.........................................................176
7.4.2 Связь существующих понятий центра масс с двухчастичной гамильтоновой функцией.................................................179
7.5 Гамильтонова редукция задачи двух тел на пространствах постоянной кривизны.................................................................181
7.5.1 Гамильтонова редукция задачи двух тел на сферах................181
7.5.2 Гамильтонова редукция задачи двух тел на пространствах Н2 и Н3185
7.6 Неиитегрируемость приведенной задачи двух тел на пространствах S2 и Н2(Е)....................................................................189
7.6.1 Основной результат теории Моралеса-Рамиса......................189
7.6.2 Частные решения и уравнение в вариациях........................190
7.6.3 Ныотоноподобный потенциал .....................................193
7.6.4 Осцилляторный потенциал........................................196
7.6.5 Потенциалы V{0) = atg0 и V(0) = athO...........................198
7.6.6 Потенциалы V(0) = — asin_10 и V{0) = —ash-1 0..................200
7.6.7 Доказательство неинтегрируемости...............................201
5
8 Квазиточнорешаемость задачи двух тел на сферах 207
8.1 Представления компактных групп Ли................................208
8.2 Общие собственные значения операторов Д для сфер Б” и проективных пространств РП(К)....................................................210
8.2.1 Случай п = 2к.............................................211
8.2.2 Случай п = 2к — I.........................................219
8.3 Скалярные спектральные уравнения и некоторые энергетические уровни задачи двух тел .....................................................222
8.3.1 Кулоновский потенциал.....................................223
8.3.2 Осцилляторный потенциал...................................228
А Вычисление коммутационных соотношений для алгебр инвариантных дифференциальных операторов 231
В Некоторые фуксовы дифференциальные уравнения 235
С Некоторые факты дифференциальной теории Галуа 242
V Ортогональные комплексные алгебры Ли и их представления 245
0.1 Алгебра Ли 53*.........................................................................................245
0.2 Алгебра Ли 2)*...................................................247
0.3 Ограничения представлений алгебр 93* и £)*.......................248
0.4 Доказательство двух разложений...................................249
Предметный указатель 252
Список литературы 255
Введение
6
0.1 Введение
Хорошо известно, что одним из базисных понятий геометрии являются пространства постоянной кривизны [26], давшие широкое ноле для исследований. В результате были обнаружены многочисленные связи пространств постоянной кривизны с другими разделами математики, например, с интегрируемыми дифференциальными уравнениями в частных производных [116], (194), [222] и с интегрируемыми гамильтоновыми динамическими системами [64]. Геодезические потоки на компактных поверхностях постоянной отрицательной кривизны (рода большего единицы) являются полигоном для эрго дической теории [3] (см. также [75] и библиографию там). Гиперболическое пространство Н3(Н) является пространством скоростей специальной теории относительности, а также совпадает с пространственноподобными сечениями простейших моделей общей теории относительности.
Задолго до возникновения общей теории относительности основоположники неевклидовой геометрии Лобачевский и Больяи сделали первые попытки перенесения ньютоновской механики на пространства постоянной отрицательной кривизны. Ими были предложены аналоги ньютоновского потенциала для этого пространства. В 1885 году в важной работе Киллинга [151] была подробно рассмотрена задача о движении материальной точки в ньютоновском потенциале на пространстве S3 и найдены аналоги трех законов Кеплера для этой задачи. В работах Либмана [159], [161] 1902 и 1905 годов результаты Киллинга были распространены на пространство Лобачевского, а в его же работе [160] 1903 года было доказано обобщение теоремы Бертрана на пространства S2 и Н2(Е), т.е. существование на этих пространствах лишь двух потенциалов: Vc (кулоноподобного) и VQ (осциллятоподобного), для которых все ограниченные траектории одночастичного движения замкнуты.
Однако эти результаты не получили широкой известности (см., впрочем, статыо Домбровского и Зитербаха [120]) и неоднократно переоткрывались в ряде работ уже в последней четверти 20 и начале 21 веков: [ИЗ], [117], [135], [137], [153], [212].
Квантовомеханическая одночастичная спектральная задача для потенциала Vc на сфере S3 (задача Кулона) была решена Шредингером в 1940 году разработанным им методом факторизации операторов (ladder method) [87] и Стивенсоном в 1941 году традиционным путем анализа решений дифференциального уравнения [218] (см. также результат Инфельда 1941 года [138]). Инфельц и Шильд в 1945 году решили ту же задачу в пространстве H3(R) [139] (см. также [40]). Отмстим, что Шредингер, Стивенсон, Инфельд и Шильд не ссылались на работы Шеринга, Киллинга, Либмана и, видимо, не знали о них.
Нишино в 1972 году в работе [182] (см. также [136]) нашел все центральные потенциалы в пространствах постоянной кривизны, для которых классическая одночастичная задача имеет дополнительные интегралы, не зависящие от гамильтониана, квадратичные по импульсам и не сводящиеся к интегралам линейным по импульсам. Решением этой задачи оказались те же потенциалы Vc и V0. Он указал также, что соответствующие одночастичные системы являются аналогами изотропного гармонического осциллятора и задачи Кеплера в евклидовом пространстве и вычислил скобки Пуассона для интегралов движения. Однако, Нишино не рассматривал траектории этих систем и поэтому не обнаружил факт замкнутости всех ограниченных траекторий. Он не упомянул никого из своих предшественников, указанных выше.
В последние десятилетия усилился интерес к задачам классической и квантовой механики на пространствах постоянной кривизны.
Введение
7
Так, были вычислены дополнительные интегралы для классической и квантовой одночастичной задачи с потенциалами Ус и У0 на сфере S3 (Хигс [135], Курочкин, Отчик [52]) и в пространстве Н3(Е) (Вогуш, Курочкин, Отчик [И]). Спектральная одночастичная задача с потенциалами Vc и VQ в пространствах Sn, п ^ 3 была решена Лимоном в 1980 году в работе [157]. Разделение переменных для одночастичной квантовомеханической задачи в пространствах S3 и Н3(Е) с потенциалом Vc обсуждалось Богушем, Отчиком и Редьковим в работе 1983 года [12] (см. также работу Отчика [63]).
Связь аналогов оператора Рунге-Ленца для одночастичной квантовомеханической задачи Кеплера в пространстве S3 с методом факторизации Шредингера обсуждалось Барутом и Вилсоном в [100]. В [99] Барут, Ииомата и Юнкер решили спектральную одночастичную квантовомеханическую задачу для потенциала Vc на пространствах S3 и Н3(Е) с помощью функциональных интегралов.
В работах [G2], [18G] Отчик рассмотрел одночастичную квантовомеханическую задачу в поле двух произвольно расположенных кулоновских центров на сфере S3. Он нашел систему координат, в которой переменные разделяются, а соответствующие обыкновенные дифференциальные уравнения сводятся к уравнениям Гойна. Однако он не указал на работу Кнллинга [151], содержанию аналогичный результат для классического случая.
В работах [31] Грановский, Жеданов и Луценко усовершенствовали алгебраический подход работ [11], [52], [135], [157] к одночастичным задачам для потенциалов Vc и VQ в пространствах ST* и Н,1(Е).
