РОЗДІЛ 2
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ КВАЗІСТАТИЧНОЇ ТЕРМОПРУЖНОСТІ ШАРУВАТИХ ТІЛ У ЗАГАЛЬНІЙ ЦИЛІНДРИЧНІЙ СИСТЕМІ КООРДИНАТ, МЕТОД ПОЛІНОМІВ ЛАГЕРРА
В даному розділі розглядаються основні співвідношення просторової квазістатичної задачі термопружності в загальній циліндричній системі координат. Розщеплення рівняння рівноваги термопружного середовища проводиться з використанням функції об'ємної деформації , нормального переміщення та функції кручення . В термінах ключових функцій сформульовано першу та другу основні задачі термопружності та умови ідеального механічного контакту.
В кінці розділу подано основні співвідношення та розглянуто методику застосування інтегрального перетворення Лагерра до початково-крайових задач нестаціонарної теплопровідності.
2.1. Основні рівняння та співвідношення квазістатичної термопружності у загальній циліндричній системі координат.
Розглянемо пружне ізотропне тіло, віднесене до загальноі циліндричної системи координат , де - ортогональні криволінійні координати на деякій базовій поверхні з нульовою кривиною, - координата, що відраховується від базової поверхні по нормалі до неї. Коефіцієнти Ляме в цьому випадку мають вигляд:
, (2.1)
де , - коефіцієнти першої квадратичної форми на базовій поверхні.
Враховуючи вирази (2.1) векторне рівняння рівноваги термопружного середовища [3]:
(2.2)
за наявності вектора масових сил довільної природи , запишемо в скалярній формі:
; (2.3)
; (2.4)
, (2.5)
де
(2.6)
- об'ємна деформація, а - компоненти вектора кручення :
(2.7)
(2.8)
(2.9)
У співвідношеннях (2.2)-(2.9) , , - компоненти вектора пружного переміщення , , і - пружні сталі Ляме, - коефіцієнт лінійного теплового розширення, - час, , , - компоненти вектора масових сил, - температурне поле, що є розв'язком початково-крайової задачі
; (2.10)
; (2.11)
, (2.12)
де - оператор Лапласа у вибраній системі координат, - коефіцієнт температуропровідності, - диференціальні оператори, що визначають тип крайових умов, -деякі підобласті граничної поверхні , , - задані на функції, - початкова температура тіла.
У введеній системі координат співвідношення Коші та Дюгамеля-Неймана набудуть вигляду [3]:
(2.13)
(2.14)
Слід зазначити, що основні співвідношення термопружності у звичайних циліндричних або декартових координатах [5] легко отримати з наведених у цьому параграфі формул за наступних замін
- для циліндричної системи, при цьому ;
- для декартової системи координат.
2.2. Подання розв'язку рівнянь квазістатичної термопружності в загальній циліндричній системі координат.
На відміну від класичного представлення вектора пружного переміщення в формі Ляме [5], в якості розділюючих функцій виберемо функцію об'ємної деформації , яка визначається рівністю (2.6) , нормальне переміщення та функцію кручення . За допомогою скалярної операції над рівнянням (2.2) отримаємо неоднорідне рівняння Пуассона для визначення об'ємної деформації
, (2.15)
де
. (2.16)
Для того, щоб отримати рівняння на функцію , подіємо операторами і відповідно на рівняння (2.3) і (2.4), а потім віднімемо одержані вирази. В результаті одержимо:
(2.17)
Якщо в рівність (2.17) підставити вирази для і (2.7) та (2.8) , то після очевидних перетворень прийдемо до рівняння відносно функції :
(2.18)
Для того, щоб отримати третє диференціальне рівняння підставимо співвідношення (2.5) вирази для функцій і (2.7) та (2.8). Після перетворень одержимо
,
звідки за допомогою виразу (2.6) отримаємо диференціальне рівняння, що пов'язує функції і :
. (2.19)
Таким чином, якщо компоненти вектора масових сил є хоча би один раз неперервно-диференційованими функціями, то векторне рівняння рівноваги термопружного середовища (2.1) розділяється на три рівняння Пуассона відносно функцій , і .
Слід зазначити, що дана методика розділення векторного рівняння не підвищує порядку вихідної систнми, а також не збільшує числа шуканих функцій.
2.3. Визначення компонент вектора пружного переміщення в квазістатичній задачі термопружності.
Якщо функції , і визначені розв'язками відповідних крайових задач для рівнянь (2.15), (2.18) і (2.19), то компоненти вектора пружного переміщення , і можна визначити з системи диференційних рівнянь
яка за допомогою підстановки
(2.20)
зводиться до рівнянь
(2.21)
(2.22)
Інколи буває зручно скористатись іншим підходом. Подання (2.20) підставимо в рівняння (2.3) і (2.4). При цьому, використавши формули (2.7)-(2.9), після деяких перетворень одержимо співвідношення:
(2.23)
(2.24)
Якщо в рівняннях (2.23), (2.24) покласти
; (2.25)
, (2.26)
то прийдемо до системи диференціальних рівнянь в частинних похідних першого порядку відносно функцій і :
;
яка зводиться до знаходження часткового розв'язку двох рівнянь Пуассона :
(2.27)
Слід зазначити, що при визначенні функцій і можна користуватись довільною комбінацією рівнянь (2.21), (2.22) і (2.23), (2.24) , виходячи тільки з міркувань зручності.
2.4 Постановка першої та другої основних задач квазістатичної термопружності для плоско-паралельного шару в термінах ключових функцій .
Нехай на поверхнях , що обмежують плоско-паралельний шар, товщини , задані компоненти вектора зовнішнього навантаження що є неперервно-диференційованими функціями своїх аргументів. Тоді :
(2.28)
Згідно зі співвідношенями Дюгамеля-Неймана [82] :
(2.29)
(2.30)
. (2.31)
Введемо в розгляд диференціальну форму яка на основі рівностей (2.30), (2.31) і формули (2.9) може бути записана у вигляді :
(2.32)
Аналогічно створимо диференціальну форму , яку на основі рівності (2.6) подамо у вигляді :
(2.33)
Підставивши крайові умови (2.28) в співвідношення (2.29), (2.32) і (2.33), отримаєм