Неустановившиеся течения одно- и двухфазных сред в каналах

СОДЕРЖАНИЕ
Введение...............................................................6
Глава 1 Течение вязкой жидкости с примесью частиц по раскрывающейся трещине в пористой среде
1.1 Общие положения....................................................19
1.2 Математическая постановка задачи...................................19
Допущения. Форма трещины. Кинематические соотношения. Уравнения движения.
1.3 Автомодельное движение.............................................24
Осаждение частиц. Прилипание частиц.
1.4 Уравнения движения в безразмерной форме............................28
Безразмерные переменные. Малый осадок частиц.
1.5 Остановка роста трещины............................................30
Постановка задачи. Анализ расчетов.
1.6 Формирование трещины гидроразрыва..................................34
Уравнения движения. Безразмерная форма. Начальные и краевые условия. Анализ расчетов.
1.7 Развитие трещины в ограниченном объеме.............................41
Система уравнений движения. Некоторые результаты расчетов.
1.8 Осаждение взвешенных частиц........................................46
Глава 2 Нестационарные течения при разрыве трубопровода
2.1 Истечение вязкой жидкости из трубы в затопленное пространство 51
2.1.1 Общие положения..................................................51
2.1.2 Математическая постановка задачи.................................52
Допущения. Модель течения.
2.1.3 Безнапорное истечение............................................54
Автомодельное движение. Анализ решения.
2.1.4 Напорное истечение...............................................59
Сила сопротивления. Безразмерная форма уравнений движения.
Анализ расчетов.
2.1.5 Наклонная труба..................................................63
Уравнения движения. Начало движения. Стабилизация течения.
2.1.6 Перетекание вязких жидкостей в трубе.............................66
Математическая постановка задачи. Анализ расчетов.
3
2.2 Растекание вязкой жидкости по плоской поверхности...................69
2.2.1 Общие положения...................................................69
2.2.2 Основные уравнения и допущения....................................69
Модель течения. Граничные режимы.
2.2.3 Предельные режимы протекания в пористую среду.....................72
Медленное протекание. Быстрое протекание. Свободное протекание.
2.2.4 Автомодельное движение............................................74
Постоянный расход. Постоянный объем.
2.2.5 Движение по наклонной плоскости...................................79
Математическая постановка задачи. Движение без протекания в грунт.
2.2.6 Растекание легкой жидкости по нижней поверхности ледяного
покрова водоема...................................................86
Постановка задачи. Постоянный расход. Постоянный объем.
Глава 3 Нестационарные непрерывные течения газа
3.1 Общие положения.....................................................89
3.2 Течение газа по системе труб при внешних воздействиях..............91
Основные уравнения и допущения. Уравнения движения в безразмерных переменных. Сопряжение нестационарных потоков. Разностные уравнения. Политропический процесс сжатия.
3.3 Изотермическое течение газа........................................100
Уравнения движения. Согласование потоков. Разностные уравнения. Заданное поле температуры. Изотермическая модель компрессора.
3.4 Сравнение методов сопряжения нестационарных потоков.............103
Постановка задачи. Анализ расчетов. Сравнение методов.
3.5 Движение газа Дюпре-Гирина.........................................108
Основные уравнения и допущения. Уравнения движения в безразмерных переменных. Условия сопряжения потоков. Изотермическое течение газа. Неизотермическое течение газа.
3.6 Матричное представление ГТС.........................................ИЗ
3.7 Начальные и краевые условия........................................115
4
3.8 Реализация разностной схемы.........................................119
Выбор коэффициента искусственной вязкости. Определение значений Куранта. Коммерческий расход. Коэффициент сопротивления.
3.9 Движение реального газа.............................................123
3.9.1 Основные уравнения..............................................123
3.9.2 Упрощенные модели...............................................126
3.9.3 Примеры неустановившихся течений................................127
3.10 Программа «gas-stream».............................................131
Глава 4 Течение газа с разрывами
4.1 Общие положения.....................................................139
4.2 Изотермические ударные волны........................................139
4.2.1 Основные уравнения и допущения....................................139
Уравнения движения. Уравнения движения в безразмерных переменных. Общая постановка задачи.
4.2.2 Распространение граничного режима на полупрямой...................144
Особенности безразмерной формы решения. Скачок давления
на границе. Скачок расхода на границе.
4.2.3 Распространение граничного режима на отрезке......................147
Скачок давления на границе. Скачок расхода на границе. Опорожнение трубки.
4.3 Ударные волны.......................................................158
4.3.1 Уравнение энергии.................................................158
Уравнение для полной энергии. Теорема об изменении кинетической энергии. Уравнение для внутренней энергии. Дивергентная форма записи уравнений движения. Уравнения состояния. Уравнения движения в безразмерных переменных.
4.3.2 Распространение ударной волны по трубе............................163
Постановка задачи. Сопротивление и теплообмен отсутствуют.
Влияние теплообмена. Влияние сопротивления. Влияние сопротивления и теплообмена.
