СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................. 3
ГЛАВА I. ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТИПА ГРОНУОЛЛА ДЛЯ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ .............................. и
§ 1. Дифференциальные уравнения для экстремальных функций
множества значений {log | /(/*) | ^ia2} в гслассе S .......... 17
§ 2. Методы интималыюго управлении в решении задачи ............. 27
§ 3. Описание множества значений (log | /(г)! в классе S . 44
ГЛАВА И. ЗАДАЧА ГРОНУОЛЛА ДЛЯ ФУНКЦИЙ КЛАССА
БАЗИЛЕВИЧА ............................................ 60
§ 4. Множество значении {j y*(z)|, j а-^ ■} в классе Вп{у^) ..... 67
§ 5. Описание множества значений {| /(z) |, | а2 |} в классе Ва . 82
ЛИТЕРАТУРА ............................................ 97
ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена решению экстремальных задач в теории конформного отображения.
Обозначим через £ - класс всех голоморфных и однолистных в единичном круге Е — {г : \г\ < 1} функций /(2) = 2 + через 5я -
класс всех функций /(г) 6 5, удовлетворяющих в Е условию /(г) = /(г).
Одними из основных задач в теории однолистных функций являются вопросы нахождения множеств значений различных функционалов и систем функционалов в классах 5 и £д, а также в других основных классах однолистных функций. Как самостоятельный объект исследования выделяются функционалы, аналитически зависящие от значения функции и ее производных до некоторого порядка, вычисленных в фиксированных точках области задания класса функций. В обобщенном виде система таких функционалов представима как
где - произвольные фиксированные точки Е. Частный случай
такой системы связан с двумя задачами Гронуолла [32', [33] о нахождении
/"(0)
оценки |/(2)| или |/'(г)| в зависимости от а2 = —в классе 5. Первая задача Гронуолла на классах однолистных функций и является объектом исследования данной работы.
К настоящему времени разработано большое количество методов для
3
решения задач оценки указанных функционалов: метод контурного интегрирования, метод интегральных представлений, метод площадей, методы внутренних и граничных вариаций, метод параметрических представлений, метод экстремальных метрик, симметризация и другие. Эти методы получили развитие в работах советских математиков (М.А.Лаврентьев, Г.М.Голузин, И.Е.Баэнлевич, П.П.Куфарев, H.A.Лебедев, И.М.Милин, И.А.Александров, В.Я.Гутлянский, Ю.А.Аленицын, Л.А.Аксентьев, Г.В.Кузьмина, И.П.Митюк, Д.В.Прохоров, В.Г.Шеретов, П.Н.Пронин, А.Ю.Васильев, Г.Н.Камышова, А.М.Захаров и др.) и зарубежных авторов (Т.Гронуолл, Х.Г'рунский, М.Шиффер, Дж.Джеикинс, К.Левнер, А.Шиналь, Я.Шиналь и др.).
В данной работе систематически использовался метод параметрических представлений. В своей первооснове он восходит к теории чешского математика К.Левнера [37], опубликованной в 1923 году. Метод параметрических представлений позволяет получить конформное отображение одной области на другую посредством построения одноиараметри-ческого семейства конформных отображений. Это семейство представимо функцией одною комплексного и одного вещественного переменного (параметра), равномерно дифференцируемой по параметру внутри исходной области и удовлетворяющей как функция параметра некоторому дифференциальному уравнению, в частном случае - уравнению Левнера. Динамика конформного изоморфизма характеризуется изменением функции,
4
отображающей каноническую область (например, круг) на данную область, происходящим при замене этой области на близкую к ней.Такой переход от одной области к другой может быть осуществлен в определенном классе областей посредством непрерывной деформации, оставляющей все промежуточные области в рассматриваемом классе. Лёвнер первым использовал это обстоятельство и вывел дифференциальное уравнение для отображений,соответствующих областям, получающимся из плоскости проведением переменного разреза вдоль заданной кривой. Дальнейшие исследования в этом направлении были направлены на поиск уравнения, интегралы которого индуцируют всю совокупность однолистных отображений единичного круга. Значительный вклад в решение этой проблемы внес ПЛ.Куфарев, получивший в работе [11] обобщение уравнения Ле-внера, называемой уравнением Левнера-Куфарева.
