Математические модели деформирования и разрушения в условиях ползучести

Содержание
Введение...................................................... 8
1. Механика разрушения. Основные представления и результаты 8
2. Напряженно-деформирован нос состояние в малой окрестно-
сти вершины трещины. Концепция маломасштабного пластического течения...................................... 16
3. Континуальная механика повреждснности .................... 26
4. Связанная постановка задачи (в связке ползучесть - повре-жденность).....................:............................ 31
I. Краевые задачи о трещине в среде с поврежденностью в
связанной постановке 37
1. Автомодельное решение задачи о трещине антиплоского сдви-
га в условиях ползучести в среде с поврежденностью в связанной постановке....................................... 37
1.1 Характерные особенности краевых задач механики трещин в связанной постановке . •.......................... 38
1.2 Автомодельная переменная в задаче о трещине в среде с поврежденностью.................................... 44
1.3 Постановка связанной задачи антиплоского сдвига про-
странства с полубесконечной трещиной в автомодельных переменных ................................... 47
1.4 Метод разложения по собственным функциям для больших расстояний от кончика трещины....................... 49
1.5 Высшие приближения в асимптотических разложениях механических полей у вершины трещины................. 64
1.6 Конечно-разностные уравнения задачи о трещине антиплоского сдвига. Численный эксперимент................ 69
2
1.7 Результаты вычислений. Сравнительный анализ геометрии областей полностью поврежденного материала. 76
2. Автомодельное решение задачи о трещине нормального отрыва в связанной постановке (в связке ползучесть - повре-
жденность)................................................. 83
2.1 Основные уравнения связанной задачи о трещине отрыва ..................................................... 86
2.2 Промежуточное автомодельное решение.................. 88
2.3 Асимптотическое решение задачи. Плоское деформированное состояние........................................ 90
2.4 Асимптотическое решение задачи. Плоское напряженное состояние........................................... 106
3. Автомодельное решение задачи о трещине поперечного сдвига 120
3.1 Плоское напряженное состояние. Результаты числен-
ного анализа. Конфигурация области полностью поврежденного материала...............................120
3.2 Автомодельное решение задачи о трещине поперечного сдвига. Плоское деформированное состояние .... 122
3.3 Оценка скорости роста области полностью поврежденного материала.............................................127
4. Асимптотика дальнего поля напряжений в задаче о росте
трещины в условиях ползучести в среде с поврежденностью 129
4.1 Постановка задачи о растущей трещине в среде с по-
врежденностыо.......................................129
4.2 Установившийся рост трещины. Асимптотическое решение задачи...............................................132
4.3 Геометрия области полностью поврежденного материала .....................................................134
3
II. Нелинейные задачи на собственные значения в механике трещин 138
1. Собственные значения в задаче о неподвижной трещине аи-типлоского сдвига, остром вырезе и жестком включении в материале со степенным законом.................................138
1.1 О спектре собственных значений в задачах о трещинах 138
1.2 Сведение анализа напряженного состояния к нелинейной задаче на собственные значения.....................142
1.3 Собственные значения................................150
1.4 Условие разрешимости................................153
1.5 Приложение условия разрешимости к задаче о трещине .....................................................157
1.6 Приложение условия разрешимости к задаче о выточке 159
2. Нелинейная задача на собственные значения, следующая из проблемы определения полей напряжений и деформаций у вершины трещины нормального отрыва..............................162
2.1 Постановка задачи о трещине нормального отрыва в условиях плоского деформированного состояния . . . 162
2.2 Собственные значения................................164
2.3 Условие разрешимости................................166
2.4 Приложение условия разрешимости к задаче о трещине нормального отрыва...................................169
3. Анализ собственных значений в задаче о трещине поперечного сдвига в материале со степенным определяющим законом 174
3.1 Сведение задачи о трещине поперечного сдвига к нелинейной задаче на собственные значения.....................174
3.2 Асимптотическое представление собственных значений 176
3.3 Условие разрешимости................................179
4
3.4 Аппроксимации Паде ...................................182
3.5 Применение аппроксимаций Паде к исследуемой проблеме ....................................................184
4. Исследование спектра собственных значений в задаче о трещине поперечного сдвига в условиях плоского напряженного
состояния.................................................186
4.1 Постановка задачи о трещине поперечного сдвига в
условиях плоского напряженного состояния............186
4.2 Метод возмущений....................................188
4.3 Приложение условия разрешимости к исследуемой проблеме о трещине поперечного сдвига........................191
5. Поле напряжений у У-образного выреза в материале со степенными определяющими уравнениями..............................199
5.1 Метод дискретизации.................................199
5.2 Применение метода дискретизации к задаче Хатчинсона - Райса - Розенгрена.................................207
5.3 Метод дискретизации для нахождения других собственных значений.........................................208
III. Влияние скоростей упругих деформаций на докритиче-
ский рост трещины в упругом нелинейно-вязком теле 233
1. Постановка задачи. Трещина антиплоского сдвига.............218
1.1 Метод разложения по собственным функциям. Асимптотический анализ поля скоростей деформаций . . . 220
1.2 Асимптотический анализ "дальнего" ноля напряжений226
1.3 Оценка скорости роста трещины.......................227
2. Трещина нормального отрыва ................................228
3. Область процесса накопления повреждений....................231
5
IV. Краевые задачи о трещине в среде с дробно-линейным
законом теории установившейся ползучести 235
1. О дробно-линейном законе ползучести........................235
2. Анализ напряжений и скоростей деформаций у вершины трещины нормального отрыва в материале с дробно-линейным определяющим законом..........................................241
2.1 Поля напряжений и скоростей деформаций у верши-
ны трещины нормального отрыва в условиях плоского деформированного состояния.....................242
