Розділ 2
НЕКЛАСИЧНЕ ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕНННЯ НА ОСНОВІ УЗАГАЛЬНЕНИХ АППРОКСИМУЮЧИХ ІМПУЛЬСНИХ СПЕКТРІВ
В основі операційного метода апроксимуючих імпульсних спектрів (АІС) [92, 95] моделювання інтегро-диференціальних рівнянь лежить апроксимація розв'язку узагальненими поліномами на базі системи локально-імпульсних базисних функцій. Розглянемо розширену систему базисних функцій, що включає блочно-імпульсні, кусково-лінійні і кусково-параболічні функції. Відомо, що локальний характер базисних функцій у методі АІС дає можливість розглядати роз'вязок на достатньо великому інтервалі зміни аргументу і дозволяє одержати достатньо просту реалізацію комп'ютерними засобами.
2.1 Локально-імпульсні функції та алгебра апроксимуючих імпульсних спектрів
Розширена система базисних функцій визначається наступним чином [22]. Нехай на деякому проміжку зміни аргументу t:[a,b] задано сигнал x(t). Розіб'ємо проміжок визначення сигналу на m однакових відрізків довжиною h=(b-a)(m кожен. Введемо на отриманій сітці наступну систему твірних (базисних) функцій
, (2.1)
, (2.2)
, (2.3)
де i=1,...,m; і де vi(t), wi(t), ui(t) - блочно-імпульсні прямокутні, трикутні та параболічні функції, відповідно; ((t) - функція одиничного скачка, що визначається наступним чином
Тоді апроксимація сигналу x(t) у вигляді узагальненого поліному матиме наступний вигляд [36, 97]:
, (2.4)
де X~=[X0,X1,X2]*- клітинний вектор спектра сигналу x(t), який має розмірність 3m та складається з трьох підвекторів X0, X1 и X2, що відповідають різним підсистемам базисних функцій:
, (2.5)
, (2.6)
(2.7)
Оскільки базисні підсистеми {vi(t)}, {wi(t)} и {ui(t)} взаємно ортогональні, розширення системи твірних функцій не змінює значень векторів X0 и X1 [92, 97]. Таким чином, ми можемо розглядати апроксимацію за допомогою АІС першого (блочно-імпульсна система базисних функцій) та другого (кусково-лінійна апроксимація) порядків як частинний випадок апроксимації (2.4). Крім того, зауважимо, що апроксимація (2.4) фактично аналогічна апроксимації сигналу на локальних ділянках зміни аргументу зсунутими поліномами Лагранжа 0, 1 и 2-го степеня.
Розширення системи базисних функцій дозволяє підвищити точність апроксимації сигналів при менших обчислювальних затратах. Це підтверджує наступний обчислювальний експеримент. Для тестового неперіодичного сигналу
,
заданого на проміжку [0,10] та різних значень кроку розбиття h за формулами (2.4)-(2.7) було побудовано апроксимації із використанням базисів блочно-імпульсних функцій (БІФ) (2.1), локально-імпульсних функцій (ЛІФ-1) (2.1)-(2.2) та узагальнених локально-імпульсних функцій (ЛІФ-2) (2.1)-(2.3). Для кожної апроксимації було обчислено та занесено в таблицю 2.1 середньоквадратичну похибку апроксимації.
Таблиця 2.1
Крок
hmПохибка для
БІФПохибка для
ЛІФ-12mПохибка для
ЛІФ-23m0,2500,8990860,1207831009,39342?10-31500,1333333750,448570,0258699 1507,43043?10-42250,11000,2576818,77195 ?10-32002,00157?10-43000,081250,1500673,7965?10-3 2504,08086?10-53750,06666671500,09009861,71333?10-33001,31456?10-54500,05714291750,08026738,65535?10-43505,49026?10-65250,052000,07736995,72777?10-44002,58592?10-66000,042500,03101321,67966?10-45006,73989?10-77500,03333333000,02079259,69907?10-56002,33922?10-79000,02857143500,02143395,58193?10-57006,94889?10-810500,0254000,0211483,91081?10-58005,63691?10-812000,02222224500,01288381,85326?10-59001,98764?10-813500,025000,01219721,39712?10-510009,08439?10-91500
а б
Рис. 2.1. Залежність точності апроксимації тестового сигналу від кроку розбиття та виду локально-імпульсного базису. Крок розбиття h змінюється в діапазоні: (а) 0,1(0,2; (б) 0,01(0,1.
Дані, наведені в таблиці 2.1, графічно зображені на рис. 2.1, де наведено графіки залежності середньоквадратичної похибки апроксимації тестового сигналу від кроку розбиття для базисів БІФ - рис.2.1(а), штрих-пунктирна крива, ЛІФ-1 - рис.2.1(а, б) штрихова та сіра криві, а також базису узагальнених локально-імпульсних функцій (2.1)-(2.3) - чорна суцільна крива на рис.2.1(а, б).
З даних обчислювального експерименту (таблиця 2.1 та рис.2.1) випливає, що для того, щоб досягнути точності, при якій похибка апроксимації складатиме, наприклад, 2?10-3, необхідно для базису ЛІФ-1 взяти крок розбиття порядку 0,06. При цьому вектор АІ-спектру матиме довжину ~ 325 елементів. В той же час, досягти тієї ж точності при використанні базису ЛІФ-2 можна вже при кроці порядку 0,14, що дає вектор АІС, довжиною ~200 елементів. Для того, щоб досягнути того ж порядку точності при використанні базису БІФ необхідно значно більше 500 елементів вектору спектру на тому ж проміжку.
Таким чином, хоча на перший погляд при розширенні базису збільшується довжина вектору АІС, і, отже, зростає об'єм використовуваної пам'яті та кількість обчислень, за рахунок підвищення точності апроксимації можна зменшити кількість підінтервалів розбиття m і отримати АІ-спектри, довжина яких буде меншою за довжину АІС 2-го порядку, який забезпечує ту ж точність.
2.1.1 Елементи алгебри узагальнених апроксимуючих імпульсних спектрів
Нехай на деякому проміжку [0,T] визначено функції f(t) та g(t), яким в операційній області відповідають спектри та , відповідно. Тут через F0, F1, F2, G0, G1, G2 позначено підвектори АІ-спектру, що відповідають різним підсистемам базису (2.1)-(2.3).
Необхідно зауважити, що за рахунок взаємної ортогональності підсистем базисних функцій при розширенні базису зберігаються елементи лінійної алгебри АІ-спектрів [97], а саме:
I. Спектр суми двох функцій y(t)=f(t)+g(t) дорівнюватиме сумі спектрів
,
де - спектр функції y(t).
II. Множенню функції g(t) на сталу C відповідає множення спектру цієї функції на ту саму сталу:
,
де y(t)=Cg(t).
III. Апроксимуючий імпульсний спектр сталої C містить лише m ненульових компонент, що відповідають кусково-сталій підсистемі (2.1) складеного базису
,
,
де .
- Киев+380960830922