Оглавление
Введение. 7
Краткий обзор литературы....................................... 7
Краткое содержание работы..................................... 13
X Постановка задачи 16
1.1 Постановка трехмерной задачи о равновесии прямолинейного стержня (бруса)...........................................16
1.2 Приближённая постановка задачи для длишюго стержня . 19
1.3 Общая задача Он-Венана....................................20
1.4 Задача Сен-Венана о кручении стержня......................22
1.4.1 Полная система уравнений теории кручения неоднородного анизотропного стержня..........................22
1.5 Функция напряжений при кручении...........................24
1.5.1 Функция напряжений..................................24
1.5.2 Постановка задачи для функции напряжений .... 24
1.5.3 Крутка и жесткость при кручении. Выражение через функцию напряжений ....................................26
1.5.4 Оценка снизу для жесткости при кручении ............27
1.6 Функция кручения (деиланация) ............................30
1.6.1 Выражение для перемещений при кручении..............30
1.6.2 Постановка задачи для функции кручения..............32
1.6.3 Крутка и жёсткость при кручении. Выражение через функцию кручения.......................................33
1.6.4 Формула связи между функцией напряжений и функ-
цией кручения и определение перемещений 110 функции напряжений......................................33
1.7 Примеры решения известных задач о кручении изотропных сгержней...................................................35
1.7.1 Кручение круглого стержня неоднородного по радиусу .....................................................35
1.7.2 Кручение бесконечного слоя неоднородного но толщине .....................................................38
1.7.3 Кручение однородного стержня прямоугольного сечения.....................................................40
2 Осреднение задачи для функции напряжений 43
2.1 Сопутствующая задача......................................43
2.2 Интегральное представление решения исходной задачи через решение сопутствующей задачи..............................44
2.2.1 Функция Грина при крушении.........................44
2.2.2 Интегральная формула...............................44
2.3 Представление решения в виде ряда по производным от
решения сопутствующей задачи..............................46
2.4 Рекуррентные задачи для коэффициентов ряда................48
2.4.1 Случай неоднородного по толщине анизотропного
слоя................................................48
2.4.2 Случай изотропного и неоднородного но толщине слоя 51
2.4.3 Случай однородного слоя............................52
2.5 Обобщенное уравнение для функции напряжений...............56
2.5.1 Интегральная формула для решения обобщенного
уравнения...........................................56
3 Эффективные характеристики при кручении 58
3.1 Математическое определение эффективных коэффициентов в обобщенной задаче.......................................58
3.1.1 Эффективные коэффициенты, полученные из первой специальной краевой задачи............................58
3.1.2 Эффективные коэффициенты, полученные из второй специальной краевой задачи............................59
3.1.3 Замечания по поводу' двух типов эффективных коэффициентов ..............................................60
3.2 Постановка задачи об определении эффективных податливостей . ....................................................61
3.2.1 Интегральная формула для эффективных податливостей при кручении ......................................61
3.2.2 Постановка новой краевой задачи для вычисления
эффективных податливостей...........................62
3.2.3 Симметрия и положительная определенность эффективных податливостей...................................62
3.2.4 Интегральная формула для эффективных модулой
сдвига при кручении ................................63
2
3.2.5 Постановка новой красной задачи для вычисления
эффективных модулей сдвига..........................64
3.2.6 Симметрия и положительная определенность эффективных модулей сдвига...................................64
3.2.7 Ещё одна форма краевой задачи для вычисления
эффективных модулей сдвига..........................65
3.3 Случай неоднородного по толщине слоя......................68
3.4 Нулевое приближение в теории кручения неоднородных
стержней................................................. 70
3.4.1 О нулевом приближении в механике композитов . . 70
3.4.2 Нулевое приближение при кручении................... 71
4 Применение метода конечных элементов для расчета ЛГ-функций и эффективных податливостей 73
4.1 Описание методики.........................................73
*1.2 Случай длинной полосы с тремя чередующимися слоями . 77
4.3 Случай круглого сечения...................................79
4.4 Случай квадратного сечения с одним квадратным включением ..........................................................81
4.5 Случай квадратною сечения с одним квадратным включением с периодическими граничными условиями.....................84