2.2 Асимптотическое решение задачи ....................244
3. Полубесконечная трещина нормального отрыва в условиях плоского напряженного состояния...............................256
3.1 Основные соотношения теории ползучести для плоского напряженного состояния..............................256
3.2 Напряжения в окрестности вершины трещины в усло-
виях плоского напряженного состояния в материале с дробно-линейным законом установившейся ползучести 257
3.3 Поле скоростей деформаций ползучести...............261
3.4 Непрерывное поле напряжений в окрестности верши-
ны трещины в условия плоского напряженного состояния .............................................264
4. Напряжения и скорости деформаций у вершины трещиньI поперечного сдвига в материале с дробно-линейным законом ползучести. Плоское деформированное состояние ................269
4.1 Основные уравнения задачи..........................269
4.2 Метод разложения по собственным функциям .... 271
5. Механические ноля у вершины трещины поперечного сдвига
в условиях плоского напряженного состояния...............281
6
5.1 Математическая постановка задачи.....................281
5.2 Асимптотический анализ...............................283
5.3 Асимптотическое представление поля скоростей деформаций ползучести в окрестности вершины трещины 290
6. Смешанное нагружение (отрыв и поперечный сдвиг) элемента конструкции с трещиной в материале с дробно-линейным
законом ползучести ........................................298
6.1 Параметр смешанности нагружения......................299
6.2 Постановка задачи о смешанном нагружении (нор-
мальный отрыв и поперечный сдвиг) элемента конструкции с трещиной в условиях плоского деформированного состояния.................................299
6.3 Асимптотическое решение..............................301
6.4 Поле скоростей деформаций ползучести ...............309
6.5 Сращивание ближнего и дальнего полей напряжений
с помощью инвариантного интеграла ..................312
7. Смешанное нагружение трещины (нормальный отрыв и поперечный сдвиг) в условиях плоского напряженного состояния317
7.1 Постановка задачи о смешанном нагружении (нор-
мальный отрыв и поперечный сдвиг) трещины в условиях плоского напряженного состояния...............317
7.2 Асимптотический анализ...............................319
7.3 Анализ поля скоростей деформаций ползучести у вершины трещины..............................................326
Основные результаты и выводы 332
Список литературы 336
7
Введение
1. Механика разрушения. Основные представления и результаты
Разрушение, происходящее путем распространения трещин, характерно как для хрупких сред, например, для горных пород, так и для современных конструкционных материалов. В качестве конструкционных материалов используются материалы, образцы из которых разрушаются при значительных общих пластических деформациях и деформациях ползучести. Стремление выяснить причины разрушения конструкций путем распространения трещины задолго до исчерпания несущей способности, стремление определить связь между свойствами сплошного материала и его сопротивляемостью зарождению и развитию трещин, усовершенствовать на этой основе способы разработки и испытания материалов и конструкций привело к становлению и быстрому развитию сравнительно нового направления в механике и в физике прочности - механики разрушения.
Основополагающей работой, давшей толчок развитию механики разрушения, стала работа английского ученого А. Гриффитса [319].1 Однако интенсивное развитие этой области знания, обусловленное потребностями инженерной практики, началось с пятидесятых годов прошлого века. Исследования, проведенные в тот период времени и в последующие два десятилетия, стали фундаментальными в теории разрушения. Это исследования Г.И. Баренблатта |24, 25, 26, 27], Е.М. Морозова 1130, 131, 132, 133], М.Л. Вильямса [445, 446], Дж. Р. Ирвина [335, 336, 337, 338, 339[, Е.О. Орована [382], Д. Дагдейла [299). Первыми фундаментальными работами в этой области стали монографии В.З. Партона и Е.М.Морозова [163, 164|, Л.М. Качанова [91], Г.П. Черепанова [242] и семитомная энциклопедия по
1 Полный текст этой статьи приведен и книге [168].
разрушению под редакцией Г. Либовица [181].
Большое влияние на дальнейшее развитие механики разрушения и, в частности, механики трещин оказали исследования Е.М. Морозова и Я.Б. Фридмана, Г.П. Черепанова, М.Я. Леонова, В.В. Панасюка, Б.В. Кострова, Л.В. Никитина и Л.М. Флитмана, A.A. Вакуленко, П.М. Вит-вицкого. В.М. Битова, В.В. Новожилова, Ю.Н. Работнова, Р.Л. Салганика, Л.И. Слепяна, С.Я. Яремы, Дж. Гудьера, Ф. Макклинтока, Дж. Ноулса, Г1.Париса, Дж. Райса, Дж. Розенгрена, Г. Си, И. Стернберга, Дж. Хатчинсона, Ф. Эрдогана.
В настоящее время механика разрушения является самостоятельным и интенсивно развивающимся разделом механики твердого деформируемого тела. Сформулированы основные положения механики хрупкого разрушения, критерии распространения трещин, корректно поставлены математические задачи и тщательно разработан аппарат их решения [4, 91, 137, 141, 164, 165, 166].
Различным аспектам механики разрушения посвящены исследования В.Д. Аннина, В.И. Астафьева, В.В. Болотина, Р.В. Гольдштейна, A.C. Кравчука, В.II. Кукуджанова, Е.В. Ломакина, В.М. Мирсалимова, А.Б. Мовчана, II.Ф. Морозова, С.А. Назарова, Г.П. Никишкова, 10.В. Петрова, Ю.Н. Бадаева, К.Ф. Черныха, Е.И. Шифрина.
Среди зарубежных авторов следует упомянуть H.D. Bui, Z.P. Bazant, J. Betten, K.В. Broberg, J.L. Chaboche, H. Gao, D. Gross, P. Ladeveze, J.B. Leblond. Л. Lemaitre, G.A. Maugin, S. Murakami, A. Needleman, S. Nemat-Nasser, Q.S. Nguyen, F. Nilsson, J. Pan, H. Riedel. C.F. Shih, V. Tvergaard.
Сейчас внимание исследователей обращено на развитие математического аппарата линейной механики разрушения (например, привлечение теории обратных задач [50, 51, 52, 53, 283, 317] к проблеме идентификации дефектов в твердых телах, использование граничных псевдодиф-
9
ференциальных уравнений при решении пространственных задач линейной механики разрушения [251], применение подходов, развитых в теории асимптотических методов [360], развитие метода граничных интегральных представлений [231]). расширение использования в механике разрушения метода конечных элементов [135, 136, 252], вычисление энергетических интегралов [366], новые подходы к описанию динамического разрушения твердых тел с использованием понятия инкубационного времени разрушения [169, 369, 385], и, главным образом, проблемы нелинейной механики разрушения [17, 19, 57, 58. 67, 106, 109, 110, 125, 126, 406]. Остановимся на концепциях, подходах и методах решения задач нелинейной механики разрушения, примыкающих и смежных к ней задач, рассматриваемых и развитых в последнее время, более подробно.
