ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.......................................................... 5
1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР............................................. 5
2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ............................... 9
1. Постановка вопроса и актуальность темы...................... 9
2. Цель работы................................................ 10
3. Методы исследования...................................... 11
4. Научная новизна.......................................... 11
5. Теоретическая и практическая значимость.................... 13
6. Апробация.................................................. 13
7. Публикации................................................. 14
8. Вклад автора в разработку избранных проблем................ 14
9. Структура и объём работы................................... 14
10. Некоторые замечания....................................... 14
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ......................................... 15
ГЛАВА 1. Двойственная геометрия нормализованного пространства проективно-метрической связности.............................. 25
§1. Пространство проективно-метрической связности................. 25
1. Теорема Картана-Лаптева.................................... 25
2. Пространство проективно-метрической связности.............. 26
3. Метрика пространства проективно-метрической связности 30
§2. Двойственные пространства проективно-метрической связности без кручения.................................................. 34
1. Поля геометрических объектов нормализованного пространства проективно-метрической связности............................. 34
2. Индуцированные пространства проективной связности.......... 37
3. Инволютивные преобразования форм связности и двойственные пространства.................................................. 44
4. Двойственные пространства проективно-метрической связности
без кручения................................................ 47
5. Тангенциальное пространство проективно-метрической связности, индуцируемое полярной нормализацией пространства Кпп.... 55
6. Я - и В- пространства проективно-метрической связности 56
2
§3. Геометрии двойственных пространств аффинной связности
59
1. Двойственные аффинные связности............................. 59
2. Геометрии двойственных пространств аффинной связности 61
3. Геометрия средней аффинной связности........................ 64
4. Пространство аффинной связности, индуцируемое полярной нормализацией пространства Кп п.......................... 65
£ 4. Приложение геометрии проективно-метрического пространства Кп к изучению теории плоских сетей £„<=£„..................... 68
1. Дифференциальные уравнения сети и инвариантные
образы, порождаемые ею....................................... 68
2. Сопряжённая относительно поля конусов направлений
акьсоой)о = 0 п-сопряжённая система с Кп.................. 69
3. Сопряжённые чебышевские и геодезические п -сопряжённые системы с Кп первого и второго родов..................... 72
ГЛАВА 2. Двойственная геометрия регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективно-метрической связности.......................................... 77
§1. Тангенциальное пространство проективно-метрической связности без кручения, индуцируемое регулярным распределением гипер-тоскостных элементов.............................................. 77
Г Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на регулярном распределении 91 в Кп п.................... 77
2. Двойственный образ регулярного распределения гиперплоскостных элементов 91 в Кпп и тангенциальное пространство
проективно-метрической связности Кп п без кручения........... 80
§2. Двойственные поля соприкасающихся гиперквадрик................ 86
ГПоле соприкасающихся гиперквадрик £)л2_, на распределении 91 в Кп п и поле двойственных геометрических образов..... 86
2. Поле соприкасающихся гиперквадрик на распределении 91 в Кп п и поле двойственных геометрических образов.......... 90
§3. Полярное распределение гиперплоскостных элементов............. 93
3
ГЛАВА 3. Внутренняя геометрия нормализованного регулярного распределения гипсрплоскостиых элементов в пространстве проективно-метрической связности...................... 98
§1. Внутренние инвариантные оснащения в смысле А. П. Нордена распределения 91 в Кп п....................................... 98
§2. Двойственные аффинные связности на нормализованном распределении гиперплоскостных элементов........................... 103
I 2
1. Двойственные пространства аффинной связности Ап п_х и Ап п_,, индуцируемые нормализацией распределения 91 в Кп п...... 103
2. Оснащения в смысле Э. Картана распределений 91 в Кпп,
91 в Рпп и нормализации пространств Кпп, Рп п.............. 108
1 2
3. Двойственные пространства аффинной связности Ап п и Ап п 111
§3. Нормализации взаимно-полярных распределений гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве Кп........... 115
1. Взаимно-полярные нормализации распределений 91 и 91 в Кп 115
2. Взаимно-полярные аффинные связности, индуцируемые нормализацией распределения 91 с Кп.......................... 117
ЛИТЕРАТУРА...................................................... 119
4
ВВЕДЕНИЕ
1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связностей в различных расслоенных пространствах, а также её применение при исследовании оснащённых подмногообразий, погружённых в однородные и обобщённые пространства.