4.3.3 Гидравлический удар...............................................168
Мгновенная остановка потока. Сравнение моделей течения.
Влияние определяющих параметров.
5
4.3.4 Акустическое приближение........................................173
Линеаризация уравнений. Дисперсионное соотношение.
Частные случаи.
4.4 Одномерные изэнтропические течения................................176
4.4.1 Периодический граничный режим...................................176
4.4.2 Взаимодействие ударного импульса с контактным разрывом..........181
4.5 Волновые двумерные течения газа...................................191
4.5.1 Торцевой разрыв трубы...........................................191
Уравнения движения. Математическая постановка задачи. Результаты расчетов.
4.5.2 Разрушение участка трубы........................................198
Постановка задачи. Анализ расчетов.
Глава 5 Волновые движения газа с примесыо частиц
5.1 Общие положения...................................................204
5.2 Ударный выброс газа с примесыо частиц.............................205
Уравнения движения фаз инертной газовзвеси. Постановка задачи. Некоторые результаты расчетов. Анализ результатов расчетов.
5.3 Отклонение потока газовзвеси в косой ударной волне................226
Соотношения на ударных скачках. Влияние объемного содержания частиц на параметры газовзвеси в равновесной области двухфазного течения за косой ударной волной. Влияние объемного содержания частиц на величину досжатия газа при нормальном отражении от стенки плоской ударной волны.
5.4 Модель решетчатого газа как система взаимодействующих частиц 240
Уравнения для корреляционных функций. Полубесконечная система частиц. Бесконечная система частиц во внешнем поле. Сглаживание осцилляций плотности.
5.5 Истечение в атмосферу реагирующей взвеси..........................251
Уравнения движения фаз реагирующей взвеси. Постановка задачи. Результаты расчетов.
Заключение...........................................................261
Литература............................................................264
6
ВВЕДЕНИЕ
В работе исследуются нестационарные течения жидкостей, газов и смесей применительно к проблемам нефтегазового комплекса. Исследование выполнено на основе построения математических моделей с привлечением идей и подходов механики сплошных сред и вычислительной математики.
Задачи о неустановившихся течениях углеводородов привлекают внимание многих исследователей богатством затрагиваемых явлений и процессов, а также своей прикладной значимостью. В практике нефтедобычи одним из самых ярких гидродинамических процессов является гидроразрыв пласта. Применение гидроразрыва пласта началось в шестидесятых годах. К этому же времени относятся и первые теоретические исследования развития и формирования трещины гидроразрыва. С введением в разработку крупных месторождений Западной Сибири интерес к гидроразрыву пласта несколько снизился. В последние годы произошло существенное изменение структуры запасов углеводородов. Многие крупные месторождения в настоящее время находятся на вторичной стадии разработки, основные запасы нефти сосредоточены в низкопроницаемых пластах. Интерес к гидроразрыву вновь возрос.
На протяжении всей истории использования гидроразрыва нефтяного пласта ведутся экспериментальные и теоретические исследования. В результате совершенствуется технология проведения гидроразрыва и растет его эффективность. Ниже приведен краткий обзор теоретических работ зарубежных и отечественных авторов.
Одно из первых аналитических решений в существенно упрощенной постановке задачи о гидроразрыве пласта найдено Я.СаПег [162]. Основополагающими по теории гидроразрыва являются работы Т.К.Регкшэ, Е.Я.Кет [176] и Я.Р.Могс^геп [173]. Большинство предложенных моделей развития трещины обладают важным свойством существования автомодельных решений. Общий способ конструирования моделей гидроразрыва и поиска
7
определенных классов автомодельных решений дан M.Cleary et al [164, 165]. В работах S.Advani et al [155, 156, 157] найдены автомодельные решения для широкого класса моделей.
В отечественной литературе основополагающей в развитии теории гидроразрыва является работа Ю.П.Желтова, С.А.Христиановича [54]. Свой вклад внесли Г.И.Баренблатт [14, 15], Ю.В.Желтов (Ю.П.Желтов, Ю.В.Желтов [53]). Одна из последних работ по теоретическому моделированию гидроразрыва в русле идей С.А.Христиановича и Ю.П.Желтова принадлежит
О.П.Алексеенко [3]. По теории и практике гидроразрыва имеется ряд монографий Ю.П.Желтова [52], А.С.Меликбекова [96], В.Г.Логинова, В.А.Блаженовича [89]. Распространение вертикальной трещины гидроразрыва в непроницаемой среде и с учетом свойств среды фильтровать жидкость рассмотрены Ю.Н.Гордеевым, А.Ф.Зазовским [40, 41]. О.Е.Ивашневым,
Н.Н.Смирновым [59] описан процесс формирования трещины гидроразрыва в пористой среде. Рассматриваются вопросы и о притоке жидкости к скважине с трещиной (Р.Д.Раневская, Р.М.Кац [112]; M.J.Economides, K.G.Nolte [166] и
др.).