В настоящее время особый интерес вызывают проблемы деформирования и разрушения наноматериалов и нанотехнологии [67, 107, 167, 171, 406]. В докладе Р.В. Гольдштейна и Н.Ф. Морозова [67], сделанном на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.), посвященном обзору результатов в области моделирования, методов расчета и экспериментального исследования механического поведенИ51 (деформирования и разрушения) наномасштабных объектов и материалов, содержащих наночастицы, показана перспективность применения подходов механики деформируемого твердого тела и механики прочности и разрушения для моделирования и оптимизации функциональных характеристик нанообъектов и наноматериалов.
Перельмутером М.Н. [167] предложены расчетные модели деформирования и разрушения нанокомиозитов, связанные с описанием зоны процесса разрушения вблизи вершины трещины в структурно-неоднородных материалах при наличии областей с нарушенной структурой, воздействии физических полей и агрессивных сред. Предполагается, что зона процес-
10
са разрушения представляет собой слой конечной длины, примыкающий к трещине и содержащий материал с частично нарушенными связями между его отдельными структурными элементами. Концевая область рассматривается как часть трещины, а наличие связей между берегами трещины моделируется приложением к поверхностям трещины в концевой области сил сцепления, вызванных присутствием связей. Проведен анализ предельного равновесия и роста трещины в рамках модели концевой области: установлена зависимость сил сцепления от раскрытия трещины, определено напряженное состояние вблизи трещины с учетом внешних нагрузок и сил сцепления, рассмотрено предельное равновесие трещины на основе критерия разрушения. Анализ предельного равновесия трещины с концевой областью выполняется на основе двухпараметрического критерия разрушения с энергетическим условием развития трещины, учитывающим работу по деформированию связей в концевой области трещины.
Задачи идентификации в механике нанокомпозитов рассматриваются Б.Е. Победрей [107, 171]: исследуются композиты, обладающие компонентами с наноструктурой, имеющими линейные размеры на порядки меньше, чем у других компонентов. Найдены эффективные характеристики таких композитов. Считается, что определяющие соотношения каждого компонента композита и его структура известны. Отмечается 1171], что экспериментально найти все материальные функции для компонентов с наноструктурой очень сложно, а иногда и невозможно. Развиты модели, позволяющие построить эти материальные функции по известным эффективным характеристикам всего композита и характеристикам компонентов с наноструктурой.
В [109, 110] рассмотрены модели развития дефекта в упругих и вязкоупругих телах при конечных деформациях. Под термином дефект понимается полость (трещина ненулевого раскрытия) или включение, суще-
11
ствующее в ненагруженном теле, образованное или возникшее в теле при нагружении. При построении моделей вводилось понятие зоны предраз-рушения. Зона предразрушения - это часть тела, где под воздействием нагрузок, приложенных к телу, происходит изменение свойств материала. Левиным В.А.. Морозовым Е.М. и Матвиенко Ю.Г. [109, 110] предложены нелокальные критерии, учитывающие, что разрушение, а значит и изменение свойств зоны предразрушения происходит не в точке или на отрезке и не мгновенно (для вязкоупругих материалов).
Кукуджановым В.Н. [103, 104,106] предложена модель континуального разрушения поликристаллических материалов и дано ее приложение к исследованию динамических процессов локализации пластических деформаций. Модель рассматривает пластическую деформацию и разрушение как единый процесс, вызываемый движением дислокаций, а на более поздней стадии - зарождением и развитием микродефектов. Полная система определяющих уравнений относительно макропараметров связывает тензоры активных и остаточных напряжений с тензорами скоростей вязкопластической деформации и повреждаемости. Для численного моделирования процессов разрушения предложен новый численно-аналитический метод расщепления решения вязкопластических уравнений с повреждаемостью [104]. Численные решения задач континуального разрушения (разрушение упругопластических пластин с круглыми и эллиптическими макропорами и жесткими включениями при растяжении с учетом влияния микродефектов типа микропор, дислокаций и микротрещин) были получены Н.Г. Бу-раго [47, 46), Н.Г. Бураго и В.Н. Кукуджановым [43, 44, 45].
Положения механики устойчивого закритического деформирования и разрушения поврежденных тел с зонами разупрочнения анализируются в [57, 58]. Вильдеманом В.Э. [57, 58] с помощью определящих уравнений моделируется ниспадающий участок диаграммы деформирования, отражаю-
12
щий явление деформационного разупрочнения на закритической стадии. В [57, 58] предложены постановки краевых задач, дающие возможность описать процессы возникновения и развития зон пластичности, областей разу! фочняющегося материала и зон разрушения. Для предлагаемых определяющих з'равнений получены новые аналитические решения краевых задач механики закритического деформиропания для стержневых систем и изотропных тел с осевой или центральной симметрией, а также численные решения физически нелинейных задач для элементов конструкций и сооружений, например, для объектов подземных горных выработок.
Ломакиным Е.В. [115, 116, 117, 118) предложены определяющие соотношения для описания нелинейно упругого и упругопластического деформирования класса сред с зависящими от вида напряженного состояния свойствами (что характерно для таких сред, как горные породы, бетоны, огнеупорные керамики, чугун, конструкционные графиты). В работах Е.В. Ломакина показано, что некоторые традиционные постановки краевых задач и соответствующие методы их решения для таких материалов не могут быть использованы. Это относится к задачам механики разрушения. Для преодоления указанных сложностей сформулированы новые постановки краевых задач и получены решения ряда задач, на основе которых установлено, что в условиях действия касательных напряжений величина объемной деформации вблизи отверстий и других концентраторов напряжений может быть сравнимой с величиной деформации сдвига. Зависимость деформационных свойств сред от вида напряженного состояния существенным образом влияет на характер распределения напряжений. При этом проявляется неоднородность распределения деформационных свойств в областях неравномерного напряженного состояния, и тип этой неоднородности может быть определен только в ходе решения задачи. На основе решения задач механики разрушения исследована зависимость ко-
13
эффициентов интенсивности напряжений от чувствительности деформационных свойств материалов к изменению вида нагружения. Обнаружено раскрытие трещины при действии касательных напряжений, предложен механизм объясняющий объемное расширение среды при действии сжимающих напряжений [115, 116, 117, 118].
