РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА МЕТОДА ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ КОМБИНАТОРНЫХ ПЛАНОВ МНОГОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
2.1. Комбинаторные планы, учитывающие порядок чередования уровней изменения факторов
Одним из основных ограничений, которые налагаются при решении задач и сдерживающих широкое применение метода планирования эксперимента является пренебрежение стоимостью проведения эксперимента, то есть положение о равноценности опытов. Однако, опыты, в большинстве случаев, не являются равноценными. Так, например, наиболее часто встречаемые факторы: температура, давление, время реакции, концентрация реагирующих веществ и другие требуют различных затрат на изменение уровней. Следовательно, на стоимость реализации эксперимента существенное влияние оказывает порядок чередования уровней изменения факторов [21].
При активном эксперименте экспериментатор может менять значения факторов по заданной программе путем изменения порядка выполнения опытов, т.е. производя перестановку строк матрицы планирования эксперимента.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие влияние порядка выполнения опытов на стоимость проведения эксперимента.
Пример 2.1.
Исходная матрица планирования эксперимента имеет вид:
Номер Номер фактораэксперимента F1 F2 F3 1 + + + 2 + - - 3 - + - 4 - - + В результате перестановок строк матрица преобразуется в матрицы планирования эксперимента, приведенные в табл. 2.1. Анализ приведенных матриц показывает, что при изменении вида матрицы изменяется количество изменений уровней факторов.
Пример 2.2.
Исходная матрица планирования эксперимента имеет вид:
Номер
эксперимента Номер фактора F1 F2 F3 F4 1 + + + + 2 - + + + 3 + - + - 4 - - + - 5 + + - - 6 - + - - 7 + - - + 8 - - - +
Стоимости изменений значений уровней факторов заданы множествами
S-+ = { 0.49, 0.06, 0.95, 0.16}; S+- = {0.33, 0.06, 0.97, 0.2 }.
В приложении Б приведены значения суммарной стоимости изменения уровней факторов в зависимости от вида перестановок, которая изменяется от 3.4 усл. ед. (вариант 99) до 8.9 усл. ед. (вариант 151). В данной таблице приведены менее 3% возможных перестановок, но даже при такой незначительной выборке можно получить значительное уменьшение стоимости.
Частным случаем являются опыты с равноценными изменениями уровней чередования факторов. Общее число перестановок строк матрицы планирования эксперимента с N опытами равно N!. Были исследованы все 40320 вариан-
Таблица 2.1
Матрицы планирования эксперимента, полученные в результате
перестановок
№ п/пПорядок
выполнен.
эксперим.Вид
МПЭ№ п/пПорядок
выполнен.
эксперим.Вид
МПЭ№ п/пПорядок
выполнен.
эксперим.Вид
МПЭ123123123
1?2?3?4- - +
+ - -
- + -
+++
1?3?4?2- - +
- + -
+++
+ - -
17
1?4?2?3- - +
+++
+ - -
- + -
2?1?3?4+ - -
- - +
- + -
+++?
10
3?1?4?2- + -
- - +
+++
+ - -
18
4?1?2?3+++
- - +
+ - -
- + -
2?3?1?4+ - -
- + -
- - +
+++
11
3?4?1?2- + -
+++
- - +
+ - -
19
4?2?1?3+++
+ - -
- - +
- + -
2?3?4?1+ - -
- + -
+++
- - +
12
3?4?2?1- + -
+++
+ - -
- - +
20
4?2?3?1+++
+ - -
- + -
- - +
3?2?4?1- + -
+ - -
+++
- - +
13
4?3?2?1+++
- + -
+ - -
- - +
21
2?4?3?1+ - -
+++
- + -
- - +
3?2?1?4- + -
+ - -
- - +
+++
14
4?3?1?2?+++
- + -
- - +
+ - -
22
2?4?1?3+ - -
+++
- - +
- + -
3?1?2?4- + -
- - +
+ - -
+++
15
4?1?3?2+++
- - +
- + -
+ - -
23
2?1?4?3+ - -
- - +
+++
- + -
1?3?2?4- - +
- + -
+ - -
+++
16
1?4?3?2- - +
+++
- + -
+ - -
24
1?2?4?3- - +
+ - -
+++
- + -
тов перестановок для N = 8 и количества факторов от 3 до 6. Результаты
исследования приведены на рис. 2.1.
Анализ полученных результатов показывает, что в общем случае:
- стоимости реализации эксперимента - различны;
- множество вариантов планов экспериментов можно разбить на подмножества, имеющие одинаковую стоимость;
- диапазон изменений стоимостей (отношение максимальной стоимости к минимальной ) находится в пределах от 2,57 до 1,27, для К = 3...7. При этом количество оптимальных вариантов планов эксперимента составляет от 0,35% для К = 3 до 2,85% для К = 6.
В общем случае задача выбора оптимального плана многофакторного эксперимента может быть сформулирована следующим образом.
Пусть n - количество опытов; k - количество факторов; ai,j - значение i-го фактора в j-ом опыте, - стоимость изменения состояния i-го фактора в j-ом опыте; - стоимость установки i-го фактора в состояние ai,1 в 1-ом опыте; S0 - cуммарная стоимость проведения многофакторного эксперимента; r - количество рассматриваемых перестановок; П= { п1, п2, ... , пr } - множество перестановок, тогда задачу выбора оптимального порядка проведения многофакторного эксперимента сформулируем следующим образом.
Найти в множестве перестановок П перестановку пt , такую, что
.
Для решения данной задачи предлагается метод, в основе которого лежат факторные последовательности и типовые варианты оптимальных матриц планирования эксперимента.
Рис. 2.1 Распределение планов многофакторного эксперимента
в зависимости от количества изменений уровня факторов
2.2. Факторные последовательности и их свойства
Анализ известных методов решения задач планирования эксперимента показал, что несмотря на высокую эффективн