Вторая часть работы посвящена изучению нестационарных процессов, связанных с транспортированием газа в разветвленных системах трубопроводов.
Современная технология транспорта газа превращает магистральный трубопровод в единую динамическую систему, требующую согласованной работы всех ее элементов. Увеличение протяженности и мощности трубопроводов вместе с усложнением его структуры предполагает развитую систему его математического обеспечения. Математическое моделирование неустановившихся течений в газотранспортных системах условно разделяется на два главных направления - аналитическое и численное.
Импульсом к развитию аналитического подхода послужило упрощение исходных уравнений предложенное И.А.Чарным [148]. Упрощенные
8
линеаризованные системы дифференциальных уравнений хорошо изучены. Привлекательность указанного подхода состоит в возможности построения локального решения, используя эффективные методы интегральных преобразований (Б.М.Мардонов, Г.А.Хромов [93]; Л.Х.Мирзаджанзаде, М.А.Гусейнзаде [98]; В.АЛОфин, А.И.Мамедов, В.А.Аллахвердиев [151, 152]). Проблема многомерности, порожденная структурой газотранспортной системы, в настоящее время нашла наиболее эффективное решение благодаря математической модели, разработанной С.А.Бобровским, С.Г.Щербаковым, М.А.Гусейнзаде, В.А.Юфиным и др. (С.А.Бобровский, С.Г.Щербаков,
М.А.Гусейнзаде [19]; М.А.Гусейнзаде, В.АЛОфин [47]; М.А.Гусейнзаде, М.Ф.Степанова [46]; М.А.Гусейнзаде, Л.И.Другина, О.Н.Петрова,
М.Ф.Степанова [45]). Предпринимаются попытки улучшить точность решения нестационарных задач магистрального транспорта газа путем более сложной линеаризации уравнений движения (В.В.Грачев и др., [43]). Вопросы линеаризации уравнений нестационарного неизотермического течения реального газа в трубопроводах рассматривались Б.Л.Кривошеином,
В.П.Радченко [72]. Возможность получения более точных аналитических решений показана, например, в работах А.С.Трофимова, А.В.Судакова,
А.В.Козлова [141]; А.С.Трофимова, Е.В.Кочаряна, В.А.Василенко [140].
Другое направление в решении задач магистрального транспорта газа -использование методов вычислительной математики. Достижения последних лет в решении этих задач связаны, как правило, с использованием ЭВМ. Результаты численных расчетов наряду с их самостоятельным значением могут быть использованы для обоснования упрощающих допущений математической модели процесса и оценки точности аналитических методов ее реализации. Как показывает анализ работ по изучению неустановившегося движения та по трубам, математическое моделирование течения является основным способом исследования нестационарных процессов.
9
В связи с нестабильностью процесса транспортирования, неравномерностью загрузки и отбора газа необходим учет нестационарности движения. Ввиду значительной протяженности магистралей количество газа аккумулированного в них очень велико. Представляется важным умение определять текущее состояние газотранспортной системы при переменных граничных условиях и изменениях гидравлического режима.
Направление численного моделирования нестационарных течений в газотранспортной системе развито в работах Е.М.Минского, Ю.И.Максимова [97]. Предложены явные и неявные схемы расчета изотермического течения. Явные схемы приводят к простейшим алгоритмам, но обладают меньшей устойчивостью. В большинстве случаев отдают предпочтение неявным схемам. Несмотря на многократное увеличение объема вычислений на каждом временном слое общее число итераций уменьшается (И.С.Березин, Н.П.Жидков [18]).
Современные численные алгоритмы описаны в монографиях М.Г.Сухарева, Е.Р.Ставровского [125]; М.Г.Сухарева, А.М.Карасевича [124]. С целью увеличения быстродействия расчетов прибегают к линеаризации разностных уравнений. Каждый нелинейный член разбивается на произведение сомножителей, из которых линейный относится к новому временному слою, а все нелинейности к предыдущему слою. Полученная система алгебраических уравнений может иметь в итоге специфическую структуру, решение которой достигается методом прогонки, приводящем к устойчивому рекуррентному процессу.
Все более широкое распространение получают экономичные разностные схемы типа «предиктор-корректор» (М.Г.Сухарев, Е.Р.Ставровский [125]). Данный метод объединяет лучшие качества явных и неявных схем. Процесс счета является безитерационным, но обладает высокой устойчивостью. Процесс интегрирования разделен на два этапа, на первом из которых определяется
10
решение на промежуточном временном слое по упрощенным линеаризованным уравнениям, на втором - возмещается потеря точности.
При решении задач нестационарного неизотермического течения газа по магистралям существенно возрастает сложность конечно-разностной схемы ввиду добавления к системе уравнений энергии. Были предложены явные схемы расчета течения газа с учетом его теплообмена с окружающей средой. Неявные разностные схемы, решения полной системы уравнений движения газа по трубе, разработаны О.Ф.Васильевым, А.Ф.Воеводиным [33].