4.6 Случай квадратного сечения с девятью квадратными включениями .......................................................86
4.7 Случай квадратного сечения с 25 квадратными включениями 88
4.8 Выводы к четвёртой главе..................................90
4.8.1 Точность результатов...............................90
4.8.2 Краевой эффект для ЛГ-функций.................... 90
4.8.3 Взаимная обратность эффективных податливостей . 91
4.8.4 Совпадение эффективных характеристик, вычислен-
ных на ячейке с нулевыми граничными условиями, с характеристиками, вычисленными на ячейке с периодическими граничными условиями...................91
4.8.5 Независимость формы включений для вычислений
эффективных податливостей...........................92
Заключение 93
А Комплекс прикладного программного обеспечения 95
А.1 ргергос: построение областей и задание свойств материалов 96
А. 1.1 Основные понятия...................................96
А .1.2 Обзор плоскости................................... 97
3
А. 1.3 Задание точек......................................97
А. 1.4 Задание отрезков ................................. 97
Л. 1.5 Необходимые условия при задании областей...........98
А. 1.6 Задание меток материалов...........................98
А. 1.7 Задание тензора О..................................99
А. 1.8 Сохранение и восстановление областей...............99
А. 1.9 Пакетная вставка..................................100
А.2 Построение триангуляции..................................100
А.З Визуализация триангуляции................................100
Л.4 Решение задачи методом конечных элементов................101
А.5 Просмотр результатов.....................................102
А.5.1 Отображение сечений ЛГ-функций по і) и і2.........102
А.5.2 Построение линий уровня функций...................104
А.5.3 Построение поверхностей А-функций.................105
В Технические характеристики 107
Список литературы. 108
4
Список иллюстраций
1.1 Призматический стержень длины L...................... 10
1.2 а) стержень неоднородный по длине, б) стержень неоднородный в поперечном сечении............................... 17
1.3 Нормаль и касательная к боковой поверхности..........25
1.4 Стержень круглого сечения ................................35
1.5 Неоднородный по х2 слой..............................38
1.6 Стержень прямоугольного сечения......................40
2.1 Графики N-функций ........................................54
3.1 Ячейка периодичности П...............................71
4.1 Произвольная область................................. 73
4.2 Некоторая триангуляция произвольной области..........71
4.3 Рассматриваемый отдельный элемент в МКЭ..............74
4.4 Длинная полоса.......................................77
4.5 Функция ЛГо, эффективные податливости D22} функции ф
и (7із для случая длинной полосы......................78
4.6 Случай поперечного круглого сечения..................79
4.7 Функция iVi, ф, а для круглого поперечного сечения ... 80
4.8 Квадратное сечение с одним квадратным включением ... 81
4.9 Функция 'ф, а для квадратного поперечного сечения с одним квадратным включением................................82
4.10 Зависимость эффективных податливостей от объемной доли v.......................................................83
4.11 Функция iVi и эффективные податливости для квадратного поперечного сечения с одним квадратным включением
с периодическими граничными условиями.................85
4.12 Квадратное сечение с девятью квадратными включениями 86
4.13 Функция Ni, ф, гг для квадратного поперечного сечения с девятью квадратными включениями............................87
4.14 Квадратное сечение с 25 квадратными включениями .... 88
5
4.15 Функция Ni, ф, а для квадратного поперечного сечения с
25 квадратными включениями.............................89
4.16 Нулевое^ приближение ф: численное (синий график) и аналитическое (красный график)................................90
4.17 Разница между численным и аналитическим нулевым приближением ф................................................90
А.1 Вид окна программы ргергос............................96
А.2 Результат работы программ, a) mesh2eps, б) dmesh2cps. . . 101
А.З Пример результата работы программы emesh2eps.........102
А.4 Программа postproc: проверка ориентации границы .... 103
Л.5 Программа postproc: отображение сечений Л7-функций . . 104
А.6 Результат работы программы gmesh2eps с различными па-раметрами a) -noshade, б) -bw. в) -bw -discrete г) без параметров .......................................................105
А.7 Программа Surf: отображение поверхностей Л7-функций . . 106
\
6
Введение
Краткий обзор литературы
Среди многочисленных технических задач при конструировании машин и проектировании инженерных сооружений важное место занимают расчеты их элементов на прочность. Высокие темпы разработки и внедрения новых конструкционных материалов приводят к необходимости учета неоднородности механических свойств. Это подтверждается выходом большого количества книг, монографий и научных статей.