В [51] Козлов и Федоров установили интегрируемость классического движения одной частицы по сфере S” в поле, создаваемом 2(п 4-1) потенциалами Va с центрами в точках
(±1,0,... ,0), (0,±1,0,... ,0),... ,(0,... ,0.±1) для стандартной модели сферы Sn в пространстве 5£n+1, заданной уравнением
i=0
Разделение переменных для одночастичного оператора Шредингера и некоторых нецентральных потенциалов в пространствах S2 и Н2(Е) изучалось Калнинсом, Миллером, Хакобьяном и Погосяном в работах [142], [143], [144]. Существующие в евклидовом пространстве преобразования Леви-Чивиты, Кустанхеймо-Штифеля и Гурвица, связывающие задачи Кулона-Кеплера и осциллятора, были обобщены на сферы некоторых размерностей в [145].
Интегрируемость одночастичного движения на сфере S2 в некоторых комбинациях ньютоновских и осцилляторных потенциалах была установлена Борисовым и Мамаевым в [108].
В книге [77], по-видимому, впервые упомянута (со ссылкой на Кугушева) двухчастичная классическая задача с центральным потенциалом на сфере S2, как пример гамильтоновой динамической системы с нсинволютивным набором интегралов. В статье
[1] 1990 года рассмотрены совместные уровни интегралов этой задачи для произвольного потенциала У(р) такого, что V'(p) > 0. Однако, по мнению автора, результаты этой работы являются недостаточно обоснованными.
В евклидовом пространстве задача двух тел после отделения движения центра масс сводится к задаче о движении одной частицы в центральном поле. В пространствах постоянной кривизны в силу отсутствия преобразования Галилея это не так [197].
Введение
8
Данная задача является инвариантной относительно группы изомстрий пространств постоянной кривизны. Однако данная группа недостаточно широка для обеспечения сама по себе интегрируемости в каком-либо смысле задачи двух тел. В работе автора [197] впервые проведена гамильтонова редукция двухчастичной классической задачи с центральным взаимодействием в пространствах постоянной кривизны к динамической системе с двумя степенями свободы и изучен вопрос о существовании ее решения на бесконечном временном интервале. Отметим, что работа автора [91], посвященная аналогичным вопросам в двумерном случае и сданная в печать в марте 1997 года, была опубликована лишь в 2000 году.1 В [89] автором впервые рассмотрена квантовомеханическая задача двух тел с центральным взаимодействием на пространствах Б2, Н2(П£), изучена самосопряженность соответствующих операторов Шредннгера и найден ряд точных спектральных серим двухчастичной задачи на сфере Б2 для некоторых центральных потенциалов.
В работе [150] Килин рассмотрел частные решения задачи двух тел с потенциалом Ус на пространствах Б2 и Н2(К) соответствующие движению обоих тел по окружностям с общим центром (так, что они все время остаются диаметрально противоположными относительно данного центра) и доказал устойчивость таких решений в линейном приближении (что не гарантирует настоящей устойчивости). Кроме этого им были исследованы точки относительного равновесия третьего ’’легкого” тела в поле создаваемом двумя ’’тяжелыми”, совершающими указанное вращение. В работе [118] Чериойваиа и Мамаева в том же году рассмотрена ограниченная классическая задача двух тел на пространствах Э2 и Н2(Е) с потенциалом Ус, т.е. задача о движении легкого тела в поле тяжелого, движущегося но геодезической с постоянной скоростью. Проведено ее численное исследование методом сечений Пуанкаре, свидетельствующее о ее пеинтегрируемости.
В 2001 и 2003 годах Зиглин доказал в работах [38] и [39; неинтегрируемость ограниченной задачи двух тел на сфере в2 с потенциалами Ус и У0 в классе мероморфных функций. Аналогичные результаты с меньшими ограничениями, справедливые также для ограниченной задачи двух тел на гиперболическом плоскости Н2(Е), были получены несколько позднее Мациевскнм и Прибыльской в [167]. В 2006 году ([205]) автор доказал мероморфную неинтегрируемость редуцированной задачи двух тел на пространствах 82 и Н2(Е) с потенциалами Ус и У0.
В 2003 году Богуш, Курочкин и Отчик рассмотрели в работе [104] рассеяние на кулоновском потенциале в пространстве Н3(К).
Естественно возникающая задача поиска центральных потенциалов, для которых задача о движении двух тел в пространствах постоянной кривизны все же интегрируема, остается нерешенной. Это связано с тем, что, несмотря на разнообразие методов теории интегрируемых систем, все они либо предназначены для искусственного построения интегрируемых задач, либо для выделения некоторых интегрируемых задач из большого класса динамических систем, либо для ’’объяснения” с новой точки зрения того, почему данная, ранее проинтегрированная система, является таковой. Для исследования вопроса об интегрируемости вновь возникшей конкретной гамильтоновой динамической системы, как правило, годятся лишь ’’старые” методы: численное построение сечений Пуанкаре, тест Пснлевс и ’’угадывание” дополнительных интегралов. Однако в пашей ситуации все они наталкиваются на значительные трудности.
•Укажем альтернативное описание приведенной системы для задачи двух тел на Я2, найденное п [109] Борисовым, Мамаевым и Килиным.
Введение
9
Численное построение сечений Пуанкаре возможно лишь для конкретного потенциала взаимодействия, и найти, таким образом, потенциал без удачной ”догадки” невозможно. Тест Пенлеве (см., например, [224]) практически пригоден лишь для дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старших производных, у которых правая часть имеет сравнительно простой, желательно полиномиальный, вид. Для задачи двух тел с центральным взаимодействием в пространствах постоянной кривизны это не так. Удачные ’’догадки”, во-первых, обычно если появляются, то сразу, а во-вторых могут иметь место лишь в сравнительно простой ситуации. В противном случае обычно приходится ждать разработки изощренной техники, приспособленной для решения конкретного вопроса2.
Конечно, все приведенные соображения, касающиеся проблемы интегрируемости задачи двух тел с центральным взаимодействием в пространствах постоянной кривизны, носят лишь эвристический характер и не претендуют на законченность, которую может дать либо нахождение потенциалов взаимодействия, соответствующих интегрируемости, либо доказательство отсутствия таковой для любых нетривиальных потенциалов.
Естественными пространствами для задачи двух тел являются двухточечнооднородные пространства. Для этих пространств расстояние между двумя точками является единственным инвариантом их расположения относительно действия группы изометрий. В частности, двухточечно-однородными пространствами являются одно-связные пространства постоянной кривизны и евклидово пространство3. Система двух частиц на этих пространствах имеет радиальную степень свободы и степени свободы, описываемые в терминах группы изометрий.
Однако запись двухчастичного гамильтониана в явно инвариантном виде, учитывающем данное деление степеней свободы на радиальную и групповые, является нетривиальной задачей, которая поэтапно решалась в работах автора [91], [197], [89], [90], пока наконец в [202] не было достигнуто единообразное описание для всех двухточечнооднородных пространств, на основе специального разложения алгебры Ли д, соответствующей группе изомстрий О, в прямую сумму подпространств.