Одна из основных задач развития численного моделирования нестационарных течений в газотранспортной системе - максимальное сокращение времени счета. Использование современных численных методов при приемлемых значениях шагов интегрирования позволяет многократно сократить временные затраты. Возможности моделирования возрастают и в связи с совершенствованием самой вычислительной техники.
Идет поиск новых путей приближенного решения уравнений движения. Суть традиционных методов состоит в упрощениях, позволяющих получить аналитическое решение (И.А.Чарный [147]; И.Е.Ходанович [145]). М.Г.Сухарев, Е.Р.Ставровский [125] предлагают принципиально новый подход, основанный на использовании почти стабильных интегралов, связывающих граничные функции. Задачи о движении газов и газовых смесей в трубах рассматривались и многими другими авторами (О.Ф.Васильев, Э.А.Бондарев,
А.Ф.Воеводин, М.А.Каниболотский [32]; Ю.В.Лапин, М.Х.Стрелец [88]; Г.В.Гогричиани, А.В.Шипилин [39]).
Быстрое стравливание газа из магистрали, а также нарушение ее герметизации приводит к возникновению интенсивных скоростных потоков, вовлекающих в движение пыль со стенок трубы. Струйное истечение газодисперсной смеси характеризуется сложной структурой. Картина течения заметно усложняется дополнительно возникающими разрывами, которые
11
появляются в процессе дифракции ударной волны при ее выходе в открытое пространство.
Вопросами дифракции при малых углах отклонения потока занимался МЛ.и^ЫП [171]. Им показано, что в пренебрежении эффектами вязкости процесс дифракции автомоделей. При этом возникающая дифракционная картина существенно зависит от того, является ли течение сверх- или дозвуковым. К числу экспериментальных исследований дифракции на малых углах можно отнести работу Ы.Огдо [163]. В реальной картине течения даже при малых углах появляются дополнительные поверхности разрывов, не учитываемые в линейном приближении.
При больших углах отклонения потока картина дифракции меняется -происходит отрыв потока, поток поворачивается в веере Прандтля-Майера параллельно линии срыва. Дифракция сильных ударных волн при срывных течениях изучалась в работах ВЖБкеууя [180]; Г.М.Арутюняна [5]; Т.В.Баженовой, Л.Г.Гвоздевой, Б.С.Комарова, Б.Г.Сухова [13]; Т.В.Баженовой, Л.Г.Гвоздевой, Ю.Б.Жилина [12]. К одним из первых исследований численными методами фронта волны при дифракции, где получены срывные режимы, относятся работы Г.В.Тарнавского, В.И.Хоничева, В.И.Яковлева [126]; В.Н.Ляхова [91]. П.С.Раск [174] теоретически показал, что и при больших углах отклонения потока процесс дифракции должен проходить автомодельно. В работах Т.У.Вагйепоуа, Ь.О.Суогс1еуа, У.Б.Котагоу, В.О.БисЬоу [158]; Б.БсЬи^ [179] экспериментально обнаружено, что при увеличении интенсивности падающей ударной волны на дифрагирующей ударной волне возникает точка перегиба, которая при дальнейшем увеличении интенсивности превращается в маховскую конфигурацию.
В работе Е.Н.Васильева [31] проведено численное исследование нестационарного истечения сверхзвуковой струи, образующейся при дифракции ударной волны, выходящей из канала круглого сечения в затопленное пространство. Дано сравнение с экспериментом Б.А.БЬап,
12
М.А.ЫеШеЮп [181]. Особенности ударного запуска сверхзвуковых струй, истекающих из плоских каналов постоянного сечения, анализируются в работе
B.Б.Кислякова [67]. Структура стационарных сверхзвуковых струй с примесями взвешенных частиц исследуется в работах М.БоттегГеМ [182-184]. Численное
I
моделирование импульсных струй вязкого теплопроводного газа проводится в работе Н.М.Булгаковой [26].
Процесс ударного выброса огнетушащего порошка изучался в институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева. Разработан принципиально новый способ тушения пожаров на фонтанирующих скважинах. Возникающая при выбросе газопорошковая струя сворачивается в вихревое кольцо, которое сбивает пламя факела. Среди многочисленных исследований в этом направлении можно выделить работы Д.Г.Ахметова, О.П.Кисарова [9]; М.А.Лаврентьева, Б.В.Шабата [86]; Д.Р.Ахметова, Б.А.Луговцова, В.Ф.Тарасова [10].
В основе теоретических исследований двухфазной газовой динамики лежит феноменологический подход предложенный Х.А.Рахматулиным [113]. Анализ характеристических свойств уравнений двухжидкостных течений газа с диспергированными частицами и возникающих в таких течениях поверхностей разрывов выполнен А.Н.Крайко, Л.Е.Стерниным [71]. Дальнейшее развитие теории многоскоростного континуухма с введением разрывов с поверхностными свойствами дано в работах А.Н.Крайко [69, 70].