Астафьевым В.И. и Ширяевой Л.К. [17] исследовано влияние воздействия водорода на снижение прочностных и пластических свойств металлов (водородное охрупчивание). Для моделирования процесса накопления повреждений в металлах в условиях водородного охрупчивания был применен подход Качанова - Работнова с привлечением скалярного параметра поврежденности, широко используемый при изучении высокотемпературной ползучести металлов. Предложены определяющие соотношения (кинетическое уравнение, описывающее эволюцию параметра поврежденно-сти, условие пластичности и критерий локального разрушения), которые допускают наличие стационарного режима без разрушения и приводят к критерию локального разрушения по максимально допустимой величине накопленных пластических деформаций. В [17] предложена математическая модель распространения трещин в упругопластической охрупчиваю-щейся среде с привлечением параметра поврежденности. Данная модель применена к решению задачи о росте иолубссконечной и конечной трещин в материале, охрупчивающемся под воздействием водородсодержащей среды.
В последнее время появились исследования, посвященные специальным разделам механики разрушения - физически и геометрически нелинейной механике трещин [245], механике динамического распространения трещин [139, 312], механике разрушения композиционных материалов [57], пространственным задачам механики разрушения [251], экспериментальным [2] и асимптотическим [360] методам механики разрушения, обрат-
14
ным задачам механики разрушения [283|, нелинейным задачам механики разрушения [109], моделям и критериям механики разрушения [126], вопросам вязкого разрушения [354], механике контактного разрушения [94], методу конечного элемента в механике разрушения [135, 136, 252], микромеханике разрушения [127], общим закономерностям разрушения твердых тел в различных условиях (циклическое нагружение, разрушение в условиях коррозионной среды и радиационного воздействия) [40]. Фундаментальные концепции и феноменологические основания механики разрушения, математический аппарат, например, теория аналитических функций, и основные результаты как линейной механики разрушения, так и механики упругопластического разрушения, разрушения в условиях ползучести излагаются в [320, 420].
Следует отметить, что такие специальные разделы механики разрушения, как механика разрушения композиционных материалов [57, 68, 195, 120, 244], физическая мезомеханика [127, 151, 419], механика разрушения горных пород [184, 227, 228, 229], выделись в самостоятельные области исследования и являются предметами растущего интереса и пристального внимания научного сообщества как в нашей стране, так и за рубежом. Со-колкиным Ю.В. и его коллегами [120] предложены нелинейные многоуровневые структурно-феноменологические модели в механике деформирования и разрушения композиционных материалов. В работах Ю.В. Соколки-на для различных линейных и нелинейных моделей композитов получены оценки влияния вклада микроструктуры в геометрические соотношения при конечных деформациях и предложена постановка связанных краевых задач микромеханики композитов, учитывающая стадию структурного накопления микроповреждений. Для описания структурного разрушения и прогнозирования прочностных свойств композитов в определяющие уравнения вводится новый материальный носитель [120] - функция поврежда-
15
емости четвертого ранга, зависящая от условий нагружения. Для замыкания уравнений краевой задачи привлекаются дополнительные уравнения, связывающие инварианты тензора структурных повреждений с инвариантами тензора структурных напряжений и деформаций. С помощью метода периодических составляющих построен новый функционал связанной стохастической краевой задачи, позволяющий наряду с прогнозированием эффективных упругих свойств также строить расчетные поверхности прочности реальных композиционных материалов. Показано, что с единых позиций возможно прогнозирование как упругих, так и прочностных свойств композиционных материалов.
2. Напряженно-деформированное состояние в малой окрестности вершины трещины. Концепция маломасштабного пластического течения
Теорию трещин можно условно разделить на две части [193, 194].
Задачей первой части является определение состояния материала вне некоторой малой окрестности края трещины (определение энергии, подводимой к трещине) в функции от внешних нагрузок, конфигурации тела и трещины, характера движения последней, взаимодействия с другими трещинами и так далее.
Задача второй части - определение состояния в малой окрестности края трещины на основе данных, получаемых в первой части (определение потребляемой энергии), в зависимости от свойств материала, характера движения трещины, определение влияния поглощенной энергии на свойства материала и его состояние; уточнение критерия разрушения и разработка методов определения-входящих в него величин.
Первая часть относится преимущественно к теории упругости (для тел,
16
упругих при малых деформациях), довольно хорошо разработана и имеет обширную литературу [19, 75, 91, 137, 103, 164, 168, 186, 242, 276, 421].
Вторая часть - собственно механика трещин, составляет основную проблему теории. Разработка ее еще далеко не завершена [19, 226, 278, 283].
Может быть показано [19, 91, 160, 170, 242], что в самом общем случае нагружения для компонент тензора напряжений в малой окрестности вершины трещины в линейно упругом материале справедливо представление
ачМ) = ~= £ кЛ;\в) + 0(1), г - о
• ^' = 1,2,3, а = 1,11,1 и.
Формулы (2.1) выражают сингулярное поведение напряжений на фронте трещины. При г —> 0 из пих следует, что при любой сколь угодно малой нагрузке, которая входит в коэффициенты интенсивности напряжений Кп, являющиеся ограниченными величинами, на фронте трещины возникают бесконечно большие напряжения. Поскольку прочность всех реальных материалов конечна, то такие напряжения неминуемо должны вызвать разрушение тела. Это, однако противоречит нашему повседневному опыту - для разрушения тела с трещиной требуется приложить определенное усилие, часто довольно значительное. Отмеченная сингулярность является следствием идеализации, заложенной в математическую модель линейной механики разрушения. Материал предполагается линейно упругим при всех уровнях напряжений (физическая линеаризация), деформации считаются малыми (геометрическая линеаризация), не учитывается дискретность структурного строения материала, поскольку рассмотрение проводится в рамках механики сплошной среды. По указанным причинам модель линейной механики разрушения при г —> 0 "не работает".
Для металлов и их сплавов отклонения от расчетной схемы обусловлены главным образом физической нелинейностью - необратимыми деформациями в окрестности вершины трещины, например, пластическим
17
течением материала или развивающимися во времени деформациями ползучести. Согласно условию текучести Мизеса (77, 78, 81, 196] в состоянии текучести интенсивность девиатора напряжений постоянна т = /с, где к -предел текучести на сдвиг. Вследствие пластического течения напряжения перед вершиной трещиной снижаются до значений, определяемых пределом текучести материала .
