Матричные операторы Шредингера с тривиальной монодромией

Оглавление
1 Матричное уравнение Шредингера и преобразование Дарбу. 10
1.1 Матричное преобразование Дарбу и сплетающее соотношение...................................................... 10
1.2 Квазидетерминанты и структура матричного преобразования Дарбу...................*.......................... 12
1.3 Операторы Шредингера, связанные матричными МДП. 15
/2
1.4 Случай Ь0 = Операторы Шредингера с рациональными потенциалами 18
2 Матричный оператор Шредингера с тривиальной мо-нодромией в комплексной области. 21
2.1 Регулярные и нерегулярные особые точки
дифференциальных уравнений............................ 22
2.2 Локальный критерий тривиальной монодромии 24
2.3 Доказательство локального критерия.................... 29
2.3.1 Резонансные уравнения........................... 29
2.3.2 Числа 12* (77г,п,/).............-ч.............. 32
2.3.3 Усеченные полиномы и доказательство того, что
С_1 = 0......................................... 35
2.3.4 Завершение доказательства 38
2.4 Формулировка локального критерия в инвариантной
форме................................................. 43
2.5 Матричные преобразования Дарбу и операторы Шредингера с тривиальной монодромией.......................... 44
2.6 Уравнения локуса и матричная система
Калоджеро-Мозера...................................... 48
2.7 Матричные операторы Шредингера с тригонометрическими потенциалами......................................... 50
3 Многомерные интегрируемые операторы Шредингера
с матричным потенциалом. 54
3.1 Скалярный случай...................................... 54
3.2 Тривиальная монодромия в многомерном случае1.......... 57
1
3.3 Об особенностях Б-интегрируемого матричного оператора Шредингера 61
3.4 Уравнения матричного локуса и
В-интегрируемость............................... 66
3.5 Двумерный случай............................... 68
3.6 Матричные обобщенные операторы
Калоджеро-Мозсра................................ 70
4 Многосолитонные решения матричного уравнения КдФ. Взаимодействие солитонов. 73
4.1 Уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко
для матричного оператора Шредингера............. 77
4.2 Матричное уравнение КдФ и безотражательные потен-
циалы........................................... 80
4.3 Односолитонные решения матричного уравнения КдФ. 82
4.4 Двухсолитонное решение матричного уравнения КдФ.
Взаимодействие солитонов в обшем случае......... 83
4.5 Матричное преобразование Дарбу и солитоны...... 88
2
Введение.
В 1967 году Гарднер, Грин, Крускал и Миура [65] обнаружили замечательную связь между уравнением Кортевега-де Фриза (КдФ)
щ =6иих-ихх£, (0.1)
описывающим распространение волн в мелкой воде, и спектральной теорией оператора Шредингера
1 = -02 + и(х,*), И =4-, (0.2)
ах
что позволило решить уравнение КдФ методом обратной задачи (см., например, [17, 38]) в классе быстроубывающих потенциалов. Алгебраическое объяснение метода работы [65] было предложено Лаксом [71] в 1968 году. Он показал, что уравнение КдФ может быть записано в виде
Ь = [Ь,А], (0.3)
где А = -4£>3 4- 3(иИ 4- Ии) - кососимметричный дифференциальный оператор третьего порядка.
С тех пор уравнение КдФ и его высшие аналоги (см. [71], [76])
Ь=[1,Ап],
где Ап - некоторый дифференциальный оператор 2п 4- 1-ого порядка, были исследованы с различных точек зрения. Вероятно, одним из
самых замечательных результатов было наблюдение Новикова [41] и
Лакса [72] о том, что все периодические решения стационарной иерархии КдФ являются потенциалами операторов Шредингера с конечным числом лакун в их спектре (см. также статью МакКина и ван Мербике [75]). Дубровин [22] и Флашка [61] доказали, что таким образом могут быть получены все конечнозонные операторы Шредингера. Здесь хотелось бы упомянуть, что первые примеры конечнозонных потенциалов были найдены Айнсом [69], показавшим, что операторы Шредингера с потенциалами Ламе
п(т) = 1)|р(.г),
3
где р(х) - классическая функция Вейерштрасса (см. e.g. [42]) имеют N лакун в спектре. Общая формула для конечнозонных потенциалов была получена Итсом и Матвеевым [28, 29] в терминах тэта-функций гипер-эллиптических римановых поверхностей, точки ветвления которых совпадают с границами зон спектра соответствующего оператора Шре-дингера (см. также [25, 23]). Кричевер в серии работ [32, 33, 34, 35, 36] развил общий подход к теории конечнозонных операторов, основанный на понятии функции Бейкера-Ахиезера соответствующих римановых поверхностей.