Изучению нестационарных течений аэродисперсных смесей посвящены работы многих авторов (Ю.В.Казаков, А.В.Федоров, В.М.Фомин [63];
C.П.Киселев, Г.А.Руев, А.П.Трунев [66] и др.). Проведена оценка параметров потоков в рамках равновесного приближения с помощью построения инвариантов Римана в псевдогазе. Рассмотрена задача о распаде разрыва применительно к проблеме выброса частиц в свободную атмосферу. Изучена структура ударных волн и комбинированных разрывов в газовзвесях. Исследовано обтекание тел сверхзвуковым потоком запыленного газа (А.Н.Осипцов [107]; Л.А.Егорова, А.Н.Осипцов, В.И.Сахаров [50, 51]).
13
Построением математических моделей механики гетерогенных сред, описывающих течения смесей газа и твердых частиц с учетом вязкости газа и собственного давления дисперсной фазы занимались: А.В.Федоров [142];
Н.Н.Яненко, В.М.Фомин, Федоров и др. [154]; Н.В.Варламов, А.В.Федоров [30]; А.В.Федоров, Н.Н.Федорова [143].
Расчет разлета сжатого объема газовзвеси проведен Ю.В.Казаковым, А.В.Федоровым, В.М.Фоминым [62, 64]. В работе Б.Е.Гельфанда,
Ю.В.Казакова, С.П.Медведева, А.Н.Поленова, А.В.Федорова, В.М.Фомина [37] рассмотрен процесс разлета сжатой стратифицированной газопылевой системы. Закономерности формирования и распространения ударных волн при разлете сжатого объема газовзвеси изучались Б.Е.Гельфандом, С.П.Медведевым,
A.Н.Поленовым, А.М.Бартеневым [38]; Б.Е.Гельфандом, А.В.Губановым,
С.П.Медведевым, Е.И.Тимофеевым, С.А.Цыгановым [36]. В исследовании
B.М.Бойко, В.П.Киселева, С.П.Киселева [22] анализируется взаимодействие ударной волны с облаком частиц. Процесс разлета слоя порошкообразной среды рассматривался в работах А.Г.Кутушева, Д.А.Рудакова [80, 81]; А.Г.Кутушева [76]; Д.В.Садина [116, 117]. Систематическое изложение термогидродинамики гетерогенных смесей содержится в работах М.А.Лаврентьева, Б.В.Шабата [86]; Л.Е.Стернина, Б.Н.Маслова, А.А.Шрайбера, А.М.Подвысоцкого [123]; Г.М.Арутюняна [6]; Р.И.Нигматулина [101].
Развитие механики многофазных сред неразрывно связано с экспериментальными исследованиями. Ввиду сложности протекающих физических процессов и их скоротечности в практику исследований внедрены новые комплексы измерительной аппаратуры. В числе работ этого направления выделяются следующие: В.М.Бойко, В.Ф.Климкин [23]; В.М.Бойко,
А.А.Карнаухов, В.Ф.Косарев, А.Н.Папырин [21]; В.М.Бойко, А.Н.Папырин [24]; У.М.ВоНю, А.МРарупп [161]; У.М.ВоНсо е1 а1 [159]; У.М.Во1ко, А.ММа1оу [160].
14
Состояние проблемы
На данном этапе исследования процессов неустановившихся течений одно- и двухфазных сред в каналах, которыми занимались и продолжают заниматься многие исследователи:
- недостаточно изучено влияние примеси частиц в жидкости гидроразрыва на динамику раскрытия трещины и ее конечную форму при изъятии нефти из низкороницаемых пластов;
- не сформировано общее мнение в подходе к решению нестационарных задач магистрального транспорта газа;
- не решено ряд задач прикладного характера.
Особое значение придается вопросам экологии, в связи с возможными случаями нарушения естественной структуры почвы, загрязнения окружающей среды при утечке перекачиваемой жидкости и газов, аварийных разрывов трубопроводов, возникновения стихийных очагов горения.
Цель работы:
- решение ряда актуальных задач нефтегазового комплекса путем построения математических моделей нестационарных процессов движения жидкостей, газов и смесей;
- исследование предложенных моделей численными и аналитическими методами;
- получение количественных оценок и создание комплексов программ.
Достижение цели обеспечивает решение следующих задач:
- изучение процесса формирования трещины гидроразрыва;
- рассмотрение вопросов связанных с утечкой перекачиваемой жидкости при разгерметизации или разрыве трубопровода;
- рассмотрение аспектов математического моделирования нестационарных течений газа в разветвленной системе труб с учетом внешних воздействий;
15
- установление особенностей распространения ударных волн в шероховатых трубах, истечения газа при разрушении магистрали высокого давления;
- исследование процесса ударного выброса аэродисперсной среды в атмосферу.