Будем теперь считать материал упругопластическим и рассмотрим острый вырез или трещину. На расстояниях от конца выреза, больших но сравнению с малой пластической зоной или радиусом выреза, но все еще малых по сравнению с характерными размерами, например, длиной выреза, напряжения определяются сингулярными членами решения задачи линейной теории упругости. Тогда истинную конфигурацию можно заменить бесконечным телом с полу бесконечным разрезом, а истинные граничные условия можно заменить требованием асимптотического сближения с сингулярным распределением напряжений, даваемым теорией упругости
Такое решение с локализованной пластической зоной около конца трещины является математически строгим лишь в предельном случае исчезающе малой пластической зоны. Однако решения с локализованным пластическим течением оказались весьма близкими к имеющимся точным решениям вплоть до значительных нагрузок (в типичных случаях - до половины нагрузки, отвечающей развитому пластическому течению) [396].
В приближенной постановке можно оценить форму и размеры области пластического течения. Точные аналитические решения задач о трещинах нормального отрыва и поперечного сдвига в упругопластической постановке встречают значительные трудности и в настоящее время отсутствуют.
(181, 182, 395, 396] (рис. 1). Иначе говоря,
(2.2)
и = 1,2,3, а = 1,11,111.
_ ОС
22 22
% (г^)=Л'(2тгг)1/^/и(0) г-оо
Л *
Рис. 1. Л - локализованное пластическое течение вблизи узкого выреза или трещины; /.* - истинная конфигурация заменена лолубесконечным вырезом в бесконечном теле, истинные граничные условия замены требованием асимптотического стремления к распределению напряжений вблизи конца трещины в линейной задаче теории упругости
19
Аналитическое решение задачи в упругопластической постановке получено лишь для трещины антиплоского сдвига [182, 395, 396). Воспользуемся критерием пластичности Мизеса, который в главных осях имеет вид
(<7L — СГ2)2 4" (<72 - <7з)2 + (<73 — <71 )2 = 2<72, (2.3)
где <7а - предел текучести материала при растяжении. Так для антиплоской деформации условие пластичности Треска и условие пластичности Мизеса приводят к одному и тому же требованию т23 4- т|;5 = А:2, где к - предел текучести материала при сдвиге (к = <т*/\/3). Подставляя выражения для компонент тензора напряжений в упругой области
К и/ . О К ш о ( л
Т13 =-----== Sin 723 = -7== cos - (2.4)
V27T г * х/2тгг ^
в условие пластического течения т23 4- т|3 = /с2, получаем выражение для границы зоны пластического течения в полярных координатах г,,(0) = К}„/(2пк2).
Для трещины нормального отрыва главный член асимптотического разложения решения линейной теории упругости задается равенствами
1<1 0 / . О . 30\ Kf 0 ( . О . 30\
"U=7§^C0S2 l1““*” 2\) ’ ^=^cos2 у ш2s,n"2^/
Kj . о о го , . v2-5'
°Т2 = sin - cos - cos у, <j;i3 = // (а.хх 4- сгт,).
После подстановки формул (2.5) в условие пластического течения (2.3) для условий плоской деформации и плоского напряженного состояния можно получить форму пластических зон. Для трещины нормального отрыва в условиях плоского деформированного состояния условие пластического течения имеет вид
0/4) [(<7ц — <722)2 4- 4<т22] = к2. (2.6)
В случае задачи о трещине нормального отрыва в условиях плоского на-
20
Рис. 2. Границы пластических зон у вершины трещины нормального отрыва. Приближенный анализ по критерию Мизеса (и = 1/2): 1 - плоское деформированное состояние, 2 - плоское напряженное состояние
пряженного состояния условие текучести Мизеса принимает форму
°П + °22 - <*11^22 + 3<т?2 = ЗА:2, (2.7)
где к - предел текучести при чистом сдвиге. Зависимость размера пластической зоны гр(0) от полярного угла для плоского деформированного и напряженного состояний соответственно имеет вид
гР(0) = К'
4тгег2
^ 8Іп'2 0 4- (1 - 2^)'2(1 4- сов О') £
У2
Гр(0) = 4^? (І 8Іп2 6 + С°8 ° + 0 '
(2.8)
Границы областей пластического течения у вершин трещин нормального отрыва и поперечного сдвига в условиях плоского деформированного и плоского напряженного состояний показаны на рис. 2, 3.
Для уточнения границы области пластического течения можно вос-
21
Рис. 3. Границы пластических зон у вершины трещины поперечного сдвига. Приближенный анализ но критерию Мизеса (і/ = 1/2): 1 - плоское деформированное состояние, 2 - плоское напряженное состояние
пользоваться точным решением задачи линейной теории упругости, полученным методами теории функции комплексного переменного, а не только главным членом его асимптотического разложения в окрестности вершины трещины. Если теперь в критерий пластического течения Мизеса подставить компоненты 'тензора напряжений из точного решения задачи об анти-плоском сдвиге упругого полупространства с угловым вырезом, то можно получить [255|
Л2 + 2Л соб 0 + 1 = а \/Л* + АЛ2+ 4№ соя 0. (2.9)
Граница области пластического течения, построенная на основе соотношения (2.9) для различных значений константы а — т^/к. показана на рис. 4.
Аналогичный способ приближенной оценки геометрии области пластического течения применим и для более сложных, с математической точки зрения, и более важных, с практической точки зрения, задач о трещинах нормального отрыва и поперечного сдвига. Упругопластическая граница, полученная в соответствии с точным решением линейной задачи о трещине нормального отрыва для различных значений постоянной а, изображена на рис. 5. Упругопластическая граница для трещины поперечного сдвига в
22
Рис. 4. Упругопластическая граница, построенная в соответствии с точным и приближенным решениями задачи для линейно упругого материала. Постоянная ос определяется соотношением ct = r^/ку где к - предел текучести материала
условиях плоского деформированного и плоского напряженного состояния представлена на рис. 6.
Следует отметить, что, несмотря на простоту рассматриваемого подхода. оценки границ области пластического течения для трещин нормального отрыва и поперечного сдвига, являются, по-видимому, единственными аналитическими оценками зон пластического течения, за исключением модели Леонова - Панасюка - Дагдейла [111, 299] и родственных ей моделей [15, 21, 22, 23, 63, 167, 178, 270, 271], в рамках которых зона пластического течения у вершины трещины отрыва в условиях плоского напряженного состояния аппроксимируется отрезком, примыкающим к вершине трещины и лежащим на продолжении трещины.