История теории связностей начинается с 1917 года с работы Т. Леви-Чивита [103] о параллельном перенесении вектора в римаиовой геометрии. Эта идея сразу же нашла применение в общей теории относительности и была обобщена в различных направлениях. В 1918 году Г. Вейль [109] для построения единой теории поля ввёл понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 году Р. Кэниг [102], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.
Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [45] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1924 году И. А. Схоутен [106], [107] установил взаимосвязь между концепциями Кэнига и Картана.
Развитие теории связностей в рамках этих двух концепций продолжалось в течение всей первой половины XX века.
В 1950 году начинается следующий этап в развитии теории связностей, когда В. В. Вагнер [17], [19] и Ш. Эресман [101] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Изложение
В. В. Вагнера является локальным и выполнено классическими методами.
Многие исследователи применяли связности в касательных расслоениях при изучении геометрии подмногообразий, вложенных в риманово пространство, в частности, в пространство постоянной кривизны.
Первые применения понятия проективной связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве дал Э. Картан [99] в 1937 году.
В 1950 году появилась монография А. П. Нордена [59], в которой разработан метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Согласно работе А. П. Нордена [59], нормализация п -мерного проективного пространства Рп состоит в задании некоторого однозначного, непрерывного и дифференцируемого соответствия «точка А0 - гиперплоскость £0», где Л0ё£0. При этом, принимая гиперплоскость £0 за образующий элемент пространства, автор строит проективное пространство Рп, двойственное исходному пространству Рп. Нормализации А0 -> £0 отвечает внутренняя проективно-евклидова геометрия (первого рода). При-
5
менение принципа двойственности к нормализованному пространству Рп позволило принять гиперплоскость £0 за нормализуемый элемент проективного пространства Рп, а связку гиперплоскостей с центром в точке А0 -за нормализующее многообразие и связать с тем же двойственным соответствием внутреннюю аффинную связность второго рода (без кручения), также принадлежащую к классу проективно-евклидовых пространств. В силу двойственности пространств Рп и Рп индуцируемые аффинные связности первого и второго родов Л. П. Норденом также названы двойственными.
Используя двойственный характер геометрии проективного пространства Рп9 А. П. Норден [59], В. В. Вагнер [18], А. И. Чахтаури [88], [89],
А. П. Широков [93], Г. В. Бушманова [13], Г. Н. Тевзадзе [80], А. В. Чакма-зян [85], Ю. И. Попов [68] - [70], М. А. Василяи [20] - [22] и другие получили ряд глубоких результатов по изучению некоторых вопросов двойственной геометрии нормализованной гиперповерхности УпЛ сР„, гиперполосы НтаРп, нормализованного пространства Рп, а также по изучению двойственной геометрии сетей Е2 с:Р2 и 12сР2сР3.В указанных работах важное место занимают исследования по двойственным аффинным связностям.
В 50-х годах XX века Г. Ф. Лаптевым [47] был развит новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью. С использованием этого метода задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Г. Ф. Лаптев, следуя идеям Э. Картана, дал строгое определение пространства аффинной связности.
Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте [54].
В 1926 г. Э. Картан [98] ввёл понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой б».
К понятию неголономного многообразия привели учёных некоторые задачи движения механических систем, подчинённых добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтегрируемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы (см. работы В. В. Вагнера [15], А. В. Гохмана [41], П. К. Рашевского [72],
С. А. Чаплыгина [86]).
Наряду с этим независимо от задач механики к понятию неголономного многообразия математики пришли путём обобщения основных положений геометрии подпространства на случай, когда поле т -мерных пучков направлений не задаёт семейства т -мерных подпространств (см. работы
6
В. В. Вагнера [14], [16], Д. М. Синцова [74], Схоутена [108], монографию Михэйлеску [105]).
В инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и
Н. М. Остиану (см. [50], [51], [63], [65]) получила дальнейшее развитие теория распределений т -мерных линейных и гиперплоскостных элементов в проективном пространстве Рп и пространстве проективной связности Рпп.