Научная новизна
1. Предложена математическая модель и рассмотрены особенности процесса течения вязкой жидкости с примесью частиц по раскрывающейся трещине в пористой среде. Изучено влияние примеси частиц в жидкости гидроразрыва на динамику раскрытия трещины и ее конечную форму.
2. Сделаны количественные оценки утечки перекачиваемой жидкости при гильотинном разрыве подводного трубопровода для случаев напорного и безнапорного истечения. Определена динамика растекания жидкости под ледяным покровом водоема и по поверхности грунта с учетом его влажности и наклона поверхности.
3. Сформулированы эффективные граничные условия сопряжения нестационарных газовых потоков в узлах разветвленной системы труб. Создан программный комплекс, позволяющий определять отклик системы на внешние воздействия.
4. Проведено исследование влияния сопротивления и теплообмена на характер распространения нестационарных ударных волн в трубе заполненной газом, ударного воздействия при разрушении участка магистрали высокого давления.
5. Проведено численное моделирование процесса ударного выброса аэродисперсной среды из цилиндрического канала в окружающее пространство. Исследовано влияние основных определяющих параметров на эффект образования вихревого дисперсного кольца и дальность разлета частиц.
16
6. Проведен теоретический анализ равновесного состояния смеси газа с твердыми частицами за косыми скачками уплотнения с учетом конечности объема занимаемого дисперсной фазой.
7. Исследовано влияние объемного содержания частиц в смеси на степень досжатия газа при нормальном отражении от стенки плоской ударной волны. Изучена одномерная модель решетчатого газа как система взаимодействующих частиц.
На защиту выносятся:
- математическая модель течения вязкой жидкости с примесью частиц по раскрывающейся трещине в пористой среде. Результаты исследования влияния примеси частиц в жидкости гидроразрыва на динамику раскрытия трещины и ее конечную форму;
- количественные оценки утечки перекачиваемой жидкости при гильотинном разрыве подводного трубопровода для случаев напорного и безнапорного истечения, динамики растекания жидкости под ледяным покровом водоема и по поверхности грунта с учетом его влажности и наклона поверхности;
- эффективные граничные условия сопряжения нестационарных газовых потоков в узлах разветвленной системы труб. Их реализация в программном комплексе, позволяющем определять текущее состояние системы при переменном граничном режиме;
- результаты исследования влияния сопротивления и теплообмена на характер распространения нестационарных ударных волн в трубе заполненной газом, ударного воздействия при разрушении участка магистрали высокого давления;
- результаты численного моделирования процесса ударного выброса аэродисперсной среды из цилиндрического канала в окружающее пространство,
17
анализа влияния основных определяющих параметров на эффект образования вихревого дисперсного кольца и дальность разлета частиц;
- результаты теоретического анализа равновесного состояния смеси газа с твердыми частицами за косыми скачками уплотнения с учетом конечности объема занимаемого дисперсной фазой, влияния объемного содержания частиц в смеси на степень досжатия газа при нормальном отражении от стенки плоской ударной волны, одномерной модели решетчатого газа как системы взаимодействующих частиц.
Теоретическая значимость
Предложена теоретическая модель процесса течения вязкой жидкости с примесыо частиц по раскрывающейся трещине в пористой среде. Предложена модель процесса двухслойного ламинарного течения несмешивающихся жидкостей в круглой трубе и плоском канале, обусловленного различием плотностей сред и внешними воздействиями. Разработаны специальные численные схемы расчета нестационарных газовых потоков в узлах разветвленной системы труб. Предложен метод решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений зацепляющегося типа.
Практическая значимость
Результаты исследования могут быть использованы в практике добычи и транспортировки углеводородного топлива. При проведении гидроразрыва нефтяного пласта, оценке последствий аварийной утечки перекачиваемой жидкости при разрывах подводного/наземного участков трубопроводов, определении зоны безопасности в условиях разрушения участка магистрали высокого давления. Представленный программный комплекс позволяет делать прогноз или вести технологический расчет нестационарных газовых потоков в разветвленной системе труб.
18
Публикации
По результатам исследования опубликовано 30 печатных работ, в том числе 16 - в рекомендованных ВАКом журналах, из которых 9 работ опубликовано без соавторов.
Личный вклад автора
Результаты, выносимые на защиту, получены лично автором. Автору принадлежит постановка задач по исследованию неустановившихся течений одно- и двухфазных сред в каналах, построение моделей процессов, анализ и интерпретация результатов исследования. В совместных публикациях, посвященных ударному выбросу газа с примесью частиц и утечке перекачиваемой жидкости, исследование выполнялось под руководством А.Г.Кутушева, которому выражаю глубокую признательность и благодарность.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 280 страниц, включая 83 рисунка.
19
ГЛАВА 1 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ С ПРИМЕСЬЮ ЧАСТИЦ ПО РАСКРЫВАЮЩЕЙСЯ ТРЕЩИНЕ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
1.1 Общие положения
Рассматривается процесс движения вязкой жидкости с примесью частиц по раскрывающейся трещине, с учетом потерь на просачивание в пористую среду. Предложены две модели развития трещины и исследованы их особенности.