Пусть теперь деформации и напряжения вблизи вершины трещины связаны нелинейным соотношением е — }{о). Наиболее широкое распространение получила степенная аппроксимация г = Вап или для сложного
23
Рис. 5. Упругопластическая граница, построенная в соответствии с точным решением задачи о трещине нормального отрыва в условиях плоского деформированного и плоского напряженного состояния для линейно упругого материала. Цифры представляют собой отношение а- = О’оо/А', где к - предел текучести материала
Рис. 6. Упругопластическая граница, построенная в соответствии с точным решением задачи о трещине поперечного сдвига (плоское деформированное состояние и плоское напряженное состояние) для упругого материала. Цифры представляют собой отношение (х = <т00/к> где к - предел текучести материала при чистом сдвиге
24
напряженного состояния
£ц = 35<т"_1ву/2, в,, - а и - оьмбц/3. ае = (35^/2)|/2 . (2.10)
Очевидно, что выражение (2.10) можно трактовать в терминах либо нелинейной упругости, либо деформационной теории пластичности. В окрестности вершины разреза для компонент тензора напряжений и деформаций имеет место следующее асимптотическое представление [332. 333, 394]
\ !/(«+!)
/ / \ і
ГуМ)= (щ дат)^-(0) г^°!
/ т \ п/(п+1) ,
єіз(г, 0) = В (—)
(2.11)
где 7 - инвариантный интеграл, определяемый выражением2
,/ = I (\Vdx2 - т|^г) , (2.12)
£у
И7 = I ошпс1етп - упругий потенциал (плотность энергии деформаций), /Л о
- безразмерная функция показателя упрочнения п.
Представление полей напряжений и деформаций у вершины трещины (2.11) в нелинейной механике разрушения носит название распределения Хатчинсона - Райса - Розен грена (НГШ.) [332, 333, 394].
В теории установившейся ползучести одной из наиболее широко используемых аппроксимаций является степенная зависимость, связывающая скорости деформаций ползучести и напряжения [19, 175, 277, 401]:
£у = ^у/2, -5г? = ~ <ТС ~ • (2-13)
2./- интеграла эквивалентен коэффициенту интенсивности напряжений в квазихрупком приближе-
нии и по аналогии может рассматриваться как характеристика сингулярности локализованных полем
напряжений и деформаций в упругопластических телах с трещинами.
25
Для материала, следующего степенному закону (2.13), напряженно-деформированное состояние у вершины трещины представляется формулами, подобными выражениям (2.11):
\ 1/(п+1) -I
WJ г 0
/ Л1* \ »/(«+1) 1
£>,(г> 0) = В ущ-J гП/(п+ijV’ijW, где С* - инвариантный интеграл, определяемый выражением
ёу
С* = | (w*<te2 - T^rfr) , Ж*(еу) = J <jm„d£mn. (2.15)
О
Следует отметить, что напряжения и скорости деформации ползучести, определяемые равенствами (2.14), несмотря на сингулярный характер распределения у вершины трещины, нашли свое широкое применение в инженерной практике, например, в пакете ABACUS, реализующем метод конечного элемента при расчете напряженно-деформированного состояния в элементах конструкций [192, 362, 430, 460].
3. Континуальная механика поврежденности
В настоящее время разрушение (макроскопическое нарушение сплошности тела в результате воздействия на него внешнего окружения) рассматривается с учетом процессов скрытого разрушения. Исследование скрытого разрушения (зарождение и развитие микродефектов, рассеянных по объему тела) осуществляется с помощью методов и теорий механики поврежденности - нового динамично развивающегося раздела механики деформируемого твердого тела [19, 91, 106, 175, 179, 226, 245, 283, 284, 345, 351, 358, 359, 437].
Континуальная механика поврежденности исходит из того, что изменение со временем механических свойств материалов феноменологически
26
(2.14)
нередко можно интерпретировать как результат накопления повреждений, различных дефектов, микропор, трещин. Когда повреждения достигают опасного уровня, происходит разрушение. Трещинообразование начинается на самых ранних этапах деформации и связано с ростом имеющихся и возникновением новых суб- и микродефектов. В материале всегда имеется большое число различных дефектов, приводящих к высоким местным напряжениям. Повреждения можно разделить на рассеянные дефекты -малые по размерам и встречающиеся во множестве в единице объема, и крупные, магистральные трещины, появляющиеся обычно в финале процесса разрушения. Процесс накопления рассеянных повреждений можно описать путем введения некоторой априорной характеристики иоврежден-пости [91, 175, .345], которая чаще всего трактуется как сокращение упругого отклика тела вследствие сокращения эффективной площади составляющих его элементов, передающей внутренние усилия от одной части тела к другой его части, обусловленного, в свою очередь, появлением и развитием рассеянного поля микродефектов (микротрещины.- в упругости, дислокации - в пластичности, микропоры - при ползучести, поверхностные микротрещины - при усталости) [19], и может быть установлена сравнением следствий теории с экспериментальными данными.
Уменьшение прочности (свойства тела сопротивляться воздействиям со стороны внешнего окружения) твердых тел часто может быть объяснено скрытым разрушением и микродефектной структурой тела. Таким образом, поскольку повреждения тела существенно влияют на характер его разрушения, то становится очевидным, что и механика разрушения и механика поврежденности призваны решить главную прикладную задачу об оценке запаса прочности твердого тела [19].
В простейшем варианте поврежденность можно описать некоторым скаляром', структурным параметром 1 ^ ф ^ О (Л.М. Качанов |88]). В
27
начальном состоянии при отсутствии поврежденности ф = 1; с течением времени функция ф убывает. Функцию ф, по сути дела, можно интерпре-тировать как сплошность.
Ю.Н. Работнов [174] ввел функцию и > 0, равную нулю в начальном состоянии и единице в момент разрушения, которую можно принять за меру охрупчивания. Функцию и естественно назвать поврсжденностью3 (в отличие от сплошности ф)\ можно считать, что ф — 1 — си. Величина и может быть интерпретирована как относительная площадь поперечного сечения, занятая трещинами. Предполагается, что скорость изменения параметра зависит от напряжения и от и. Такое предположение позволяет считать и за один из структурных параметров. Простейшая гипотеза состоит в том, что щ есть степенная функция отношения (т/(1 — это отношение может быть истолковано как среднее напряжение на площади поперечного сечения, свободной от трещин [175, 177].