Данный подход основан на теории Хелгасона инвариантных дифференциальных операторов [84], [134]. Для квантовомеханического случая он приводит к выражению двухчастичного гамильтониана через радиальный дифференциальный оператор и образующие алгебры инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер (2$ над двухточечно-однородным пространством С}. Эти образующие, в свою очередь, полиномиально выражаются через базис алгебры д. Данное представление позволяет выделить несколько изолированных обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующих некоторым (но заведомо не всем) спектральным сериям задачи двух тел на компактных пространствах С} для ряда потенциалов взаимодействия. Для кулоновского и осцилляторного потенциалов эти уравнения могут быть сведены к гипергеометрнческому и поэтому решены в явном виде [204]. Такая возможность характеризует так называемые квазиточнорешаемые задачи [79], [80], [227].
Пользуясь соответствием между квантовомеханическим гамильтонианом и классической функцией Гамильтона, можно получить явно инвариантный вид последней. При этом образующие алгебры ЭЩДС^) заменяются образующими соответ-
~В качестве примера можно привести историю доказательства Великой Теоремы Ферма [67].
3В дальнейшем, говоря о двухточечно-однородном пространстве, мы будем иметь п виду произвольное двухточечно-однородное пространство, за исключением евклидова.
Введение
10
ствующей градуированной алгебры которая изоморфна пуассоновой алгебре инвариантных функций на кокасательпом расслоении Этот вид двухча-
стичной функции Гамильтона позволяет провести анализ проблемы центра масс на двухточечно-однородных пространствах [202] и сравнить между собой известные ранее подходы к этой проблеме [27], [124], [181], [192], [234]. Также данный вид удобен для анализа условий, при которых в задаче двух частиц отсутствуют столкновения на бесконечном интервале времени и для проведения гамильтоновой редукции, которая основывается, в данном случае, на симплектоморфизме из работы [90].
Заметим, что для исследования задачи двух тел на двухточечно-однородных пространствах потребовалось привлечь разнообразные дифференциально-геометрические, алгебраические и аналитические методы. При анализе общих ситуаций в диссертации используется бескоординатное описание рассматриваемых конструкций в терминах алгебры Ли соответствующей группы симметрий. Это связано с тем, что за рамками евклидового пространства, особенно в случаях большой размерности (например 7г), имеющаяся симметрия часто теряется в громоздких координатных вычислениях, которые становятся очень трудоемкими, и, зачастую, практически невыполнимыми даже с помощью систем компьютерной алгебры. В то же время, использование выражений через базисные элементы алгебры Ли позволяет отчасти сохранить за дифференциальными операторами вид многочлена с постоянными коэффициентами, правда от некоммутирующих переменных, упрощающий многие вычисления.
Работа носит теоретический характер. Ее результаты позволяют понять причины мсинтегрируемости задачи двух тел на иенлоских двухточечно-однородных пространствах с нетривиальными потенциалами общего вида. Вместе с тем, обнаружена квази-точпорешаемость квантовомеханичоской задачи двух тел на пространствах постоянной кривизны для кулоновского и осцилляторного потенциалов, что свидетельствует о се близости к точно решаемым моделям.
Некоторые результаты, полученные автором при исследовании задачи двух тел на двухточечно-однородных пространствах, могут быть применены и к другим исследованиям в области геометрического анализа, квантовой и классической механики на многообразиях. К ним относятся: выражение оператора Лаиласа-Вельтрами в подвижном репере и, в частности, через киллинговы векторные поля, описание редуцированного кокасатсльного расслоения однородного пространства в терминах орбит коприсоединенного действия соответствующей группы Ли, описание алгебры 0ІИ/(С^5) инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер Qs над двухточечно-однородным пространством ф в терминах образующих и соотношений.
Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались на 30 Симпозиуме по математической физике (май, 1998 г., Торунь, Польша), 31 Симпозиуме но математической физике (май, 1999 г., Торунь, Польша), конференции ’’Геометрия, интегрируемость и квантование” (сентябрь 1999 г., Варна, Болгария), конференции ’’Методы неевклидовой геометрии в современной физике” (октябрь 2006 г., Минск, Беларусь), на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и ее приложений механико-математического факультета МГУ (рук. академик РАН, проф. А.Т. Фоменко), семинаре но нелинейным дифференциальным уравнениям (рук. чл. корр. РАН, проф. И.А. Шишмарев) кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, на семинаре по математической теории распространения волн в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. Стеклова (рук. д.ф.м.н., проф. В.М. Бабич), на семинаре по теории гравитации в Пермском государственном университете (рук. д.ф.м.н., проф. В.Ф. Панов), на семи-
Введение
11
нарах кафедры математики физического факультета МГУ (рук. д.ф.м.н., проф. В.Ф. Бутузов).
По теме диссертации опубликовано 14 статей и одна монография.
Опишем структуру работы. В первых четырех главах развивается дифференциально-геометрический аппарат, служащий в дальнейшем для анализа задачи двух тел на двухточечно-однородных пространствах. В главе 1 дана классификация двухточечно-однородных пространств, приведены модели компактных двухточечно-однородных пространств, либо как подмногообразий евклидова пространства, либо как фактор-пространств таких подмногообразий, а также различные модели вещественных гиперболических пространств НЛ(Е), п ^ 2. Далее описана связь меж,лу компактными и некомпактными двухточечно-однородными пространствами в терминах соответствующих алгебр Ли.
В главе 2 собраны необходимые сведения о дифференциальных операторах. Первый параграф содержит основы теории инвариантных дифференциальных операторов па однородных многообразиях. Во втором параграфе выводится выражение оператора Лапласа-Вельтрами в подвижном репере, в частности, состоящем из киллинго-вых векторных полей. В третьем параграфе сформулированы достаточные условия самосопряженности абстрактных операторов в гильбертовых пространствах и дифференциальных операторов на римановых пространствах, встречающихся в дальнейшем. В четвертом параграфе описана используемая далее общая схема редукции квантовомеханических систем с симметриями.
В главе 3 находятся образующие и соотношения для алгебры инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер над двухточечнооднородном пространством ф. Все эти системы образующих содержат оператор £>0 первого порядка. Его ядро изучается в §3.6. Также найдены некоторые элементы центров данных алгебр.
Глава 4 содержит основные факты, относящиеся к гамильтоновым динамическим системам с симметриями и соответствию между квантовомеханическими и классическими системами. В частности, тут обсуждается некоммутативная интегрируемость и отображение момента. Построен важный для дальнейшего симплектоморфизм между приведенным фазовым пространством для гамильтоновой системы на кокасатслыюм расслоении однородного многообразия и некоторым факторпростраиством орбиты ко-присоедиыенного действия соответствующей группы Ли.
Глава 5 посвящена выводу явно симметричного единого выражения для двухчастичного гамильтониана на двухточечно-однородных пространствах через радиальный дифференциальный оператор и образующие алгебры инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер.
В главе б рассматривается задача о движении одной частицы в центральном поле на двухточечно-однородных пространствах. В §6.1 доказывается сс некоммутативная интегрируемость. Для пространств постоянной кривизны приводятся более детальные результаты в классическом и квантовомеханическом случаях.
Описание классического случая содержит вывод бертрановских потенциалов, описание траекторий частиц и их связь с кониками в односвязных пространствах постоянной кривизны. Для квантового случая выводятся явные формулы для одночастичных энергетических уровней и волновых функций, соответствующих бертрановским потенциалам.