В случае распределения гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория нашла своё отражение в работах
В. И. Близникаса [10], [11]. 10. Г. Лумисте [55] изучает распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. Исследования Э. Д. Алшибая [2] посвящены изучению распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. А. П. Норден [60], [61] устанавливает связь теории многочленных композиций с теорией распределений.
В 70-х годах XX века В. Т. Базылевым получена (см. [3] - [6]) обширная теория плоских многомерных сетей погружённых в п-мерное проективное пространство Рп. В этом направлении некоторые вопросы сетей в п -мерных проективном и аффинном пространствах рассматриваются также в работах А. И. Чахтаури [89], М. Са1арзо [97], Я. М^НогаЮ [104]. Ряд классов сетей на различных многообразиях (в частности, в пространствах аффинной связности) изучается В. Т. Базылевым [7] - [9], А. Е. Либером [52]. В работах В. Т. Базылева [5], [7], Я. С. Дубнова [42], А. Е. Либера [53] в различных пространствах рассматриваются многомерные аналоги чебышевских сетей. Некоторые вопросы глобальной теории сетей на двумерных многообразиях отмечены в работах \У15$1ег'а СЬ. [110], Э. Г. Поздняка [67]. А. И. Чахтаури [87] применяет метод нормализации к изучению двойственной геометрии плоских сетей £2 Рг •
Двойственная геометрия плоских сетей с Рп, т -тканей на гиперпо-лосном распределении Я с Рп п и на регулярной гиперповерхности Уп_{ с Рп
изучается А. В. Столяровым [76].
Метод Г. Ф. Лаптева был использован А. В. Столяровым [76] для построения основ двойственной теории оснащённых многообразий, погружённых в пространство проективной связности Рпп. При этом определение
двойственных пространств с линейной связностью А. В. Столяровым дано [76] с точки зрения инволютивных преобразований форм их связностей. Такое определение позволило автору при изучении двойственной геометрии подмногообразий расширить объемлющее пространство (проективное) до пространства проективной связности, привлечь к изучению геометрии подмногообразия его двойственный образ, рассматривать двойственные вопросы не только при нормализации [59] подмногообразия, но и при различных других его оснащениях, впервые проводить изучение двойственной геомет-
7
рии неголономпых многообразий (распределений). В частности, А. В. Столяровым разработаны [76] основы инвариантных двойственных теорий нормализованного пространства проективной связности Рпп, регулярного ги-
перполосного распределения Н с Рп п и регулярного распределения гиперп-лоскостных элементов 9?, погружённого в пространство Рп п, а также найдены некоторые пути приложения этих теорий к изучению двойственной геометрии плоских многомерных сетей (тканей).
Согласно А. П. Нордену [59], пространством п измерений с проективной метрикой или пространством Кп называется такое пространство,
образом точки которого является точка проективного пространства Рп9 а фундаментальной группой - подгруппа проективных преобразований, сохраняющих некоторый поляритет (абсолют). Этот поляритет называется абсолютным поляритетом пространства Кп. В монографии А. П. Нордена [59] изучаются некоторые вопросы геометрии пространства Кп с невырожденным абсолютом 0,пЛ. В случае, когда абсолют <2пА овального типа, поляритет называется [59] гиперболическим.
Гиперболическое пространство Кп имеет особое значение в геометрии, ибо оно представляет собой проективную интерпретацию геометрии Лобачевского. С помощью этой интерпретации Ф. Клейн дал первое строгое доказательство её непротиворечивости.
В работе Г. Ф. Лаптева [47] вводится понятие пространства проективно-метрической связности Кпп, обобщающее понятие пространства Кп:
пространство Кпп есть пространство проективной связности Рпп, обладающее инвариантным полем локальных гиперквадрик <2л-і (локальных абсолютов). А. В. Столяровым [79] найдено инвариантное аналитическое условие, при выполнении которого пространство Рпп становится пространством проективно-метрической связности Кпп.
А. В. Столяров [77] изучает внутреннюю геометрию оснащённого в смысле А. П. Нордена [59] проективно-метрического пространства Кп\ в работе [79] им исследуются некоторые вопросы дифференциальной геометрии полярной нормализации пространства проективно-метрической связности Кпп. Д. А. Абруковым [1] получены результаты по изучению
геометрии поверхностей и распределений, поіруженньїх в проективно-метрическое пространство Кп.