В конце 70-х годов прошлого века моделирование роста трещины основывалось на предположении, что рост трещины происходит в том случае, если некоторая мера поврежденности достигает своего критического значения на некотором расстоянии от вершины трещины. В |8, 352] при моделировании роста трещин использовался скалярный параметр поврежденности Качанова - Работиова. В [400] параметр поврежденности связывался с величиной пористости материала и предполагалось, что процесс накопления повреждений обусловлен совместным действием диффузионного и вязкого механизмов роста пор в условиях высокотемпературной ползучес'ги. В [295] в качестве меры поврежденности материала принималась величина интенсивности накопленных деформаций ползучести. Модель, описывающая рост трещины в условиях ползучести, в более общей постановке, была предложена в [11]. В рамках этой модели предполага-
3В русскоязычной литературе параметр поиреждснности, как правило, обозначается буквой и>, а в англоязычной - О.
28
лось, что величина критической поврежденности материала не является постоянной, зависит от уровня напряжений и убывает при возрастании интенсивности напряжений.
Геометрический подход [371] позволяет представить эффект возрастания внутренних напряжений в среде с повреждениями с помощью понятия эффективного напряжения. Суть этого подхода к математическому моделированию процессов накопления повреждений может быть достаточно явно продемонстрирована на примере простейшего одномерного состояния поврежденности одноосно растянутого образца [19, 142, 390). Рассмотрим цилиндрический образец, растягиваемый силой Р (рис. 7). Обозначим через 5 и Б* площади поперечных сечений образца в начальном неповрежденном и текущем поврежденном состояниях соответственно.
Согласно классической теории Качанова - Работнова текущее состояние внутренней поврежденности образца может быть представлено с помощью единственного скалярного параметра (параметра поврежденности) который представляет собой монотонно возрастающую функцию времени 0 ^ и ^ 1. Параметр поврежденности интерпретируется как относительное сокращение вследствие распределенных внутри образца микродефектов эффективной, несущей нагрузку площади поперечного сечения. Деградация материала объясняется как постепенное уменьшение эффективной площади, которая реально несет растягивающую нагрузку и определяет сопротивляемость образца растяжению. В силу такой интерпретации несущая нагрузку площадь оказывается равной не Бу а некоторому меньшему значению Б* и для параметра и имеет место следующее простое соотношение: и = (Б — Б*)/Б. Определенный таким образом параметр поврежденности представляет собой чисто геометрическую характеристику текущего состояния поврежденности и его изменение определяется свойствами материала и историей внешнего нагружения.
29
а’—а/(1—со) 5‘=(l-co)5
Рис. 7. Поврежденный и эквивалентный неповрежденный образец
Вызванное внутренним распределением повреждений сокращение площади. несущей растягивающую нагрузку, сразу же приводит к важнейшему представлению об эффекте возрастания внутренних напряжений в теле с распределенными поврежденностями. Действительно, наряду с напряжением о — Р/S, очевидно, следует рассмотреть эффективное напряжение <7* — P/S', которое в силу определения параметра поврежденности можно также представить в виде
о* —
(7
1 — со
Последняя формула выражает эффект повышения уровня напряжений в поврежденном материале, поскольку 0 ^ и < 1.
Таким образом, можно представить вместо исходного образца другой, воображаемый неповрежденный образец, площадь поперечного сечения которого равна £т* и который растягивастся той же самой силой Р. Механическое состояние подобного образца полностью эквивалентно текущему со-
30
стоянию поврежденного образца, а изменение геометрии полностью описывается параметром поврежденности и.
4. Связанная постановка задачи (в связке ползучесть —
В процессе ползучести поврежденность с течением времени возрастает. Изменение сплошности ф можно описать некоторым кинетическим уравнением
где Р зависит от ф и некоторых других переменных, существенных для рассматриваемого процесса. Процесс разрушения прежде всего зависит от уровня напряженного состояния. В [88] скорость уменьшения сплошности (или скорость роста поврежденности) определяется эффективным напряжением сг / ф :
где Л > 0, т ^ О - постоянные (Л - коэффициент, т - показатель трещи-нообразования).
В [174] в левой части кинетического уравнения фигурирует величина
ного результата это несущественно, меняется лишь некоторая константа, которая все равно подлежит определению из опыта.
Таким образом, система уравнений классической механики сплошной среды дополняется кинетическим уравнением, описывающим эволюцию введенного параметра - параметра сплошности или поврежденности. Необходимо отметить, что распределение сплошности (поврежденности) можно определить после решения задачи нахождения напряженно-деформированного состояния в теле путем интегрирования кинетического урав-
и>вй>, при этом показатель /? учитывает форму трещины. Для окончатель-
31
нения. Данный подход решения получил название "несвязанной постановки" задачи теории упругости, теории пластичности или теории ползучести с механикой поврежденности. В этом случае учитывается влияние напряженно-деформированного состояния на рост повреждений в теле [8, 9. 10, 352]. Однако в рамках данного подхода не удается описать взаимный процесс - процесс влияния ноля повреждений на эволюцию напряженно-деформированного состояния в теле. Для учета взаимного влияния изменения напряженно-деформированного состояния и поля повреждений используется так называемая "связанная постановка" задачи, когда скалярный параметр сплошности входит в определяющие соотношения рассматриваемой задачи [175, 367].
Теория связанных (унругость-поврежденность, пластичность-повреж-денность, ползучесть-повреждснность) задач активно развивается в настоящее время [103, 104, 106, 179, 226, 274, 372, 373, 458, 459]. Проблема моделирования роста трещин в связанной постановке представляет собой одну из важнейших задач механики деформируемого твердого тела и к настоящему времени предприняты попытки рассмотреть стационарную трещину и ее рост в связанной постановке [12, 14, 20, 209, 210, 211, 222, 233, 234, 281, 283, 343, 348, 355, 356, 226, 372, 373, 458, 459]. Характерные особенности, присущие двумерным задачам о стационарной и растущей полубесконеч-ных трещинах в бесконечном теле в связанной постановке (упругость — поврежденность, ползучесть — поврежденность), подробно описываются в первой главе настоящей диссертационной работы. Главным образом, связанность постановки задачи проявляется прежде всего в исчезновении или существенном ослаблении традиционной для механики разрушения сингулярности поля напряжений вблизи вершины трещины и наличии области процесса (области активного накопления повреждений, примыкающей к берегам трещины и (или) области полностью поврежденного материала).