Полученное в главе 5 выражение для двухчастичного гамильтониана в начале главы 7 преобразуется в функцию Гамильтона классической механической системы
Введение
12
двух частиц на двухточечно-однородных пространствах, также имеющую явно инвариантный вид. Проблема поиска нетривиальных интегралов движения для различных потенциалов обсуждается в §7.3. Там же доказано отсутствие столкновений частиц для некоторых потенциалов и начальных условий. Найденное выражение для двухчастичной функции Гамильтона рассматривается в §7.4 с точки зрения проблемы центра масс для двухточечно-однородных пространств. Обсуждаются различные существующие определения центра масс для пространств постоянной кривизны. Показаны их недостатки по сравнению с определением центра масс в евклидовом пространстве. В §7.5 для пространств Sn и Н?,(Е) описаны и классифицированы приведенные классические двухчастичные системы. В §7.6 доказана неинтегрируемость приведенной задачи двух тел на пространствах S2 и H2(R) с четырьмя центральными потенциалами взаимодействия.
В главе 8 исследуется квантовомеханическая задача двух тел на двухточечнооднородных компактных пространствах. Показано, что некоторые ее бесконечные спектральные серии могут быть найдены из изолированных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Все такие уравнения найдены для сфер Sn; для кулоновского и осцилляторпого потенциалов некоторые из этих уравнений сводятся к гипергеометрнческому, из которого находятся явные спектральные серии. Таким образом, показана квазиточнорешасмость кваитовомеханической задачи двух тел на сферах S" для потенциалов Vc и V0.
В диссертации имеются также четыре приложения. Первое из них содержит технический материал, посвященный вычислению коммутационных соотношений для образующих алгебры инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер Qs над двухточечно-однородном пространством Q. Во втором содержатся необходимые сведения о фуксовых дифференциальных уравнениях, в частности об уравнениях Римана и Гойна, используемые при явном решении спектральных задач. В третьем приложении собраны результаты, относящиеся к дифференциальной теории Галуа и используемые в §7.6. Четвертое приложение содержит основные факты, относящиеся к ортогональным комплексным алгебрам Ли и их конечномерным непри-нодимым представлениям.
Необходимые сведения из дифференциальной геометрии можно найти в [10], [26], [33], [48], [66], [83], [111], [114], [132]; касающиеся используемого в диссертации современного геометрического языка описания гамильтоновых систем в [6], [78], [111], [128], [169], [171], [216]; из теории групп Ли и их действий на различных пространствах в
[2], [7j, [17j, [20], [44], [61], [65], [72], [84], [92]. [1331; из функционального анализа в [43], [68], [122] и многих других книгах.
Библиография претендует па относительную полноту лишь касательно работ, посвященных механике одной и двух частиц на двухточечно-однородных пространствах, и, в частности, на односвязных пространствах постоянной кривизны, за исключением геодезических потоков. Отметим, что обзор, посвященный интегрируемости последних на различных римановых пространствах, содержится в [106].
На защиту выдвигаются следующие результаты.
1. Получено описание некоммутативных алгебр DifF/(Qs) инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер Qs над произвольным двухточечно-однородным пространством Q в терминах образующих и соотношений. Также найдены некоторые элементы центров данных алгебр.
2. Найдено описание приведенного фазового пространства для гамильтоновой си-
Введение
13
стемы на кокасатсльном расслоении однородного многообразия группы Ли через факторпространство орбиты коприсоединеыного действия данной группы.
3. Получено явно инвариантное выражение для двухчастичного квантовомеханического гамильтониана с центральным потенциалом на двухточечно-однородных пространствах через радиальный дифференциальный оператор и образующие алгебры Dittl(Qs), а также аналогичное выражение для двухчастичной гамильтоновой функции.
4. Найдены достаточные условия отсутствия столкновений для классической задачи двух тел с центральным потенциалом на двухточечно-однородных пространствах.
5. Классифицированы приведенные гамильтоновы системы для классической задачи двух тел с центральным потенциалом на пространствах постоянной кривизны. Для ряда центральных потенциалов доказана мероморфная неинтегри-руемость этих систем при некоторых значениях отображения момента.
6. Показано, что двухчастичная квантовомеханическая задача на сферах Э” с ку-лоновским и осцилляторным потенциалами является квазиточнорешаемой и получены в явном виде некоторые бесконечные серии ее энергетических уровней.
Автор выражает глубокую благодарность А.О. Старинцу и И.Э. Степановой, помощь которых на протяжении ряда лет значительно облегчила ему доступ к различным литературным источникам и понимание работ на немецком языке. Он благодарит
А.И. Молева за советы, касающиеся теории представлений, А.Г. Сергеева за несколько полезных ссылок и П.В. Голубцова за Техническую помощь.
Указатель
14
0.2 Указатель обозначений и соглашений
0.2.1 Множества
1. N - множество натуральных чисел,
2. Е+ - множество положительных вещественных чисел,
3. (с*, — множество, состоящее из
элементов а,..., и
4. р! - одноточечное множество.
0.2.2 Пространства
1. £2(М,Ж/) - гильбертово пространство измеримых квадратично интегрируемых но мере V комплексно-значных функций на многообразии М,
2. £*0С(М, (1и) - множество комплексно-значных функций на М, локально квадратично интегрируемых по мере
3. \Г*£(М”,<1(1) 58*
Л. С} - двухточечно-однородное рима-ново пространство, отличное от евклидова,
5. М$ - расслоение единичных сфер над римановым пространством М,
6. М/й - факторпространство пространства М но отношению к действию группы С на Л/,
7. вранці,... , е„) - линейная оболочка элементов Єї,... ,е„ некоторого линейного пространства,
8. Ь* -- пространство дуальное к линейному пространству Ь
4Числа после обозначении указывают номера страниц, на которых это обозначение определяется.
9. для подпространства V линейного пространства Л подпространство апп Ь' с Ь* является аннулятором Ь\ т.с., апп V := (<* Є 1Г| а(Ь') = 0).
0.2.3 Алгебры и группы
1. К - ноле вещественных чисел,
2. С - поле комплексных чисел,
3. К - алгебра кватернионов,
4. Са - алгебра октав (алгебра Кэли),
5. С°°(М) - алгебра бесконечно гладких вещественнозначных функций на гладком многообразии М,
6. С%°(М) - подалгебра алгебры 6тсо(М,С), состоящая из функций с компактным носителем,
7. Т(Т*М) - алгебра бесконечно гладких вещественных функций на ко-касательном расслоении Т*М многообразия М, полиномиальных на слоях,
8. С°°(М, €) - алгебра бесконечно гладких комплекснозначных функций на М,
9. С£°(М, С) - подалгебра алгебры С°°(М, С), состоящая из функций с компактным носителем,
10. Х(М) - бесконечномерная алгебра Ли гладких векторных полей на гладком многообразии М, также Х{М) является модулем над
11. и(д) - универсальная обертывающая алгебра для алгебры Ли д,
12. ЫЖ(С), аПіАГ(С7), ЬаОіЛГ(а) - алгебры лево-, право- и биинвариант-ных дифференциальных операторов на группе Ли Є соответственно,
Указатель
15
13. Diff<;(M) - алгебра G-инвариантных дифференциальных операторов на G-однородном пространстве М,
14. LDiffA'(G) - алгебра G-левоинва-риантных и К-правоинвариаптиых дифференциальных операторов на G, где К - подгруппа группы Ли G,
