Оглавление
1 Введение 3
1.1 Предварительные замечания................................ 3
1.2 Цель работы ............................................. 5
1.3 План работы.............................................. б
2 Метод максимальных особенностей 10
2.1 Фано-расслоення и бирациональная жесткость.............. 10
2.2 Дискретные нормирования................................. 12
2.3 Максимальные особенности................................ 14
2.4 Подсчет кратностей...................................... 16
2.5 Пучки кубических поверхностей........................... 20
3 Бирациональная жесткость многообразия Ц 26
3.1 Формулировка результата.................................. 26
3.2 Максимальные особенности, лежащие над точками .... 29
3.3 Начало исключения бесконечно близкой особенности ... 30
3.4 Максимальная особенность над точкой горизонтальной прямой......................................................... 34
3.5 Исключение бесконечно близкой особенности............... 38
3.6 Описание бирадиональных отображений..................... 42
3.7 Проверка условий общности............................... 47
4 Бирациональная жесткость многообразия Ум 49
4.1 Введение................................................ 49
4.2 Формулировка результата................................. 50
4.3 Максимальные особенности................................ 51
4.4 Оценки кратностей циклов................................ 52
4.5 Исключение максимальной особенности..................... 55
2
Глава 1
Введение
1.1 Предварительные замечания
Классификация алгебраических многообразий — основная цель алгебраической геометрии. Одним из отношений эквивалентности, с помощью которых можно осуществлять эту классификацию, является бнрацио-нальный изоморфизм. Его изучение составляет предметбирациональной геометрии. Бирациональный изоморфизм сохраняет важные инварианты многообразия и в то же время позволяет объединить в один класс многообразия с похожими свойствами, поэтому задачи бирациональной геометрии представляют большой интерес и привлекают внимание многих исследователей.
Одним из первых результатов бирациональной геометрии является теорема М. Нетера о структуре двумерной группы Кремоны, то есть группы бирационалъных автоморфизмов проективной плоскости (см.[31)). Он доказал, что всякий такой автоморфизм раскладывается в композицию линейных п квадратичных преобразований. Нетер рассуждал следующим образом: предполагая, что отображение \ : Р2 --■» 1Р2 не является изоморфизмом, он доказывал существование трех базисных точек линейной системы 1x1 (собственного прообраза полной линейной системы прямых относительно х)| сумма кратностей которых строго больше степени кривых из 1x1- Далее рассматривалось квадратичное преобразование т. связанное с этими тремя точками и линейная система |х ° т|, степень которой уже меньше степени |х|, и исходные рассуждения повторялись для отображения хот- Заметим, что уже эта первая работа содержала идею метода, впоследствии названного методом максимальных особенностей. Здесь также возникают типичные для метода трудности. связанные с тем, что базисные точки максимальной кратности могут быть бесконечно близкими. Самому Нетеру не удалось преодолеть их и
з
его доказательство было завершено позже.
Итальянский геометр Дж. Фано, работаший в начале двадцатой) века, пытался применить идеи Нетера к исследованию биращюнальных соответствий трехмерных многообразий. В одной из своих работ он утверждал, что любое бирацнональное соответствие между двумя гладкими трехмерными квартиками есть бирегулярный изоморфизм. Действуя как в двумерном случае, Фано доказывал существование в базисном множестве линейной системы, задающей бирацнональное отображение, точки или кривой большой кратности, что противоречит ПОДВИЖНОСТИ этой линейной системы. Проблема здесь в том. что такие точки и кривые могут быть бесконечно близкими, что приводит к необходимости анализа большого числа случаев. Фано ограничился рассмотрением лишь простейших из них, поэтому полнею доказательство в его работе отсутствовало. Используя аналогичные соображения, Фано также сформулировал и пробовал доказать многие утверждения, относящиеся к бнрациональ-ной геометрии широкого класса трехмерных многообразий, называемых теперь многообразиями Фано (см. {25], (26|,|27],[28{), однако его рассуждения были неполными и часто просто неверными.
Следующий этап в формировании бирациональмой геометрии начался с исследований В.А. Псковских и К).И. Манима. Начав с работ по теории рациональных поверхностей, они использовали накопленный опыт дня изучения трехмерных многообразий. D 1971 году Псковских и Мамин дали строгое доказательство утверждения Фано о трехмерных квартиках ([4]), создав новый эффективный метод исследования бирациональных свойств многомерных алгебраических многообразий метод максимальных особенностей. В последующие два десятилетия В.А. Псковских и его ученики доказали несколько других результатов об алгебраических многообразиях, близких к рациональным. Среди них отметим теорему В.Г. Саркисова [16] о единственности структуры расслоения на коники при больших вырождениях и результат A.B. Пухликова (9) о совпадении групп бирациональных и бирегуляриых автоморфизмов четырехмерной квинтики. Область применения метода максимальных особенностей в этот период была, однако, довольно узкой, и многие примеры трехмерных многообразий, исследовавшиеся еще Фано, не поддавались изучению. К середине SO-x годов стало ясно, что для дальнейшего развития требуются новые идеи.