Общая теория кручения неоднородного анизотропного стержни с упругими характеристиками, являющимися непрерывными функциями координат была разви та в работах Чао Вей-Юаня [73), Лехницкого С.Г. [34|, Ломакина В.А. [38) и в ряде работ других авторов. Большое количество работ по кручению неоднородных стержней собрано в двух библиографических указателях, опубликованных Колчиным Г.Б. и Фавермапом Э.А. [29, 30), в которых систематизировано 2611 работ советских и иностранных авторов, вышедших только до 1973 г..
Систематическое изложение теории упругости тел с непрерывной неоднородностью, в частности, обобщение задачи Сен-Вснана на случай неоднородных брусьев, дано в книге Ломакина В.А. [38|.
Наиболее общий подход к проблеме Сен-Венона при трехмерной неоднородности без применения полуобратного метода Сен-Веиана основан на использовании шести функций Бсльтрами, через которые выражаются все компоненты напряжений [78|. Уравнения равновесия при этом удовлетворяются, а шесть уравнений совместности являются определяющими для шести неизвестных функций. В работе [78] показано также, что в случае трансверсальной неоднородности (модули упругости — функции координат поперечного сечеттия) напряженное состояние имеет трехмерный характер, а для удовлетворения уравнениям совместности и граничным условиям достаточно введения двух неизвестных функций.
Постановка задачи Сен-Венапа для анизотропного (и более подробно для ортотропного) бруса в случае трансверсальной неоднородности
7
дана Лехницким С.Г. [34, 35]. Им использован иолуобратный метод Сен-Веннна, в котором искомые компоненты тензора напряжений считаются функциями координат поперечного сечения. Задача сведена к решению краевых задач относительно двух функций напряжений, причем определяющим для каждой из них является уравнение в частных производных эллиптического типа с переменными коэффициентами второго и четвертого порядка.
Из вышеуказанных работ следует, что в случае изотропного бруса при переменном но сечению модуле сдвига G — G(x, у) и постоянном коэффициенте Пуассона и — const как задача о кручении, гак и об изгибе бруса сводится к решению краевой задачи для уравнения в частных производных второго порядка относительно одной неизвестной функции. В задаче о кручении эта функция может быть введена двумя способами. В первом случае она носит название функции напряжений ф(х^у) и вводится таким образом, чтобы тождественно удовлетворить уравнениям равновесия. Уравнения совместности и граничное условие на контуре приводят к задаче Дирихле относительно ф(х,у). Во втором случае вводится функция кручения у?(.т,?/), которая удовлетворяет уравнению совместности, а уравнение равновесия и граничное условие дают задачу Неймана для функции кручения. Обе постановки подробно изложены, например, в работах [34, 38, 74|.
Построению общего теоретического решения указанных краевых задач в случае изотропного бруса, сечение которого — многосвязная область с видом неоднородности G = G(x,y):v = const посвящены работы Раду [76, 77]. В указанных рабопгх исходная задача при помощи теории обобщенных аналитических функций Векуа [15] сводится к обобщенной задаче Римаиа-Гильберта, которая в свою очередь приводится к сингулярному интегральному уравнению относительно одной неизвестной функции действительного аргумента, чем в конечном счете доказывается существование и единственность решения задачи Сен-Венана для неоднородного бруса с многосвязным поперечным сечением.
Решения задач изгиба и кручения ортотропных брусьев прямоугольного сечения, когда модули сдвига принимаются в виде степенных или экспоненциальных функций одной из координат, приведены в работах Колчина Г.В. [28] и Лехннцкого С.Г. [34, 35]. В работе Колчина также приводится точное решение задачи о кручении круглого сплошного бруса при произвольной зависимости модуля сдвига от радиуса сечения; аналогичная задача для анизотропного бруса исследована в работах Лех-ницкого С.Г. [32, 33|.
Точное решение может быть иногда построено обратным методом, являющимся специфическим для теории упругости неоднородных тел.
8
- Киев+380960830922