Движения вязкой смеси по раскрывающейся трещине имеет место в технологии гидроразрыва пласта. С целью формирования трещины гидроразрыва, в скважину подается вязкая жидкость (жидкость гидроразрыва) с примесью твердых частиц (проипант). Закачиваемая вязкая смесь, надавливая на берега начальной трещины, расширяет ее. Ввиду просачивания жидкости гидроразрыва в пласт у берегов трещины скапливаются частицы и быстро осаждаются на «дно». После прекращения закачки смеси трещина вновь сужается. Окончательная ее форма определяется распределением по длине слоя осевших частиц. Асимптотика развития трещины указана Я.Р.Ыогс^геп [173]. А.А.Поздняковым [111] представлена модель, единообразно описывающая весь ход процесса разрыва пласта, включая и зарождение щели. В работе О.Е.Ивашнева, Н.Н.Смирнова [59] проведено исследование роста трещины гидроразрыва в пористой среде. Цель данного исследования - определить влияние примеси частиц в жидкости гидроразрыва на динамику раскрытия трещины и ее конечную форму [133, 137].
1.2 Математическая постановка задачи
Допущения. Движение жидкости с примесью частиц в трещине опишем в односкоростном квазиодномерном приближении. Трещина гидроразрыва предполагается вертикальной. Прикоснувшиеся к стенке частицы оседают на «дно», оставаясь в одном поперечном сечении. Осевший слой частиц не изменяет картину фильтрации. Объемным содержанием жидкости в осевшем
20
слое пренебрегаем. Будем также считать, что закачиваемая смесь жидкости гидоразрыва и взвешенных частиц с объемными долями ах и а2 однородна. В силу принятых допущений объемное содержание взвешенных частиц остается неизменным по всей длине трещины. Размер частиц не учитывается.
Форма трещины. На основании гипотезы Перкинса (T.K.Perkins, L.R.Kem [176]) с учетом формы плоских трещин в упругой среде (В.Новацкий [105]) вводится связь избыточного давления Р со средней шириной трещины 8 (О.Е.Ивашнев, Н.Н.Смирнов [59])
P = bS, Ь = / ^ х = const, (1.1)
к{\ -vjh
где vc - коэффициент Пуассона;
/га - модуль сдвига материала.
Геометрическая форма трещины такова, что
8 «h« L.
Здесь И - высота трещины (A=const);
L - длина трещины.
На носике трещины, в приближении Перкинса, избыточное давление равно нулю
x = L(t): Р = 0.
При построении математической модели в принятом приближении форму поперечного сечения трещины заменим прямоугольной. С целью сохранения средних геометрических размеров эллиптической трещины за стороны прямоугольника возьмем величины 8 и А, приняв связь (1.1).
Кинематические соотношения. Вследствие просачивания жидкости гидроразрыва в пласт, взвешенные частицы подходят к берегам трещины и согласно принятым допущениям оседают вниз (рис. 1.1а). Определить скорость роста осевшего слоя частиц удобнее на вспомогательной схеме (рис. 1.16).
21
Общий вид вертикальной трещины: Л - высота трещины,
высота слоя осевших частиц *), !(/) - длина трещины
Сечение в горизонтальной плоскости: 8* - ширина трещины,
У - глубина зоны пропитки
И
в)
У + М УУ
сс2=а
УУ
щ
V —* !
ОТ, =1
а, = /?
6)
Рис. 1.1 Схематическое представление поперечного сечения трещины, затемненная область - слой частиц: а) осаждение частиц коснувшихся стенки;
б) прилипание частиц коснувшихся стенки; в) движение частиц относительно контактной линии; г) движение жидкости относительно берегов трещины
*) На данной схеме подразумевается, что частицы тонут. Конечная модель движения смеси не изменится, если частицы наоборот всплывают; или же часть из них тонет, а другая всплывает.
22
Частицы, коснувшись стенки «прилипают» к ней образуя ровный слой: б - ширина свободной области; и> - скорость движения контактной линии;
V - скорость жидкости по нормали к берегам трещины; уг - скорость жидкости гидроразрыва в пласте; а - объемное содержание взвешенных частиц; р - объемное содержание жидкости гидроразрыва в пласте.
Скорости уу, у, уг определены относительно боковой поверхности трещины. По определению н>, имеем
2„=1(#-е) (1.2)
01
Условия непрерывности потока частиц через контактную линию (рис. 1.1 в) и потока жидкости через слой «прилипших» частиц (рис. 1.1 г) дают связи скоростей
а(у + уу)=>у => и> = —— у, (1.3)
1 -а
(1 -аХу + ^)=^'г => у'-=^у- С1*4)
Уравнения движения. Уравнение неразрывности для жидкой смеси с
учетом деформации трещины и осаждения частиц запишем в виде
о? Э($м) ./ \.
