Асимптотика коэффициентов Тейлора рациональных функций многих переменных

Введение
Обозначения и предварительные сведения
Глава I. Асимптотика коэффициентов Тейлора рациональных функций с изолированными ближайшими особыми точками
§1. Минимальные и ближайшие особые точки, их классификация
§2. Геометрия ближайших особых точек и их связь с амебой полярной гиперповерхности
§3. Обшая оценка коэффициентов Тейлора рациональных функций.
§4. Уточненная оценка в двумерном случае.
§5. Об устойчивости двумерных цифровых рекурсивных фильтров.
Глава II. Асимптотика коэффициентов Тейлора одного вида рациональных функций с неизолированными ближайшими особыми точками
§1. Рациональные функции с *’гиперболическими” полюсами и комбинаторная интерпретация их коэффициентов Тейлора.
§2. Формулировка результата. Понятие сдвинутой (р. в) диагонали.
§3. Доказательство теоремы.
Глава III. Интегральное представление для решения многомерных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
2
§1. Постановка, задачи. Сведения об одномерных разностных уравнениях.
§2. Задача Коши для многомерных разностных уравнений. §3. Интегральная формула для решения задачи Коши.
§4. Некоторые примеры.
3
Введение
Асимптотические методы являются одним из наиболее важных инструментов исследования в математическом анализе и других областях математики уже более века. Во многих задачах естествознания, для решения которых используются математические методы, возникают интегралы и ряды, зависящие от большого параметра, вычислить которые в явном виде удается очень редко. Именно поэтому асимптотические методы играют решающую роль. С их помощью были найдены решения многих дифференциальных уравнений, как обыкновенных, гак и с частными производными, исследован обширный класс физических процессов. Подавляющее большинство последовательностей
а(к) =а(ки... ,кп),
асимптотику которых удается изучить, допускают интегральное представление. Поэтому методы асимптотической теории тесно связаны с теорией особенностей дифференцируемых отображений [3], теорией монодромии (см. [3, 29]) и алгебраической геометрией (см. [8, 32, 33]), теорией когомологий [8] и вычетов (см. [1, 14, 12, 34]).
В проблематике асимптотического исследования можно выделить две качественно различные ситуации:
1) ситуация, касающаяся достаточно хорошо изученной однопараметрической зависимости а(^) (методы Лапласа [31], стационарной фазы [30], перевала [31]); отметим, что кратные осциллирующие интегралы, даже с одним параметром, далеко не полно исследованы в случае неизолированных критических точек фазы;
4
2) менее изученная ситуация многопараметрической зависимости а(&1,..., кп) (методы Таубера [44], Маслова [17, 18]).
Асимптотическая теория для последовательностей (или функций), зависящих от одного параметра, значительно проще случая многопараметрической зависимости. В частности, это связано с тем, что в случае одного параметра существует довольно простое и эффективное понятие асимптотического ряда, введенное А. Пуанкаре. Например, говорят, что последовательность а(к) = о.(к\) разлагается в асимптотический ряд
В частности, степенной ряд, когда Ьт(к) = стк~т (или Ьт(к) = стка,п, где ат — убывающая последовательность действительных чисел) является асимптотическим для естественных классов последовательностей а(к).
Для кратных последовательностей а(&[,..., кп) ситуация более сложная, например, степенные ряды многих переменных уже не могут служить асимптотическими рядами. Ввиду сказанного, асимптотическое исследование кратных последовательностей можно проводить путем рассмотрения ”диагональных” подпоследовательностей
а(рр) = а(///>!,..., 1*Рп), р— скаляр,
где у 6 2” — фиксированный вектор. В частности, такой подход применял Пуанкаре в ” Новых методах небесной механики” [23] при исследовании аномалий движения планет.
оо
если
а(к) = У"Ьт(к) + о(Ьм(к)).
т-О
Конечно же, знания асимптотического поведения кратной последовательности вдоль каждой "диагонали" не всегда достаточно в приложениях.
Диссертация посвящается исследованию асимптотик для последовательностей коэффициентов Тейлора рациональных функций многих переменных. Первый шаг в указанном исследовании был сделан в работе А.К. Циха [35] (1991), а затем исследования были продолжены А.Г. Орловым [21, 22] (1994), Р. Псмантлом (R. Pemantle), М.К. Вильсоном (М.С. Wilson) [46] (2001). Интерес к такому классу последовательностей вызван, во-первых, применениями к теории обработки сигналов и, во-вторых, стремлением классифицировать кратные последовательности по каким-либо признакам.
В теории обработки сигналов передаточная функция F(z\i...,zn) является рациональной функцией, определяющей фильтр следующим образом ([7, гл. 4] или [10, с. 197]): входной сигнал, представляющий собой кратную последовательность х = z(&i,... ,&п), преобразуется в выходной сигнал у = у (к 1,..., кп) в соответствии с равенством У = F • АГ, где А" и У производящие функции последовательностей £'(&i,..., fcn) и у(к\...., кп). a F • X — произведение степенных рядов. Фильтр называется устойчивым, если он всякую ограниченную последовательность преобразует в ограниченную же последовательность. Свойство устойчивости фильтра равносильно сходимости ряда
Е (1)
из модулей коэффициентов Тейлора передаточ-
ной функции F(z\,..., 2п). Вопросу суммируемости ряда (1) посвящена работа А.К. Циха [35], в которой установлены
6