Пусть С о;5] множество, состоящее из однопараметрических семейств ?(М)»а < * < Ь» функции класса С, где С - класс Каратеодори функций р(г)) голоморфных в Е с разложением
00
?(*) =1 + £2рк*к к—1
и условием 3Щг) > 0. Для каждой функции /(*) £ 5 существует однопараметрическое семейство р(гг, I) из множества С[о;Сю] такое, что решение ю = /(*,£) задачи Коши для дифференциальною уравнения Левнера-
5
Куфарева
<1ю
= -шр(адД
ги = г,
*=о
представляет }{г) по формуле [2]
/(*)= Ит е1/(г^).
1—^00
Куфаревым проведен ряд исследований свойств интегралов этого уравнения, доказана их однолистность. В.Я.Гутлянский [9* доказал, что уравнение Левнера-Куфарева порождает множество всех однолистных функций, тем самым получив исчерпывающий результат в данном направлении исследования.
Уравнение Левнера возникает как частный случай уравнения Левнера-Куфарева при
( 1 + Щ)и>
рМ = -—7777 ,
1 - к{1)ю
т=1
и порождает класс функции всюду плотный в £. Эти функции отображают Е на плоскость с одним разрезом.
Другой частный случай уравнения Левнера-Куфарева, исследованный И.Е.Базилевичем [7], получается при
е-а1р 1(ш) + (1 - е-а1)ро(ги) ’ где ро{ю)^\(ь)) - голоморфные в единичном круге функции класса С. В
этом случае уравнение Левнера-Куфарева интегрируется в квадратурах
и порождает класс функций Ва) называемых функциями Базилевича, и
имеющих следующее интегральное представление
/м=
(У
Данный класс включает в себя класс всех выпуклых функций (при Р1{ю) = 1), класс функций с ограниченным в Е вращением (при ро(ш) = 1), класс звездообразных функций, отображающих Е на область, звездную относительно точки ю = 0 (при ро{и>) = Рг{у^))> Исследование геометрических свойств функций, задаваемых интегральной формулой Базилевича, проведено в ряде работ Авхадиева и Аксентьева [1], Ле-вандовского [35], [36], Д.В.Прохорова [18] и других.
Представление всюду плотного подкласса в классе Йд всех функций из 5 с вещественными коэффициентами разложения в Е - ’’типично вещественных” функций - получается подстановкой в уравнение Левнера-Куфарева:
1 - и)2
С помощью данного параметрического представления были решены многие задачи об оценке функционалов, расширена возможность применения вариационного метода, обеспечено проникновение в теорию функций комплексного переменного методов оптимального управления, в частности, принципа максимума Л.С.Понтрягина. Одними из первых работ по применению принципа максимума Понтрягина в теории однолистных функций явились статьи И.А.Александрова и В.И.Попова [3], В.И.Попова [14], [15], Г.А.Поповой [16], [17], В.П.Важдаева [5], Д.В.Прохорова [19]. В работе Д.В.Прохорова [22] с помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина было найдено множество значений функционала
\/(г)\ + №а2
в классе Б^ функций /(г) £ Бп и удовлетворяющих в Е условию |/(^)| < М, 1 < М < оо - решение первой задачи Гронуолла в подклассе ограниченных’’типично вещественных” однолистных функций. Этот результат был обобщен А.Ю.Васильевым в [6]. Д.В .Прохоровым [24] полностью решена и вторая задача Гронуолла в классе £}У - исследована граница множества значений функционала
|/'(*)| + 1Й<и,/(г)е5£
С помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина удается в значительной степени унифицировать применение параметрического метода и
8
- Киев+380960830922