15. 0(1, гг), Оо(1,п) 30,
16. Wjr(x) 100,
17. Sp{q) 101.
0.2.4 Операции
1. о - йорданово умножение в алгебре f)3(Ca); в остальных случаях обозначает композицию двух операций,
2. сС {Г - производная Ли тензорного поля Т вдоль векторного поля £,
3. V - связность Леви-Чивиты на ри-мановом многообразии,
4. grad / - градиент функции / на ри-маномом многообразии,
5. adA- - присоединенное действие элемента X из алгебры Ли,
6. Ad9 - присоединенное действие элемента q из группы Ли,
7. Ad* - конрисоединенное действие элемента q из группы Ли, 101
8. [Л,В\ - коммутатор в алгебрах, в частности, коммутатор векторных полей, как операторов, действующих на функции,
У. {А, В} - антикоммутатор в алгебрах,
10. [v?, iJ>]p - скобки Пуассона функций <р и тр на пуассоновом многообразии,
11. (•, •) - скалярное произведение,
12. imA - образ отображения А,
13. А“1 - обратное отображение (вообще творя многозначное) для отображения А,
14. 10 - тождественное отображение,
15. гг,- - различные проекции
7^ - проекция группы на ее однородное пространство 25, 20, 39, 107,
*2 - 47,
7Г3 - 07,
7Г4 - 108,
7Г1,7Г2 - 121,
10. 0гг и гг, - дифференциал отображения 7Г,
17. Отт* - кодифференциал отображения
18. @ - прямая сумма линейных пространств, если не сказано иное,
19. КП0 - форма Киллинга алгебры Ли б-
0.2.5 Разное
1. - мнимые единицы в алгебре кватернионов,
2. dimк. - размерность чего-либо над полем К,
3. (^! : ... : гп+{) - однородные координаты точки проективного пространства,
4. Лег, 1тг - вещественная и мнимая части элемента из г € С,Н,Са,
5. А \ В - разность множеств,
6. ьутЫ> - символ дифференциального оператора В 113,
7. 0* - группа всех перестановок I элементов.
Указатель
16
Если явно не сказано противное, то вес многообразия, линейные пространства, алгебры и т.п. предполагаются вещественными; гладкие многообразия, кроме того, являются хаусдорфовыми, паракомпактными и удовлетворяют второй аксиоме счетности.
Группы Ли обозначаются прописными латинскими буквами, а их алгебры Ли -соответствующими строчными готическими буквами. Также строчными готическими буквами обозначаются и линейные подпространства алгебр Ли. Четыре серии простых классических комплексных алгебр Ли обозначаются прописными готическими буквами Шп, £п,Яп-
Для линейного пространства V мы не включаем единицу и, тем самым, элементы нулевой степени в тензорную алгебру Т(У). Аналогично обстоит дело с симметрической алгеброй 5(К) и универсальной обертывающей апгеброй С/(д) ачгебры Ли 0.
Если группа С действует в линейном пространстве V, то под термином ее инварианта в V понимается инвариантный многочлен с аргументами из V, т.е. инвариантный элемент из симметрической алгебры 5(К*), где V* дуальное пространство для V.
Скалярное произведение в комплексном и кватернионном линейных пространствах антилииейно по первому и линейно по второму аргументу. Кватернионное линейное пространство является правым относительно умножения на кватернионы.
Квадратный корень из вещественных положительных чисел положителен, для остальных комплексных чисел произволен.
Под многочленом от некоммутативных переменных понимается упорядоченный многочлен, т.е. каждый его моном является упорядоченньш произведением.
Глава 1 Двухточечно-однородные римановы пространства
Евклидово пространство обладает рядом замечательных свойств. Оно является связным и односвязным топологическим пространством, т.е. его топология проста. Евклидово пространство является плоским, полным, однородным и изотропным римановым пространством. Более того, для каждой размерности только оно обладает этими свойствами. В силу этих причин, евклидово пространство - удобная и исторически первая арена для построения механических моделей.
Если не настаивать на том, что бы физическое пространство было плоским и односвязным. то следующими кандидатами на его роль будут так называемые двухточечно-однородные пространства, т.е. пространства в которых любая пара точек может быть преобразована подходящей изометрией в любую другую пару точек с тем же расстоянием между ними. Наиболее известным представителем этого класса римановых пространств являются односвязные пространства постоянной кривизны. Их группа имеет максимальную размерность (для пространств фиксированной размерности) и они являются пространственноподобными сечениями простейших моделей общей теории относительности.
В начале этой главы мы приводим классификацию двухточечно-однородных римановых пространств, а затем описываем специальное разложение алгебры Ли группы изометрий произвольного неевклидова пространства этого класса. С помощью этого разложения и свойства однородности в главе 5 будет получено явно инвариантная форма двухчастичного гамильтониана в этих пространствах. Однако изучение более тонких свойств этих пространств (например, алгебр инвариантных дифференциальных операторов на расслоениях единичных сфер над этими пространствами) требует их моделей, которые описаны в конце данной главы.
1.1 Классификация
Ниже С} обозначает произвольное двухточечно-однородное связное риманово пространство. Классификация этих пространств была получена в [225], [231], (см. также [173], [26]) и имеет следующий вид (п е К3):
1. евклидово пространство Еп, п > 1;
2. сфера Б”, гг > 1;
§1.1. Классификация
18
3. вещественное проективное пространство РП(Е), п ^ 2;
4. комплексное проективное пространство РП(<С), п ^ 2;
5. кватернионное проективное пространство РП(Н), п ^ 2;
6. октавная проективная плоскость Р2(Са);
7. вещественное гиперболическое пространство (пространство Лобачевского)
НЛ(И), п ^ 2;
8. комплексное гиперболическое пространство НП(<С), п ^ 2;
9. кватернионное гиперболическое пространство НП(Н), п ^ 2;
10. октавная гиперболическая плоскость Н2(Са).
В низших размерностях имеются изоморфизмы: Р1(К) = Э1, Р1(€) = Б2, Р1(Н) = Б4, Р1(Са) й Б8, Н^С) = Н2(К), Н4(Н) й Н4(Е), Н1(Са) й Н8(К) [33], [84].
Существуют различные подходы к классификации данных пространств. Напомним, что ранг симметрического пространства это размерность его максимального плоского вполне геодезического подмногообразия.
Теорема 1.1. Пусть С} - связное римапово пространство, С - связная компонента его группы изометрий, а Кх - стационарная подгруппа для точки х. Тогда следующие условия 1 и 2 эквивалентны
1. пространство С} является двухточечно-однородным;
2. действие стационарной подгруппы Кх на всех единичных сферах ТХСУх £ С} в касательных пространствах является транзитивным; другими словами пространство (2 изотропно.
Совместно эти условия означают, что группа (2 транзитивно действует на множестве всех геодезических. Поэтому при выполнении любого из этих условий все геодезические па компактном пространстве замкнуты и имеют одинаковую длину.
Кроме того, полное односвязное симметрическое римапово пространство ранга один является двухточечно-однородным.
Доказательство этих утверждений можно найти в [20] (лемма 8.12.1), [225], [231], см. также ссылки в [133] (с. 535). Для компактных двухточечно-однородных пространств (т.е. пространств типов 2-6) группа С компактна, а для остальных двухточечно-од но родных римановых пространств она некомпактна.
Следующие два утверждения характеризуют двухточечно-однородные пространства с помощью оценок секционной кривизны.