Рациональные решения уравнения КдФ были изучены Аро, МакКи-ном и Мозером в замечательной работе [46]. Они доказали, что убывающие на бесконечности рациональные решения уравнения КдФ имеют
В [46] множество точек удовлетворяющих (0.4) называется
локусом (locus), а уравнения (0.4) - уравнениями локуса (locus equations). Locus совпадает с множеством стационарных точек интегрируемой системы Калоджеро-Мозера. [54, 78] с гамильтонианом
в то время как уравнения (0.5) соответствуют динамике, заданной ее интегралом
В статье [45] Адлер и Мозер показали, что как функции х рациональные решения КдФ являются потенциалами операторов Шредин-гера. Ь = —И2 + и(х), которые могут быть получены цепочкой пре-
вид
где п = -4т1' ((I 6 N1 - ’’треугольное” число и точки .т;- = х;(£) удовлетворяют условиям
= 0, г = 1,... (0.4)
(0.5)
(0.6)
4
где ги = ю(фь^2» • • • 5 Фк) - вронскиан функций ф\, ^2> • • •, Фк, заданных рекурсивными формулами
Ф" = 0< ф']+1 = гру, і = 1,2,...,
так что ф\ = х, ф% = + гь....
Заметим теперь, что если потенциал некоторого оператора Шре-дингера имеет конечное число полюсов второго порядка в
комплексной области (к таким потенциалам относятся функции (0.6)), то решения соответствующего уравнения Шредингера
вообще говоря, многозначны в окрестности (см., на-
пример, [10]). Тем не менее, существует класс операторов Шредингера, таких, что все решения уравнения (0.7) однозначны в С для всех Л, т.е. которые имеют тривиальную монодромию в комплексной области. Ясно, что последнее условие соответствует специальным конфигурациям полюсов И, как было показано Дюистермаатом
и Грюнбаумом [61], если потенциал и(х) безмонодромного оператора Шредингера Ь рационален и убывает на бесконечности, то Ь может быть получен конечным числом преобразований Дарбу из То = — ХЭ2, и(х}имеет вид (0.6) и является решением уравнения КдФ, а соответствующие конфигурации полюсов совпадают с локусными.
Двумерное уравнение Шредингера с точки зрения его интегрируемости было впервые рассмотрено в работе Дубровина, Новикова и Кричевера [24] (см. также [40, 11, 12]). Комплексная теория двумерных абелевых потенциалов была развита в недавней статье Бухшта-бера и Энольского [7]. Дальнейшие результаты в этом направлении можно найти в [53]. Они основаны на построении гиперэллиптических аналогов классических а-, (- и ^-функций Вейерштрасса (см. [52]). Заметим также, что, как было показано в [8], их аналоги также могут быть построены для (п., $)-кривых рода д = (п - 1)($ - 1)/2 вида
где 0 < а < 5 - 1, 0 < /3 < п. - 1, ап. — 08 < п$ и п,в - взаимно простые числа. Пространство модулей таких кривых имеет размерность (1Пі8 = (Л+1)И1) _ [£] _ з? (у — <т(и, А), и € с-9, Л Є С**"'* является целой функцией в С9, а коэффициенты ее разложения в окрестности 0 полиномиальны по Л (см. также [9]).
Обобщение результатов Дюистермаата и Грюнбаума на многомерный случай недавно было найдено Чалых, Фейгиным и Веселовым [57].