01 ох
где и - скорость движения смеси вдоль трещины;
^ - площадь поперечного сечения свободной области.
Учитывая, что ^ = бИ> получим
де д(Би) _/ ч ..
_ + -1-2 = -2(у + и>). (1.5)
дt дх
В силу принятых ограничений на геометрические параметры трещины в уравнении движения смеси целесообразно пренебречь инерционным слагаемым. Согласно условию осаждения частиц, будем иметь
В целях упрощения формул эффективную вязкость смеси примем равной вязкости жидкости гидроразрыва - 77.
Фильтрацию жидкости в грунт опишем по аналогии с работой О.Е.Ивашнева, Н.Н.Смирнова [59] применяя гипотезу плоских сечений, согласно которой жидкость гидроразрыва просачивается в пористую среду только по нормали к трещине. Вязкость жидкости, изначально насыщающей пласт, считаем малой в сравнении с вязкостью жидкости гидроразрыва. Учитывая, дополнительно, различие скоростей в трещине и пласте, запишем
у=ум
г Л)’ ду к где рг - избыточное давление жидкости гидроразрыва в фунте,
&, = рк - проницаемость фунта.
В силу фаничных условий
О<у<У, рг(о)=Р, рг(У)= о,
найдем
V,- — . (1.7)
пУ
Глубина зоны пропитки У определяется уравнением
— = vr. (1.8)
3/
Исключая переменные Р, м, V, уг систему уравнений (1.1)-(1.8) приведем к виду
24
дУ2 2кЬ е —— = —о
З/ г]
де _ д8 2ар дУ З/ З/ 1-а З/
(1.9)
Последнее уравнение с учетом начальных условий
$ = е = у = 0, при г = 0
дает интеграл
(1.10)
Система (1.9) дополняется граничным условием на носике трещины
* = !(/): <5 = 0
и граничным условием на входе в трещину.
1.3 Автомодельное движение
Осаждение частиц. Решение задачи будем искать в автомодельной форме
где л, р, г, т - безразмерные параметры;
Я*, Я*, и*, У*, £* - размерные постоянные;
£ - безразмерная автомодельная переменная.
Подставляя решение в форме (1.12) в систему (1.9), с учетом интеграла
(1.10), получим четыре обыкновенных дифференциальных уравнения относительно £
б{х.і)=№£>{€), є{х,і)=ірН'Н{ї), и{Х,і)=ҐІ)Щ),
(1.12)
¥’
найдем значения безразмерных параметров
п-р = r = s~\, /72 = 2; (1*14)
и размерных постоянных
_ ;Г . Р2 kb r=J_M_
(l-a)2 288//’ 1 - а 12/;
/?3 \3/2^ ь \2
(/*=£*
/?3 3/2 Г ь Ï
О-а? 1 ^ 1 сч ll2?J
(1.15)
Положим, также а = 48ог.
Из формы автомодельного решения следует, что на входе в трещину избыточное давление Р0 растет пропорционально времени
dP
х = 0: —- = А = const. (1Л6)
dt
£ = 0: D = А\ A = ï—2’ - р- = const. (1.17)
Данное условие для системы (1.13) запишем в виде
(1 -af 288т]Р0 рг кЬ3
Граничное условие (1.11) на носике трещины
£ = £>: D = 0; (1.18)
где £0 - неопределенный параметр, соответствующий безразмерной
координате носика.
Присутствие частиц не меняет вида решения и граничных условий для общего случая, указанного О.Е.Ивашневым, Н.Н.Смирновым [59]. Учитывая
26
интеграл (1.10) находим дополнительное ограничение на объемное содержание дисперсных частиц в закачиваемой смеси
или д<л/2Л. (1*19)
\-а 2РЬ\ к
Распределение безразмерных функций автомодельной переменой ищем, решая численно краевую задачу (1.13), (1.17), (1.18). На рис. 1.2 показана зависимость £>, #, I/ от £ при Л=5, а=1. Функции £> и Я монотонно убывают по длине трещины, а вблизи носика резко падают до нуля. Подобным образом ведет себя скорость {У, снижаясь до предельного значения (/(£0 )='”£о-При возрастании объемного содержания частиц до 48дг=я=2, функция #(£) имеет слабо выраженный максимум, а и(£)- более заметную точку перегиба. Высота слоя осевших частиц, есть
5 8
Отсюда, для относительной высоты, будем иметь
К _8-е _й-Н _аУ И~ 8 £> О ’
или
/(£)=£• п Г>
В малой окрестности носика трещины безразмерные функции имеют вид
£> = (б6,(«?0-£)),/3 +...; Я~£>; Г = 0(О).
Увеличение объемного содержания частиц приводит к замедлению роста трещины
!(/)=& и'Г.
Это связано с уменьшением полного расхода на входе, из-за перекрывания части входного сечения трещины слоем осевших частиц. Значение же начальной скорости смеси несколько увеличивается, вследствие возрастания градиента давления (Е){0)=сопз1):