Теорема 1.2 (М. Бергер, [114]). Пусть М - полное одпосвязное четномернос ри-маново просгпранство, секционная кривизна которого >с удовлетворяет неравенству
и диаметр которого равен 7г. Тогда М изометрично риманову симметрическому пространству ранга один, которое является в силу теоремы 1.1 двухточечно-однородным.
§1.2. Разложение алгебры Ли пнфтштезимальных изометрии
19
Теорема 1.3 ([114]). Пусть М ~ полное односвязное римапово проспцуанство, секционная кривизна которого >с удовлетворяет первенству (1.1). Тогда либо М гомео-мор<фпо сфере, либо изометрично риманову симметрическому пространству ра)1га один, которое снова является двухточечно-однородным.
В последующих параграфах данной главы описаны модели всех компактных двухточечно-однородных риманоных пространств и пространства НП(П£). Известны также модели пространств НДС) и Н,1(Ю1). Автору неизвестно, описана ли где либо модель для пространства Н2(Са) или нет.
Напомним, что рангом гкд' полупростой алгебры Ли д' (комплексной или вещественной) называется размерность ее максимальной коммутативной подалгебры. Ранг гк д' совпадает с минимальной коразмерностью Ас1с-орбит. Орбиты такой коразмерности образуют в д' открытое плотное множество.
1.2 Специальное разложение алгебры Ли инфиыи-тезимальных изометрий двухточечно-однород-ных римановых пространств
Пусть О - компактное двухточечно-однородное риманово пространство (т.е. пространство одного из типов 2-6), б? - компонента единицы его группы изометрий, а д - алгебра Ли группы <3. Зафиксируем некоторую точку хо (индекс хо будет часто опускаться в дальнейшем) и пусть К - стационарная подгруппа группы (7, соответствующая этой точке, а Е С 0 ее алгебра Ли. Все геодезические пространства ф замкнуты1 и но теореме 1.1 имеют одинаковую длину 2сНат(2, где ейатф обозначает максимальное расстояние между двумя точками пространства С}, т.е. его диаметр. Положим Я = 2(Кат(2/тг для пространства РП(К) и Я. = сПатф/тг для остальных двухточечно-однородных римановых пространств. Тогда максимальная секционная кривизна этих пространств равна Л“2, а минимальная секционная кривизна пространств РП(С), РП(Н), Р2(Са) равна (2Я)~2 [133].
Обозначим через р(х, у) расстояние между точками х,у € С} и пусть ру(х, у) - длина гладкой кривой 7, соединяющей точки х и у. Для замкнутой кривой 7 обозначим через ру(х,у) длину ее кратчайшего сегмента между точками х и у. Для точки х € подмножество Ах с С}, состоящее из всех точек т/, для которых р(х, у) = сПатф, называется антиподалышм многообразием для х. Для сферы Я" многообразие Ах состоит из одной точки, для пространства РП(К) многообразие Ах изометрично Р'*""1(К), где К = К, С или Н. Для пространства Р2(€о) многообразие Ах изометрично Э8 [133], [134].
Предложение 1.1. Пусть 7 - замкнутая геодезическая, соединяющая точки х0 и Х1 е 7, так что ру(х\,х0) = (НатС?. Тогда
1. ру(х0,х) = р(хо,х) для любой точки х е 7, в частности, Х\ в АХй;
2. если геодезическая 71 ф 7 соединяет х0 с другой точкой х € 7, то х = Х\;
1 Помимо компактных двухточечно-однородных римановых пространств, существуют и другие ри-мановы пространства, для которых все геодезические замкнуты [9], [47].
§1.2. Разложение алгебры Ли ипфинитезпмальных изометрии
20
3. если х € 7 и 0 < р(хо,ж) < ейатф, то подгруппа Ко группы (7, состоящая из осех изометрий сохраняющих точки хо и х, сохраняет осе точки геодезической 7,* таким образом, Ко не зависит от выбора х при выполнении условия 0 < р(х0,х) < <Нат(?.
Доказательство. На протяжении всего доказательства мы используем тот факт, что в полном связном римановом пространстве расстояние между любой парой точек реализуется некоторой геодезической, и наоборот, любая кусочно гладкая кривая, реализующая это расстояние, является геодезической [26], (48].
Пусть х2 е АХо. Тогда существует геодезическая 7', соединяющая точки х0 и х2, такая что ру(хо,ж2) — р(хо>^г) = (Натф. По теореме 1.1 существует нзометрия д € К, переводящая геодезическую 7' в 7. Поэтому справедливо равенство
(На т<2 = р(х0,х2) = ру(х0,х 2) = р(х 0,№) = Ру&оРГ*?)-
Отсюда следует дх2 = хг и таким образом р(хо,х{) = р*,(хо,х 1) = <ЛатС2.
Предположим, что а; € 7 и рДхо, ж) < сНатф, но р(хо,х) < ру(хо, я). Пусть расстояние между точками х0 и х реализуется геодезической 7. Тогда кривая, состоящая из геодезической 7 и интервала геодезической 7 между точками х и хь имеет длину меньше чем сНатф, невозможность чего доказывает первое утверждение теоремы.
Докажем второе утверждение. Предположение рУ1(хо,х) < р^(х0,х) противоречит уже доказанному первому утверждению. Ввиду эквивалентности всех геодезических обратное неравенство р7,(хо,х) > ру(х0,х) также невозможно. Отсюда Ру{(хо,х) = р1(х0,х). Если х ф х\} тс существует ломаная кривая, состоящая из двух геодезических сегментов и соединяющая точки х0 и длины сНагпф. Это дает р(хо,х\) < сПатф, что противоречит первому утверждению теоремы. Поэтому X = Х\.
Докажем последнее утверждение. Пусть д € Яо, тогда изометрия д переводит сегмент 7 геодезической 7, соединяющий точки ха и х, в геодезический сегмент, соединяющий те же точки. Но ввиду' второго утверждения теоремы не существует такого геодезического сегмента кроме 7 и 7\7. Поскольку эти сегменты имеют различные длины получаем <7(7) — 7. По тем же причинам справедливо равенство <?(7\т) = 7\7> откуда следует <7(7) =7.
Пусть 7/<0 - подмножество геодезической 7, состоящее из всех Яо-неподвижных точек. Непрерывность ЛГо-действия на пространстве (} влечет замкнутость множества 7а-0- Любая геодезическая 7 реализует строгий минимум длин кривых, соединяющих любые две достаточно близкие точки кривой 7 [48]. Поскольку группа Ко сохраняет геодезическую 7, то множество 7/<-0 является открытым подмножеством в 7. Отсюда 7а0 = 7, что завершает доказательство. □
Форма Киллита Кив>(Я,У) на произвольной алгебре Ли д' определяется как след отображения 7 —> [X, [У, 7]], Х,У,7€ д'.
