РОЗДІЛ 2
РОЗРАХУНОК СКЛАДНИХ ВІБРОНАВАНТАЖЕНИХ КОНСТРУКЦІЙ
МАШИН З ШАРУВАТИМИ З'ЄДНАННЯМИ МЕТОДОМ ДЕКОМПОЗИЦІЇ З
УРАХУВАННЯМ УТОЧНЕНИХ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ
Для розрахунку складних конструкцій, що знаходяться під впливом віброударних навантажень застосовуються різноманітні способи декомпозиції. Це дає змогу будувати моделі для кожного вузла зокрема, а потім їх об'єднувати для визначення динамічних характеристик конструкції у цілому. В даному розділі розглянуті способи декомпозиції, що базуються на методі механічних чотирьохполюсників [45], методах модального синтезу [112-114,119]. На базі цих методів розглянуті алгоритми розрахунку вібронавантажених конструкцій з уточненим врахуванням напружено-деформованого стану вузлів з'єднань.
У дисертаційній роботі використовується комбінована розрахункова схема (Р.C.). Для визначення власних частот і власних форм коливань застосовується спосіб задання матриць динамічної жорсткості, для визначення напружень у з'єднаннях розроблено варіаційно-аналітичний спосіб. Він базується на кінематичних гіпотезах. Розглянуто декілька способів побудови Р.С., зокрема, головну увагу надано дискретно-континуальним моделям.
Однак знаходження власних форм коливань окремих елементів, а також форм збурення границі [124] часто пов'язане з великим обсягом попередніх досліджень. Тому розглянемо деякі способи декомпозиції, що не залежить від виду з'єднання елементів. Схематично ці алгоритми подано на рис. 2.1
а) б) в) д)
Рис. 2.1. Способи декомпозиції моделей динаміки машин
Спосіб а) - це розбиття конструкції на вузли та елементи з'єднань.
Спосіб b) - це послідовне приєднання до деякого базового елементу піделементів з узгодженням кінематичних умов спряження.
Спосіб c) - це спосіб спеціального вибрання двох множин координатних функцій для з'єднання, що дають змогу побудувати діагональну матрицю мас .
Спосіб d) - це класичний спосіб моделювання з'єднання через тонкий проміжковий шар із приведеними параметрами [59,62]. Останній буде проілюстровано на двох прикладах нижче.
Вибір того чи іншого способу пов'язаний насамперед з конструктивними особливостями розглядуваних об'єктів моделювання а також із цілями моделювання. Якщо необхідно визначити напружений стан у з'єднаннях, то перевагу слід надавати способу a) та c). Якщо ж нас цікавлять в основному динамічні характеристики конструкції у цілому, то можна обмежитися способом b) або d).
2.1. Визначення динамічних характеристик конструкцій машин із шаруватими з'єднаннями. Побудова розрахункових схем і методики розрахунку
Рівняння динамічної рівноваги конструкцій з лінійно-пружного матеріалу при малих деформаціях можуть бути отримані з варіаційного принципу [127]
(2.1)
Якщо вибрати для u таку апроксимацію
, (2.2)
де ?i - власні форми коливань, то система (2.1) перетвориться на N незалежних рівнянь [10].
. (2.3)
Тут M - матриця мас, K - матриця жорсткості, u - вектор узагальнених переміщень, f - вектор зовнішних зусиль.
Для визначення власних частот і власних форм розроблені способи, що базуються на декомпозиції конструкції A на підконструкції Ai. Для Ai можна записати аналогічну (2.2) систему рівнянь
. (2.4)
Ця система може розглядатися незалежно, якщо вважати відомими складові вектора зусиль fi в зоні контакту Ai із суміжними підконструкціями.
При синтезі Р.С. для Aі в єдину Р.С. для A важливим є вибір узагальнених переміщень. В модальному методі [112,119] вони вибираються у формі
(2.5), (2.6)
(2.7)
Тут - зміщення Aі як жорсткого цілого, - власні форми однорідного рівняння (2.3) з однорідними граничними умовами, - функції, що відповідають збуренню границі [124]. Також відомі методи, де при задані ?і враховується вплив приєднаних до Aі елементів конструкцій [117].
Оскільки ця робота присвячена визначенню напружень у з'єднаннях, тому розглядається двоступінчата Р.С.:
Розрахункова схема Р1. Визначення динамічних характеристик конструкції (її власних частот і власних форм коливань).
Розрахункова схема Р2. Визначення напружень у з'єднаннях на основі отриманих у Р1 динамічних характеристик. Розглянемо спочатку Р1. Уведемо матриці динамічної жорсткості для кожної підконструкції Aі. Якщо конструкцію розбито таким чином на підконструції, що в Р.С. Aі з'єднані послідовно (наприклад, подовгасті конструкції), то для кожної Aі задамо матрицю динамічної жорсткості у вигляді [45]
(2.8)
Тут f - узагальнені силові фактори, u - узагальнені переміщення. Величини u і f ідентичні віртуальним переміщенням на границі з'єднання підконструкцій та узагальненим силам на цих переміщеннях. Нижче буде вказаний точний зміст цих величин, а поки що відзначимо, що для узагальнених матриць динамічної жорсткості S мають місце всі ці операції, що і для випадку звичайних одновимірних задач [45]. Зокрема, результуюча матриця S конструкції, що представляється послідовним з'єднанням підконструкцій, дорівнює
(2.9)
Особливо доцільно застосовувати цей спосіб побудови Р.С. для конструкцій, що мають такі властивості при даному вібраційному навантаженні:
1) Динамічна поведінка конструкцій лінійна;
2) Вузли з'єднань достатньо компактні у порівнянні з найбільш габаритними вузлами конструкції.
У розділі 2.4 буде вказано спосіб побудови узагальнених механічних чотирьохполюсників. Якщо для всіх елементів конструкції побудовані механічні чотирьохполюсники та вказані способи їх спряження, то задача визначення динамічних характеристик у частотній області зводиться до задачі аналогічній тій, що зустрічається в аналізі складних електричних кіл при дії змінного струму й аналізується відомими методами [47,56]. Задача Р2 у цьому випадку розв'язується для кожного елемента зокрема, адже тепер відомі всі вузлові переміщення і зусилля. Дещо інакший підхід до побудови Р.С. застосовується у методі модального синтезу.
Основна ідея методу модального синтезу - це дискретизація задачі за просторовими координ