РАЗДЕЛ 2
ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ НАД ПРОВОДЯЩИМ ПОЛУПРОСТРАНСТВОМ
Подход, изложенный в предыдущем разделе, был развит и первоначально использовался в первую очередь для расчета волновых процессов. В его основе лежит аналитическое решение задачи электромагнитного поля элементарного токового диполя, произвольно ориентированного над плоской границей раздела сред [33]. При квазистационарной постановке решения, представленные в аналитическом виде, сводятся к вычислению только одной функции. Указанный подход может быть использован и для расчета квазистационарного магнитного поля в непроводящей среде над плоской границей раздела сред [12]. При квазистационарной постановке решения, записанные в аналитическом виде, упрощаются и содержат в подынтегральных выражениях функцию, представленную несобственным интегралом.
2.1. Электромагнитное поле контуров с током над проводящим полупространством в квазистационарной постановке
При переходе к квазистационарным задачам пренебрегают токами смещения по сравнению с токами проводимости и запаздыванием сигнала. Это означает, что в приведенных в разделе 1 выражениях нужно считать, что , и , .
Помимо этого обязательным условием квазистационарности является то, что контуры с током должны быть замкнутыми [22]. Это означает, в частности, что выражения (1.23) - (1.25), (1.27) не могут рассматриваться самостоятельно, а только как подынтегральные выражения в контурном интеграле (1.28).
Кроме того, как показано в [12,22] для расчета поля в области над проводящей средой вместо двух функций (1.20) и (1.26) достаточно знать лишь одну функцию , которая определяется следующим образом:
(2.1)
Здесь и в дальнейшем будем обозначать .
В этом случае подынтегральное выражение в (1.28) для векторного потенциала принимает вид
(2.2)
где вектор есть
. (2.3)
Для нахождения векторного потенциала магнитного поля, создаваемого всем контуром, достаточно проинтегрировать выражение (2.2) вдоль всего контура, в результате чего имеем
. (2.4)
Выражение для индукции магнитного поля представляется в виде контурного интеграла и имеет вид
. (2.5)
В формулах (2.4), (2.5) первые слагаемые определяют магнитное поле без учета влияния проводящей среды. Вторые слагаемые учитывают индуцированные токи и определяют магнитное поле от зеркально отраженного элемента тока, направление тока в котором противоположно току в контуре. В третьих слагаемых учитывается влияние свойств проводящей среды на величину индуцированных токов и, соответственно, на создаваемое магнитное поле.
В работе [13] было установлено свойство векторного потенциала, которое заключается в том, что для замкнутого плоского контура с током, лежащего в плоскости, параллельной границе раздела сред, вертикальная составляющая равна нулю и, как следствие, отсутствие индуцированных токов в этом направлении. Это означает, что для данного случая электрическое поле имеет только индуцированную составляющую [22]
, (2.6)
где определено выражением (2.4). Так как в дальнейшем рассматриваются контуры, угол наклона проводников которых к поверхности раздела сред не превышает нескольких градусов, то можно считать, что для них электрическое поле определяется аналогичным образом.
Выражения (2.4), (2.5) следуют из точного решения задачи сопряжения поля на границе раздела сред и получены формальным переходом к решению для квазистационарного поля при пренебрежении токами смещения, в том числе и токами, создающими электрический заряд на границе раздела сред. В квазистационарной постановке на границе раздела проводящей и непроводящей сред ставится условие равенства нулю нормальной составляющей плотности тока или напряженности электрического поля в проводящей среде.
Покажем, что при формальном переходе к квазистационарной постановке не нарушается условие отсутствия нормальной компоненты электрического поля Ezi на границе раздела сред и, тем самым, в решении учитываются все составляющие электрического поля. Основные результаты представлены в [13].
Воспользуемся решением в виде Фурье-трансформант векторного потенциала по пространственным координатам для вертикальной составляющей векторного потенциала в проводящей среде, созданной горизонтальным (1.21) и вертикальным (1.25) элементами тока. Тогда, пренебрегая токами смещения, запишем
(2.7)
Здесь t|| и - компоненты касательного вектора, направленные вдоль поверхности раздела сред и перпендикулярно к ней; ? и - локальные полярные координаты в плоскости ?,?. Выражение (2.7) следует рассматривать только как подынтегральное выражение в (1.28).
Используя (2.7), принимая во внимание (2.6) и уравнение для векторного потенциала в проводящей среде
, (2.8)
получим Фурье-трансформанту вертикальной составляющей напряженности электрического поля в виде
. (2.9)
Осуществляя теперь обратное преобразование Фурье (1.16), для этой составляющей у границы раздела сред zQ=0 найдем
(2.10)
Интегралы, входящие в (2.10), являются табличными. Поэтому выражение (2.10) может быть преобразовано к виду
(2.11)
Как видно, выражение (2.11) представляет собой полный дифференциал функции. Так как при квазистационарной постановке контуры с током замкнуты, то после подстановки в (1.28) и интегрирования по замкнутому контуру оно принимает нулевое значение.
Таким образом, переход к выражениям для квазистационарных токов с учетом замкнутости контура позволяет рассчитывать магнитные и электрические поля не только плоских, но и пространственных контуров.
2.2. Приближенный метод расчета эле