Поскольку пространство С} симметрическое, то в алгебре д существует дополнительное по отношению к подалгебре £ подпространство р, такое что [£. р] С р. [р, р] С Е. Подпространство р можно естественно отождествить с касательным пространством ТХ0С2. При этом отождествлении ограничение формы Киллинга алгебры д на пространство р и скалярное произведение на ТХо(2 пропорциональны. В частности, разложение д = р 0 6 однозначно определяется точкой хо* Пусть (•,•) - скалярное произведение на алгебре д, пропорциональное ее форме Киллинга и такое, что его ограничение на
§1.2. Разложение алгебры Ли инфиыитсзимальных изометрий
21
подпространство р = TXoQ совпадает с ограничением римаповой метрикой g на TXoQ. Включения
[p. [Ч р]1 с Ч (р. [Ч Ч! с р
и определение формы Киллинга влекут ортогональность пространств р и t друг другу относительно скалярного произведения (•, •). Из результатов [55], [133] можно извлечь следующее ключевое утверждение.
Предложение 1.2. Алгебра Ли 0 допускает, следующее разложение в прямую сумму подпространств:
0 = а 0 60 Ф tA Ф Ф Ра Ф Ргл, (1-2)
такое что dim а = 1, Л - ненулевая линейная форма на подпространстве а, dimfcA = dirripx = qu dim t2A = dimp2A = <]2, P = o0PA0p2A, ^ = to0ÉA062A; здесь 9ь9г € {0}UN, подалгебра а является максимальной коммутативной подалгеброй в подпространстве р и соответствует касательному вектору к геодезической 7 в точке Xq. Все слагаемые в (1.2) ad ^-инвариантны и справедливы следующие включения:
[а, рА] С £ai [û. Ва] С рА, [а, р2А] С t2X, [а, ^2л] С ргл, [а. М = 0, [tAî рА] С р2А 0 а,
[tA, h) С е2А 0 t0l [рА, рА] С е2А 0 е0, [Сгл, hx] С to, (ргл, Ргл] С to, (1.3)
[1’2А>р2л] с а, [?А,^2а] с tA, [tA, Р2а] С рА, [рл,^2л] С рА, [рА: Р2А] С
Болес того, для любого базиса eAji, i = l,...,9i пространства рА и любого базиса e2x,i, г = 1,... ,92 пространства р2А существуют базисы /Ali, i = 1,... ,91 и /2Aii, г = 1,...,92 в пространствах tA и В2А соответственно, такие что:
[Z,v\,*) = ~\{Z)fxti, [Z, /A(t] = \(Z)c\ti, £ = 1,... ,01,
[Z, e2A,i] = -2A(Z)/2Aj,-, \Z, /2А>|] = 2A(Z)e2\ti, i = 1,..., q2,VZ 6 a.
Если вектор Леа удовлетворяет условию (A, A) = R2, mo |A(A)| = i.
Неотрицательные целые числа q\ и q2 называются кратностями пространства Q. Тройка (q\,q2.R) характеризует Q однозначно, с точностью до перестановки Sn РП(Е). Для пространств Sn и Р”(Е) мы имеем qt = 0. q2 = п — 1; для пространства Pn(C) : 9i = 2п — 2, q2 = 1; для пространства РТ*(Н) : 91 = 4тг — 4, 92 = 3 и для пространства P2(Ca) : q 1=8, q2 = 7. Для пространств Sn и РТ1(1К) можно было бы наоборот считать, что 91 = п — 1,92 = 0. Наш выбор соответствует изометриям Рх(€) = S2, Р*(Н) ^S4.
Замечание 1.1. Пространство a 0 р2л порождает в пространстве Q вполне геодезическое подмногообразие постоянной секционной кривизны R~2 и размерности 92+ 1. Для пространств Sn,Pn(C),Pn(IH),P2(Ca) ото подмногообразие является аферой. Для пространства РП(Е) ото подонпогообразие совпадает со всем РП(Е). При 91 0
элемент А и произвольный ненулевой элемент пространства рА порождают в Q вполне геодезическое двумерное подмногообразие постоянной кривизны (2R)~2.
Пусть вектора eA|j, fx,i, t = 1,..., qx и e2A)i, /2Ai<, i = 1,..., 92 - такие, как в предложении 1.2. Выберем вектор Леа гак, что А(Л) = Следующее предложение легко получается из предложения 1.2:
§1.2. Разложение алгебры Ли инфинитезимальных изометрий
22
Предложение 1.3. Пространства а $ 6о> 6 а Ф Ра> 62а Ф р2А 7шпарно ортогональны. Кроме того,
(^А.хЗ ^А^') = (/а.«3/а,у)> (^А,і>/л,у) (/а,*3 еА,у) = 0» *\/ ^ ^
(Є2А.І, Є2А^) = {/2А,і> /2А,у), (е2А.І, Ла^> = (/гА.п Є2А^) =0, .7 = 1, - - -,
Доказательство. Из Асіс-инвариантность метрики (•, •) следует симметричность оператора 7д : X —> [Л, [Л, X]] в пространстве д. Этот оператор имеет следующие собственные подпространства а 0 Со, Са Ф Ра> 62а Ф р2А соответствующие собственным
значениям 0, —Л2(Л) = 4Л2(Л) = -1 соответственно. Поэтому эти подпростран-
ства попарно ортогональны. Из Ас1<?-иіів&риантііость метрики (-,•) и равенства (1.4) следует, что
А(А)(єа,і,Са1у) = <[Л,ЛЛелЛ = -</а,і,[Л,єЛі3]) = А(Л)(/л,ь/ао).
Это доказывает первое равенство из (1.5). Ортогональность р_і_6 влечет второе и четвертое равенства из (1.5). Третье равенство получается аналогично первому. □
Тождество Якоби и формула (1.4) дают [Я, [єа,ь/а,і]] = 0. Поэтому из соотношения (1.3) вытекают включения [єа,і, /а,*] € а. Пусть [єа,ь/а,і] =: *«Л. Асі^-инвариантность метрики (-,♦) влечет равенства
0 = (Л, (еАу, /а,»]) + ([еА,і, Л], /Л,^ = я*(Л, Л) + А(Л)(/л>і, ДД
из которых, используя (1.5), мы получаем:
*(Л),г , Л(Л)
(/а,і? /а,<) — / А Л \ (ЄА,*ї ^А,»)*
(Л,Л)УЛ^Л1,/ (Л,Л)
Аналогично получается: I
2А(Л) 2А(Л)
ІЄ2А.І,/2A.il = ~^д-ду</2А,і,/2А,і)А = “(д~ду\Є2Л,*5 Є2А,і) А-
Используя свободу в предложении 1.2, выберем базис {еАу}^ в пространстве рд и базис {с2А^}]^1 в пространстве р2А ортогональными с нормами их элементов равными Я. Тогда элементы Л, єа,*> егл^з * = 1» • • •»ЯиЗ = 1> • • • > Яг образуют ортогональный базис в пространстве р, а элементы /а,і, Ла^з і = 1> • • • , ЯиЗ = 1, • ■ • > <72 образуют ортогональный базис в пространстве 6а Ф 62а согласно предложению 1.3. Заметим, что из (1.5) следуют равенства </Ад,/а,і) = Я2,г = 1,...,<7ь (Ла^зЛа*> = Я2,/ = 1,...,у2.
Предложение 1.4. 1. Соотношения (1.4) могут быть переписаны в следующем
виде:
(Л,Са,і] = — ^/а.іЗ [Л,/а,»] — 2Єа**’ (єа,іЗ/а,і] = —2^’
(єа,«зЄа,;> = = <5»уЯ2, г,у = 1,...,</ь (1.6)
[Л,Є2А,і] = —/гА,»3 [Л,/2A.il = С2А,»3 [Є2А,«3 Ла,*] = -А,
(^2А,*Зб2А,у) = (Ла.іЗ /2А.у) == %Я , 2. / = 1, . . . , <72 > (А, Л) — Я .
