- г -
Оглавление
Стр.
Введение................................................ 3
§ I. Некоторые сведения из теории позиционных дифференциальных игр........................................ 7
§ 2. Производные многозначных отображений................15
§ 3. Стабильные множества................................44
§ 4. Стабильные множества с кусочно-гладкой границей ... 58
§ 5. Разбиение стабильных мостов.........................78
§ 6. Условия стабильности множества программного поглощения ..............................................85
§ 7. Стабильные множества в линейной задаче сближения ... 89 Литература...............................................97
- З -
Введение
В диссертации рассматриваются задачи управления по принципу обратной связи, в которых требуется гарантировать приведение управляемой системы на заданное целевое множество при любых зара -нее неизвестных помехах. Эти задачи исследуются в рамках теории дифференциальных игр, и они представляют большой практический и теоретический интерес. Среди первых результатов, относящихся к теории дифференциальных игр, можно отметить работы зарубежных математиков Р.Айзекса и У.Флеминга. Фундаментальный вклад в теорию дифференциальных игр составили исследования советских мате -матиков Н.Н.Красовского, Л.С.Понтрягина, Б.Н.Пшеличного и их сотрудников.
Объектом исследования в диссертационной работе являются
и. -стабильные мосты. Согласно подходу, описанному в могогра -фии [<2 9 ] , и -стабильный мост определяется как мноке -
ство в пространстве позиций, соединяющее начальную позицию с целевым множеством и обладающее специальным свойством, которое позволяет определить позиционную стратегию, гарантирующую удержа -ние движений ш этом мосту вплоть до их встречи с целевым множеством. Если ІІ -стабильный мост построен, то относительно просто можно определить стратегию, доставляющую решение задачи сближения. Этим обстоятельством объясняется важность изучения
и. -стабильных мостов и разработка вычислительных методов для их построения. Вопросы, связанные с исследованием стабильных мостов, а также эквивалентных или близких к ним понятий и конструкций рассматривались многими авторами (см., шпример, работы[м-3.6,29, 32,91, 62, 66, 69] ).
Как правило, в задачах, рассматриваемых в теории дифферен -циальных игр, возникают различного рода сингулярности функции цены и границы стабильных мостов не обладают гладкостью (диффе -
- 4 -
ренцируемостью), которая позволила бы ограничиться классическими методами. Поэтому представляет интерес попытка использовать ш -которые подходы, развитые в последние годы при изучении задач недифференцируемой оптимизации. Как известно, в этих задачах ин-финитезимальный анализ опирается на такие понятия как субдиффе -ренциал, обобщенная производная, конусы возможных или касатель -ных направлений и т.д. (см., тапример, [ 6, 9, №,18 , $ 5} 56, 60, ). В работах [60- 62 ] были рассмотрены
инфинитезимальные свойства локально-липшицевых функций цены диф-ференциальюй игры. Были получены неравенства для производных по направлению, которые выражают свойства стабильности функции це -ны, обобщают основное уравнение теории дифференциальных игр и единственным образом выделяют функцию цены. Данную работу можно рассматривать как продолжение упомянутых исследований. Основным результатом, представленным в диссертации является определение стабильного моста, базирующееся ш понятии производной многозначного отображения, которое по своему содержанию близко к известному понятию конуса возможных направление!. В качестве следствия основного результата дано описание стабильного моста с кусочногладкой границей, рассмотрено конечное разбиение стабильного моста на замкнутые подмножества, приведен критерий стабильности множества программного поглощения в случае, когда это множество имеет непустую внутренность.
Диссертация состоит из семи параграфов. Для удобства ссылок в § I приведены некоторые общие определения и известные факты из теории дифференциальных игр. В § 2 дано определение производной многозначного отображения и рассмотрены некоторые свойства этой производной. Приведенные в § 2 результаты можно разбить на три группы. Первую группу составляют свойства, которые сразу следуют из определения производной. Ко второй группе относятся менее
- 5 -
очевидные факты, в частности, здесь дано описание производных для множеств с куоочно-гладкой границей. В третью группу включены вспомогательные результаты, которые используются в § 3. Основной результат диссертации - теорема 3.1, доказанная в § 3. Эта теорема устанавливает эквивалентность исходного определения стабильного моста и двух новых определений, данных в § 3. В исход -ном определении свойство стабильности определяется с помощью известного оператора программного поглощения (см., например, [29,
6^] ). Новые определения представляют собой инфинитезимальную форму свойства стабильности. Отметим, что в определении 3.3
4
свойство стабильности определено в так называемой унифицирован -ной форме, это определение опирается на конструкции, предложен -ные в работах [26,6?] ,В§4 рассматриваются множества с
кусочно-гладкой границей. Указаны достаточные условия, при выполнении которых такие множества будут (Л -стабильными мостами. Получены также необходимые условия, близкие к достаточным. Эти результаты являются следствием основных теорем, установленные в § 2 и § 3. Значительное место в § 4 занимает анализ соответствующего примера. В следующем параграфе рассмотрено разбиение ста -бильнзго моста на конечное число замкнутых подмножеств. Показано, что такое разбиение индуцирует разбиение множества допустимых управлений второго игрока. Указанные разбиения согласованы таким образом, что каждая составляющая стабильного моста обладает свойством С1 -стабильности относительно соответствующего подмножества управлений второго игрока. Результаты, представленные в § 6, дополняют исследования условий регулярности множеств программного поглощения [11,29, 63, У о] . Здесь рассмотрен неособый случай (множество программного поглощения с непустой внутренностью).