Несколько лет назад A.B. Пухликову удалось существенно усовершенствовать технику метода максимальных особенностей, расширив грани-
I
цы его применимости и в то же время сделав его гораздо более гео-метрически наглядным. Благодаря этому техника стала, в частности, инвариантной относительно размерности. A.B. Пухликов получил такие замечательные результаты, как нерациональность общей гиперповерхности степени М в М-мерном проективном протранстве, единственность структуры расслоения на поверхности Дель Пеццо при условии достаточно сильной "закрученности"по базе и .многие другие, недоступные для старой техники.
В последние два десятилетия развился также альтернативный метод изучения геометрии многомерных многообразий, который связан с теорией Мори и программой минимальных моделей. Эта теории, развитая в работах Мори. Коллара. Каваматы. Шокурова. позволила получить большое продвижение в проблеме классификации алгебраических многообразий и описании бирациональиых соответствий между ними. В рамках программы минимальных моделей А. Корти (см. (22]) удалось обосновать сформулированную Саркисовым программму факторизации би-раниональных отображений между Мори-расслоеннями. Есть основания полагать, что современные методы теории Мори, объединенные с классическими методами Нетера и Фано. в скором времени позволят окончательно прояснить б и ран и он аильную геометрию алгебраических многообразий. по крайней мере в размерности три. Первые шаги в этом направлении сделаны в работах [23], [2-4]. [29], |30|.
1.2 Цель работы
Задача диссертации состоит в дальнейшем совершенствовании техники метода максимальных особенностей, разработанной A.B. Пухлнковым, и описании на ее основе бирациональиых соответствий одной серии многомерных алгебраических многообразий. Эти многообразия находятся на границе области применения метода, поэтому результаты работы позволяют понять, насколько возможно дальнейшее расширение его действия.
Основой метода максимальных особенностей является изучение базисного множества линейной ситемы, задающей бирациональное отображение, и выделение в нем подмножеств большой кратности — максимальных особенностей, которые возникают при нарушении условия невозрастания порога канонического присоединения. На основе сведений о максимальных особенностях доказывается бирациональная жесткость многообразия. Максимальные особенности исследуются с помощью техники
5
подсчета кратностей.
В диссертации докатывается 6ирациональная жесткость общих дивизоров бистепени (2, М) в Р1 х РЛ/ при всех М > 3, описываются группы их бирациональных автоморфизмов и все структуры Фано-расслоения на них. В качестве следствия получается их нерациональность.
1.3 План работы
Диссертация состоит из введения и трех глав. Во второй главе вводятся необходимi)ie дли дальнейшего понятия и описывается технический аппарат метода максимальных особенностей, с помощью которого доказываются все результаты работы.
В §2.1 определяются понятия Фано-расслоения и бирациональной жесткости. являющиеся ключевыми для всей теории.
Определение. Проективное алгебра и ческое многообразие V, снабженное морфизмом 7Г : V S называется Фано-расслоением, если
1) V неособо в коразмерности L.
2) dimS < dimV,
3) существует плотное открытое множество U С S, такое, что для любой точки I G U слой Ft = Jr-1(i) удовлетворяет условию обрыва присоединения канонического класса: для любого дивизора Вейля D на F, существует число ct € К+, для которого линейная система
\aD + ЪКР\
пуста при любых целых неотрицательных a.b. таких, что Ь/а > а.
Определение. Порогом канонического присоединения дивизора D на Фано-расслоенин V называется число
с{\\ D) = sup{—|н, 6 € Z+ \ {0}, |aD + ЬКу\ ф 0} а
Определение. Пару (№, Я). где р : W -> Т Фано-расслоение, а Я
дивизор Вейли на W, назовем пробной, если линейная система Н| не имеет неподвижных компонент.
Определение. Фано-расслоение V’ называется бирационально жестким, если для любой пробной пары (VI', Я) и любого бирационально-го отображения х '■ V --■» W существует бнрационапьный автоморфизм X* € BirV, такой, что выполнено неравенство
c(V,(x°xTl№)<c(W,H).
6
- Киев+380960830922