§1.2. Разложение алгебры Ли инфинитезималмшх изометрий
23
2. Пусть X и У - некоторые элементы базиса
Л,еА,п Д,{, е2\], Да,./, і = = 1»--ч<?2 (1-7)
пространства- т := а 0 1?л 0 £оа Ф Ра ® Ргл- Обозначим через Х'т проекцию элемента Xі Є д на пространство т по отношению к разложению д = &0 ф т. Разложим элемент [X, К]т по базису (1.7). Тогда его координаты, соответствующие элементам X и У равны нулю.
Доказательство. Соотношения (1.6) очевидны. Ввиду' включений из предложения
1.2 достаточно доказать второе утверждение предложения только в следующих двух случаях: а) X = еА,«, У = /2x3 и Ь) X = /а,«, У = /2x4. Рассмотрим случай а). Из (1.3) следует, что [Аа^іЄа,і] Є Ра- Ас1с-инвариантность метрики (♦,•) дает ([/2а^,єл>і],єАіі) = - {е\,и [Да.;-, еА,х]>, і = 1,..., ЯиЭ = 1,..., «72 И поэтому [Да.;, єа.і]і-Єа.і* Учитывая ортогональность базиса {єа,,}^! пространства рА, мы получаем второе утверждение предложения в случае а). Случай Ь) рассматривается аналогично. □
В следующем предложении собрана полезная информация об алгебрах Ли д. соответствующих двухточечно-однородным римановым пространствам. Эту информацию можно найти в [18], [23], [61], [133].
Предложение 1.5. Некомпактные двухточечно-однородные пространства типов 7,8,9,10 аналогичны компактным двухточечно-однородным пространствам типов 2(3),4,5,6 соответственно. В частности, это означает, что алгебры д групп изометрий аналогичных пространств являются различными вещественными формами одной и той же простой (за исключением случаев в3, Р3(К),Н3(Е), см. ниоісе) комплексной алгебры Ли д(€). Переход от одной такой вещественной формы к другой осуществляется умножением подпространства р из разложения д = I 0 р на мнимую единицу і (или на —і).2
Для пространств §2п, Р2п(Е), Н2г1(Е), п ^ 1 имеем д(С) = 5о(27і + 1,С) = 93„; для пространств в2*"1, Р2?г-1(Е), Н2,1-1(Е), п ^ 3: д(С) = 5о(2п,С) = бдп; для пространств Р"(С), НП(С), п ^ 2: д(С) = я1(п + 1,С) = 21 п; для пространств РП(Н),НП(Н), и ^ 2; д(<С) = 5р(2(п-1- 1)>С) = С,,+ь‘ для пространств Р2(Са), Н2(Са):
0(С) = [4-
Здесь символы 21,п 93 )П обозначают четыре серии простых комплексных ал-
гебр Ли рангов п Є К, алгебра Ли [.і ранга 4 является одной из пяти исключительных простых комплексных алгебр Ли3. Их компактные вещественные (формы имеют тот же ранг п. Для пространств 83,Р3(Е), Н3(Е) справедливы равенства д(С) = 50(4, С) = 50(3, С) ©5о(3,С) (прямая сумма алгебр Ли). Их некомпактная вещественная форма 50 (1,3), соответствующая пространству Н3(Е), проста, а компактная вещественная форма, соответствующая пространствам в3, Р3(Е) простой не является: 50(4) = оо(З) 0 5о(3).
Обозначим через £>(д)6 = 5(д)7 подалгебру Аде-инвариантных элементов в коммутативной симметрической алгебре 5(д) для пространства д (см. п. 2.1.2 ниже). Алгебра 5(21„); свободно порождена многочленами степеней: 2,3,4...П + 1; алгебры 5(93п)7 и 5(СП)7 многочленами степеней: 2,4. б... 2 п; алгебры 5(!ЭП)7 многочленами
2 Фактически, это унитарный трюк Вейля из теории представлений.
3Остальные исключительные простые комплексные алгебры Ли обычно обозначаются д2,сб,е7,с8,
где индексы равны их рангам. Их компактные вещественные формы обозначаются так же.
§1.3. Модели классических компактных двухточечно-однородных пространств 24
степеней: 2,4, б... 2п — 2, п; наконец алгебра S(f.i)7 порождена многочленами степеней: 2,6,8,12.
Ввиду естественного изоморфизма (д4)4 = д алгебра 5(д) изоморфна алгебре V(q*) всех полиномиальных (функций на дуальном пространстве д*. Предыдущий абзац, таким образом, дает информацию о степенях независимых образующих алгебр инвариантов А(1*с-действий, где группа G пробегает простые комплексные группы Ли или их вещественные формы.
Подалгебра а1 вещественной полупростой алгебры Ли д' называется Е-диагонали-зуемой, если все операторы вида ас!*, хба'в некотором базисе алгебры д' записываются диагональными матрицами. Вещественным рангом гкд д' алгебры д' называется размерность некоторой ее максимальной R-диагонализуемой подалгебры а' € д' [23], [133]. Вещественный ранг компактной полупростой алгебры Ли, в частности алгебр локальных изометрий, соответствующих пространствам типов 2-6, равен нулю. Вещественный ранг алгебры д, соответствующей некомпактному неплоскому двухточечнооднородному риманову пространству, равен единице, а подалгебра ia является одной из соответствующих диагонализусмых подалгебр, где подалгебра а определена в предложении 1.2.
Известно, что любой дискретный нормальный делитель D любой связной топологической группы G' лежит в ее центре ([65], лекция 9) и для любой связной группы Ли G существует ее универсальное накрытие тг : С —> G связной и односвязной группой Ли G. Поэтому' ядро 7Г-1(е) этого накрытия лежит в центре группы G и орбиты присоединенных (коприсоединенных) действий групп G и G = 0/7г-1(е) совпадают. Резюмируем эти факты в следующем предложении для последующих ссылок.
Предложение 1.6. Пусть G' и G" - связные локально изоморфные группы Ли. Тогда Ad с'-орбиты совпадают с Ad с-орбитами, а А (\*а,-орбиты совпадают с Ad^/, -орбитами. Если Gi - группа Ли (не обязательно связная) локально изоморфная группе G', то каждая Ad^, -орбита состоит, из Ad &-орбит, диф(феоморфных друг другу. То же самое справедливо и для AdJ^ -орбит.
1.3 Модели классических компактных двухточечно-однородных римановых пространств
1.3.1 Модель пространства РП(Е)
Пусть Н - алгебра кватернионов над полем R со стандартным базисом l,i,j,k, где ij = — ji = k, jk = —kj = i, ki = —ik = j. Кватернионное сопряжение действует но формулам: х 4- у\ + zj + (к = х — у\ - zj - tk, х, у, z, t € E.
Обозначим Hn+1 - правое кватернионное пространство, а (zi,... ,zn+i) - координаты на нем. Кватернионное проективное простртство РП(Н) является факторпро-странством пространства Нп+1\(0) по отношению к умножению справа на элементы мультипликативной группы И* = Н\(0). Набор кватернионов (zi : ... : z„+i), заданный с точностью до умножения справа на произвольные элементы группы Н4,