32
В настоящей диссертационной работе рассматривается класс задач о неподвижной и растущей трещинах в условиях ползучести с учетом процесса накопления рассеянных повреждений в связанной постановке; приводятся решения краевых задач механики трещин для дробно-линейного закона теории установившейся ползучести, что позволит усовершенствовать существующие критерии распространения трещины, получить новые формулы для вычисления скорости ее роста и, следовательно, прийти к более точным оценкам прочности и долговечности элемента конструкции.
Цель исследования заключается в разработке математических моделей описания деформирования и разрушения элементов конструкций с дефектами в условиях ползучести с учетом процессов накопления рассеянных микроповреждений, оценке влияния рассеянной поврежденности на механические поля в окрестности вершины трещины на основе анализа связанных задач теории ползучести и поврежденности; решении статических задач о трещине в материале с дробно-линейным законом теории установившейся ползучести.
В первой главе с использованием автомодельного представления решения проведено асимптотическое исследование полей напряжений, скоростей деформаций ползучести и сплошности у вершины трещины в условиях ползучести в связанной (ползучесть - поврежденность) плоской постановке задачи. Дано математическое описание процесса накопления микроповреждений вблизи вершины макротрещины на основе введения области полностью поврежденного материала, внутри которой параметр сплошности достиг своего критического значения. Определена геометрия этой области для разных значений материальных параметров, входящих в определяющие соотношения степенного закона теории установившейся ползучести и кинетическое уравнение, постулирующее степенной закон накопления рассеянных повреждений.
33
В рамках гипотезы о маломасштабной поврежденности получено асимптотическое представление полей напряжений, скоростей деформаций ползучести и сплошности набольших расстояниях от вершины трещины (больших по сравнению с линейным размером области полностью поврежденного материала, но все еще малых по сравнению с длиной трещины).
На основании проведенного асимптотического анализа и полученного численного решения нелинейной задачи на собственные значения установлена новая асимптотика дальнего поля напряжений, определяющая геометрию этой области и приводящая к близким конфигурациям области полностью поврежденного материала, построенным с помощью двух-, трех-, четырех-, пяти- и шестичленного асимптотических разложений параметра сплошности.
Дана интерпретация полученного автомодельного решения как решения, описывающего промежуточно-асимптотическое поведение механических полей в той области, где эти решения перестают зависеть от деталей начальных и (или) граничных условий. Показано, что полученное автомодельное решение методом разложения по собственным функциям представляет собой промежуточную асимптотику при описании явления накопления рассеянных повреждений вблизи вершины трещины.
Во второй главе предложен способ определения всего спектра собственных значений нелинейных задач на собственные значения, следующих из проблем определения напряженно-деформированного состояния вблизи края трещины или острого выреза в материале со степенным определяющим уравнением, основанный на методе возмущений. Показано, что метод возмущений для задачи антиплоского сдвига позволяет найти аналитическую зависимость собственного значения от показателя нелинейности материала и собственного числа, соответствующего "невозмущепной" линейной задаче. В нелинейных задачах на собственные значения,
34
получаемых при применении метода разложения по собственным функциям компонент тензора напряжений у вершин трещин нормального отрыва и поперечного сдвига, получены приближенные оценки собственных значений. В диссертационной работе найден весь спектр собственных чисел, но не только собственное значение, соответствующее задаче Хатчинсона - Райса - Розенгрена. Предлагаемая методика дает эффективный способ отыскания собственных чисел рассматриваемых нелинейных задач на собственные значения.
Третья глава диссертационной работы посвящена вопросам докрити-ческого роста трещин в металлах при высокотемпературной ползучести. Моделирование основывается на математическом описании процесса накопления рассеянных повреждений у вершины растущей трещины с помощью параметра поврежденности, который инкорпорирован в определяющие соотношения материала. Новизна рассматриваемого подхода заключается в том, что в анализе напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины растущей трещины в поврежденной среде учитываются скорости упругих деформаций в связанной постановке (в комбинации "упругость - ползучесть - поврежденность"). Выполнено асимптотическое исследование вклада скоростей упругих деформаций в общее поле скоростей деформаций в окрестности вершины растущей трещины в поврежденной среде. Показано, что в связанной постановке задачи скорости деформаций ползучести в окрестности вершины трещины имеют более высокий порядок малости по сравнению со скоростями упругих деформаций, и, следовательно. последними вблизи вершины трещины пренебрегать нельзя.
В четвертой главе рассмотрен класс краевых задач о неподвижной трещине в условиях ползучести в материале с дробно-линейным законом теории установившейся ползучести. Получены приближенные решения задач о трещине, находящейся под одновременным действием нормальной
35
растягивающей нагрузки и поперечного сдвига, в материале, подчиняющемся дробно-линейному закону ползучести н предположении реализации плоского деформированного и плоского напряженного состояний для различных значений коэффициента смешанности нагружения, определяющего вид нагружения. Показано, что поле напряжений можно представить с помощью ансамбля клинообразных областей (секторов), внутри которых компоненты тензора напряжений определяются различными функциональными зависимостями.
Дробно-линейный закон теории установившейся ползучести, в отличие от степенного закона Бейли-Нортона, позволяет, в рамках единой функциональной зависимости описать как существенно нелинейное соотношение между напряжениями и скоростями деформаций, так и линейно вязкое течение, что, в свою очередь, дает возможность построить непрерывное распределение радиальной компоненты тензора напряжений в окрестности вершины для трещины отрыва в условиях плоского напряженного состояния и для трещин, находящихся в условиях смешанного нагружения.
Установлено, что в окрестности вершины трещины в материале с дробнолинейной аппроксимацией скорости деформаций ползучести являются сингулярными величинами, причем показатель сингулярности меняется дискретным образом при изменении полярного угла. Полученное решение позволяет пролить свет на поле деформаций у устья трещины в идеально пластическом материале, поскольку условие наступления предельного состояния <тс = (т^ аналогично условию наступления пластического течения
I
Мизеса. В отличие от задач теории идеальной пластичности при определении кинематики пластического течения в окрестности вершины трещины, когда можно отыскать лишь некоторые характерные особенности поля деформаций. в рамках настоящего подхода удается определить поле скоростей в каждом из секторов.
36