Ьф — \ф
(0.7)
5
Далее мы будем называть оператор
Б-интегрируемым, если существует оператор V, сплетающий Ь с лапласианом и —
Оказывается, последнее операторное равенство налагает значительные ограничения на геометрию особенностей оператора Ь. А именно, Берест и Веселов [4, 50] доказали, что особенности любого Б-интегрируемого оператора расположены на конфигурации гиперплоскостей. Если предположить, что и является убывающей на бесконечности рациональной функцией, то и может быть записана в виде
для некоторой конфигурации гиперплоскостей П_7 : + с;' = 0 с
кратностями га;- 6 Z+. Чалых, Фейгин и Веселов [57] нашли необходимые локальные условия на геометрию таких конфигураций (0.8), гарантирующие Б-интегрируемость соответствующего оператора Шре-дингера (условия локуса). Чалых [44] доказал замечательную теорему о том, что эти условия также достаточны, а в одномерном случае это дает другое доказательство теоремы Дюистермаата и Грюнбаума.
Основное отличие (и основная сложность) многомерного случая состоит в том, что нет эффективной процедуры описания всех локусных конфигураций. Примерами могут служить конфигурации Кокстера [6], связанные с конечными группами, порожденными отражениями, но, как оказалось, они не исчерпывают все возможные случаи. В 1996 Чалых, Фейгин и Веселов [14] нашли примеры операторов Щрединге-ра, которые не соответствуют никакой конфигурации Кокстера, но, тем не менее, удовлетворяют локусным условиям. Заметим также, что для конфигураций Кокстера Л соответствующий оператор Шредин-гера
есть не что иное, как обобщение оператора Калоджеро-Мозера, рассмотренное Олынанецким и Переломовым [81].
В последнее время появился значительный интерес к некоммутатив-
ным аналогам классических солитонных иерархии и интегрируемых
Ю = Х>£о-
(0.8)
6
систем. В качестве примеров мы можем упомянуть работу Кричеве-ра [37], статью Олвера и Соколова [82], посвященную исследованию симметрий интегрируемых эволюционных уравнений в ассоциативных алгебрах и их редукцию к алгеброзначным трансцендентам Пенлеве, а также обзор по некоммутативным КдФ и КП иерархиям в статье Этингофа, Гельфанда и Ретаха [63], где использовагось понятие ква-зидетсрминанта, обобщающее на некоммутативный случай отношение определителя матрицы и ее подматрицы (см. [18]). В связи с этим встает вопрос об анаюгах упомянутых выше результатов в случае, если потенциал оператора Шредингсра является матричным и их связи с матричными анаюгами нелинейных эволюционных уравнений, что и является основной темой диссертации. Вероятно, Лаке был первым, кто в 1968 году ввел матричное уравнение КдФ
Ut = 3(VVX + UXU) - иххх в связи с матричным уравнением Шредингера
где U(x,t) - d х d матрица (см. [71]), который действует на векторнозначных функциях ф как Ьф = —ф" 4- Иф. Метод обратной задачи рассеяния для матричного уравнения Шредингера с эрмитовым потенциалом на полупрямой 0 < х < оо был развит Аграновичем и Марченко [1]. Они также исследовали вопросы единственности восстановления потенциала по спектральным данным. Обратная задача рассеяния на всей действительной прямой —оо < х < +ос для матричного уравнения Шредингера и ее связь с матричным уравнением КдФ были исследованы Вадати и Камнджо [83]. Гораздо более широкий класс интегрируемых методом обратной задачи эволюционных уравнений был построен Калоджеро и Дегаспсрисом [55], также обсуждавшими матричные солитоны (см. также обзоры Вадати, Калоджеро и Дегаспериса в книге [5]). Обратная задача для общего (несимметричного) матричного оператора Шредингера изучалась Мартинесом Алонсо и Олмедилла [79, 73]. Здесь мы хотели бы также упомянуть работу Гриневича [20], где была развита конечнозонная теория для оператора
L = AD2 + U(z)
с постоянной матрицей А, собственные значения которой различны. Последнее предположение является существенным для методов статьи [20], которые не могут быть применены в случае А = /, рассматриваемом нами.
В 1984 Гиббонс и Хермсен [66] ввели матричное обобщение классической системы Калоджеро-Мозора в связи с матричным оператором
7