Кривые и поверхности в евклидовом и проективном пространствах с вырожденным (невырожденным) абсолютом рассматриваются в работах А. Э. Хатипова [82] - [84], Р. Г. Бухараева [12], А. П. Нордена [57], И. Н. Мигалевой [56].
8
Обзор работ в квазиэллиптическом, квазигиперболическом, галилеевом Г3, псевдогалилеевом !Г3, проективном Р3 пространствах с соответствующими абсолютами приведён в монографии [1]. В частности, в работах А. П. Широкова [90], [91] изучается биаксиальное пространство (проективное пространство Р3 с абсолютом в виде двух непересекающихся прямых), а также обобщённо биаксильное пространство.
2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ
1. Постановка вопроса и актуальность темы. Теория различных дифференцируемых многообразий однородных и обобщённых пространств составляет одно из основных направлений исследований современной дифференциальной геометрии. Актуальным разделом этой теории является геометрия оснащённых многообразий, погружённых как в различные однородные пространства, так и в пространства с фундаментально-групповой связностью.
Дифференцируемое многообразие, погружённое в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащённым [47], если на нём определено поле некоторого геометрического объекта gA (поле оснащающего объекта многообразия):
где #5' - главные (первичные) формы, - вторичные формы Пфаффа на многообразии. Тип оснащения погружённого многообразия характеризуется строением основных функций ^), определяющих оснащающий
объект gA. В зависимости от их строения получаются различные оснащения многообразия. Задание оснащения многообразия определяет на нём соответствующую дифференциально-геометрическую структуру (см. [66], [92]).
Отметим, что задачи, возникающие при изучении оснащённых многообразий, в зависимости от типа оснащения, характера объемлющего пространства и исходного погружённого многообразия, оказываются весьма разнообразными, что, по-видимому, делает проблему построения дифференциальной геометрии оснащённых многообразий неисчерпаемой.
В рамках этой геометрии большой научный интерес представляет создание двойственной теории оснащённых многообразий, погружённых в пространство проективно-метрической связности Кпп [47] с п -мерной базой и и-мерными слоями.
Объектом исследования настоящей работы являются оснащённые многообразия, погружённые в пространство проективно-метрической
9
связности Кпп. В качестве погружённых подмногообразий пространства Кп п рассматриваются:
1) пространство проективно-метрической связности Кпп (глава I);
2) регулярное распределение гиперплоскостных элементов в Кпп (главы II и III).
Эти исследования являются актуальными и представляют большой научный интерес, ибо:
1) изучение геометрии нормализованного пространства проективнометрической связности Кпп до настоящего времени находилось в начальной стадии (см. работу [79]);
2) геометрия неголономной гиперповерхности (то есть распределения гиперплоскостных элементов), погружённой в пространство проективнометрической связности Кпп, отличное от плоского, до настоящего времени
в математической литературе вообще не изучалась;
3) представляет научный интерес приложение геометрии проективнометрического пространства Кп к изучению плоских сетей Тпс:Кп.
2. Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является инвариантное построение двойственной геометрии некоторых оснащённых многообразий, погружённых в пространство проективнометрической связности Кп п, на основе широкого привлечения их двойственных образов. Достижение поставленной цели включает в себя решение следующих ключевых задач:
1) внутренним инвариантным образом построить и изучить двойственную геометрию линейных связностей (проективных, проективнометрических и аффинных), индуцируемых нормализацией пространства проективно-метрической связности Кпп, а также найти пути приложения
геометрии проективно-метрического пространства Кп и полученных связностей к изучению плоских сетей
2) построить основы инвариантной двойственной геометрии регулярной неголономной гиперповерхности 91, погружённой в пространство проективно-метрической связности Кп п;
3) исследовать дифференциально-геометрические структуры, внутренним инвариантным образом определяемые нормализацией распределения гиперплоскостных элементов 91 в Кп п;
4) для распределения 91 построить полярное (относительно локальных абсолютов пространства Кпп) распределение гиперплоскостных
10
- Киев+380960830922