РОЗДІЛ 2
НАПІВПОЛЬОВА МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЕЛЕКТРОМАГНІТА
2.1. Загальні положення
Важливою науково-прикладною проблемою є розроблення і створення нових конструкцій електромагнітних пристроїв. Такі пристрої складаються з n струмонесучих обмоток і відповідної конфігурації магнітопровода з повітряним проміжком (електромагніти сильних полів, електромагнітні реле і т.п.). Параметри магнітного поля у повітряних проміжках цих пристроїв є визначальними для всієї конструкції.
Особливо актуальним є застосування математичного моделювання для нетрадиційних конструкцій електромагнітних пристроїв, до яких відноситься електромагніт сильних полів автоматичної магнітовимірювальної системи. Аналіз режимів електромагніта сильних полів на основі класичної теорії електромагнітних пристроїв, як правило, не є адекватним.
В останній час дістали поширення напівпольові моделі електромагнітних пристроїв. У таких моделях частина пристрою описується векторними рівняннями електромагнітного поля у вузлах дискретної сітки, яка накриває вибрану розрахункову область, інша - рівняннями електромагнітних кіл (в тому числі з розподіленими параметрами). Така математична модель, доповнена початковими і граничними умовами, дає найбільш достовірні результати при мінімальній кількості рівнянь, що описують конструкцію, і, одночасно, забезпечить високу точність розрахунку магнітного поля у міжполюсному проміжку. Векторні рівняння електромагнітного поля сформовано для двовимірного простору у вигляді диференціальних рівнянь в частинних похідних, причому в якості чисельного метода для їх розрахунку використовується метод скінчених різниць.
Специфіка роботи електромагніта сильних полів як елемента вимірювальної системи вимагає дослідження просторово-часового розподілу поля у міжполюсному просторі. Тому його розрахунок можливий тільки на базі польової моделі, що забезпечує високу точність розрахунку при відсутності апріорної інформації про картину поля. Ярмо, полюси і обмотку електромагніта можна описати рівняннями електромагнітного кола. Зшивка рівнянь забезпечується рівністю магнітного потоку на межі полюсний наконечник - полюси. Такий підхід дає змогу адекватно описати фізичні процеси у магнітопроводі і міжполюсному просторі та отримати просторово-часовий розподіл параметрів магнітного поля з максимальною точністю і обмеженням тривалості розрахунку [92].
Для спрощення розв'язання поставлених у дисертаційній роботі задач нами приймались такі найбільше уживані припущення:
- не враховується явище магнітного гістерезису;
- задача розв'язується як двовимірна просторова;
- температурні явища не враховуються.
2.2. Математична модель електромагніта сильних полів
Нами розроблено напівпольову математичну модель для розрахунку перехідних та усталених процесів в намагнічувальній системі на основі поєднання методів теорії електромаґнітних кіл і методів теорії електромаґнітного поля [93,115]. Методи теорії електромаґнітного поля застосовуються лише для опису фізичних процесів в міжполюсному просторі, що складається з полюсних наконечників і робочого повітряного проміжку. Фізичні процеси в ярмі, полюсах і обмотці електромагніта описуються рівняннями електромагнітного кола.
Диференціальне рівняння для розрахунку електромаґнітного поля в міжполюсному просторі записано стосовно векторного потенціалу в нелінійному анізотропному середовищі має вигляд [90]
, (2.1)
де - вектор-потенціал електромагнітного поля;
Г - матриця статичних електропровідностей середовища;
N - матриця обернених магнітних проникностей, компоненти якої визначаються параметрами середовища.
Запишемо векторне рівняння (2.1) у циліндричній системі координат, поскільки полюси і полюсні наконечники електромагніта мають форму зрізаного конуса і розглянемо важливий практичний випадок електродинаміки, коли має лише один просторовий компонент, а саме
, (2.2)
де - одиничний вектор.
Враховуючи (2.2) рівняння (2.1) прийме вигляд
, (2.3)
де А - аксіальний компонент векторного потенціалу електромаґнітного поля;
? - електропровідність середовища в аксіальному напрямі;
? - обернена маґнітна проникність (релактивність) середовища;
r,z - просторові координати.
Умова (2.2) передбачає, що , а це означає, що рівняння (2.3) описує плоско-паралельне електромаґнітне поле у феромаґнітних зонах полюсних наконечників (заштрихована зона рис.2.1). У повітряному просторі і рівняння (2.3) спрощується
, (2.4)
де ?0=0,796·106 м/Гн - стала релактивність повітря.
Рис. 2.1. Зона інтегрування
Система рівнянь (2.3) - (2.4) адекватно описує електромагнітний процес в кусково-однорідних зонах, що складаються з феромагнетиків, струмопроводів, діелектриків. Враховуючи осьову й радіальну симетрію електромаґнітного поля в поперечному перерізі маґнітної системи рівняння (2.3), (2.4) розв'язуються на 1/4 міжполюсного проміжку, обмеженому областю S (рис. 2.1).
Для однозначного розв'язку диференціальних рівняннь (2.3), (2.4) необхідно задати початкові і граничні умови. Початкові умови задають значення функції у початковий момент часу t=0. Граничні умови задаються на границі замкнутого простору S, усередині якого шукається розв'язок диференціальних рівнянь. Гранична умова для рівняння електромагнітного поля має вигляд
(2.5)
де - відома функція часу на границі зони інтегрування S;
, - постійні коефіцієнти, що приймають значення 0 і 1;
- нормальна похідна.
Гранична умова (2.5) для рівнянь (2.3), (2.4) в осьовому напрямі вздовж верхньої межі задається як умова першого роду (?0=1, ?1 = 0) і має вигляд
, (2.6)
де Ф(t) - маґнітний потік на границі полюсний наконечник - полюс.
Граничні умови (2.5) вздовж решти меж інтеґрування задаємо як умови другого роду (?0=0, ?1=1)
;
. (2.7)
За просторовим розподілом поля вектора А визначаєм