Для этого случая установлен критерий стабильности программного поглощения. В отличие от известных ранее условий регулярности
6
для проверки полученного критерия требуется рассматривать лишь точки, лежащие ш границе множества программного поглощения. В последшм параграфе исследуются линейная дифференциальная игра в случае, когда сечения стабильных мостов являются выпуклыми мно -жествами. Указаны нзобходимые, а также достаточные условия ста -бильности в рассматриваемом случае. В этих условиях фигурируют верхние и нижние производные по времени опорной функции сечений исследуемых множеств.
В заключение диссертации приведена библиография.
В диссертации принята двойная нумерация теорем, утверждений и формул. Конец доказательства теоремы или утверждения обозначается символом □
Основные результаты диссертации обсуждались на семитрах отдела "Дишмические системы" Ивзтитута математики и механики УВЦ АН СССР, докладывались т концеренции Пермского политехнического ивзтитута по функционально-дифференциальным уравнениям
(Пермь, 1983 г.), ш конференции молодых ученых Ивзтитута мате -
^ . . . , „ ....
матики и механики УТЦ АН СССР (январь, 1984 г.) и опубликованы в работах
В совместной работе AwH.Субботиным и В.Н.Ушаковым
предложена постановка задачи и доказано утверждение 2.13, вклю -ченное в диссертации. Остальные результаты этой работы были по -лучены автором диссертации.
Решение примера 4.1 из § 4 было проведено совместно с А.М. Тарасьевым.
- 7 -
§ I. Некоторые сведения из теории позиционных дифференциальных игр.
В данном параграфе приведены некоторые определения и результаты из теории. Подробные мотивировки этих определений и доказа -тельства результатов содержатся в работах [29, 62] .
Пусть движение конфликтш-управляемой системы описывается дифференциальным уравнением
х = f(t, к, и, д). a.i)
Здесь X - /2 -мерный фазовый вектор системы, U. , xJ векторы управляющих воздействий соответственно первого и второго игроков, удовлетворяющие ограничениям U 6 Р , хУ 6 Q , где рс Rp , <Sc /?* - компакты, i О Г ~ *оо, Я] .
Символе®! < СУ} о > будем обозначать скалярное произведение векторов Об и & , а символом Ц & Ц - евклидову норму вектора
а .
Будем предполагать, что функция £(•) •'Т х R х Р х Q «—» R удовлетворяет следующим условиям:
1) непрерывна ш Т х R х Р х Q .
2) липшицева по X , то есть
II fit,хи: и,о - fit, />,и, j)H ,<m п хю- /'7/а.«)
(it, X'(‘i' U, гУ) 6G X Р X &, i- l,z)
где G - любая ограниченная область в Т* R , У (&) - постоянное число;
3) удовлетворяет условию равномерной продолжимости решений.
- 8 -
Отметим, что последнее условие выполняется, в частности, если имеет место одно из следующих неравенств
< X, ^ ft, X, и, О) > ^ С (L+ ЦхН* ) или
II fit, X, U, гГ)Ц$ С (L + ИхII) ,
где С - const , (tr, X, U, д) & Тх Ray Рх Q .
Наряду с этими условиями будем предполагать, что для любых S 6 /?Л я (t, X) 6 Т X Г выполнено равенство (условие седловой точки в маленькой игре)
min m«x< s, £(t,x,u, d)>- max min < st £(t,x,u, гУ) >. (і.з)
иер Q Z(rQ U(rP r
Приведем определения позиционных стратегий и движений, по -рождаемых этими стратегиями. Рассмотрим множество Vпоз , которое составляют всевозможные функции U Т X ß >—* Р .Элементы множества (Unoj будем называть позиционными стратегиями.
Движения управляемой системы, порожденные позиционной стратегией LI £ dJnoj , определяется следующим образом.
Пусть { to,Xü) (гТх Rn} -УІ -
некоторое разбиение полуинтервала [ t0j ß) , tJ(-):[ted]*—* Q измеримая функция. Определим пошаговое движение Х{‘, t0j Х0>
U. , -О ('), Л ) как решение пошагового уравнения
t
x(t) = Х(ь)+ ^(г,х(ті и.(гС)х(тс))} т)(г))nfz
Х(То) - X. , Г£ t t < TUi } L- q, I, - - .> /.
- Киев+380960830922